Aperçu de la structure

La méthode des parts : 25 problèmes illustrés de l’école primaire au collège

Résoudre des problèmes avec des parts égales et des schémas en barres : explications simples, 25 exercices progressifs et solutions détaillées à ouvrir d’un clic.

Section: Arithmétique Mis à jour:
Articles /metodo-parti-segmenti-25-problemi
La méthode des parts : 25 problèmes illustrés de l’école primaire au collège

30 min

Un problème paraît plus facile quand on peut le voir. La méthode des parts, aussi appelée méthode des segments, représente les quantités par des groupes de rectangles égaux. On trouve d’abord la valeur d’un rectangle, puis on reconstitue les quantités demandées : souvent, ni équations ni tâtonnements ne sont nécessaires.

Illustration de la section Arithmétique
Section : Arithmétique

Document de départ : La méthode des parts, de l’école primaire au collège (PDF en italien). Ce parcours reprend les explications et les 12 problèmes du document fourni, ajoute 13 nouveaux problèmes et développe chaque solution. Les problèmes sont réorganisés par difficulté ; les âges fractionnaires et les sommes impossibles à verser exactement en centimes font l’objet d’une précision.

1. L’idée : dessiner une part, pas chaque objet

Marco et Luca ont 40 images en tout. Marco en a trois fois autant que Luca. Combien chacun en possède-t-il ? Si Luca occupe 1 part, Marco occupe 3 parts égales à celle de Luca. Cela ne signifie pas que Luca a 1 image et Marco 3 : la valeur d’une part est encore inconnue.

Le total des parts est 1 + 3 = 4. Une part vaut donc 40 : 4 = 10 images. Luca en a 1 × 10 = 10 et Marco 3 × 10 = 30. Vérification : 10 + 30 = 40 et 30 = 3 × 10.

Luca a une part de 10 images ; Marco trois parts de 10, soit 40 au total.
Une part pour Luca et trois pour Marco : quatre parts égales en tout.

La question décisive est toujours : quelle donnée correspond à combien de parts ? On ne divise qu’après avoir répondu.

2. Les trois cas fondamentaux

On connaît la somme : additionner les parts

Deux frères possèdent ensemble 56 €. L’aîné a trois fois l’argent du cadet. Les parts sont 3 et 1 : 56 : (3 + 1) = 14 € par part. L’aîné possède 3 × 14 = 42 € et le cadet 14 €. C’est le total, pas la différence, qui représente quatre parts.

Trois parts de 14 euros pour l’aîné et une pour le cadet : 42 et 14 euros.
Somme connue : diviser par 3 + 1.

On connaît la différence : soustraire les parts

Un segment est cinq fois plus long qu’un autre. Leur différence est 32 cm. Les parts sont 5 et 1 ; les parts supplémentaires sont 5 − 1 = 4. Donc 32 : (5 − 1) = 8 cm par part. Les segments mesurent 5 × 8 = 40 cm et 8 cm. Vérification : 40 − 8 = 32.

Le segment long a cinq parts de 8 centimètres et le court une : différence 32 centimètres.
La différence réelle correspond seulement aux quatre parts supplémentaires.

On connaît une quantité : utiliser ses propres parts

Dans une classe, le nombre de filles vaut 4/3 du nombre de garçons, et il y a 12 garçons. Les filles occupent 4 parts, les garçons 3. Une part vaut 12 : 3 = 4 élèves ; les filles sont 4 × 4 = 16. Ne divise pas par 7 : 12 n’est pas l’effectif total.

Filles : quatre parts de 4 élèves. Garçons : trois parts de 4 élèves.
La quantité connue de 12 élèves correspond aux trois parts des garçons.

3. Au collège : une fraction est un rapport entre parts

Écrire AC = (7/5) CB ne signifie pas que AC mesure 7 cm et CB 5 cm. Cela signifie que AC contient 7 parts et CB 5 parts de même taille. Si AC dépasse CB de 10,8 cm, les deux parts supplémentaires valent exactement 10,8 cm.

