Al recibir un préstamo, obtienes el capital inmediatamente y lo devuelves a lo largo del tiempo. Las matemáticas financieras describen ese intercambio: cuánto pagas en cada vencimiento, qué parte devuelve capital y qué parte remunera el dinero aún prestado. Partimos de un ejemplo pequeño para llegar a la fórmula de la cuota y al cuadro completo.
Primer ejemplo: 115.000 €, nominal anual del 1,9 %, treinta años
Un préstamo de 115.000 € a tipo fijo se devuelve en 30 años mediante 360 cuotas mensuales. Es una amortización francesa de cuota constante, el primer plan del laboratorio, que se abre con estos datos y sin redondeos intermedios.
El tipo mensual decimal es i = (1,9/100)/12 = 0,0015833333…; en porcentaje: 0,0015833333… × 100 % = 0,15833333… %. Con C = 115.000 y n = 360, la fórmula R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)] da R = 419,3346912856… €.
| Concepto | Resultado sin redondeos intermedios |
|---|---|
| Cuota teórica | 419,3346912856… € |
| Total devuelto: R × 360 | 150.960,4888628… € |
| Intereses: total − 115.000 | 35.960,4888628… € |
| Intereses / capital × 100 % | 31,2699903155… % |
Los primeros intereses son 115.000 × i = 182,083333… €. El capital devuelto es R − 182,083333… = 237,251357… € y quedan 114.762,748642… € de deuda. El cuadro muestra 182,08 €, 237,25 € y 114.762,75 €. Los intereses de las cuotas futuras suman 35.960,4888628… − 182,083333… = 35.778,41 € redondeados: no son intereses ya devengados.
El 31,27 % corresponde a los treinta años completos; no es un tipo anual. Este modo conserva los decimales y redondea solo al mostrar resultados. Redondear cada pago al céntimo cambia el ajuste final y produce 35.960,92 € de intereses en este ejemplo. El laboratorio permite ambas convenciones. Las secciones siguientes explican las fórmulas y utilizan también un ejemplo breve redondeado cuota por cuota.
Abrir el laboratorio: comparar cuatro opciones, incluidas ambas variantes francesas. Modifica capital, tipo, plazo y frecuencia, consulta cada cuota, compara los gráficos y exporta el plan en CSV.
1. Capital, tipo y tiempo: utilizar unidades coherentes
Llamamos C al capital financiado, Y a los años, m a las cuotas anuales y n = m × Y al número total de cuotas. Un préstamo de 20 años con pagos mensuales tiene n = 12 × 20 = 240 cuotas. El modelo utiliza un tipo fijo y pagos al final de periodos de igual duración.
El tipo nominal anual, o TAN, se convierte en decimal: 6 % = 6/100 = 0,06. Si llamamos j a ese número, el tipo por periodo es i = j/m. Con nominal anual del 6 % y cuotas mensuales: i = 0,06/12 = 0,005. Para mostrarlo como porcentaje: 0,005 × 100 % = 0,5 % al mes. Los intereses se calculan con 0,005, no con 0,5 ni con 6.
Un tipo efectivo anual de los intereses es un dato diferente. Si su valor decimal es a, el tipo equivalente por periodo es i = (1+a)^(1/m) − 1. A la inversa, a = (1+i)^m − 1. Por ejemplo, i = 0,005 genera a ≈ 0,061678: 0,061678 × 100 % ≈ 6,1678 %. Una simple división no transforma el tipo nominal en su equivalente efectivo anual.
La TAE se refiere al coste global e incorpora los gastos previstos en su cálculo. El laboratorio acepta el nominal o el efectivo anual de los intereses sin gastos; este último no es la TAE. El Banco de Italia distingue el cálculo de la cuota de los costes adicionales de financiación.
2. Dentro de una cuota: intereses, capital y saldo
Antes de la cuota k quedan Dk−1 de deuda. Durante el periodo se generan intereses Ik. El pago Rk incluye esos intereses y una parte de capital Qk. Cada fila sigue tres reglas:
I_k = D_(k−1) × i: intereses sobre la deuda antes del pago.Q_k = R_k − I_k: capital realmente devuelto.D_k = D_(k−1) − Q_k: deuda después del pago.
Con deuda de 10.000 €, tipo mensual del 0,2 % = 0,002 y pago de 200 €, los intereses son 10.000 × 0,002 = 20 €, el capital devuelto es 200 − 20 = 180 € y el nuevo saldo es 9.820 €. No se resta toda la cuota de la deuda: pagar intereses no devuelve capital.
