Matematica finanziaria: mutuo, rate e piani di ammortamento

Quando ricevi un prestito, il capitale arriva subito e viene restituito nel tempo. La matematica finanziaria descrive questo scambio: quanto paghi a ogni scadenza, quanta parte restituisce il capitale e quanta remunera il denaro ancora prestato. Partiamo da un esempio piccolo e arriviamo alla formula della rata e alla tabella completa.

Primo esempio: 115.000 €, TAN 1,9%, trent’anni

Un mutuo di 115.000 € viene rimborsato in 30 anni con 360 rate mensili, a tasso fisso. È un ammortamento francese a rata costante, il primo piano proposto nel laboratorio, già impostato su questi dati e sulla modalità senza arrotondamenti intermedi.

Il tasso mensile in decimale è i = (1,9/100)/12 = 0,0015833333…; trasformato in percentuale: 0,0015833333… × 100% = 0,15833333…%. Con C = 115.000 e n = 360, la formula R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)] dà R = 419,3346912856… €.

Alla prima rata maturano 115.000 × i = 182,083333… € di interessi. La quota capitale è R − 182,083333… = 237,251357… €; il capitale residuo diventa 114.762,748642… €. La tabella mostra questi valori come 182,08 €, 237,25 € e 114.762,75 €. Gli interessi delle rate future ammontano a 35.960,4888628… − 182,083333… = 35.778,41 € arrotondati: non sono interessi già maturati.

Il 31,27% riguarda tutti i trent’anni: non è il tasso annuo. In questa modalità si conservano i decimali nel calcolo e si arrotonda solo per mostrare i risultati. Se invece ogni pagamento viene arrotondato al centesimo, cambia il conguaglio finale e gli interessi di questo esempio diventano 35.960,92 €. Il laboratorio permette di confrontare entrambe le convenzioni. Le sezioni seguenti spiegano le formule e usano anche un esempio breve, arrotondato rata per rata.

Apri il laboratorio: confronta quattro opzioni, comprese le due varianti francesi. Puoi modificare capitale, tasso, durata e frequenza, leggere ogni rata, confrontare i grafici ed esportare il piano in CSV.

1. Capitale, tasso e tempo: mettere d’accordo le unità

Indichiamo con C il capitale finanziato, con Y gli anni, con m le rate in un anno e con n = m × Y il numero totale di rate. Un mutuo di 20 anni con rate mensili ha n = 12 × 20 = 240 rate. Il modello usa un tasso fisso e pagamenti alla fine di periodi di uguale durata.

Il tasso annuo nominale, TAN, va trasformato in numero decimale: 6% = 6/100 = 0,06. Se chiamiamo j questo numero, il tasso per periodo è i = j/m. Con TAN 6% e rate mensili: i = 0,06/12 = 0,005. Per mostrarlo in percentuale: 0,005 × 100% = 0,5% al mese. Gli interessi della rata si calcolano con 0,005, non con 0,5 e nemmeno con 6.

Un tasso annuo effettivo degli interessi è un dato diverso: se vale a, espresso in decimale, il tasso equivalente per periodo è i = (1+a)^(1/m) − 1. Viceversa, da i si ricava a = (1+i)^m − 1. Per esempio, i = 0,005 genera a ≈ 0,061678: 0,061678 × 100% ≈ 6,1678%. Il TAN non si converte in tasso annuo effettivo con una semplice divisione quando si vuole misurare l’equivalenza su un anno.

Il TAEG riguarda invece il costo complessivo e considera anche le spese previste dal relativo calcolo. Nel laboratorio puoi scegliere TAN o tasso annuo effettivo senza spese; il secondo non è il TAEG. La Banca d’Italia distingue il calcolo della rata dai costi aggiuntivi del finanziamento.

2. Dentro una rata: interessi, capitale e residuo

Prima della rata k devi ancora D_k−1. Durante il periodo maturano gli interessi I_k. Il pagamento R_k comprende questi interessi e una quota capitale Q_k. Le tre regole della tabella sono:

• I_k = D_(k−1) × i: interessi sul debito prima del pagamento.
• Q_k = R_k − I_k: capitale effettivamente restituito.
• D_k = D_(k−1) − Q_k: debito dopo il pagamento.