(7 − 5) parts = 10,8 cm ; donc 1 part = 10,8 : 2 = 5,4 cm. Reconstituons : AC = 7 × 5,4 = 37,8 cm, CB = 5 × 5,4 = 27 cm. Vérification : 37,8 − 27 = 10,8 et 37,8 : 27 = 7 : 5.

AC contient sept parts de 5,4 centimètres et CB cinq : 37,8 et 27 centimètres.
Le rapport 7 : 5 indique le nombre de parts, pas une longueur en centimètres.

Si deux quantités A et B sont dans le rapport a : b, ce tableau donne la valeur d’une part :

Donnée connueValeur d’une part
Somme SS : (a + b)
Différence D, avec a > bD : (a − b)
Première quantité AA : a
Deuxième quantité BB : b

Une part trouvée, multiplie par a et par b. Pour trois quantités, par exemple 1, 2 et 6 parts, la somme contient 1 + 2 + 6 parts. Vérifie d’abord que toutes les parts représentent bien la même quantité.

4. Une démarche en cinq étapes

  1. Lire : que connaît-on et que faut-il trouver ? Souligner les unités.
  2. Dessiner : traduire double, triple ou une fraction en parts égales.
  3. Associer : le nombre connu est-il une somme, une différence ou une quantité ?
  4. Calculer : trouver une part, puis toutes les quantités demandées.
  5. Vérifier : contrôler la donnée numérique et le rapport annoncé. Répondre avec la bonne unité.

Attention aux mots : « le triple » signifie trois fois, tandis que « 3 de plus » indique une différence de 3 unités. Pour un rectangle, périmètre = 2 × (longueur + largeur) : avant d’additionner les parts de longueur et de largeur, divise le périmètre par 2. Avec des pièces de valeurs différentes, compter les pièces n’est pas additionner les euros.

Le rapport n’est pas toujours valable au départ. Si deux personnes vieillissent ou reçoivent le même cadeau, leur différence reste inchangée. Si une quantité passe d’un groupe à un autre, le total reste inchangé. Trouve d’abord ce qui ne change pas, puis applique la méthode à la situation demandée.

25 problèmes avec dessins et solutions à déplier

Lis l’énoncé, observe le schéma et essaie dans ton cahier. Dans un modèle, les rectangles représentant une même part ont la même valeur. Les couleurs distinguent les quantités, pas la valeur d’une part. Le point d’interrogation ne signifie pas zéro. Clique sur Afficher la solution et le schéma complété après avoir essayé ; clique à nouveau pour refermer. Les schémas sont des modèles, pas des dessins à mesurer à la règle.

Niveau 1 - Primaire : parts égales et données simples

  1. Les bonbons

    Anna et Pietro ont 48 bonbons en tout. Anna en possède le double de Pietro. Combien chacun en a-t-il ?

    Anna occupe deux parts égales et Pietro une ; ensemble ils ont 48 bonbons.
    Deux parts plus une : le total correspond à trois parts.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts sont 2 pour Anna et 1 pour Pietro : 2 + 1 = 3. Une part vaut 48 : 3 = 16 bonbons.

    Anna : 2 × 16 = 32 bonbons. Pietro : 1 × 16 = 16. Réponse : Anna 32, Pietro 16.

    Vérification : 32 + 16 = 48 et 32 = 2 × 16.

    Une part vaut 16 bonbons : Anna 32, Pietro 16.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  2. Les sachets de biscuits

    Deux sachets contiennent en tout 35 biscuits. Le grand contient quatre fois autant de biscuits que le petit. Combien chaque sachet en contient-il ?

    Le grand sachet occupe quatre parts, le petit une ; total 35 biscuits.
    Le petit sachet est l’unité de comparaison.
    Afficher la solution et le schéma complété

    On compte 4 + 1 = 5 parts. Une part vaut 35 : 5 = 7 biscuits.

    Le grand contient 4 × 7 = 28 biscuits ; le petit 7. Réponse : 28 et 7 biscuits.

    Vérification : 28 + 7 = 35 et 28 : 7 = 4.

