La probabilidad nace de los experimentos aleatorios y conduce a una lectura crítica de los datos. Este curso sigue cada paso: sucesos, recuento, probabilidad condicionada, variables aleatorias, distribuciones e inferencia estadística. Los veinte capítulos forman un único artículo: elige un título del índice para abrir su recuadro o léelos en orden.
Capítulo 1 – Experimentos aleatorios, sucesos y espacio muestral
1. Por qué surge la probabilidad
En muchos problemas matemáticos, si conocemos las condiciones iniciales podemos determinar el resultado con certeza.
Por ejemplo:
\[ 7+5=12 \]
o bien, si un automóvil viaja a una velocidad constante de 80 km/h durante 2 horas, recorre:
\[ 80\cdot2=160\text{ km} \]
Sin embargo, hay situaciones en las que no podemos predecir con certeza qué sucederá.
Si lanzamos una moneda, no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado, sabemos que el resultado será uno de los números:
\[ 1,2,3,4,5,6 \]
pero no sabemos cuál.
La probabilidad surge precisamente para estudiar matemáticamente situaciones de este tipo.
No pretende necesariamente predecir con certeza cada resultado concreto, sino medir cuán plausible es que ocurra un determinado resultado.
2. Experimento determinista y experimento aleatorio
Experimento determinista
Un experimento es determinista cuando, en las mismas condiciones, siempre produce el mismo resultado.
Por ejemplo:
- calcular \(5+7\);
- dejar caer un objeto en condiciones ideales;
- calcular el área de un cuadrado de 4 cm de lado.
Las condiciones iniciales determinan completamente el resultado.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel del que conocemos los posibles resultados, pero no podemos saber con certeza cuál de ellos ocurrirá antes de realizarlo.
Ejemplos:
- lanzar una moneda;
- lanzar un dado;
- extraer una carta de una baraja;
- elegir al azar una persona de una población;
- observar cuántos clientes entran en una tienda durante una hora;
- medir el tiempo que tarda en fallar un componente electrónico.
La palabra aleatorio no significa que no sepamos nada.
Al contrario, a menudo conocemos perfectamente el conjunto de resultados posibles.
Lo que desconocemos es qué resultado se producirá.
3. Resultado de un experimento
Cada posible resultado de un experimento aleatorio se denomina resultado elemental.
Consideremos el lanzamiento de un dado.
Los resultados posibles son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Si el dado muestra un 4, decimos que se ha producido el resultado:
\[ 4 \]
En el lanzamiento de una moneda, los resultados son:
\[ T,\ C \]
donde:
- \(T\) = cara;
- \(C\) = cruz.
4. El espacio muestral
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral.
Se representa generalmente con la letra griega:
\[ \Omega \]
o, en algunos textos, con \(S\).
Ejemplo 1 – Lanzamiento de una moneda
\[ \Omega=\{T,C\} \]
Ejemplo 2 – Lanzamiento de un dado
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ejemplo 3 – Extracción de una carta
Supongamos que extraemos una carta de una baraja italiana normal de 40 cartas.
El espacio muestral contiene las 40 cartas.
Podemos escribir:
\[ \Omega=\{\text{tutte le 40 carte del mazzo}\} \]
5. El espacio muestral depende de lo que observamos
Consideremos el lanzamiento de un dado.
Si nos interesa el número obtenido:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Si, en cambio, solo nos interesa saber si el resultado es par o impar:
\[ \Omega=\{\text{pari},\text{dispari}\} \]
El experimento físico es el mismo.
Ha cambiado la información que queremos observar.
6. Lanzamiento de dos monedas
Lanzamos dos monedas al mismo tiempo.
El espacio muestral correcto es:
\[ \Omega= \{TT,TC,CT,CC\} \]
Tenemos cuatro resultados posibles.
Es importante distinguir:
\[ TC \]
de:
\[ CT \]
porque representan resultados diferentes si distinguimos la primera moneda de la segunda.
7. Lanzamiento de dos dados
Lanzamos dos dados.
El resultado se puede representar mediante un par ordenado:
\[ (i,j) \]
donde:
- \(i\) es el resultado del primer dado;
- \(j\) es el resultado del segundo.
Por ejemplo:
\[ (2,5) \]
significa:
- primer dado: 2;
- segundo dado: 5.
El espacio muestral contiene:
\[ 6\cdot6=36 \]
resultados.
Podemos escribir:
\[ \Omega= \{(i,j):i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\} \]
8. Suceso
Un suceso es un conjunto de uno o varios resultados del espacio muestral.
Matemáticamente:
\[ A\subseteq\Omega \]
es decir, un suceso es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Lanzamos un dado.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Consideremos el suceso:
sale un número par.
Entonces:
\[ A=\{2,4,6\} \]
El suceso \(A\) ocurre cuando el resultado del lanzamiento pertenece al conjunto \(A\).
9. Suceso elemental
Un suceso formado por un solo resultado se denomina suceso elemental.
Por ejemplo:
\[ A=\{3\} \]
representa:
sale un 3.
10. Suceso compuesto
Un suceso formado por varios resultados se denomina suceso compuesto.
Por ejemplo:
\[ A=\{2,4,6\} \]
representa:
sale un número par.
11. Suceso seguro
Un suceso que coincide con todo el espacio muestral se denomina suceso seguro.
Al lanzar un dado:
sale un número comprendido entre 1 y 6
corresponde a:
\[ \Omega \]
Su probabilidad será:
\[ P(\Omega)=1 \]
12. Suceso imposible
Un suceso que no contiene ningún resultado se denomina suceso imposible.
Se representa mediante el conjunto vacío:
\[ \varnothing \]
Por ejemplo:
al lanzar un dado sale un 8
es imposible.
Por tanto:
\[ P(\varnothing)=0 \]
13. Suceso y enunciado
Consideremos:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Suceso:
sale un número mayor que 4.
\[ A=\{5,6\} \]
Suceso:
sale un número impar.
\[ B=\{1,3,5\} \]
Suceso:
sale un múltiplo de 3.
\[ C=\{3,6\} \]
Es fundamental traducir correctamente el lenguaje a conjuntos.
14. Ejemplo con dos dados
Lanzamos dos dados y consideramos:
la suma de los resultados es 7.
Los resultados favorables son:
\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]
Por tanto:
\[ A= \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\} \]
15. Espacios muestrales finitos e infinitos
Espacio muestral finito
Para un dado:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
y:
\[ |\Omega|=6 \]
Espacio muestral infinito discreto
Lanzamos una moneda hasta que aparece cara.
El número de lanzamientos puede ser:
\[ 1,2,3,4,\ldots \]
por tanto:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,\ldots\} \]
Espacio muestral continuo
Consideremos la vida útil de una bombilla.
Idealmente:
\[ \Omega=[0,+\infty) \]
16. Resultado y suceso no son lo mismo
Supongamos que lanzamos un dado y obtenemos:
\[ 4 \]
El número 4 es un resultado elemental.
El conjunto:
\[ \{2,4,6\} \]
es, en cambio, el suceso:
sale un número par.
Dado que:
\[ 4\in\{2,4,6\} \]
el suceso ha ocurrido.
17. Ejemplo completo
Consideremos:
\[ \Omega= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
Definamos:
\[ A=\{\text{numero pari}\} \]
\[ B=\{\text{numero maggiore di 7}\} \]
\[ C=\{\text{multiplo di 5}\} \]
Entonces:
\[ A=\{2,4,6,8,10\} \]
\[ B=\{8,9,10\} \]
\[ C=\{5,10\} \]
Si se extrae:
\[ 10 \]
ocurren simultáneamente:
\[ A,\quad B,\quad C \]
18. Diagrama conceptual
\[ \boxed{\text{Esperimento casuale}} \]
produce uno de los posibles:
\[ \boxed{\text{Esiti}} \]
El conjunto de todos los resultados forma:
\[ \boxed{\Omega=\text{spazio campionario}} \]
Un conjunto de resultados constituye:
\[ \boxed{\text{Evento}} \]
Matemáticamente:
\[ \boxed{A\subseteq\Omega} \]
19. Errores frecuentes
Error 1
Confundir suceso y resultado.
Error 2
Olvidar el orden.
Al lanzar dos dados:
\[ (2,5)\neq(5,2) \]
Error 3
Construir mal el espacio muestral.
Para dos monedas:
\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]
Error 4
Pensar que aleatorio significa «sin reglas».
Un fenómeno aleatorio puede estudiarse matemáticamente.
20. Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza un dado.
Escribir el espacio muestral.
Solución
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ejercicio 2
Escribir el suceso:
sale un número menor que 4.
Solución
\[ A=\{1,2,3\} \]
Ejercicio 3
Se extrae un número del 1 al 12.
Suceso:
múltiplo de 4.
Solución
\[ A=\{4,8,12\} \]
Ejercicio 4
Se lanzan dos monedas.
Solución
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Ejercicio 5
Se lanzan dos dados.
Suceso:
la suma es 4.
Solución
\[ A=\{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
21. Ejercicio más razonado
Lanzamos dos dados.
Suceso:
al menos uno de los dos dados muestra un 6.
Los resultados son:
\[ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \]
y:
\[ (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) \]
En total:
\[ 6+6-1=11 \]
resultados.
22. Idea final
El punto de partida de todo problema de probabilidad es:
- ¿Cuál es el experimento?
- ¿Cuáles son los resultados posibles?
- ¿Cuál es el espacio muestral?
- ¿Qué suceso nos interesa?
- ¿Qué resultados pertenecen a ese suceso?
La relación fundamental es:
\[ \boxed{ \text{evento}=\text{sottoinsieme dello spazio campionario} } \]
Capítulo 2 – Definición de probabilidad
1. Del espacio muestral a la probabilidad
Queremos medir la probabilidad de que ocurra un evento.
Introducimos:
\[ P(A) \]
con:
\[ 0\leq P(A)\leq1 \]
Cuanto más cerca esté \(P(A)\) de 1, más probable será el evento.
Cuanto más cerca esté de 0, menos probable será.
2. Probabilidad 0 y probabilidad 1
Evento imposible:
\[ P(A)=0 \]
Cierto evento:
\[ P(A)=1 \]
Aquí estamos pensando en un espacio muestral finito con resultados de probabilidad positivos. En general, especialmente en modelos continuos, un evento puede tener probabilidad 0 sin ser imposible, o probabilidad 1 sin coincidir con todo el espacio muestral.
3. Definición clásica
Si todos los resultados son igualmente probables:
\[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{casi favorevoli}} {\text{casi possibili}} } \]
En símbolos:
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]
4. Ejemplo: dados
Evento:
número par.
\[ A=\{2,4,6\} \]
Entonces:
\[ P(A)=\frac36=\frac12 \]
5. Número mayor que 4
\[ B=\{5,6\} \]
Entonces:
\[ P(B)=\frac26=\frac13 \]
6. Evento elemental
Evento:
sale 3.
\[ P(3)=\frac16 \]
7. La palabra clave: equiprobable
La fórmula:
\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]
se cumple cuando los resultados son igualmente probables.
8. Moneda engañada
Supongamos:
\[ P(T)=0,7 \]
\[ P(C)=0,3 \]
No podemos escribir:
\[ P(T)=\frac12 \]
sólo porque tenemos dos resultados.
Los dos resultados no son igualmente probables.
9. Urna desigual
Una urna contiene:
- 9 bolas rojas;
- 1 azul.
La probabilidad de que salga rojo es:
\[ P(R)=\frac9{10} \]
no:
\[ \frac12 \]
10. Construya el espacio muestral correctamente
Podemos distinguir:
\[ R_1,R_2,\ldots,R_9,B \]
Ahora tenemos 10 resultados igualmente probables.
El evento rojo contiene 9 resultados:
\[ P(R)=\frac9{10} \]
11. Procedimiento correcto
- construir el espacio muestral;
- verificar la equiprobabilidad;
- contar los posibles casos;
- contar los casos favorables;
- hacer el informe.
12. Dos dados
Lanzamos dos dados.
Los resultados son:
\[ 36 \]
Evento:
suma 7.
