Mathématiques financières : emprunt, échéances et plans d’amortissement

Lorsque vous empruntez, vous recevez le capital immédiatement et le remboursez au fil du temps. Les mathématiques financières décrivent cet échange : combien payer à chaque date, quelle part rembourse le capital et quelle part rémunère la somme encore empruntée. Partons d’un petit exemple pour construire la formule de l’échéance et le tableau complet.

Premier exemple : 115 000 €, taux nominal de 1,9 %, trente ans

Un emprunt de 115 000 € à taux fixe est remboursé sur 30 ans en 360 mensualités. C’est un amortissement français à échéance constante, le premier plan proposé dans le laboratoire, qui s’ouvre avec ces données et sans arrondis intermédiaires.

Le taux mensuel décimal est i = (1,9/100)/12 = 0,0015833333… ; en pourcentage : 0,0015833333… × 100 % = 0,15833333… %. Avec C = 115 000 et n = 360, la formule R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)] donne R = 419,3346912856… €.

Les premiers intérêts valent 115 000 × i = 182,083333… €. Le capital remboursé est R − 182,083333… = 237,251357… € ; le capital restant dû est 114 762,748642… €. Le tableau affiche 182,08 €, 237,25 € et 114 762,75 €. Les intérêts des échéances futures totalisent 35 960,4888628… − 182,083333… = 35 778,41 € arrondis : ils ne sont pas déjà courus.

Le rapport de 31,27 % concerne les trente années entières ; ce n’est pas un taux annuel. Ce mode conserve les décimales et n’arrondit que l’affichage. Arrondir chaque paiement au centime modifie l’ajustement final et donne 35 960,92 € d’intérêts pour cet exemple. Le laboratoire permet les deux conventions. Les sections suivantes expliquent les formules et utilisent aussi un exemple court arrondi à chaque échéance.

Ouvrir le laboratoire : comparer quatre options, dont les deux variantes françaises. Modifiez le capital, le taux, la durée et la fréquence, examinez chaque échéance, comparez les graphiques et exportez un CSV.

1. Capital, taux et temps : harmoniser les unités

Notons C le capital financé, Y les années, m les échéances par an et n = m × Y le nombre total d’échéances. Un emprunt de 20 ans à échéances mensuelles compte n = 12 × 20 = 240 échéances. Le modèle utilise un taux fixe et des paiements en fin de périodes de même durée.

Convertissons le taux annuel nominal, ou TAN, en nombre décimal : 6 % = 6/100 = 0,06. En appelant j ce nombre, le taux périodique est i = j/m. Avec un taux nominal de 6 % et des mensualités : i = 0,06/12 = 0,005. Pour l’afficher en pourcentage : 0,005 × 100 % = 0,5 % par mois. Les intérêts se calculent avec 0,005, et non 0,5 ou 6.

Le taux annuel effectif des intérêts est une autre donnée. Si sa valeur décimale est a, le taux périodique équivalent est i = (1+a)^(1/m) − 1. Inversement, a = (1+i)^m − 1. Par exemple, i = 0,005 donne a ≈ 0,061678 : 0,061678 × 100 % ≈ 6,1678 %. Une simple division ne transforme pas un taux nominal en son équivalent annuel effectif.

Le TAEG concerne le coût global, y compris les frais entrant dans son calcul. Le laboratoire accepte un taux nominal ou un taux annuel effectif des intérêts hors frais ; ce dernier n’est pas le TAEG. La Banque d’Italie distingue le calcul de l’échéance des frais supplémentaires du financement.

2. Comprendre une échéance : intérêts, capital et solde

Avant l’échéance k, vous devez encore D_k−1. Pendant la période, les intérêts I_k courent. Le paiement R_k comprend ces intérêts et une part de capital Q_k. Chaque ligne suit trois règles :

• I_k = D_(k−1) × i : intérêts sur la dette avant paiement.
• Q_k = R_k − I_k : capital réellement remboursé.
• D_k = D_(k−1) − Q_k : dette après paiement.