    Une part contient 7 biscuits : grand 28, petit 7.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  3. Les économies

    Un garçon possède 24 € de plus que sa sœur et trois fois ses économies. Combien chacun possède-t-il ?

    Trois parts pour le garçon et une pour sa sœur : les deux parts supplémentaires valent 24 euros.
    La donnée connue est la différence, pas le total.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts supplémentaires sont 3 − 1 = 2. Une part vaut donc 24 : 2 = 12 €.

    Le garçon possède 3 × 12 = 36 € et sa sœur 12 €. Réponse : 36 € et 12 €.

    Vérification : 36 − 12 = 24 et 36 = 3 × 12.

    Une part vaut 12 euros : garçon 36 euros et sœur 12 euros.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  4. Les livres de Giulia et Leo

    Giulia possède 12 livres, trois fois autant que Leo. Combien de livres Leo possède-t-il ?

    Les 12 livres de Giulia représentent trois parts ; Leo possède une part.
    La quantité connue appartient à Giulia et représente trois parts.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les 12 livres correspondent aux 3 parts de Giulia, pas au total des deux enfants. Une part vaut 12 : 3 = 4 livres.

    Leo possède une part : 4 livres. Vérification : 3 × 4 = 12.

    Une part vaut 4 livres : Giulia 12, Leo 4.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  5. Les arbres

    Un jardin contient 72 arbres, tous des pins ou des oliviers. Les pins sont cinq fois plus nombreux que les oliviers. Combien y a-t-il de chaque espèce ?

    Cinq parts de pins et une d’oliviers, soit 72 arbres au total.
    Six parts égales constituent le jardin.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts totales sont 5 + 1 = 6. Une part vaut 72 : 6 = 12 arbres.

    Pins : 5 × 12 = 60. Oliviers : 12. Réponse : 60 pins et 12 oliviers.

    Vérification : 60 + 12 = 72 et 60 = 5 × 12.

    Une part vaut 12 arbres : 60 pins et 12 oliviers.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  6. Les deux rubans

    Un ruban est quatre fois plus long qu’un autre. Le long dépasse le court de 18 cm. Quelle est la longueur de chacun ?

    Quatre parts et une part : les trois parts supplémentaires mesurent 18 centimètres.
    La différence correspond à trois parts.
    Afficher la solution et le schéma complété

    La différence de parts est 4 − 1 = 3. Une part mesure 18 : 3 = 6 cm.

    Le long mesure 4 × 6 = 24 cm et le court 6 cm. Réponse : 24 cm et 6 cm.

    Vérification : 24 − 6 = 18 et 24 = 4 × 6.

    Une part mesure 6 centimètres : les rubans mesurent 24 et 6 centimètres.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  7. Trois boîtes de crayons

    Trois boîtes contiennent en tout 60 crayons. La deuxième en contient le double de la première et la troisième le triple de la première. Combien chaque boîte en contient-elle ?

    Les boîtes occupent une, deux et trois parts ; total 60 crayons.
    Les deux comparaisons prennent la première boîte comme référence.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts sont 1, 2 et 3 : 1 + 2 + 3 = 6. Une part vaut 60 : 6 = 10 crayons.

    Les boîtes contiennent 10, 20 et 30 crayons. Vérification : 10 + 20 + 30 = 60 ; la deuxième contient le double et la troisième le triple de la première.

    Une part vaut 10 crayons : première 10, deuxième 20, troisième 30.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  8. Les billes rouges

    Un sachet contient 40 billes, toutes rouges ou bleues. Les 3/5 sont rouges. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?

    Le total est divisé en cinq parts : trois rouges et deux bleues.
    Si le total a cinq parts, les parts non rouges sont 5 − 3.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Le dénominateur 5 indique le nombre de parts du total. Une part vaut 40 : 5 = 8 billes.

    Rouges : 3 × 8 = 24. Bleues : (5 − 3) × 8 = 16. Réponse : 24 rouges et 16 bleues.

    Vérification : 24 + 16 = 40 et 24/40 = 3/5.