Casos favorables:
\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]
Entonces:
\[ P(\text{somma}=7) = \frac6{36} = \frac16 \]
13. Error común: las sumas no son equiprobables
Las sumas posibles van desde:
\[ 2 \]
a:
\[ 12 \]
pero no todos tienen la misma probabilidad.
Por ejemplo:
\[ P(\text{somma}=2)=\frac1{36} \]
mientras:
\[ P(\text{somma}=7)=\frac6{36} \]
14. Distribución de sumas
\[ 2\rightarrow1 \]
\[ 3\rightarrow2 \]
\[ 4\rightarrow3 \]
\[ 5\rightarrow4 \]
\[ 6\rightarrow5 \]
\[ 7\rightarrow6 \]
\[ 8\rightarrow5 \]
\[ 9\rightarrow4 \]
\[ 10\rightarrow3 \]
\[ 11\rightarrow2 \]
\[ 12\rightarrow1 \]
15. Fracción, decimal y porcentaje
\[ \frac14=0,25=25\% \]
Son tres formas diferentes de expresar una misma probabilidad.
16. Probabilidad frecuentista
Supongamos que probamos:
\[ 10000 \]
bombillas.
Si:
\[ 8200 \]
durar más de 1000 horas:
\[ \frac{8200}{10000}=0,82 \]
Podemos estimar:
\[ P(\text{durata}>1000)\approx0,82 \]
17. Frecuencia relativa
Si se produce un evento \(A\) \(n_A\) veces en las pruebas de \(n\):
\[ \boxed{ f_A=\frac{n_A}{n} } \]
18. Probabilidad y frecuencia no son lo mismo
Para una moneda equilibrada:
\[ P(T)=0,5 \]
Pero en 10 lanzamientos podríamos sacar 6 caras:
\[ f_T=0,6 \]
La probabilidad es teórica.
Se observa frecuencia.
19. Estabilización de frecuencia
Con muchos lanzamientos:
\[ f_T \]
tiende a acercarse a:
\[ 0,5 \]
Esto quedará formalizado por la Ley de los Grandes Números.
20. Definición axiomática
La probabilidad satisface tres axiomas fundamentales.
Primero
\[ P(A)\geq0 \]
Segundo
\[ P(\Omega)=1 \]
tercero
Si \(A\) y \(B\) son incompatibles:
\[ A\cap B=\varnothing \]
entonces:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
21. Tres formas de ver la probabilidad
Clásico
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]
cuando los casos sean equiprobables.
Frecuentista
\[ P(A)\approx\frac{n_A}{n} \]
para muchas pruebas.
Axiomático
La probabilidad es una función que satisface propiedades matemáticas precisas.
22. Probabilidad subjetiva
La probabilidad también puede representar un grado de confianza basado en la información disponible.
Esta interpretación es importante en:
- economía;
- medicamento;
- previsiones;
- inteligencia artificial;
- teoría de la decisión.
23. Probable no significa seguro
Si:
\[ P(A)=0,9 \]
el evento es muy probable, pero puede no ocurrir.
Si:
\[ P(A)=0,01 \]
Es poco probable, pero puede suceder.
24. Ejemplo con urna
Urna con:
- 5 rojos;
- 3 azules;
- 2 verdes.
Totales:
\[ 10 \]
Entonces:
\[ P(R)=\frac5{10}=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac3{10} \]
\[ P(V)=\frac2{10}=\frac15 \]
y:
\[ \frac5{10}+\frac3{10}+\frac2{10}=1 \]
25. Baraja de cartas
De una baraja de 52 cartas:
\[ P(\text{asso})=\frac4{52}=\frac1{13} \]
\[ P(\text{cuori})=\frac{13}{52}=\frac14 \]
26. Figuras
Las cifras son:
- Jack;
- Mujer;
- Rey.
Ellos son:
\[ 3\cdot4=12 \]
Entonces:
\[ P(\text{figura}) = \frac{12}{52} = \frac3{13} \]
27. Problema contrario a la intuición: al menos una cabeza
Lancemos dos monedas.
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Evento:
al menos una cabeza.
\[ A=\{TT,TC,CT\} \]
Entonces:
\[ P(A)=\frac34 \]
28. Método complementario
El único caso sin cabeza es:
\[ CC \]
Entonces:
\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac14 = \frac34 \]
29. Ejercicios
Ejercicio 1
Dado: probabilidad de número impar.
\[ P=\frac36=\frac12 \]
Ejercicio 2
Número del 1 al 20: probabilidad de ser múltiplo de 5.
Múltiple:
\[ 5,10,15,20 \]
Entonces:
\[ P=\frac4{20}=\frac15 \]
Ejercicio 3
Dos dados: suma 5.
Casos:
\[ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \]
Entonces:
\[ P=\frac4{36}=\frac19 \]
Ejercicio 4
Urna con 7 blancas y 3 negras.
\[ P(N)=\frac3{10} \]
Ejercicio 5
Dos monedas, exactamente una cara.
\[ \{TC,CT\} \]
Entonces:
\[ P=\frac24=\frac12 \]
Ejercicio 6
Dos monedas: al menos una cruz.
Complementario:
\[ TT \]
Entonces:
\[ P=1-\frac14=\frac34 \]
30. Pregunta conceptual
Si:
\[ P(A)=0,2 \]
no significa que el evento ocurra ciertamente una vez cada 5 intentos.
Significa que tras muchas repeticiones la frecuencia relativa tiende a acercarse a:
\[ 0,2 \]
31. La falacia del jugador
Si nunca ha salido cara en 10 lanzamientos, la probabilidad de que salga cara en el siguiente lanzamiento, para una moneda equilibrada, sigue siendo:
\[ \frac12 \]
La moneda no “tiene que recuperarse”.
32. Resumen
La probabilidad es un número:
\[ 0\leq P(A)\leq1 \]
La definición clásica es:
\[ \boxed{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} } \]
cuando los resultados son igualmente probables.
La distinción fundamental es:
\[ \boxed{ \text{probabilità}\neq\text{frequenza osservata} } \]
aunque, al aumentar el número de ensayos, la frecuencia tiende a acercarse a la probabilidad.
Capítulo 3 – Operaciones entre eventos
1. Eventos como conjuntos
Hemos visto que un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Si:
\[ \Omega \]
es el espacio muestral y \(A\) y \(B\) son dos eventos, podemos usar operaciones de conjuntos normales.
Los más importantes son:
- unión;
- intersección;
- complementario;
- diferencia;
- incompatibilidad.
2. Unión de dos eventos
La unión de dos eventos \(A\) y \(B\) se indica mediante:
\[ A\cup B \]
y significa:
Se produce \(A\) o \(B\), o ambos.
Ejemplo
Tiremos un dado.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
O:
\[ A=\{\text{numero pari}\}=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{\text{numero maggiore di 3}\}=\{4,5,6\} \]
Entonces:
\[ A\cup B=\{2,4,5,6\} \]
3. Intersección de dos eventos.
La intersección está indicada con:
\[ A\cap B \]
y significa:
\(A\) y \(B\) ocurren simultáneamente.
Con eventos anteriores:
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
4. "O" y "y"
En probabilidad:
\(A\) o \(B\)
traduce:
\[ A\cup B \]
mientras:
\(A\) y \(B\)
traduce:
\[ A\cap B \]
5. Presta atención al significado de “o”
El sindicato:
\[ A\cup B \]
normalmente tiene un significado inclusivo:
\(A\), o \(B\), o ambos.
6. Complementario de un evento
El complemento de \(A\) es el evento:
\(A\) no ocurre.
Se indica con:
\[ A^c \]
o:
\[ \overline A \]
Ejemplo
Si:
\[ A=\{2,4,6\} \]
entonces:
\[ A^c=\{1,3,5\} \]
7. Propiedades del complementario
Un evento y su complemento satisfacen:
\[ A\cup A^c=\Omega \]
y:
\[ A\cap A^c=\varnothing \]
8. Fórmula complementaria
Porque:
\[ P(\Omega)=1 \]
tenemos:
\[ P(A)+P(A^c)=1 \]
por lo tanto:
\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]
9. Ejemplo
Si:
\[ P(A)=0,7 \]
entonces:
\[ P(A^c)=0,3 \]
10. Al menos uno y complementario
Lanzamos tres monedas.
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
Es más fácil utilizar el complementario.
El evento opuesto es:
sin cabeza.
Esto significa:
\[ CCC \]
Entonces:
\[ P(\text{nessuna testa}) = \left(\frac12\right)^3 = \frac18 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac18 = \frac78 \]
11. Diferencia entre eventos
La diferencia:
\[ A\setminus B \]
significa:
Aparece \(A\), pero no \(B\).
Equivalentemente:
\[ A\setminus B=A\cap B^c \]
Ejemplo
Si:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
entonces:
\[ A\setminus B=\{2\} \]
12. Eventos incompatibles
Dos acontecimientos son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Matemáticamente:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Ejemplo
Tirar un dado:
\[ A=\{\text{numero pari}\} \]
\[ B=\{\text{numero dispari}\} \]
Son incompatibles.
13. Eventos compatibles
Son compatibles si:
\[ A\cap B\neq\varnothing \]
Por ejemplo:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
tener:
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
14. Probabilidad de unión por eventos incompatibles
Si:
\[ A\cap B=\varnothing \]
entonces:
\[ \boxed{ P(A\cup B)=P(A)+P(B) } \]
15. Ejemplo
Dados:
\[ A=\{1\} \]
\[ B=\{6\} \]
Entonces:
\[ P(A\cup B) = \frac16+\frac16 = \frac13 \]
16. Porque no siempre podemos sumar
Supongamos:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
Si lo hiciéramos:
\[ P(A)+P(B) = \frac36+\frac36 = 1 \]
estaríamos equivocados porque:
\[ 4,6 \]
fueron contados dos veces.
17. Fórmula general de la unión
La fórmula correcta es:
\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]
18. Ejemplo
\[ P(A)=\frac36 \]
\[ P(B)=\frac36 \]
\[ P(A\cap B)=\frac26 \]
Entonces:
\[ P(A\cup B) = \frac36+\frac36-\frac26 = \frac46 = \frac23 \]
19. Principio de inclusión-exclusión
La fórmula:
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
se trata del principio de inclusión-exclusión.
La idea es:
- contamos \(A\);
- contamos \(B\);
- la intersección se contó dos veces;
- lo restamos una vez.
20. Diagramas de Venn
En diagramas de Venn:
- el rectángulo representa \(\Omega\);
- las regiones internas representan los eventos;
- la superposición representa \(A\cap B\);
- el conjunto de las dos regiones representa \(A\cup B\);
- la parte exterior de \(A\) representa \(A^c\).
21. Leyes de De Morgan
\[ \boxed{ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c } \]
y:
\[ \boxed{ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c } \]
22. Interpretación
El primero significa:
no se produce ni \(A\) ni \(B\).
El segundo significa:
\(A\) y \(B\) no ocurren al mismo tiempo.
23. “Al menos uno”
La expresión:
al menos uno
a menudo conduce a la unión.
Lo contrario es:
ninguno.
Muy a menudo:
\[ P(\text{almeno uno}) = 1-P(\text{nessuno}) \]
24. “Exactamente uno”
No coincide con "al menos uno".
Con dos monedas:
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
“al menos una cabeza”:
\[ \{TT,TC,CT\} \]
“exactamente una cabeza”:
\[ \{TC,CT\} \]
Entonces:
\[ P(\text{almeno una testa})=\frac34 \]
\[ P(\text{esattamente una testa})=\frac12 \]
25. “Como máximo uno”
Significa:
\[ 0\text{ oppure }1 \]
Por ejemplo:
como máximo una cabeza
incluye:
- sin cabeza;
- exactamente una cabeza.
26. Ejemplo con tarjetas
De una baraja de 52 cartas sacamos una carta.
O:
\[ A=\{\text{asso}\} \]
\[ B=\{\text{cuori}\} \]
Tenemos:
\[ P(A)=\frac4{52} \]
\[ P(B)=\frac{13}{52} \]
\[ P(A\cap B)=\frac1{52} \]
Entonces:
\[ P(A\cup B) = \frac4{52} + \frac{13}{52} - \frac1{52} \]
\[ = \frac{16}{52} = \frac4{13} \]
27. Probabilidad de tres eventos
Para tres eventos:
\[ P(A\cup B\cup C) \]
es válido:
\[ P(A)+P(B)+P(C) \]
\[ -P(A\cap B) -P(A\cap C) -P(B\cap C) \]
\[ +P(A\cap B\cap C) \]
28. Ejemplo de conteo
En un aula:
- 18 estudian inglés;
- 12 franceses;
- 7 ambos.