Con un debito di 10.000 €, tasso mensile 0,2% = 0,002 e pagamento di 200 €, gli interessi sono 10.000 × 0,002 = 20 €, il capitale restituito è 200 − 20 = 180 € e il nuovo residuo è 9.820 €. Non basta sottrarre l’intera rata dal debito: gli interessi non restituiscono capitale.

3. Ammortamento francese: rata costante

È il piano a rata costante a tasso fisso. La quota interessi scende quando diminuisce il debito; quindi, nella stessa rata, cresce la quota capitale. Per determinare R chiediamo che il valore oggi dei pagamenti futuri coincida con C:

C = R/(1+i) + R/(1+i)^2 + … + R/(1+i)^n.

La somma è geometrica: C = R × [1 − (1+i)^(−n)]/i. Isolando R otteniamo R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)]. Se i = 0 si usa direttamente R = C/n, evitando una divisione 0/0. La potenza nella formula nasce dall’equivalenza dei pagamenti in date diverse; nella singola riga gli interessi si applicano al capitale residuo.

Due varianti del francese: che cosa cambia?

Nel laboratorio le trovi come due voci separate, seguite da italiano e capitale a scadenza. Entrambe le varianti usano la stessa formula della rata francese: cambiano la precisione mantenuta nel piano e il trattamento dell’ultima rata.

Prima voce: francese senza arrotondamenti intermedi

La rata R e le quote di ogni periodo conservano tutti i decimali disponibili. Si arrotonda solo quando si mostrano gli importi nella tabella. Il totale teorico è n × R e gli interessi teorici sono n × R − C. È la convenzione della prima voce, selezionata all’apertura del laboratorio.

Seconda voce: francese con rata al centesimo

Prima si arrotonda la rata teorica al centesimo. A ogni scadenza si arrotondano anche gli interessi sul debito residuo; sottraendoli dal pagamento si ottiene la quota capitale. L’ultima rata paga esattamente il capitale ancora da restituire più gli ultimi interessi. Perciò il totale è la somma dei pagamenti effettivi del piano, con il conguaglio finale, e non necessariamente n volte la rata ordinaria arrotondata.

Gli stessi dati nelle due varianti

Prendiamo 115.000 €, TAN 1,9%, 30 anni e 360 rate mensili. Il tasso periodico è i = (1,9/100)/12 e la rata teorica è 419,3346912856… €. Il confronto restituisce:

Le differenze nei totali derivano dagli arrotondamenti applicati durante il rimborso; in questo esempio gli interessi differiscono di 0,43 €. La prima colonna mostra rata e totali teorici, mentre la seconda segue la convenzione al centesimo scelta nel nostro calcolatore. Le due curve del debito residuo possono risultare quasi sovrapposte.

Le quattro voci del laboratorio sono quindi: francese senza arrotondamenti intermedi; francese al centesimo; italiano; capitale a scadenza. Italiano e capitale a scadenza mantengono il calcolo al centesimo. Il contratto di una banca può adottare convenzioni di arrotondamento diverse.

Esempio breve del francese al centesimo: 12.000 €, tre anni, 6% e rate annuali

Qui m = 1, n = 3 e i = 0,06. Quindi R = 12.000 × 0,06 / [1 − 1,06⁻³] ≈ 4.489,317753 €. La rata ordinaria arrotondata è 4.489,32 €. Calcoliamo e arrotondiamo ogni riga al centesimo:

Alla prima scadenza: I₁ = 12.000 × 0,06 = 720; Q₁ = 4.489,32 − 720 = 3.769,32. Alla seconda, gli interessi si calcolano su 8.230,68 e non più su 12.000. L’ultima rata è conguagliata di un centesimo per azzerare esattamente il residuo. Gli interessi totali sono 720 + 493,84 + 254,11 = 1.467,95 €.

4. Ammortamento italiano: quota capitale costante

Dividiamo C in n parti: Q = C/n. Prima della rata k, senza arrotondamenti, D_(k−1) = C − (k−1)Q; quindi R_k = Q + D_(k−1) × i. La quota capitale resta uguale e gli interessi diminuiscono: la rata scende.