3. Amortización francesa: cuota constante
Es el plan de cuota constante a tipo fijo. Al disminuir la deuda bajan los intereses; por tanto, dentro de la misma cuota aumenta la parte de capital. Para obtener R, exigimos que el valor actual de los pagos futuros coincida con C:
C = R/(1+i) + R/(1+i)^2 + … + R/(1+i)^n.
La suma geométrica da C = R × [1 − (1+i)^(−n)]/i. Despejando R obtenemos R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)]. Si i = 0 usamos directamente R = C/n, evitando dividir 0/0. La potencia expresa la equivalencia financiera de pagos en fechas distintas; en cada fila, los intereses se aplican al capital pendiente.
Dos variantes francesas: ¿qué cambia?
El laboratorio las presenta como dos opciones separadas, seguidas de los planes italiano y de capital al vencimiento. Ambas variantes utilizan la misma fórmula de la cuota francesa; cambian la precisión conservada y el tratamiento de la última cuota.
Primera opción: francés sin redondeos intermedios
La cuota R y los componentes de cada periodo conservan todos los decimales disponibles. Solo se redondean los importes al mostrarlos en el cuadro. El total teórico devuelto es n × R y los intereses teóricos son n × R − C. Esta primera opción aparece seleccionada al abrir el laboratorio.
Segunda opción: francés con cuota al céntimo
Primero se redondea la cuota teórica al céntimo. En cada vencimiento también se redondean los intereses sobre la deuda pendiente; al restarlos del pago se obtiene el capital devuelto. La última cuota liquida exactamente el capital pendiente más los últimos intereses. El total es, por tanto, la suma de los pagos previstos realmente, incluido el ajuste final, no necesariamente n veces la cuota ordinaria redondeada.
Los mismos datos en ambas variantes
Tomemos 115.000 €, nominal anual del 1,9 %, 30 años y 360 cuotas mensuales. El tipo periódico es i = (1,9/100)/12 y la cuota teórica es 419,3346912856… €. El resultado es:
| Concepto | Sin redondeos intermedios | Cuota al céntimo |
|---|---|---|
| Primera cuota | 419,334691… € | 419,33 € |
| Última cuota | 419,334691… € | 421,45 € |
| Intereses totales | 35.960,49 € | 35.960,92 € |
| Total devuelto | 150.960,49 € | 150.960,92 € |
Las diferencias en los totales proceden de los redondeos durante la devolución; en este ejemplo los intereses difieren en 0,43 €. La primera columna muestra valores teóricos; la segunda sigue la convención al céntimo de nuestro calculador. Las dos curvas de deuda pendiente pueden quedar casi superpuestas.
Las cuatro opciones del laboratorio son: francés sin redondeos intermedios; francés al céntimo; italiano; capital al vencimiento. Los planes italiano y de capital al vencimiento mantienen el cálculo al céntimo. El contrato de una entidad puede adoptar otras convenciones de redondeo.
Ejemplo breve del francés al céntimo: 12.000 €, tres años, 6 % y pagos anuales
Aquí m = 1, n = 3 e i = 0,06. Así, R = 12.000 × 0,06 / [1 − 1,06−3] ≈ 4.489,317753 €. La cuota ordinaria redondeada es 4.489,32 €. Calculamos cada fila al céntimo:
| Cuota | Deuda inicial | Intereses | Capital | Pago | Saldo |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 12.000,00 | 720,00 | 3.769,32 | 4.489,32 | 8.230,68 |
| 2 | 8.230,68 | 493,84 | 3.995,48 | 4.489,32 | 4.235,20 |
| 3 | 4.235,20 | 254,11 | 4.235,20 | 4.489,31 | 0,00 |
En la primera cuota: I1 = 12.000 × 0,06 = 720; Q1 = 4.489,32 − 720 = 3.769,32. En la segunda, los intereses se calculan sobre 8.230,68 y no sobre 12.000. La última cuota se ajusta en un céntimo para cancelar el saldo exactamente. Los intereses totales son 720 + 493,84 + 254,11 = 1.467,95 €.
4. Amortización italiana: parte de capital constante
Dividimos C en n partes: Q = C/n. Antes de la cuota k, sin redondeos, D_(k−1) = C − (k−1)Q; así, R_k = Q + D_(k−1) × i. El capital devuelto en cada cuota permanece igual y los intereses bajan: la cuota disminuye.