¿Cuántos estudian al menos un idioma?
\[ 18+12-7=23 \]
29. Ejercicios
Ejercicio 1
\[ A=\{1,2,3\} \]
\[ B=\{3,4,5\} \]
Encontrar:
\[ A\cup B \]
y:
\[ A\cap B \]
Solución
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
\[ A\cap B=\{3\} \]
Ejercicio 2
Dados:
\[ A=\{\text{numero maggiore di 2}\} \]
Entonces:
\[ A=\{3,4,5,6\} \]
\[ A^c=\{1,2\} \]
Ejercicio 3
Si:
\[ P(A)=0,35 \]
entonces:
\[ P(A^c)=0,65 \]
Ejercicio 4
Si:
\[ P(A)=0,4 \]
\[ P(B)=0,3 \]
y son incompatibles:
\[ P(A\cup B)=0,7 \]
Ejercicio 5
Si:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(B)=0,5 \]
\[ P(A\cap B)=0,2 \]
entonces:
\[ P(A\cup B)=0,9 \]
30. Resumen del Capítulo 3
\[ \boxed{ A\cup B } \]
significa:
\(A\) o \(B\).
\[ \boxed{ A\cap B } \]
significa:
\(A\) y \(B\).
\[ \boxed{ A^c } \]
significa:
no \(A\).
Fórmula complementaria:
\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]
Fórmula de unión:
\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]
Capítulo 4 – Cálculo combinatorio aplicado a la probabilidad.
1. Por qué se necesita la combinatoria
En probabilidad clásica:
\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]
A menudo el verdadero problema es contar estos casos correctamente.
Por ejemplo:
- ¿Cuántas contraseñas podemos formar?
- ¿Cuántos grupos podemos elegir?
- ¿Cuántos arreglos son posibles?
- ¿Cuántas manos de cartas hay?
El cálculo combinatorio permite responder sin enumerar todos los casos.
2. Principio fundamental del conteo
Si un procedimiento tiene múltiples fases y:
- la primera se puede realizar de forma \(n_1\);
- el segundo en \(n_2\);
- el tercero en \(n_3\);
entonces el número total de posibilidades es:
\[ \boxed{ n_1n_2n_3 } \]
3. Ejemplo
4 camisas y 3 pantalones.
Las combinaciones son:
\[ 4\cdot3=12 \]
4. Menú
3 primeros platos, 4 segundos platos, 2 postres.
\[ 3\cdot4\cdot2=24 \]
menú.
5. Repetir contraseña
Contraseña de 4 dígitos.
Cada ubicación tiene:
\[ 10 \]
posibilidad.
Entonces:
\[ 10^4=10000 \]
6. Contraseña sin repetición
Si los dígitos no pueden repetirse:
\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040 \]
7. Factoriales
Para un número entero positivo:
\[ \boxed{ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 } \]
Ejemplos:
\[ 5!=120 \]
\[ 4!=24 \]
\[ 3!=6 \]
Por convención:
\[ \boxed{0!=1} \]
8. Permutaciones simples
Si tenemos \(n\) objetos distintos y queremos ordenarlos todos:
\[ \boxed{ P_n=n! } \]
9. Ejemplo
Con:
\[ A,B,C \]
tenemos:
\[ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA \]
Entonces:
\[ 3!=6 \]
10. Gente en fila
Cinco personas:
\[ 5!=120 \]
órdenes.
11. Cuándo usar permutaciones
Usamos permutaciones cuando:
- utilizamos todos los elementos;
- los elementos son distintos;
- El orden importa.
12. Disposiciones simples
Si tenemos elementos \(n\) y elegimos \(k\), con orden importante y sin repetición:
\[ \boxed{ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} } \]
13. Ejemplo
Entre 10 personas elegimos:
- presidente;
- vicepresidente;
- secretaria.
El orden importa.
\[ D_{10,3} = 10\cdot9\cdot8 = 720 \]
14. Por qué es importante el orden
Marco presidente, Luca vicepresidente
es diferente de:
Luca presidente, Marco vicepresidente.
15. Disposiciones con repetición.
Si tenemos símbolos \(n\) y construimos secuencias de longitud \(k\), con repetición:
\[ \boxed{ n^k } \]
16. Ejemplo
Contraseña de 5 dígitos:
\[ 10^5=100000 \]
17. Combinaciones simples
Si elegimos artículos \(k\) entre \(n\) y el pedido no cuenta:
\[ \boxed{ \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]
18. Ejemplo
Elegimos una comisión de 3 personas sobre 10.
\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120 \]
19. ¿Por qué dividimos por \(k!\)?
Las disposiciones contarían para cada grupo:
\[ k! \]
veces.
Entonces:
\[ \binom nk = \frac{D_{n,k}}{k!} \]
20. Pregunta decisiva
Necesitamos preguntarnos:
¿obtengo un resultado diferente al cambiar el orden?
Si es así:
\[ \text{disposizioni o permutazioni} \]
Si no:
\[ \text{combinazioni} \]
21. Esquema conceptual
Todos los artículos, orden importante
\[ n! \]
Artículos \(k\) en \(n\), pedido importante
\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]
Artículos \(k\) en \(n\), el pedido no es importante
\[ \binom nk \]
Repeticiones permitidas y orden importante
\[ n^k \]
22. Permutaciones con elementos repetidos
Palabra:
\[ MAMMA \]
Tenemos:
- 5 letras;
- \(M\) repetido 3 veces;
- \(A\) repetido 2 veces.
Los anagramas distintos son:
\[ \frac{5!}{3!2!} = 10 \]
23. Fórmula general
Si:
\[ n_1+n_2+\cdots+n_r=n \]
entonces:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
24. Ejemplo: MATEMÁTICAS
La palabra tiene 10 letras.
Repeticiones:
- \(A\): 3;
- \(M\): 2;
- \(T\): 2.
Entonces:
\[ \frac{10!}{3!2!2!} \]
25. Tarjetas y combinaciones
De 52 cartas elegimos 5.
Si el pedido no es de su interés:
\[ \boxed{ \binom{52}{5} } \]
26. Posibilidad de 5 corazones
Hay 13 cartas de corazones.
Casos favorables:
\[ \binom{13}{5} \]
Posibles casos:
\[ \binom{52}{5} \]
Entonces:
\[ \boxed{ P= \frac{\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}} } \]
27. Exactamente 2 ases
En una mano de 5 cartas:
- elegimos 2 ases entre 4;
- elegimos 3 no ases entre 48.
Entonces:
\[ \boxed{ P= \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]
28. Lotería
Si sacas 6 números del 90 y el orden no cuenta:
\[ \binom{90}{6} \]
posibles sextillizos.
La probabilidad de un sextillizo específico es:
\[ \frac1{\binom{90}{6}} \]
29. Error común
Para una mano de 5 cartas no tenemos que usar disposiciones si el orden no importa.
La mano:
\[ A,B,C,D,E \]
es lo mismo que:
\[ E,D,C,B,A \]
30. Cuando el pedido cuenta
Si tres números forman un código:
\[ 2,5,7 \]
es diferente de:
\[ 7,5,2 \]
Entonces usamos disposiciones.
31. Código con letras y números.
Código compuesto por:
- 2 letras;
- 3 dígitos.
Con repetición:
\[ 26^2\cdot10^3 \]
32. Contraseña que no comienza con cero
Contraseña numérica de 4 dígitos.
Primer dígito:
\[ 9 \]
posibilidad.
Tres más:
\[ 10 \]
cada uno.
Totales:
\[ 9\cdot10^3=9000 \]
33. Números con 4 dígitos diferentes
Primer dígito:
\[ 9 \]
Segundo:
\[ 9 \]
Tercero:
\[ 8 \]
Cuarto:
\[ 7 \]
Totales:
\[ 9\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536 \]
34. Propiedades de las combinaciones.
\[ \boxed{ \binom nk=\binom n{n-k} } \]
Porque elegir elementos \(k\) equivale a elegir qué \(n-k\) dejar fuera.
35. Relación de Pascal
\[ \boxed{ \binom nk = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} } \]
36. Triángulo de Pascal
\[ 1 \]
\[ 1\quad1 \]
\[ 1\quad2\quad1 \]
\[ 1\quad3\quad3\quad1 \]
\[ 1\quad4\quad6\quad4\quad1 \]
Cada número interno es la suma de los dos anteriores.
37. Conexión con el binomio de Newton
\[ (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \]
Los coeficientes:
\[ 1,4,6,4,1 \]
son coeficientes binomiales.
38. Problema completo
Una clase tiene:
- 7 niñas;
- 5 chicos.
Se eligen 4 estudiantes.
Probabilidad de exactamente 3 niñas:
\[ \boxed{ P= \frac{ \binom73\binom51 }{ \binom{12}{4} } } \]
39. Otro problema completo
Urna con:
- 6 rojos;
- 4 azules.
Se extraen 3 bolas.
Probabilidad de exactamente 2 rojos:
\[ P= \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]
Calculando:
\[ \binom62=15 \]
\[ \binom41=4 \]
\[ \binom{10}{3}=120 \]
Entonces:
\[ P=\frac{60}{120}=\frac12 \]
40. Ejercicios
Ejercicio 1
Organice a 6 personas en fila.
\[ 6!=720 \]
Ejercicio 2
Presidente y vicepresidente entre 8 personas.
\[ D_{8,2}=8\cdot7=56 \]
Ejercicio 3
Comisión de 2 personas entre 8.
\[ \binom82=28 \]
Ejercicio 4
Secuencias de 6 dígitos con repetición.
\[ 10^6 \]
Ejercicio 5
Secuencias de 6 dígitos sin repetición.
\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 \]
Ejercicio 6
Anagramas de:
\[ ANNA \]
\[ \frac{4!}{2!2!}=6 \]
41. Probabilidad de que una persona sea elegida
De 8 personas elegimos 3.
Probabilidad de que Marco sea elegido:
\[ \frac{\binom72}{\binom83} \]
\[ = \frac{21}{56} = \frac38 \]
42. Al menos un as
De 52 cartas elegimos 5.
Probabilidad de al menos un as:
\[ 1- \frac{ \binom{48}{5} }{ \binom{52}{5} } \]
El complementario simplifica el cálculo.
43. El método antes de la fórmula.
Antes de elegir una fórmula nos preguntamos:
- ¿Qué estoy construyendo o eligiendo?
- ¿Utilizo todos los elementos?
- ¿Cuenta el pedido?
- ¿Se permiten repeticiones?
- ¿Existen los mismos elementos?
- ¿Existen limitaciones?
44. Guía de inicio rápido
Todos los elementos, orden importante:
\[ \boxed{n!} \]
\(k\) a \(n\), orden importante:
\[ \boxed{ \frac{n!}{(n-k)!} } \]
\(k\) en \(n\), orden importante con repetición:
\[ \boxed{n^k} \]
\(k\) sobre \(n\), el pedido no es importante:
\[ \boxed{ \binom nk } \]
Elementos repetidos:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
45. Resumen del Capítulo 4
El cálculo combinatorio le permite contar sin enumerar.
Las fórmulas básicas son:
\[ \boxed{P_n=n!} \]
\[ \boxed{ D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!} } \]
\[ \boxed{ D'_{n,k}=n^k } \]
\[ \boxed{ \binom nk= \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]
y, con elementos repetidos:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
La regla más importante sigue siendo:
\[ \boxed{ \text{prima ragionare, poi scegliere la formula} } \]
Capítulo 5 – Probabilidad condicional
1. La idea de probabilidad condicional
Hasta ahora hemos calculado probabilidades conociendo sólo el experimento aleatorio.
Pero a menudo recibimos nueva información.
Por ejemplo:
tiramos un dado y sabemos que sale un número par.
En este punto los resultados posibles ya no son:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]
pero solo:
\[ \{2,4,6\} \]
La nueva información ha reducido el espacio de posibilidades.