Avec une dette de 10 000 €, un taux mensuel de 0,2 % = 0,002 et un paiement de 200 €, les intérêts valent 10 000 × 0,002 = 20 €, le capital remboursé vaut 200 − 20 = 180 € et le nouveau solde est de 9 820 €. On ne soustrait pas le paiement entier de la dette : payer les intérêts ne rembourse pas le capital.

3. Amortissement français : échéance constante

Ce plan conserve une échéance constante à taux fixe. Quand la dette baisse, les intérêts diminuent et la part de capital dans la même échéance augmente. Pour déterminer R, la valeur actuelle des paiements futurs doit être égale à C :

C = R/(1+i) + R/(1+i)^2 + … + R/(1+i)^n.

Cette somme géométrique donne C = R × [1 − (1+i)^(−n)]/i. En isolant R : R = C × i / [1 − (1+i)^(−n)]. Si i = 0, utilisons directement R = C/n pour éviter 0/0. La puissance traduit l’équivalence financière des paiements à des dates différentes ; dans chaque ligne, les intérêts portent sur le capital restant dû.

Deux variantes françaises : qu’est-ce qui change ?

Le laboratoire les présente comme deux options séparées, suivies des plans italien et in fine. Les deux variantes utilisent la même formule de l’échéance française ; elles diffèrent par la précision conservée et par le traitement de la dernière échéance.

Première option : français sans arrondis intermédiaires

L’échéance R et les parts de chaque période conservent toutes les décimales disponibles. Seul l’affichage du tableau est arrondi. Le total théorique remboursé est n × R et les intérêts théoriques sont n × R − C. Cette première option est sélectionnée à l’ouverture du laboratoire.

Deuxième option : français avec échéances au centime

L’échéance théorique est d’abord arrondie au centime. À chaque date, les intérêts sur le capital restant dû sont aussi arrondis ; leur soustraction du paiement donne la part de capital. Le dernier paiement rembourse exactement le capital restant et les derniers intérêts. Le total est donc la somme des paiements réellement prévus, ajustement final compris, et pas nécessairement n fois l’échéance ordinaire arrondie.

Les mêmes données dans les deux variantes

Prenons 115 000 €, un taux annuel nominal de 1,9 %, 30 ans et 360 mensualités. Le taux périodique est i = (1,9/100)/12 et l’échéance théorique vaut 419,3346912856… €. Voici le résultat :

Les écarts entre les totaux proviennent des arrondis appliqués pendant le remboursement ; les intérêts diffèrent ici de 0,43 €. La première colonne présente les valeurs théoriques ; la seconde suit la convention au centime de notre calculateur. Les deux courbes du capital restant dû peuvent presque se superposer.

Les quatre options du laboratoire sont donc : français sans arrondis intermédiaires ; français au centime ; italien ; in fine. Les plans italien et in fine conservent le calcul au centime. Le contrat d’un établissement peut employer d’autres conventions d’arrondi.

Exemple court du français au centime : 12 000 €, trois ans, 6 %, échéances annuelles

Ici m = 1, n = 3 et i = 0,06. Donc R = 12 000 × 0,06 / [1 − 1,06⁻³] ≈ 4 489,317753 €. L’échéance habituelle arrondie est de 4 489,32 €. Calculons chaque ligne au centime :

À la première échéance : I₁ = 12 000 × 0,06 = 720 ; Q₁ = 4 489,32 − 720 = 3 769,32. À la deuxième, les intérêts se calculent sur 8 230,68, plus sur 12 000. Le dernier paiement est ajusté d’un centime pour solder exactement la dette. Les intérêts totaux valent 720 + 493,84 + 254,11 = 1 467,95 €.

4. Amortissement italien : part de capital constante

Divisons C en n parts : Q = C/n. Avant l’échéance k, sans arrondis, D_(k−1) = C − (k−1)Q ; donc R_k = Q + D_(k−1) × i. La part de capital reste identique et les intérêts baissent : le paiement diminue.