    Une part vaut 8 billes : 24 rouges et 16 bleues.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  9. Images : somme et différence

    Sara et Paolo ont en tout 54 images. Sara en possède 14 de plus que Paolo. Combien chacun en a-t-il ?

    Les deux possèdent une même part inconnue ; Sara a aussi 14 images supplémentaires.
    Le rectangle supplémentaire de 14 est une donnée, pas une autre part égale.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Mettons à part les 14 images supplémentaires de Sara. Il reste 54 − 14 = 40 images réparties en deux quantités égales.

    Une part vaut 40 : 2 = 20. Paolo a 20 images ; Sara 20 + 14 = 34. Réponse : Sara 34, Paolo 20.

    Vérification : 34 + 20 = 54 et 34 − 20 = 14.

    Les deux parts égales valent 20 images chacune ; Sara en a encore 14 : 34 et 20.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  10. Les trois plateaux

    On répartit 45 petits gâteaux sur trois plateaux dans le rapport 2 : 3 : 4. Combien en met-on sur chacun ?

    Les plateaux occupent deux, trois et quatre parts de même valeur.
    Le rapport répartit le total en neuf parts égales.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts totales sont 2 + 3 + 4 = 9. Une part vaut 45 : 9 = 5 gâteaux.

    Les plateaux reçoivent 2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15 et 4 × 5 = 20 gâteaux. Réponse : 10, 15 et 20.

    Vérification : 10 + 15 + 20 = 45 et 10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4.

    Une part vaut 5 gâteaux : les plateaux en portent 10, 15 et 20.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

Niveau 2 - Collège : fractions, rapports et géométrie

  1. Deux segments et leur somme

    Deux segments ont une somme de 84 cm. Le premier vaut les 4/3 du second. Calcule leurs longueurs.

    Le premier segment occupe quatre parts, le second trois ; somme 84 centimètres.
    4/3 du second signifie quatre parts contre trois, pas quatre centimètres contre trois.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts sont 4 et 3. Une part mesure 84 : (4 + 3) = 12 cm.

    Premier segment : 4 × 12 = 48 cm. Second : 3 × 12 = 36 cm. Réponse : 48 cm et 36 cm.

    Vérification : 48 + 36 = 84 et 48/36 = 4/3.

    Une part mesure 12 centimètres : premier 48, second 36.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  2. Deux nombres et leur différence

    Deux nombres ont une différence de 45. Le plus grand vaut les 8/5 du plus petit. Trouve ces nombres.

    Huit parts et cinq parts : les trois parts de différence valent 45.
    La donnée correspond aux seules parts supplémentaires, pas aux treize parts.
    Afficher la solution et le schéma complété

    La différence représente 8 − 5 = 3 parts. Une part vaut 45 : 3 = 15.

    Plus grand : 8 × 15 = 120. Plus petit : 5 × 15 = 75. Réponse : 120 et 75.

    Vérification : 120 − 75 = 45 et 120/75 = 8/5.

    Une part vaut 15 : les nombres sont 120 et 75.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  3. La classe

    Dans une classe, le nombre de filles vaut les 5/4 du nombre de garçons. Il y a 27 élèves en tout. Combien y a-t-il de garçons et de filles ?

    Cinq parts de filles et quatre de garçons forment 27 élèves.
    Neuf parts représentent toute la classe.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Une part vaut 27 : (5 + 4) = 3 élèves. Filles : 5 × 3 = 15 ; garçons : 4 × 3 = 12.

    Réponse : 12 garçons et 15 filles. Vérification : 12 + 15 = 27 et 15/12 = 5/4.

    Une part vaut 3 élèves : 15 filles et 12 garçons.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  4. Un segment déjà connu

    Un segment A vaut les 5/3 d’un segment B. B mesure 18 cm. Quelle est la longueur de A ?

    A occupe cinq parts ; les 18 centimètres de B en occupent trois.
    On divise 18 par le nombre de parts de B.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les 18 cm de B représentent 3 parts : 18 : 3 = 6 cm par part.