Si ahora preguntamos:
¿cuál es la probabilidad de que el número sea mayor que 3?
entre:
\[ 2,4,6 \]
resultados favorables son:
\[ 4,6 \]
por lo tanto:
\[ \frac23 \]
Esta es una probabilidad condicional.
2. Notación
La probabilidad del evento \(A\), sabiendo que ocurrió \(B\), se indica mediante:
\[ \boxed{P(A\mid B)} \]
y se lee:
probabilidad de \(A\) dado \(B\).
3. Primer ejemplo
Tiremos un dado.
O:
\[ A=\{\text{numero maggiore di 3}\} \]
por lo tanto:
\[ A=\{4,5,6\} \]
y:
\[ B=\{\text{numero pari}\} \]
por lo tanto:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Queremos:
\[ P(A\mid B) \]
Sabiendo que ocurrió \(B\), solo consideramos:
\[ \{2,4,6\} \]
Los resultados que también pertenecen a \(A\) son:
\[ \{4,6\} \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=\frac23 } \]
4. Fórmula de probabilidad condicional
En general:
\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]
proporcionado:
\[ P(B)>0 \]
5. ¿Por qué aparece la intersección?
Sabiendo que ha ocurrido \(B\), \(B\) se convierte en el nuevo espacio de posibilidades.
Entre los resultados de \(B\), los favorables a \(A\) son:
\[ A\cap B \]
Entonces:
\[ P(A\mid B) = \frac{\text{parte di }B\text{ favorevole ad }A} {\text{tutto }B} \]
6. Consulta con los dados
Tenemos:
\[ P(A\cap B)=\frac26=\frac13 \]
y:
\[ P(B)=\frac36=\frac12 \]
Entonces:
\[ P(A\mid B) = \frac{\frac13}{\frac12} = \frac23 \]
7. Ejemplo con tarjetas
De una baraja de 52 cartas sacamos una carta.
Sabemos que es una cifra.
¿Cuál es la probabilidad de que sea rey?
Las cifras son:
- 4 gatos;
- 4 mujeres;
- 4 Reyes.
En total:
\[ 12 \]
Los reyes son:
\[ 4 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(\text{Re}\mid\text{Figura}) = \frac4{12} = \frac13 } \]
8. El orden importa
En general:
\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]
Por ejemplo:
\[ P(\text{Re}\mid\text{Figura})=\frac13 \]
pero:
\[ P(\text{Figura}\mid\text{Re})=1 \]
porque todos los reyes son figuras.
9. Error frecuente
Confundir:
\[ P(A\mid B) \]
con:
\[ P(B\mid A) \]
es uno de los errores más comunes.
La parte después de la barra es la información que sabemos que es cierta.
10. Ejemplo con estudiantes
En un aula:
- 18 niñas;
- 12 niños;
- 10 niñas usan gafas;
- 4 niños usan gafas.
Probabilidad de gafas sabiendo que es niña:
\[ P(O\mid R) = \frac{10}{18} = \frac59 \]
11. Inviertamos la pregunta.
Probabilidad de ser niña sabiendo que usa gafas:
Los estudiantes con gafas son:
\[ 10+4=14 \]
por lo tanto:
\[ P(R\mid O) = \frac{10}{14} = \frac57 \]
Observamos:
\[ \frac59\neq\frac57 \]
12. Diagrama de árbol
La probabilidad condicional está bien representada con un árbol.
Supongamos:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(A^c)=0,4 \]
y:
\[ P(B\mid A)=0,7 \]
\[ P(B\mid A^c)=0,2 \]
Cada rama representa una probabilidad condicional.
13. Regla del producto
Empecemos por:
\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Multiplicando por \(P(B)\):
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) } \]
De manera similar:
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]
14. Interpretación
La probabilidad de que ocurran ambos eventos se puede calcular como:
\[ P(A) \]
multiplicado por la probabilidad de que \(B\) sepa que \(A\) ya ocurrió.
15. Urna sin reinserción
Una urna contiene:
- 3 bolas rojas;
- 2 azules.
Extraemos dos bolas sin volver a introducirlas.
Probabilidad de que ambos sean rojos:
\[ P(R_1)=\frac35 \]
Después de un rojo quedan:
- 2 rojos;
- 2 azules.
Entonces:
\[ P(R_2\mid R_1)=\frac24 \]
y:
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac24 \]
\[ = \frac3{10} \]
16. Con reintegro
Si volvemos a poner la primera bola en la urna:
\[ P(R_2\mid R_1)=\frac35 \]
Entonces:
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac35 = \frac9{25} \]
17. Dependencia e independencia
Si saber que ocurrió \(A\) cambia la probabilidad de \(B\), los eventos son dependientes.
Si en cambio:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
Los acontecimientos son independientes.
Este concepto se explorará con más profundidad en el Capítulo 6.
18. Ejemplo de independencia
Lanzamos una moneda y un dado.
O:
\[ A=\{\text{dado mostra 6}\} \]
\[ B=\{\text{moneta mostra testa}\} \]
Saber que sale cara no cambia la probabilidad de 6.
Entonces:
\[ P(A\mid B)=P(A)=\frac16 \]
19. Ejemplo de dependencia
Extraemos dos tarjetas sin volver a insertar.
O:
\[ A=\{\text{prima carta è un asso}\} \]
\[ B=\{\text{seconda carta è un asso}\} \]
Antes:
\[ P(B)=\frac4{52} \]
Sabiendo que el primero es un as:
\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]
Las dos probabilidades son diferentes.
20. Dos dados
Lanzamos dos dados.
Sabemos que la suma es 8.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno muestre un 5?
Los resultados con una suma de 8 son:
\[ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \]
Aquellos con al menos un 5:
\[ (3,5),(5,3) \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un 5}\mid\text{somma}=8) = \frac25 } \]
21. Problema de dos hijos
Modelo simplificado:
\[ \{MM,MF,FM,FF\} \]
Sabiendo que al menos un niño es varón, eliminamos:
\[ FF \]
Restante:
\[ MM,MF,FM \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(MM\mid\text{almeno un maschio}) = \frac13 } \]
22. Información diferente produce probabilidades diferentes
Si sabemos en cambio:
el primer hijo es un niño
permanecer:
\[ MM,MF \]
Entonces:
\[ P(MM\mid\text{primo figlio maschio}) = \frac12 \]
La información condicionante es decisiva.
23. Tres eventos
La regla del producto se extiende:
\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A) P(B\mid A) P(C\mid A\cap B) } \]
24. Ejemplo con tres cartas
De una baraja de 52 cartas extraemos tres cartas sin reponerlas.
Probabilidad de que sean todos ases:
\[ \frac4{52} \cdot \frac3{51} \cdot \frac2{50} \]
25. Método alternativo
También podemos escribir:
\[ \frac{\binom43}{\binom{52}{3}} \]
Los dos métodos conducen al mismo resultado.
26. Error a evitar
No siempre podemos escribir:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
La fórmula general correcta es:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A) } \]
Sólo en caso de independencia:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
y por lo tanto:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
27. Ejercicios
Ejercicio 1
Dado: probabilidad de 6 sabiendo que sale un número par.
\[ P(6\mid\text{pari})=\frac13 \]
Ejercicio 2
Carta: probabilidad del as sabiendo que es de corazones.
\[ P(\text{asso}\mid\text{cuori}) = \frac1{13} \]
Ejercicio 3
Urna con 5 rojas y 3 azules.
Dos extracciones sin reinserción.
Probabilidad de dos azules:
\[ \frac38\cdot\frac27 = \frac3{28} \]
Ejercicio 4
Probabilidad primero roja y luego azul:
\[ \frac58\cdot\frac37 = \frac{15}{56} \]
Ejercicio 5
Si:
\[ P(A)=0,4 \]
y:
\[ P(B\mid A)=0,3 \]
entonces:
\[ P(A\cap B)=0,12 \]
Ejercicio 6
Si:
\[ P(A\cap B)=0,18 \]
y:
\[ P(B)=0,3 \]
entonces:
\[ P(A\mid B)=0,6 \]
28. Resumen del Capítulo 5
La probabilidad condicional es:
\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]
La regla del producto es:
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]
Idea fundamental:
\[ \boxed{ \text{una nuova informazione restringe lo spazio delle possibilità} } \]
Capítulo 6 – Independencia y dependencia de los eventos.
1. La idea de independencia
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro.
En otras palabras, conocer el resultado de \(A\) no nos proporciona información útil sobre \(B\).
2. Definición mediante probabilidad condicional
Si:
\[ P(A)>0 \]
y:
\[ P(B)>0 \]
Los eventos son independientes cuando:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]
y por tanto también:
\[ \boxed{ P(B\mid A)=P(B) } \]
3. Definición equivalente
Usando la regla del producto:
\[ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) \]
Si los eventos son independientes:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
por lo tanto:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Esta es la forma más utilizada.
4. Ejemplo con dados y monedas
Lanzamos una moneda y un dado.
O:
\[ A=\{\text{testa}\} \]
\[ B=\{\text{esce 6}\} \]
Tenemos:
\[ P(A)=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac16 \]
La probabilidad de que ocurran ambas cosas es:
\[ P(A\cap B)=\frac1{12} \]
Porque:
\[ \frac12\cdot\frac16=\frac1{12} \]
Los acontecimientos son independientes.
5. Ejemplo con dos lanzamientos de moneda
Lancemos una moneda justa dos veces.
O:
\[ A=\{\text{prima testa}\} \]
\[ B=\{\text{seconda testa}\} \]
Tenemos:
\[ P(A)=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac12 \]
y:
\[ P(A\cap B)=\frac14 \]
Porque:
\[ \frac12\cdot\frac12=\frac14 \]
Los acontecimientos son independientes.
6. Adicción
Dos eventos son dependientes cuando:
\[ P(A\mid B)\neq P(A) \]
es decir, saber que ocurrió \(B\) cambia la probabilidad de \(A\).
7. Ejemplo con tarjetas
De una baraja de 52 cartas extraemos dos cartas sin reponerlas.
O:
\[ A=\{\text{prima carta asso}\} \]
\[ B=\{\text{seconda carta asso}\} \]
Tenemos:
\[ P(B)=\frac4{52} \]
pero:
\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]
Entonces \(A\) y \(B\) son dependientes.
8. Reintegración e independencia
Si tras el primer sorteo volvemos a poner la carta en el mazo y barajamos:
\[ P(B\mid A)=\frac4{52} \]
igual a:
\[ P(B) \]
En este caso las dos extracciones son independientes.
9. Advertencia: incompatibilidad e independencia no son lo mismo
Esta es una distinción clave.
Eventos incompatibles
No pueden ocurrir juntos:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Eventos independientes
La ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Son conceptos completamente diferentes.
10. Ejemplo de incompatibilidad
Tiremos un dado.
O:
\[ A=\{\text{esce 2}\} \]
\[ B=\{\text{esce 5}\} \]
No pueden ocurrir juntos.
Entonces:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Son incompatibles.
11. ¿Son también independientes?
Tenemos:
\[ P(A)=\frac16 \]
\[ P(B)=\frac16 \]
Si fueran independientes debería cumplirse:
\[ P(A\cap B) = \frac1{36} \]
Pero en realidad:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Entonces no son independientes.
12. Regla importante
Dos eventos incompatibles con probabilidad positiva no pueden ser independientes.
De hecho, si:
\[ P(A)>0 \]
y:
\[ P(B)>0 \]
para la independencia se necesitaría:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)>0 \]
pero por incompatibilidad:
\[ P(A\cap B)=0 \]
contradicción.
13. Ejemplo intuitivo
Si sabemos que 2 están fuera:
\[ P(\text{esce 5}\mid\text{esce 2})=0 \]
mientras antes:
\[ P(\text{esce 5})=\frac16 \]
Saber que ocurrió \(A\) cambia completamente la probabilidad de \(B\).
14. Los eventos independientes pueden ocurrir juntos
Al lanzar monedas y dados:
\[ A=\{\text{testa}\} \]
\[ B=\{\text{6}\} \]
pueden ocurrir simultáneamente.
De hecho:
\[ A\cap B \]
no está vacío.
La independencia no significa la imposibilidad de que ocurran juntos.