Dans notre exemple Q = 12 000/3 = 4 000 €. Les échéances sont 4 000 + 720 = 4 720 €, puis 4 000 + 480 = 4 480 €, enfin 4 000 + 240 = 4 240 €. Les intérêts totaux valent 1 440 €. Sans arrondis, on peut sommer directement : I_tot = i × C × (n+1)/2, car les dettes initiales forment une progression arithmétique.

5. Capital à l’échéance : intérêts périodiques et remboursement final

Dans le plan in fine (bullet) utilisé ici, vous payez C × i à chaque période et remboursez tout C à la fin. Le capital n’est pas amorti progressivement. Les paiements de l’exemple sont 720 €, 720 €, puis 12 720 €. La dette reste de 12 000 € jusqu’au dernier paiement. Sans arrondis, les intérêts totaux sont I_tot = n × C × i : ici 2 160 €.

Une faible première échéance n’implique pas un faible coût : il faudra disposer du capital final. L’amortissement américain avec fonds d’accumulation ajoute des versements dans un fonds et un rendement de celui-ci ; c’est un modèle distinct, absent de cette simulation in fine.

6. Comparer à conditions égales des flux différents

À capital, taux positif, durée et fréquence identiques, le plan italien rembourse le capital plus tôt que le français et produit moins d’intérêts nominaux cumulés dans cette comparaison ; il exige toutefois une première échéance plus élevée. Additionner des euros versés à des dates différentes n’équivaut pas à comparer leurs valeurs actuelles. Un choix réel dépend aussi de la trésorerie disponible, des frais et du contrat.

Dans le laboratoire, doublez la durée à capital et taux fixes : l’échéance française diminue mais, à taux positif, les intérêts totaux augmentent. Essayez ensuite le taux zéro : français et italien divisent C en parts égales, tandis que le plan in fine conserve le remboursement final du capital.

7. Trois exercices corrigés

1. Dette de 10 000 €, taux annuel nominal de 2,4 %, échéances mensuelles. Pour un paiement de 200 €, calculez les intérêts, le capital remboursé et le solde après la première échéance.

   Solution expliquée

   i = (2,4/100)/12 = 0,002, soit 0,002 × 100 % = 0,2 %. Intérêts : 10 000 × 0,002 = 20 €. Capital : 200 − 20 = 180 €. Solde : 10 000 − 180 = 9 820 €.

2. Emprunt de 6 000 €, taux zéro, 24 mensualités. Quelle est l’échéance française ? Et l’italienne ?

   Solution expliquée

   Sans intérêts, chaque paiement rembourse le capital. Les deux plans donnent R = 6 000/24 = 250 €. Le plan in fine paie zéro aux 23 premières dates et 6 000 € à la dernière.

3. Emprunt in fine de 10 000 € sur un an, taux nominal de 2,4 %, intérêts mensuels. Calculez le paiement habituel, le dernier paiement et les intérêts totaux.

   Solution expliquée

   i = 0,024/12 = 0,002. Chaque mois, les intérêts valent 20 €, car le capital ne diminue pas. Les 11 premiers paiements sont de 20 € ; le dernier est de 10 020 €. Les intérêts totaux sont 12 × 20 = 240 € et le total remboursé atteint 10 240 €.

Lire les résultats du laboratoire

Le laboratoire propose quatre options : français sans arrondis intermédiaires, français au centime, italien et in fine. La première conserve les décimales et arrondit seulement l’affichage ; les trois autres utilisent des montants au centime. Le français au centime ajuste la dernière échéance ; les parts de capital italiennes peuvent différer d’un centime. Le contrat peut employer des calendriers, conventions de décompte des jours et arrondis différents. Frais, impôts, assurances, différé initial, remboursements anticipés et taux variables ne sont pas simulés. Le tableau est un modèle pédagogique, pas une offre bancaire.

Calculer l’échéance et le tableau complet. Pour approfondir la valeur actuelle : OpenStax, Loan Amortization.