    A mesure 5 × 6 = 30 cm. Réponse : 30 cm. Vérification : 30/18 = 5/3.

    Une part mesure 6 centimètres : A 30, B 18.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  5. Le rectangle de périmètre 84

    Un rectangle a un périmètre de 84 cm. Sa longueur vaut les 4/3 de sa largeur. Trouve longueur, largeur et aire.

    Longueur quatre parts et largeur trois ; le périmètre compte deux fois chacune.
    Pour travailler avec longueur + largeur, il faut le demi-périmètre.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Divisons d’abord le périmètre par deux : 84 : 2 = 42 cm est la somme longueur + largeur. Les parts sont 4 + 3 = 7.

    Une part mesure 42 : 7 = 6 cm. Longueur : 4 × 6 = 24 cm ; largeur : 3 × 6 = 18 cm.

    Aire : 24 × 18 = 432 cm². Réponse : longueur 24 cm, largeur 18 cm, aire 432 cm². Vérification : 2 × (24 + 18) = 84.

    Une part mesure 6 centimètres : longueur 24, largeur 18 ; rectangle de rapport quatre à trois.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  6. Le terrain

    La longueur d’un terrain rectangulaire dépasse sa largeur de 18 m. La longueur vaut les 8/5 de la largeur. Calcule le périmètre et l’aire.

    Longueur huit parts, largeur cinq ; trois parts correspondent à 18 mètres.
    La donnée est la différence entre les dimensions, pas le périmètre.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts supplémentaires sont 8 − 5 = 3. Une part mesure 18 : 3 = 6 m. Longueur : 8 × 6 = 48 m ; largeur : 5 × 6 = 30 m.

    Périmètre : 2 × (48 + 30) = 156 m. Aire : 48 × 30 = 1440 m². Réponse : périmètre 156 m, aire 1440 m².

    Vérification : 48 − 30 = 18 et 48/30 = 8/5.

    Une part mesure 6 mètres : longueur 48, largeur 30 ; rectangle de rapport huit à cinq.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  7. Un pourcentage dans la classe

    Dans une classe de 30 élèves, 20% viennent à l’école en trottinette. Les autres non. Combien y a-t-il d’élèves dans chaque groupe ?

    Vingt pour cent vaut un cinquième : une part en trottinette et quatre autrement.
    Un pourcentage peut être écrit comme fraction du total.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Transformons le pourcentage en fraction : 20% = 20/100 = 1/5. Le total a 5 parts ; une part vaut 30 : 5 = 6 élèves.

    En trottinette : 6 ; les autres : 4 × 6 = 24. Réponse : 6 et 24 élèves.

    Vérification, avec transformation de la fraction en pourcentage : (6/30) × 100% = 20% ; et 6 + 24 = 30.

    Une part vaut 6 élèves : 6 en trottinette et 24 autrement.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  8. Les pages encore à lire

    Elena a lu les 3/7 d’un livre. Il lui reste 48 pages. Combien le livre a-t-il de pages et combien en a-t-elle déjà lu ?

    Trois parts sont lues ; les quatre parts restantes représentent 48 pages.
    La donnée 48 concerne la fraction restante, pas tout le livre.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Les parts encore à lire sont 7 − 3 = 4. Une part vaut 48 : 4 = 12 pages.

    Le livre a 7 × 12 = 84 pages ; Elena en a lu 3 × 12 = 36. Réponse : 84 pages au total, 36 déjà lues.

    Vérification : 84 − 36 = 48 et 36/84 = 3/7.

    Une part vaut 12 pages : 36 lues et 48 à lire, total 84.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  9. Trois rubans, deux rapports

    Les longueurs de trois rubans A, B et C vérifient A : B = 2 : 3 et B : C = 2 : 5. Leur somme est 100 cm. Quelle est la longueur de chaque ruban ?