15. Fórmula de producto para eventos independientes
Si \(A\) y \(B\) son independientes:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Esta fórmula es muy importante.
16. Tres eventos independientes
Si tres eventos:
\[ A,B,C \]
son mutuamente independientes, entonces:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
\[ P(A\cap C)=P(A)P(C) \]
\[ P(B\cap C)=P(B)P(C) \]
y también:
\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C) } \]
17. La independencia en pareja no es suficiente
Es posible que tres eventos sean independientes por pares pero no independientes entre sí.
Este es un punto más avanzado pero importante.
18. Ejemplo clásico
Lanzamos dos monedas equilibradas.
Definamos:
\[ A=\{\text{prima moneta testa}\} \]
\[ B=\{\text{seconda moneta testa}\} \]
\[ C=\{\text{le due monete danno lo stesso risultato}\} \]
El espacio es:
\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]
Tenemos:
\[ P(A)=P(B)=P(C)=\frac12 \]
19. Independencia en parejas
\[ A\cap B=\{TT\} \]
por lo tanto:
\[ P(A\cap B)=\frac14 = \frac12\cdot\frac12 \]
De manera similar:
\[ P(A\cap C)=\frac14 \]
y:
\[ P(B\cap C)=\frac14 \]
Entonces los eventos son independientes en pares.
20. Pero no mutuamente independientes
La triple intersección es:
\[ A\cap B\cap C=\{TT\} \]
por lo tanto:
\[ P(A\cap B\cap C)=\frac14 \]
Pero:
\[ P(A)P(B)P(C) = \frac18 \]
Porque:
\[ \frac14\neq\frac18 \]
Los tres eventos no son mutuamente independientes.
21. Independencia y complementariedad
Si \(A\) y \(B\) son independientes, entonces también:
\[ A^c \]
y:
\[ B \]
son independientes.
También se aplica a:
\[ A \]
y:
\[ B^c \]
y para:
\[ A^c \]
y:
\[ B^c \]
22. Demostración
Si \(A\) y \(B\) son independientes:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Hora:
\[ P(A^c\cap B) = P(B)-P(A\cap B) \]
\[ = P(B)-P(A)P(B) \]
\[ = P(B)(1-P(A)) \]
\[ = P(B)P(A^c) \]
Entonces \(A^c\) y \(B\) son independientes.
23. Al menos un éxito en pruebas independientes.
Supongamos que tenemos evidencia independiente \(n\).
La probabilidad de éxito en cada uno es:
\[ p \]
La probabilidad de no tener éxito es:
\[ (1-p)^n \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un successo}) = 1-(1-p)^n } \]
24. Ejemplo con un dado
Lanzamos un dado 4 veces.
¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6?
Probabilidad de no sacar 6 en una tirada:
\[ \frac56 \]
Probabilidad de que no salgan 6 en 4 tiradas:
\[ \left(\frac56\right)^4 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un 6}) = 1-\left(\frac56\right)^4 } \]
25. Probabilidad de una secuencia
Si las tiradas son independientes, la probabilidad de una secuencia específica se obtiene multiplicando.
Por ejemplo, con una moneda equilibrada:
\[ P(TCTT) = \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac1{16} \]
26. Moneda desequilibrada
Si:
\[ P(T)=p \]
y:
\[ P(C)=1-p \]
entonces:
\[ P(TCTT) = p(1-p)p^2 \]
\[ = p^3(1-p) \]
27. Conexión con el binomio
Este razonamiento conduce directamente a la distribución binomial.
Si en las pruebas independientes \(n\) queremos exactamente éxitos \(k\), cada secuencia con éxitos \(k\) tiene probabilidad:
\[ p^k(1-p)^{n-k} \]
El número de secuencias posibles es:
\[ \binom nk \]
Entonces:
\[ P(X=k) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} \]
28. Ejemplo con probabilidades dadas
Supongamos:
\[ P(A)=0,4 \]
\[ P(B)=0,5 \]
y \(A\), \(B\) independientes.
Entonces:
\[ P(A\cap B) = 0,4\cdot0,5 = 0,2 \]
29. Probabilidad de unión
Usamos:
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Entonces:
\[ P(A\cup B) = 0,4+0,5-0,2 = 0,7 \]
30. Ejemplo inverso
Supongamos:
\[ P(A)=0,3 \]
\[ P(B)=0,4 \]
\[ P(A\cap B)=0,12 \]
Porque:
\[ 0,3\cdot0,4=0,12 \]
Los acontecimientos son independientes.
31. Otro ejemplo
Si:
\[ P(A)=0,3 \]
\[ P(B)=0,4 \]
pero:
\[ P(A\cap B)=0,20 \]
entonces:
\[ 0,20\neq0,12 \]
por lo tanto, los eventos son dependientes.
32. Independencia no significa igualdad de probabilidades
Dos eventos independientes pueden tener probabilidades muy diferentes.
Por ejemplo:
\[ P(A)=0,9 \]
\[ P(B)=0,1 \]
pueden ser perfectamente independientes.
La independencia se refiere a la relación entre eventos, no al valor de sus probabilidades.
33. Ejemplo con pruebas repetidas
Una máquina produce una pieza defectuosa con probabilidad:
\[ 0,02 \]
Suponemos que las piezas son independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que 3 piezas consecutivas sean todas buenas?
Probabilidad de que una pieza sea buena:
\[ 0,98 \]
Entonces:
\[ P(\text{3 buoni}) = 0,98^3 \]
34. Probabilidad de que al menos uno esté defectuoso
El complementario es:
todo bien.
Entonces:
\[ P(\text{almeno un difettoso}) = 1-0,98^3 \]
35. Ejercicios
Ejercicio 1
Si:
\[ P(A)=0,5 \]
\[ P(B)=0,2 \]
y los eventos son independientes, calcula:
\[ P(A\cap B) \]
Solución
\[ P(A\cap B)=0,5\cdot0,2=0,1 \]
Ejercicio 2
Con los mismos datos calcula:
\[ P(A\cup B) \]
Solución
\[ P(A\cup B) = 0,5+0,2-0,1 = 0,6 \]
Ejercicio 3
Si:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(B)=0,5 \]
\[ P(A\cap B)=0,3 \]
son independientes?
Solución
\[ 0,6\cdot0,5=0,3 \]
Sí.
Ejercicio 4
Los dados se lanzaron 5 veces.
Probabilidades del número 6:
\[ \boxed{ \left(\frac56\right)^5 } \]
Probabilidades de al menos un 6:
\[ \boxed{ 1-\left(\frac56\right)^5 } \]
Ejercicio 5
Moneda equilibrada lanzada 8 veces.
Probabilidad de sacar siempre cara:
\[ \boxed{ \left(\frac12\right)^8 } \]
36. Error conceptual típico
“Los hechos son incompatibles, por tanto son independientes”.
Es falso.
Si dos eventos incompatibles tienen probabilidad positiva, la ocurrencia de uno hace que el otro sea imposible.
Por eso son muy dependientes.
37. Otro error
"Los eventos son independientes, por lo que no pueden suceder juntos".
Es falso.
La independencia requiere precisamente:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
que, si ambas probabilidades son positivas, es positivo.
38. Esquema de comparación
Incompatible
\[ \boxed{ P(A\cap B)=0 } \]
Independiente
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Son dos conceptos distintos.
39. Resumen del Capítulo 6
Dos eventos son independientes si:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]
equivalentemente:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Son dependientes si la ocurrencia de uno cambia la probabilidad del otro.
La distinción fundamental es:
\[ \boxed{ \text{indipendenza}\neq\text{incompatibilità} } \]
Para eventos incompatibles:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Para eventos independientes:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Esta distinción será fundamental para comprender la probabilidad total, Bayes y la distribución binomial.
Capítulo 7 – Teorema de probabilidad total
1. El problema inicial
Supongamos que un evento puede ocurrir a través de múltiples rutas diferentes.
Por ejemplo, un producto puede provenir de:
- de la máquina 1;
- de la máquina 2;
- desde el coche 3.
Si queremos saber la probabilidad de que el producto esté defectuoso debemos tener en cuenta:
- la probabilidad de que provenga de cada máquina;
- la probabilidad de que esté defectuoso sabiendo de qué máquina procede.
El teorema de probabilidad total te permite combinar esta información.
2. Un ejemplo intuitivo
Una fábrica utiliza dos máquinas.
La máquina \(M_1\) produce:
\[ 60\% \]
de las piezas.
La máquina \(M_2\) produce:
\[ 40\% \]
de las piezas.
Entonces:
\[ P(M_1)=0,6 \]
\[ P(M_2)=0,4 \]
Supongamos también que:
\[ P(D\mid M_1)=0,02 \]
y:
\[ P(D\mid M_2)=0,05 \]
donde \(D\) es el evento:
la pieza está defectuosa.
Queremos calcular:
\[ P(D) \]
3. Dividimos el problema en dos caminos
Una pieza defectuosa puede provenir de:
- de \(M_1\);
- o desde \(M_2\).
Entonces:
\[ D=(D\cap M_1)\cup(D\cap M_2) \]
Los dos eventos son incompatibles.
Por lo tanto:
\[ P(D) = P(D\cap M_1)+P(D\cap M_2) \]
4. Regla del producto
Sabemos que:
\[ P(D\cap M_1) = P(M_1)P(D\mid M_1) \]
y:
\[ P(D\cap M_2) = P(M_2)P(D\mid M_2) \]
Entonces:
\[ P(D) = 0,6\cdot0,02 + 0,4\cdot0,05 \]
\[ = 0,012+0,020 \]
\[ = 0,032 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(D)=3,2\% } \]
5. Idea fundamental
La probabilidad global es la suma de las probabilidades de los diferentes caminos.
Intuitivamente:
\[ \boxed{ \text{probabilità totale} = \text{somma delle probabilità dei diversi percorsi} } \]
6. Partición del espacio muestral
Los eventos:
\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]
Forme una partición del espacio muestral si:
- Son incompatibles de dos en dos:
\[ B_i\cap B_j=\varnothing \]
para:
\[ i\neq j \]
- cubren todo el espacio muestral:
\[ B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega \]
7. Ejemplo de partición
Supongamos que dividimos una población en grupos de edad:
\[ B_1=\{\text{meno di 30 anni}\} \]
\[ B_2=\{\text{tra 30 e 60 anni}\} \]
\[ B_3=\{\text{più di 60 anni}\} \]
Si las bandas no se superponen y cubren a toda la población, constituyen una partición.
8. Teorema de probabilidad total
Si:
\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]
forme una partición, luego para cada evento \(A\):
\[ \boxed{ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A\mid B_i) } \]
es decir:
\[ P(A) = P(B_1)P(A\mid B_1) +\cdots+ P(B_n)P(A\mid B_n) \]
9. Porque funciona
El evento \(A\) se puede dividir en:
\[ A\cap B_1,\quad A\cap B_2,\quad \ldots,\quad A\cap B_n \]
Estos eventos son incompatibles.
Entonces:
\[ P(A) = \sum_i P(A\cap B_i) \]
Pero:
\[ P(A\cap B_i) = P(B_i)P(A\mid B_i) \]
de ahí el teorema.
10. Diagrama de árbol
El teorema se puede interpretar bien con un árbol.
Las ramas comienzan desde la raíz:
\[ B_1,\ B_2,\ B_3,\ldots \]
Luego, el evento \(A\) comienza desde cada rama.
La probabilidad de un camino es:
\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]
11. Regla general del árbol
Recordamos:
\[ \boxed{\text{lungo un percorso si moltiplica}} \]
y:
\[ \boxed{\text{tra percorsi alternativi si somma}} \]
12. Ejemplo con tres fábricas
Una empresa produce en tres fábricas:
\[ P(S_1)=0,5 \]
\[ P(S_2)=0,3 \]
\[ P(S_3)=0,2 \]
Las tasas de defectos son:
\[ P(D\mid S_1)=0,01 \]
\[ P(D\mid S_2)=0,03 \]
\[ P(D\mid S_3)=0,04 \]
Calculemos:
\[ P(D) \]
13. Solución
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
\[ = 0,005+0,009+0,008 \]
\[ = 0,022 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(D)=2,2\% } \]
14. Promedio ponderado
La fórmula:
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
puede verse como un promedio ponderado de las probabilidades condicionales.