Nel nostro esempio Q = 12.000/3 = 4.000 €. Le rate sono 4.000 + 720 = 4.720 €, poi 4.000 + 480 = 4.480 €, infine 4.000 + 240 = 4.240 €. Gli interessi totali sono 1.440 €. Senza arrotondamenti si possono anche sommare direttamente: I_tot = i × C × (n+1)/2, perché i debiti iniziali formano una progressione aritmetica.

5. Capitale a scadenza: interessi periodici e rimborso finale

Nel piano bullet qui considerato paghi C × i a ogni periodo e restituisci tutto C all’ultima scadenza. Non è un rimborso graduale del capitale. Nell’esempio paghi 720 €, 720 € e infine 12.720 €. Il debito resta 12.000 € fino all’ultimo pagamento. Gli interessi totali, senza arrotondamenti, sono I_tot = n × C × i: qui 2.160 €.

Una rata iniziale piccola non indica un costo piccolo: il capitale finale deve essere disponibile. L’ammortamento americano con un fondo di accumulo aggiunge versamenti e un rendimento del fondo; è un modello distinto, che questa simulazione bullet non include.

6. Confrontare davvero: stesse condizioni, flussi diversi

A parità di capitale, tasso positivo, durata e frequenza, il piano italiano restituisce prima il capitale rispetto al francese e in questo confronto genera meno interessi nominali complessivi; richiede però una rata iniziale più alta. Sommare euro pagati in date diverse non equivale a confrontarne il valore attuale. La scelta reale considera anche liquidità disponibile, costi e contratto.

Prova nel laboratorio a raddoppiare la durata lasciando fissi capitale e tasso: nel francese la rata scende, ma a tasso positivo aumentano gli interessi totali. Prova poi tasso zero: francese e italiano ripartiscono C in quote uguali, mentre il bullet conserva il rimborso finale.

7. Tre esercizi con soluzione

1. Debito di 10.000 €, TAN 2,4%, rate mensili. Se una rata è 200 €, trova interessi, capitale e residuo della prima rata.

   Soluzione ragionata

   i = (2,4/100)/12 = 0,002, cioè 0,002 × 100% = 0,2%. Interessi: 10.000 × 0,002 = 20 €. Capitale: 200 − 20 = 180 €. Residuo: 10.000 − 180 = 9.820 €.

2. Prestito di 6.000 €, tasso zero, 24 rate mensili. Quanto vale la rata francese? E quella italiana?

   Soluzione ragionata

   Senza interessi ogni pagamento restituisce capitale. In entrambi i piani R = 6.000/24 = 250 €. Il bullet, invece, paga zero alle prime 23 scadenze e 6.000 € all’ultima.

3. Prestito bullet di 10.000 € per un anno, TAN 2,4%, interessi mensili. Quanto paghi normalmente, quanto all’ultima rata e quanti interessi in tutto?

   Soluzione ragionata

   i = 0,024/12 = 0,002. Ogni mese gli interessi sono 20 €, perché il capitale non diminuisce. Le prime 11 rate valgono 20 €; l’ultima vale 10.020 €. Gli interessi complessivi sono 12 × 20 = 240 € e il totale restituito è 10.240 €.

Come leggere i risultati del laboratorio

Il laboratorio propone quattro opzioni: francese senza arrotondamenti intermedi, francese al centesimo, italiano e capitale a scadenza. Nella prima conserva i decimali e arrotonda solo la visualizzazione degli importi; nelle altre tre usa importi al centesimo. Il francese al centesimo conguaglia l’ultima rata; le quote capitale italiane possono differire di un centesimo. Il piano contrattuale può usare convenzioni di calendario, conteggio giorni e arrotondamento diverse. Non sono simulati spese, imposte, assicurazioni, preammortamento, estinzioni anticipate o tassi variabili. La tabella descrive un modello didattico e non un preventivo bancario.

Calcola ora la rata e la tabella completa. Per approfondire la formula del valore attuale: OpenStax, Loan Amortization.