    Deux comparaisons séparées : A deux parts et B trois ; B deux parts et C cinq. Les parts des deux comparaisons n’ont pas encore la même taille.
    B apparaît avec des nombres de parts différents : il faut d’abord harmoniser les rapports.
    Afficher la solution et le schéma complété

    N’additionne pas 2 + 3 + 5 : B n’a pas le même nombre de parts dans les deux rapports. Donnons 6 parts à B : A : B = 4 : 6 et B : C = 6 : 15.

    Le rapport commun est A : B : C = 4 : 6 : 15. Les parts totales sont 4 + 6 + 15 = 25 ; une part mesure 100 : 25 = 4 cm.

    Réponse : A = 16 cm, B = 24 cm, C = 60 cm. Vérification : 16 + 24 + 60 = 100, 16/24 = 2/3 et 24/60 = 2/5.

    Rapport commun A:B:C égal à 4:6:15 ; une part vaut 4 centimètres, donc 16, 24 et 60 centimètres.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  10. Le rectangle du PDF : résultats exacts

    Le périmètre d’un rectangle est 90 cm. Sa longueur vaut les 7/4 de sa largeur. Calcule longueur, largeur et aire en conservant les fractions exactes.

    Longueur sept parts et largeur quatre ; ensemble elles valent le demi-périmètre de 45 centimètres.
    Les parts peuvent avoir une mesure fractionnaire : la méthode reste identique.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Le demi-périmètre est 90 : 2 = 45 cm. Les parts sont 7 + 4 = 11 : une part mesure 45/11 cm.

    Longueur : 7 × (45/11) = 315/11 cm, environ 28,64 cm. Largeur : 4 × (45/11) = 180/11 cm, environ 16,36 cm.

    Aire exacte : (315/11) × (180/11) = 56700/121 cm², environ 468,60 cm². Ne multiplie pas des dimensions déjà arrondies si tu veux garder le résultat exact.

    Vérification : 2 × (315/11 + 180/11) = 90 et (315/11) : (180/11) = 7/4.

    Une part mesure 45/11 centimètres ; longueur 315/11, largeur 180/11 centimètres.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

Niveau 3 - Une étape de plus : valeurs, âges et transformations

  1. Trois frères et une répartition théorique

    Trois frères se partagent 240 €. Le deuxième reçoit le double du premier et le troisième le triple du deuxième. Combien chacun reçoit-il ?

    Les quotes-parts sont une, deux et six parts : le troisième reçoit le triple du deuxième, pas du premier.
    La troisième quote-part occupe 3 × 2 = 6 parts.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Le premier a 1 part, le deuxième 2 et le troisième 3 × 2 = 6. Les parts totales sont 1 + 2 + 6 = 9.

    Une part vaut 240 : 9 = 80/3 €. Les quotes-parts exactes sont 80/3 €, 160/3 € et 160 €. Vérification : 80/3 + 160/3 + 160 = 240 ; la deuxième est double de la première et la troisième triple de la deuxième.

    Précision sur l’argent : 80/3 € et 160/3 € ont des décimales périodiques. Ce sont des parts mathématiques exactes, impossibles à payer exactement en centimes ; l’arrondi ne conserve pas tous les rapports. Pour un partage concret sans arrondi, la variante avec 270 € donne une part de 30 € et des montants de 30 €, 60 € et 180 €.

    Une part vaut 80/3 euros : quotes-parts 80/3, 160/3 et 160 euros.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  2. Les pièces : nombre et valeur

    Une tirelire contient des pièces de 1 € et de 2 €. Les pièces de 1 € sont trois fois plus nombreuses que celles de 2 €, et la valeur totale est 70 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?

    Le nombre de pièces de un euro occupe trois parts ; celui des pièces de deux euros une part.
    Les parts représentent des nombres de pièces ; leurs valeurs monétaires doivent être pondérées.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Dessinons 3 parts de pièces de 1 € et 1 part de pièces de 2 €. Un groupe de 3 pièces de 1 € et 1 de 2 € vaut 3 × 1 + 1 × 2 = 5 €.

    Il y a 70 : 5 = 14 groupes. On a donc 3 × 14 = 42 pièces de 1 € et 1 × 14 = 14 pièces de 2 €. Réponse : 42 et 14 pièces.