Los pesos son:
\[ 0,5,\quad0,3,\quad0,2 \]
15. Consecuencia importante
Dado que los pesos suman 1:
\[ P(B_1)+\cdots+P(B_n)=1 \]
la probabilidad total debe estar entre el mínimo y el máximo de las probabilidades condicionales:
\[ \min_i P(A\mid B_i) \leq P(A) \leq \max_i P(A\mid B_i) \]
16. Caso \(B\) y \(B^c\)
Un evento y su complemento forman una partición.
Entonces:
\[ \boxed{ P(A) = P(B)P(A\mid B) + P(B^c)P(A\mid B^c) } \]
17. Ejemplo
El 30% de una población utiliza un servicio:
\[ P(S)=0,3 \]
por lo tanto:
\[ P(S^c)=0,7 \]
Supongamos:
\[ P(A\mid S)=0,8 \]
\[ P(A\mid S^c)=0,2 \]
Entonces:
\[ P(A) = 0,3\cdot0,8 + 0,7\cdot0,2 \]
\[ = 0,24+0,14 = 0,38 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(A)=38\% } \]
18. Ejemplo con urnas
Elijamos una urna:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
\[ P(U_2)=\frac23 \]
La urna \(U_1\) contiene:
- 4 rojos;
- 6 azules.
La urna \(U_2\) contiene:
- 7 rojos;
- 3 azules.
Queremos la probabilidad de sacar una bola roja.
19. Solución
\[ P(R\mid U_1)=\frac4{10} \]
\[ P(R\mid U_2)=\frac7{10} \]
Entonces:
\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]
\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(R)=\frac35 } \]
20. Ejemplo con estudiantes
En una escuela:
- 40% científico;
- 35% clásico;
- 25% lingüístico.
La probabilidad de participar en una actividad es:
\[ 0,60 \]
para los científicos,
\[ 0,50 \]
para el clásico,
\[ 0,40 \]
para la lingüística.
Entonces:
\[ P(A) = 0,40\cdot0,60 + 0,35\cdot0,50 + 0,25\cdot0,40 \]
\[ = 0,24+0,175+0,10 \]
\[ = 0,515 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(A)=51,5\% } \]
21. Ejemplo con prueba de diagnóstico
Supongamos:
\[ P(M)=0,02 \]
\[ P(M^c)=0,98 \]
y:
\[ P(+\mid M)=0,95 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]
¿Cuál es la probabilidad general de una prueba positiva?
22. Solución
\[ P(+) = P(M)P(+\mid M) + P(M^c)P(+\mid M^c) \]
\[ = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]
\[ = 0,019+0,0392 \]
\[ = 0,0582 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(+)=5,82\% } \]
23. Una pregunta natural
Ahora podemos preguntar:
sabiendo que la prueba es positiva, ¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga la condición?
Queremos:
\[ P(M\mid+) \]
En cambio sabemos:
\[ P(+\mid M) \]
Las dos probabilidades no son las mismas.
Esto lleva al teorema de Bayes.
24. Frecuencias absolutas
Podemos hacer que el problema sea más intuitivo imaginando a 10.000 personas.
Con:
\[ P(M)=0,02 \]
tenemos:
\[ 200 \]
personas con la condición.
95% dan positivo:
\[ 190 \]
Las personas sin la condición son:
\[ 9800 \]
4% da positivo:
\[ 392 \]
Positivos totales:
\[ 190+392=582 \]
y:
\[ \frac{582}{10000}=0,0582 \]
25. Ejemplo con medio de transporte
Una persona va a trabajar:
- coche 50%;
- entrenar 30%;
- bicicleta 20%.
Probabilidad de retraso:
\[ 0,10 \]
con coche,
\[ 0,20 \]
en tren,
\[ 0,05 \]
con bicicleta.
Entonces:
\[ P(R) = 0,50\cdot0,10 + 0,30\cdot0,20 + 0,20\cdot0,05 \]
\[ = 0,05+0,06+0,01 = 0,12 \]
Entonces:
\[ \boxed{12\%} \]
26. Procedimiento general
Paso 1
Identificar las causas:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
Paso 2
Verifique que formen una partición.
Paso 3
Localice el evento final \(A\).
Paso 4
Escribe:
\[ P(B_i) \]
y:
\[ P(A\mid B_i) \]
Paso 5
Multiplica por cada camino:
\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]
Paso 6
Añadir:
\[ P(A) = \sum_i P(B_i)P(A\mid B_i) \]
27. Ejercicios
Ejercicio 1
Dos máquinas producen:
\[ 70\% \]
y:
\[ 30\% \]
de las piezas.
Tasas de defectos:
\[ 2\% \]
y:
\[ 5\% \]
Entonces:
\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]
\[ = 0,029 \]
\[ \boxed{2,9\%} \]
Ejercicio 2
Dos urnas elegidas con igual probabilidad.
Urna A:
- 8 blancos;
- 2 negros.
Urna B:
- 3 blancos;
- 7 negros.
Entonces:
\[ P(Bianca) = \frac12\cdot\frac8{10} + \frac12\cdot\frac3{10} \]
\[ = \frac{11}{20} = 0,55 \]
Ejercicio 3
25% compras online, 75% en tienda.
Devoluciones:
\[ 10\% \]
en línea,
\[ 4\% \]
tienda.
\[ P(R) = 0,25\cdot0,10 + 0,75\cdot0,04 \]
\[ = 0,055 \]
\[ \boxed{5,5\%} \]
28. Resumen del Capítulo 7
Si:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
formar una partición:
\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]
Regla de oro:
\[ \boxed{\text{moltiplica lungo i percorsi}} \]
\[ \boxed{\text{somma i percorsi alternativi}} \]
Capítulo 8 – teorema de bayes
1. El problema inverso
En el capítulo anterior calculamos:
\[ P(A) \]
sabiendo:
\[ P(B_i) \]
y:
\[ P(A\mid B_i) \]
Ahora queremos hacer el camino inverso.
Miramos \(A\) y queremos saber:
¿Cuál es la probabilidad de que \(B_i\) fuera la causa?
Es decir, queremos:
\[ P(B_i\mid A) \]
2. De dónde viene la fórmula
Empecemos por:
\[ P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
Pero:
\[ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } } \]
Ésta es la forma básica del teorema de Bayes.
3. Fórmula general
Si:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
formar una partición:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_j P(B_j)P(A\mid B_j) } } \]
4. Interpretación intuitiva
Bayes actualiza una probabilidad inicial después de recibir nueva información.
Esquema:
\[ \boxed{ \text{probabilità iniziale} \rightarrow \text{nuova evidenza} \rightarrow \text{probabilità aggiornata} } \]
5. A priori y a posteriori
La probabilidad inicial:
\[ P(B) \]
Se llama probabilidad a priori.
La probabilidad actualizada:
\[ P(B\mid A) \]
Se llama probabilidad posterior.
6. Ejemplo con urnas
Elegimos:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
\[ P(U_2)=\frac23 \]
Urna \(U_1\):
- 4 rojos;
- 6 azules.
Urna \(U_2\):
- 7 rojos;
- 3 azules.
Observamos una bola roja.
Queremos:
\[ P(U_1\mid R) \]
7. Probabilidad total de rojo
\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]
\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]
8. Apliquemos Bayes
\[ P(U_1\mid R) = \frac{ \frac13\cdot\frac4{10} }{ \frac35 } \]
\[ = \frac29 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(U_1\mid R)=\frac29 } \]
9. Segunda urna
\[ P(U_2\mid R) = 1-\frac29 = \frac79 \]
10. Significado
Antes de la extracción:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
Después de mirar el rojo:
\[ P(U_1\mid R)=\frac29 \]
La evidencia cambió la probabilidad inicial.
11. Ejemplo con fábricas
Dos fábricas producen:
\[ 70\% \]
y:
\[ 30\% \]
de las piezas.
Tasas de defectos:
\[ 2\% \]
y:
\[ 5\% \]
Una pieza está defectuosa.
¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la segunda planta?
12. Probabilidad de defecto
\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]
\[ = 0,014+0,015 = 0,029 \]
13. Bayes
\[ P(S_2\mid D) = \frac{ 0,3\cdot0,05 }{ 0,029 } \]
\[ = \frac{0,015}{0,029} \]
\[ \approx0,5172 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(S_2\mid D)\approx51,7\% } \]
14. Interpretación
La segunda fábrica produce sólo el 30% de las piezas.
Pero entre los defectuosos, la probabilidad de que provengan de \(S_2\) supera el 50%.
Esto se debe a que tiene una mayor tasa de defectos.
15. Prueba de diagnóstico
Supongamos:
\[ P(M)=0,02 \]
\[ P(M^c)=0,98 \]
y:
\[ P(+\mid M)=0,95 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]
Una persona da positivo.
Queremos:
\[ P(M\mid+) \]
16. Calculemos \(P(+)\)
\[ P(+) = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]
\[ = 0,019+0,0392 \]
\[ = 0,0582 \]
17. Apliquemos Bayes
\[ P(M\mid+) = \frac{ 0,02\cdot0,95 }{ 0,0582 } \]
\[ = \frac{0,019}{0,0582} \]
\[ \approx0,3265 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(M\mid+)\approx32,6\% } \]
18. Resultado contrario a la intuición
La prueba reconoce al 95% de las personas con la afección.
Sin embargo, una persona positiva tiene alrededor de un 32,6% de posibilidades de padecer realmente la afección.
La razón es que la condición es rara.
19. Frecuencias naturales
Imaginemos:
\[ 10000 \]
gente.
Con la condición:
\[ 200 \]
Verdaderos aspectos positivos:
\[ 200\cdot0,95=190 \]
Sin condición:
\[ 9800 \]
Falsos positivos:
\[ 9800\cdot0,04=392 \]
Positivos totales:
\[ 190+392=582 \]
Entonces:
\[ \frac{190}{582} \approx0,3265 \]
20. Las dos probabilidades no son iguales
\[ P(+\mid M)=95\% \]
pero:
\[ P(M\mid+)\approx32,6\% \]
En general:
\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]
21. Bayes como inversión
Bayes te permite ir desde:
\[ P(A\mid B) \]
a:
\[ P(B\mid A) \]
corrigiendo por probabilidades básicas.
22. Forma interpretativa
Podemos recordar:
\[ \boxed{ \text{posteriori} = \frac{ \text{priori}\times\text{verosimiglianza} }{ \text{evidenza} } } \]
es decir:
\[ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } \]
23. Ejemplo con estudiantes
En una escuela:
- 60% durante dos años;
- 40% trienio.
Toma un curso:
- 20% del bienio;
- 50% del trienio.
Queremos la probabilidad de que un estudiante participante sea un estudiante de tres años.
24. Probabilidad de participación
\[ P(C) = 0,6\cdot0,2 + 0,4\cdot0,5 \]
\[ = 0,12+0,20 = 0,32 \]
25. Bayes
\[ P(T\mid C) = \frac{ 0,4\cdot0,5 }{ 0,32 } \]
\[ = 0,625 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(T\mid C)=62,5\% } \]
26. Ejemplo con tres causas
Tres máquinas producen:
\[ 50\%,\quad30\%,\quad20\% \]
de las piezas.
Tasas de defectos:
\[ 1\%,\quad3\%,\quad4\% \]
Una pieza está defectuosa.
¿Cuál es la probabilidad de que provenga del tercer auto?
27. Probabilidad total de defecto
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
\[ = 0,005+0,009+0,008 = 0,022 \]
28. Bayes
\[ P(M_3\mid D) = \frac{ 0,2\cdot0,04 }{ 0,022 } \]
\[ = \frac{0,008}{0,022} \]
\[ \approx0,3636 \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(M_3\mid D)\approx36,4\% } \]
29. Verificar
\[ P(M_1\mid D) = \frac{0,005}{0,022} \approx22,7\% \]
\[ P(M_2\mid D) = \frac{0,009}{0,022} \approx40,9\% \]
\[ P(M_3\mid D) \approx36,4\% \]
La suma es aproximadamente:
\[ 100\% \]
30. Bayes como relación de trayectoria
Podemos recordar:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ \text{probabilità del percorso }B_i\to A }{ \text{probabilità totale di arrivare ad }A } } \]
31. Error de tasa base
Un error común es ignorar:
\[ P(B) \]
es decir, la probabilidad inicial.