En el ejemplo Q = 12.000/3 = 4.000 €. Las cuotas son 4.000 + 720 = 4.720 €, después 4.000 + 480 = 4.480 €, y finalmente 4.000 + 240 = 4.240 €. Los intereses totales son 1.440 €. Sin redondeos también podemos sumar directamente: I_tot = i × C × (n+1)/2, porque los saldos iniciales forman una progresión aritmética.
5. Capital al vencimiento: intereses periódicos y devolución final
En el plan bullet utilizado aquí pagas C × i cada periodo y devuelves todo C en el último vencimiento. El capital no se amortiza gradualmente. Los pagos del ejemplo son 720 €, 720 € y finalmente 12.720 €. La deuda sigue en 12.000 € hasta el último pago. Sin redondeos, los intereses totales son I_tot = n × C × i: aquí 2.160 €.
Una cuota inicial pequeña no implica un coste pequeño: hay que disponer del capital final. La amortización americana con fondo de acumulación añade aportaciones a un fondo y la rentabilidad de este; es un modelo distinto que esta simulación bullet no incluye.
6. Comparar a igualdad de condiciones: flujos diferentes
| Plan | Primera cuota | Última cuota | Intereses totales | Total devuelto |
|---|---|---|---|---|
| Francés al céntimo | 4.489,32 € | 4.489,31 € | 1.467,95 € | 13.467,95 € |
| Italiano | 4.720,00 € | 4.240,00 € | 1.440,00 € | 13.440,00 € |
| Bullet | 720,00 € | 12.720,00 € | 2.160,00 € | 14.160,00 € |
Con el mismo capital, tipo positivo, plazo y frecuencia, el plan italiano devuelve capital antes que el francés y genera menos intereses nominales totales en esta comparación; exige una primera cuota mayor. Sumar euros pagados en fechas distintas no equivale a comparar sus valores actuales. Una decisión real también considera liquidez, gastos y contrato.
Prueba a duplicar el plazo en el laboratorio manteniendo capital y tipo: la cuota francesa baja, pero con tipo positivo aumentan los intereses totales. Después prueba tipo cero: francés e italiano dividen C en partes iguales, mientras el bullet conserva la devolución final del capital.
7. Tres ejercicios con soluciones razonadas
Deuda de 10.000 €, nominal anual del 2,4 %, cuotas mensuales. Si pagas 200 €, calcula intereses, capital devuelto y saldo de la primera cuota.
Solución razonada
i = (2,4/100)/12 = 0,002, es decir, 0,002 × 100 % = 0,2 %. Intereses: 10.000 × 0,002 = 20 €. Capital: 200 − 20 = 180 €. Saldo: 10.000 − 180 = 9.820 €.
Préstamo de 6.000 €, tipo cero, 24 mensualidades. ¿Cuánto es la cuota francesa? ¿Y la italiana?
Solución razonada
Sin intereses cada pago devuelve capital. Ambos planes dan R = 6.000/24 = 250 €. El bullet paga cero en los primeros 23 vencimientos y 6.000 € en el último.
Préstamo bullet de 10.000 € a un año, nominal anual del 2,4 %, intereses mensuales. ¿Cuánto pagas normalmente, cuánto al final y cuántos intereses en total?
Solución razonada
i = 0,024/12 = 0,002. Cada mes los intereses son 20 €, porque el capital no disminuye. Las primeras 11 cuotas son de 20 €; la última es de 10.020 €. Los intereses totales son 12 × 20 = 240 € y el total devuelto es 10.240 €.
Cómo leer los resultados del laboratorio
El laboratorio ofrece cuatro opciones: francés sin redondeos intermedios, francés al céntimo, italiano y capital al vencimiento. La primera conserva los decimales y redondea solo al mostrar los importes; las otras tres usan céntimos. El francés al céntimo ajusta la última cuota; las partes de capital italianas pueden diferir en un céntimo. El contrato puede utilizar otros calendarios, cómputos de días y reglas de redondeo. No se simulan gastos, impuestos, seguros, carencia inicial, amortizaciones anticipadas ni tipos variables. El cuadro es un modelo educativo, no una oferta bancaria.
Calcular la cuota y el cuadro completo. Para profundizar en el valor actual: OpenStax, Loan Amortization.