    Vérification : 42 × 1 + 14 × 2 = 70 € et 42 = 3 × 14. Diviser 70 par 4 confondrait euros et nombre de pièces.

    Une part contient 14 pièces : 42 pièces de un euro et 14 de deux euros.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  3. Le même cadeau en argent

    Deux amis possèdent respectivement 30 € et 50 €. Ils reçoivent chacun la même somme. Après le cadeau, le deuxième possède les 3/2 de l’argent du premier. Combien chacun a-t-il reçu ?

    Après le cadeau le premier a deux parts et le deuxième trois ; leur différence reste 20 euros.
    Le schéma représente la situation après le cadeau. La différence initiale ne change pas.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Ajouter la même somme à chacun conserve la différence : 50 − 30 = 20 €. Dans le rapport final les parts sont 2 et 3 ; la différence de 3 − 2 = 1 part vaut donc 20 €.

    Après le cadeau le premier a 2 × 20 = 40 € et le deuxième 3 × 20 = 60 €. Le cadeau vaut 40 − 30 = 10 €, ou 60 − 50 = 10 €.

    Réponse : 10 € chacun. Vérification : 60/40 = 3/2 et les deux augmentations sont égales.

    Une part vaut 20 euros : après le cadeau les deux amis ont 40 et 60 euros.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  4. Les âges : trouver d’abord ce qui ne change pas

    Un père a 44 ans et son fils 11 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?

    Au moment cherché le père a trois parts et le fils une. Leur différence reste 33 ans.
    Les parts représentent les âges futurs, pas les âges initiaux.
    Afficher la solution et le schéma complété

    La différence d’âge ne change pas : 44 − 11 = 33 ans. Au moment cherché le père occupe 3 parts et le fils 1 ; les deux parts supplémentaires valent 33 ans.

    Une part vaut 33 : (3 − 1) = 16,5 ans. Le fils aura 16,5 ans et le père 3 × 16,5 = 49,5 ans.

    L’attente vaut 16,5 − 11 = 5,5 ans. Réponse : dans 5 ans et 6 mois. On a aussi 49,5 − 44 = 5,5. Pas 5 ans : 49 ne serait pas le triple de 16. Le modèle utilise des âges exacts, pas seulement un nombre entier d’anniversaires.

    Une part vaut 16,5 ans : au moment cherché père 49,5 ans, fils 16,5.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

  5. Un transfert entre deux groupes

    Le groupe A possède 48 images et le groupe B 24. Combien A doit-il en donner à B pour que les deux groupes aient la même quantité ?

    Avant le transfert A possède 48 images, soit deux parts de 24, et B en possède 24.
    Observe d’abord les données. Les images changent de groupe sans disparaître.
    Afficher la solution et le schéma complété

    Le total reste 48 + 24 = 72 images. Pour être égaux, les groupes doivent avoir 72 : 2 = 36 images chacun.

    A doit céder 48 − 36 = 12 images. B en reçoit 36 − 24 = 12. Réponse : A doit donner 12 images à B.

    Vérification : 48 − 12 = 24 + 12 = 36. On ne transfère pas toute la différence de 24 : chaque image transférée la réduit de 2, car A en perd une et B en gagne une.

    Après le transfert les 72 images sont réparties en deux parts de 36 ; A en donne 12 à B.
    Le modèle résolu indique la valeur de chaque part et des quantités demandées.

6. Ce que nous avons appris

La méthode des parts n’est pas un raccourci pour éviter les équations : elle aide à comprendre les relations entre les quantités. Au primaire, on part de rectangles et d’objets ; au collège, on relie les mêmes dessins aux fractions, rapports et proportions. Ensuite, les équations donnent un nom à la part inconnue.

Sur l’exemple initial, les parts donnent 40 : (1 + 3) = 10 ; une proportion s’écrit Luca : 40 = 1 : 4 ; une équation s’écrit x + 3x = 40. Le langage change, pas le raisonnement. Dans les problèmes de transformation, cherche d’abord ce qui reste égal : différence, total ou valeur d’un groupe.