Si un evento es muy raro, incluso una prueba precisa puede producir muchos falsos positivos en comparación con los verdaderos positivos.
32. Cuándo utilizar Bayes
Bayes es útil cuando:
- hay varias causas posibles;
- conocemos la probabilidad inicial de las causas;
- conocemos la probabilidad de la evidencia dada cada causa;
- miramos la evidencia;
- queremos rastrear la causa.
33. Ejercicio 1
Dos urnas:
\[ P(U_1)=0,4 \]
\[ P(U_2)=0,6 \]
Probabilidad de blanco:
\[ P(B\mid U_1)=0,3 \]
\[ P(B\mid U_2)=0,7 \]
Calculemos:
\[ P(B) = 0,4\cdot0,3 + 0,6\cdot0,7 \]
\[ = 0,54 \]
Entonces:
\[ P(U_1\mid B) = \frac{0,12}{0,54} = \frac29 \]
34. Ejercicio 2
Línea 1:
\[ 75\% \]
producción, defectos:
\[ 2\% \]
Línea 2:
\[ 25\% \]
producción, defectos:
\[ 6\% \]
Probabilidad total:
\[ P(D) = 0,75\cdot0,02 + 0,25\cdot0,06 \]
\[ = 0,03 \]
Entonces:
\[ P(L_2\mid D) = \frac{0,015}{0,03} = 0,5 \]
\[ \boxed{50\%} \]
35. Ejercicio 3
Característica presente en el 10% de la población.
Prueba positiva:
- 90% si está presente;
- 20% en caso de ausencia.
\[ P(+) = 0,1\cdot0,9 + 0,9\cdot0,2 \]
\[ = 0,27 \]
Entonces:
\[ P(C\mid+) = \frac{0,09}{0,27} = \frac13 \]
\[ \boxed{33,3\%} \]
36. Ejercicio contrario a la intuición
Una condición afecta:
\[ 1 \]
persona en:
\[ 1000 \]
Entonces:
\[ P(M)=0,001 \]
Pruebas:
\[ P(+\mid M)=0,99 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,01 \]
Calculemos:
\[ P(+) = 0,001\cdot0,99 + 0,999\cdot0,01 \]
\[ = 0,01098 \]
Entonces:
\[ P(M\mid+) = \frac{0,00099}{0,01098} \]
\[ \approx0,0902 \]
es decir, aproximadamente:
\[ \boxed{9\%} \]
37. Bayes no crea información
El teorema requiere datos iniciales:
- probabilidad a priori;
- probabilidades condicionales;
- evidencia observada.
Si esta información es incierta, el resultado también lo será.
38. Procedimiento general
Paso 1
Identificar las causas:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
Paso 2
Escribe:
\[ P(B_i) \]
Paso 3
Escribe:
\[ P(A\mid B_i) \]
Paso 4
Calcular:
\[ P(A) \]
con la probabilidad total.
Paso 5
Aplicar:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ P(A) } } \]
39. Probabilidad total y Bayes
Los dos teoremas funcionan juntos.
Probabilidad total:
\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]
Bayes:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_jP(B_j)P(A\mid B_j) } } \]
40. Idea final
Bayes se puede resumir así:
\[ \boxed{ \text{una nuova informazione modifica razionalmente le probabilità iniziali} } \]
Primero tenemos:
\[ P(B) \]
Después de observar \(A\):
\[ P(B\mid A) \]
Es uno de los principios fundamentales de la estadística, el diagnóstico y la inferencia probabilística.
Capítulo 9 – Variables aleatorias discretas y continuas
1. Por qué introducimos variables aleatorias
Hasta ahora hemos estudiado eventos como:
sale un numero par
o:
la pieza está defectuosa.
Pero muchas veces queremos asociar un número al resultado del experimento.
Por ejemplo:
- número de cabezas en 5 lanzamientos;
- número de clientes que entran en una tienda en una hora;
- tiempo de espera;
- altura de una persona;
- vida útil de una bombilla.
Para describir matemáticamente estas cantidades introducimos el concepto de variable aleatoria.
2. Definición intuitiva
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada resultado posible de un experimento aleatorio.
En símbolos:
\[ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R} \]
En cada resultado:
\[ \omega\in\Omega \]
la variable asocia:
\[ X(\omega) \]
3. Ejemplo con dos monedas
Lancemos dos monedas.
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Definamos:
\[ X=\text{numero di teste} \]
Entonces:
\[ X(TT)=2 \]
\[ X(TC)=1 \]
\[ X(CT)=1 \]
\[ X(CC)=0 \]
Entonces \(X\) puede tomar:
\[ 0,1,2 \]
4. Resultado y valor de la variable
En el ejemplo:
\[ TC \]
es un resultado.
En lugar de eso:
\[ X(TC)=1 \]
es el valor de la variable aleatoria.
El espacio muestral contiene los resultados.
La variable los convierte en números.
5. Porque es útil
En el lanzamiento de 10 monedas se encuentran:
\[ 2^{10}=1024 \]
secuencias posibles.
Si sólo nos interesa el número de caras, la variable sólo puede tomar:
\[ 0,1,2,\ldots,10 \]
Esto simplifica enormemente el problema.
6. Variable aleatoria discreta
Una variable es discreta cuando toma un número finito o contable de valores.
Ejemplos:
- número de hijos;
- número de llamadas telefónicas;
- número de defectos;
- número de éxitos;
- número de veces que aparece 6.
7. Variable aleatoria continua
Una variable es continua cuando puede tomar todos los valores de un rango.
Ejemplos:
- altura;
- peso;
- temperatura;
- tiempo;
- distancia;
- duración.
8. Ejemplo discreto
Tiremos un dado.
\[ X=\text{numero ottenuto} \]
Entonces:
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
9. Ejemplo continuo
Medimos el tiempo que lleva realizar una actividad.
Podemos tener:
\[ 10,4 \]
\[ 10,43 \]
\[ 10,437 \]
y así sucesivamente.
Idealmente:
\[ X\in[0,+\infty) \]
10. Función de probabilidad discreta
Si \(X\) es discreto:
\[ \boxed{ p(x)=P(X=x) } \]
Debe valer:
\[ p(x)\geq0 \]
y:
\[ \sum_xp(x)=1 \]
11. Ejemplo con dos monedas
Para:
\[ X=\text{numero di teste} \]
tenemos:
\[ P(X=0)=\frac14 \]
\[ P(X=1)=\frac12 \]
\[ P(X=2)=\frac14 \]
y:
\[ \frac14+\frac12+\frac14=1 \]
12. Distribución de probabilidad
El conjunto de valores posibles de \(X\) y sus respectivas probabilidades constituye su:
\[ \boxed{\text{distribuzione di probabilità}} \]
13. Nuez normal
Si:
\[ X=\text{numero ottenuto} \]
entonces:
\[ P(X=x)=\frac16 \]
para:
\[ x=1,\ldots,6 \]
14. Variable indicadora
Definamos:
\[ I_A= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Una variable de este tipo se llama:
\[ \boxed{\text{indicatrice}} \]
15. Ejemplo con dados
Definamos:
\[ X= \begin{cases} 1 & \text{se esce pari}\\ 0 & \text{se esce dispari} \end{cases} \]
Entonces:
\[ P(X=1)=\frac12 \]
\[ P(X=0)=\frac12 \]
16. Variables continuas y probabilidad puntual
Para una variable continua:
\[ \boxed{ P(X=x)=0 } \]
para cada valor individual de \(x\).
Esto no significa que el valor sea imposible.
Significa que la probabilidad de un solo punto es cero.
17. Densidad de probabilidad
Para una variable continua usamos una función:
\[ f(x) \]
llamado densidad.
Debe valer:
\[ f(x)\geq0 \]
y:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1 \]
18. La probabilidad es un área
Para una variable continua:
\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]
Por tanto, la probabilidad es un área bajo la curva.
19. Densidad y probabilidad no son lo mismo
El valor:
\[ f(x) \]
no es una probabilidad precisa.
Una densidad puede incluso exceder 1.
Lo que debe ser igual a 1 es el área total.
20. Continuación del uniforme
Si:
\[ X\sim U(0,10) \]
la densidad es:
\[ f(x)=\frac1{10} \]
para:
\[ 0\leq x\leq10 \]
21. Ejemplo
\[ P(2\leq X\leq5) = 3\cdot\frac1{10} = 0,3 \]
22. Función de distribución
Para cualquier variable definimos:
\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]
Es la probabilidad acumulada hasta \(x\).
23. Ejemplo discreto
Supongamos:
\[ P(X=0)=0,2 \]
\[ P(X=1)=0,5 \]
\[ P(X=2)=0,3 \]
Entonces:
\[ F(0)=0,2 \]
\[ F(1)=0,7 \]
\[ F(2)=1 \]
24. Propiedades de \(F(x)\)
La función de distribución:
- está entre 0 y 1;
- no disminuye;
- tiende a 0 para \(x\to-\infty\);
- cortinas a 1 para \(x\to+\infty\).
25. Probabilidad de un intervalo
\[ \boxed{ P(a<X\leq b) = F(b)-F(a) } \]
26. Discreto y continuo
Para una variable discreta:
\[ P(X=x) \]
puede ser positivo.
Para una continuación:
\[ P(X=x)=0 \]
27. Ejemplo: número de clientes
\[ X=\text{numero di clienti in un'ora} \]
Valores posibles:
\[ 0,1,2,\ldots \]
Entonces:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
28. Ejemplo: tiempo de espera
\[ X=\text{tempo di attesa} \]
Puede adquirir valores reales positivos.
Entonces:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
29. Múltiples variables en el mismo experimento
Lanzando dos dados podemos definir:
\[ X=\text{somma} \]
\[ Y=\text{massimo} \]
\[ Z=\text{numero di 6} \]
El espacio muestral es el mismo, pero las variables describen aspectos diferentes.
30. Suma de dos dados
Si:
\[ X=D_1+D_2 \]
entonces:
\[ X\in\{2,3,\ldots,12\} \]
con probabilidad:
\[ \frac1{36},\frac2{36},\frac3{36},\ldots \]
La suma 7 tiene probabilidad:
\[ \frac6{36} \]
31. Distribución de la suma
\[ P(X=2)=\frac1{36} \]
\[ P(X=3)=\frac2{36} \]
\[ P(X=4)=\frac3{36} \]
\[ P(X=5)=\frac4{36} \]
\[ P(X=6)=\frac5{36} \]
\[ P(X=7)=\frac6{36} \]
y luego simétricamente.
32. Ejercicios
Ejercicio 1
Tres monedas.
\[ X=\text{numero di teste} \]
Valores:
\[ \boxed{0,1,2,3} \]
Ejercicio 2
\[ P(X=3)=\frac18 \]
Ejercicio 3
\[ P(X=2)=\frac38 \]
Ejercicio 4
Número de correos electrónicos recibidos:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
Ejercicio 5
Temperatura:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
33. Resumen del Capítulo 9
Una variable aleatoria es:
\[ \boxed{ X:\Omega\rightarrow\mathbb R } \]
Puede ser:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
o:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
Para un discreto:
\[ p(x)=P(X=x) \]
Para una continuación:
\[ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx \]
Para ambos:
\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]
Capítulo 10 – Valor esperado, varianza y desviación estándar.
1. Porque son necesarios
Una distribución se puede resumir con algunos números fundamentales:
\[ \boxed{\text{valore atteso}} \]
\[ \boxed{\text{varianza}} \]
\[ \boxed{\text{deviazione standard}} \]
El valor esperado describe el centro.
La varianza y la desviación estándar describen la dispersión.
2. Valor esperado
Para una variable discreta:
\[ \boxed{ E(X)=\sum_i x_ip_i } \]
Es un promedio ponderado de los valores posibles.
3. Ejemplo con dados
\[ E(X) = 1\cdot\frac16+ 2\cdot\frac16+ \cdots+ 6\cdot\frac16 \]
\[ = \frac{21}{6} = 3,5 \]
Entonces:
\[ \boxed{E(X)=3,5} \]
4. Un punto importante
El dado no puede mostrar:
\[ 3,5 \]
El valor esperado no tiene por qué ser necesariamente un valor posible de la variable.
Es un promedio teórico a largo plazo.
5. Dos monedas
Si:
\[ X=\text{numero di teste} \]
con probabilidad:
\[ \frac14,\frac12,\frac14 \]
entonces:
\[ E(X) = 0\cdot\frac14+ 1\cdot\frac12+ 2\cdot\frac14 = 1 \]
6. Juegos y valor esperado
Supongamos:
- ganar 20€ con probabilidad 0,1;
- pierdes 2€ con probabilidad 0,9.
\[ E(X) = 20\cdot0,1 + (-2)\cdot0,9 \]
\[ = 0,2 \]
Entonces la ganancia promedio teórica es:
\[ 0,20€ \]
7. Juego limpio
Un juego es justo si:
\[ \boxed{ E(X)=0 } \]
Si:
\[ E(X)>0 \]
es favorable al jugador en términos de media.
Si:
\[ E(X)<0 \]
es desfavorable.
8. Linealidad del valor esperado
\[ \boxed{ E(aX+b)=aE(X)+b } \]
y:
\[ \boxed{ E(X+Y)=E(X)+E(Y) } \]
Esta propiedad se mantiene incluso sin independencia.
9. Variable indicadora
Para:
\[ I_A= \begin{cases} 1 & A\\ 0 & A^c \end{cases} \]
tenemos:
\[ E(I_A)=P(A) \]
Entonces:
\[ \boxed{ E(I_A)=P(A) } \]
10. Porque el promedio no alcanza
Dos distribuciones pueden tener la misma media pero dispersiones muy diferentes.
Ejemplo:
Un
\[ X=10 \]
siempre.
B
\[ Y= \begin{cases} 0 & \text{prob. }1/2\\ 20 & \text{prob. }1/2 \end{cases} \]
Ambos tienen promedio:
\[ 10 \]
pero el segundo está mucho más disperso.
11. Desviación del promedio
Digamos:
\[ \mu=E(X) \]
La brecha es:
\[ X-\mu \]
El promedio de las desviaciones es 0.
Para ello consideramos las desviaciones al cuadrado.
12. Variación
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]
Para variables discretas:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \sum_i(x_i-\mu)^2P(X=x_i) } \]
13. Ejemplo con dos monedas
Tuvimos:
\[ E(X)=1 \]
Entonces:
\[ \operatorname{Var}(X) = (0-1)^2\frac14+ (1-1)^2\frac12+ (2-1)^2\frac14 \]
\[ = \frac12 \]
14. Fórmula alternativa
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]
Suele ser más cómodo.
15. Demostración
\[ (X-\mu)^2 = X^2-2\mu X+\mu^2 \]
Tomando el valor esperado:
\[ E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2 \]
Porque:
\[ E(X)=\mu \]
obtenemos:
\[ E(X^2)-\mu^2 \]
16. Ejemplo con dados
\[ E(X)=3,5 \]
Calculemos:
\[ E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \]
Entonces:
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac72\right)^2 \]
\[ = \frac{35}{12} \]
17. Desviación estándar
La varianza se expresa en unidades cuadradas.
Para volver a la unidad original definimos:
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]
18. Ejemplo con dados
\[ \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx1,708 \]
19. Interpretación
Pequeña desviación estándar:
\[ \text{valori concentrati} \]
Desviación estándar grande:
\[ \text{valori dispersi} \]
20. Misma media, diferente dispersión
Supongamos:
\[ X= \begin{cases} 9 & 1/2\\ 11 & 1/2 \end{cases} \]
y:
\[ Y= \begin{cases} 0 & 1/2\\ 20 & 1/2 \end{cases} \]
Ambos tienen una media de 10.
Pero:
\[ \operatorname{Var}(X)=1 \]
mientras:
\[ \operatorname{Var}(Y)=100 \]
21. Transformaciones lineales
Si:
\[ Y=aX+b \]
entonces:
\[ \boxed{ E(Y)=aE(X)+b } \]
y:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(Y) = a^2\operatorname{Var}(X) } \]
22. Desviación estándar
\[ \boxed{ \sigma_Y=|a|\sigma_X } \]
El término \(b\) no cambia la dispersión.
23. Suma de variables
\[ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]
En general:
\[ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y) \]
24. Caso independiente
Si \(X\) y \(Y\) son independientes:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) } \]
25. Atención
No válido:
\[ \sigma_{X+Y} = \sigma_X+\sigma_Y \]
En caso de independencia:
\[ \sigma_{X+Y} = \sqrt{ \sigma_X^2+\sigma_Y^2 } \]
26. Variables continuas
Para una variable continua:
\[ \boxed{ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx } \]
y:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2f(x)\,dx } \]
27. Uniforme en \([0,10]\)
Para:
\[ X\sim U(0,10) \]
\[ E(X)=5 \]
y:
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \]
28. Media teórica y media muestral
Promedio teórico:
\[ \mu=E(X) \]
Promedio de la muestra:
\[ \bar x= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]
Son conceptos diferentes.
29. Ejemplo completo
Supongamos:
\[ P(X=0)=0,2 \]
\[ P(X=1)=0,5 \]
\[ P(X=3)=0,3 \]
Promedio:
\[ E(X) = 0+0,5+0,9 = 1,4 \]
30. Cálculo de \(E(X^2)\)
\[ E(X^2) = 0+0,5+2,7 = 3,2 \]
31. Variación
\[ \operatorname{Var}(X) = 3,2-(1,4)^2 \]
\[ = 1,24 \]
32. Desviación estándar
\[ \sigma=\sqrt{1,24} \approx1,11 \]
33. Ejercicios
Ejercicio 1
\[ X=1,2,3 \]
con probabilidad:
\[ 0,2,\ 0,5,\ 0,3 \]
\[ E(X)=2,1 \]
Ejercicio 2
\[ E(X^2)=4,9 \]
Ejercicio 3
\[ \operatorname{Var}(X)=0,49 \]
Ejercicio 4
\[ \sigma=0,7 \]
Ejercicio 5
Si:
\[ E(X)=8 \]
y:
\[ Y=5X-3 \]
entonces:
\[ E(Y)=37 \]
34. Resumen del Capítulo 10
\[ \boxed{ E(X)=\sum_xxP(X=x) } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]
Capítulo 11 – Distribuciones discretas
1. ¿Por qué utilizar distribuciones estándar?
Muchos experimentos diferentes comparten la misma estructura matemática.
Las principales distribuciones discretas que estudiamos son:
\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
2. Bernoulli
Una prueba de Bernoulli tiene dos resultados:
\[ \text{successo} \]
y:
\[ \text{insuccesso} \]
con probabilidad:
\[ p \]
y:
\[ 1-p \]
Definamos:
\[ X= \begin{cases} 1 & \text{successo}\\ 0 & \text{insuccesso} \end{cases} \]
Escribimos:
\[ \boxed{ X\sim Bernoulli(p) } \]
3. Función de probabilidad
\[ P(X=1)=p \]
\[ P(X=0)=1-p \]
Forma compacta:
\[ \boxed{ P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x} } \]
4. Media y varianza de Bernoulli
\[ \boxed{ E(X)=p } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = p(1-p) } \]
5. De Bernoulli al Binomio
Repetimos una prueba de Bernoulli \(n\) veces.
Definamos:
\[ X=\text{numero di successi} \]
Si:
- \(n\) está arreglado;
- las pruebas son independientes;
- la probabilidad \(p\) es constante;
entonces:
\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]
6. Fórmula binomial
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom nkp^k(1-p)^{n-k} } \]
para:
\[ k=0,\ldots,n \]
7. ¿Por qué aparece \(\binom nk\)?
Si queremos éxitos de \(k\) en las pruebas de \(n\), debemos elegir en qué posiciones aparecerá \(k\).
El número de formas es:
\[ \binom nk \]
8. Ejemplo
Moneda equilibrada lanzada 5 veces.
Probabilidad de 3 caras:
\[ P(X=3) = \binom53 \left(\frac12\right)^5 \]
\[ = \frac5{16} \]
9. Media binomial y varianza
\[ \boxed{ E(X)=np } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = np(1-p) } \]
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{np(1-p)} } \]
10. Exactamente, al menos, como máximo
Exactamente \(k\):
\[ P(X=k) \]
Al menos \(k\):
\[ P(X\geq k) \]
Como máximo \(k\):
\[ P(X\leq k) \]
11. Al menos un éxito
\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]
Entonces:
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-(1-p)^n } \]
12. Ejemplo
Probabilidad de defecto:
\[ 0,02 \]
20 componentes independientes.
Probabilidad de que al menos uno esté defectuoso:
\[ 1-(0,98)^{20} \]
13. Cuándo NO utilizar el binomio
Deben ser válidos:
- número fijo de pruebas;
- dos resultados;
- misma probabilidad;
- independencia.
Si extraemos sin reinsertar, estas condiciones pueden fallar.
14. Distribución geométrica
La pregunta cambia:
¿cuántas pruebas necesitas para obtener el primer éxito?
Si la evidencia es independiente y tiene probabilidad \(p\):
\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]
15. Fórmula geométrica
\[ \boxed{ P(X=k) = (1-p)^{k-1}p } \]
para:
\[ k=1,2,\ldots \]
16. Ejemplo
Lanzamos un dado hasta los primeros 6.
Probabilidad de llegar al cuarto lanzamiento:
\[ \left(\frac56\right)^3 \frac16 \]
17. Media y varianza geométrica
\[ \boxed{ E(X)=\frac1p } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} } \]
18. Propiedades sin memoria
\[ \boxed{ P(X>m+n\mid X>m) = P(X>n) } \]
El proceso no “recuerda” lo que ya hemos esperado.
19. Binomio y geométrico
Binomio:
¿cuántos éxitos en las pruebas \(n\)?
Geométrico:
¿Cuántas pruebas hasta el primer éxito?
20. Distribución de Poisson
Se utiliza para contar eventos en un rango de:
- tiempo;
- espacio;
- longitud;
- área;
- volumen.
Escribimos:
\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]
21. Fórmula de Poisson
\[ \boxed{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} } \]
22. Ejemplo
En promedio 3 llamadas por hora.
\[ X\sim Poisson(3) \]
Probabilidad de 2 llamadas:
\[ P(X=2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} \]
23. Sin eventos
\[ \boxed{ P(X=0)=e^{-\lambda} } \]
24. Al menos un evento
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-e^{-\lambda} } \]
25. Media y varianza de Poisson
\[ \boxed{ E(X)=\lambda } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X)=\lambda } \]
\[ \boxed{ \sigma=\sqrt\lambda } \]
26. Cambiar intervalo
Si entran 12 llamadas por hora, en 15 minutos:
\[ \lambda= 12\cdot\frac14 = 3 \]
27. Cuándo utilizar Poisson
cuando:
- contamos eventos;
- el tipo medio es estable;
- los acontecimientos son suficientemente independientes;
- el rango está bien definido.
28. Poisson como aproximación del binomio
Si:
\[ n \]
es grande y:
\[ p \]
pequeño, con:
\[ \lambda=np \]
podemos usar:
\[ \boxed{ Bin(n,p)\approx Poisson(np) } \]
29. Comparación final
Bernoulli
Una prueba.
Binomio
Número de éxitos en las pruebas \(n\).
Geométrico
Número de pruebas hasta el primer éxito.
veneno
Número de eventos en un intervalo.
30. Promedios
Bernoulli:
\[ p \]
Binomio:
\[ np \]
Geométrico:
\[ \frac1p \]
veneno:
\[ \lambda \]
31. Variaciones
Bernoulli:
\[ p(1-p) \]
Binomio:
\[ np(1-p) \]
Geométrico:
\[ \frac{1-p}{p^2} \]
veneno:
\[ \lambda \]
32. Resumen del Capítulo 11
\[ \boxed{ Bernoulli(p) } \]
una sola prueba.
\[ \boxed{ Bin(n,p) } \]
éxitos en las pruebas \(n\).
\[ \boxed{ Geom(p) } \]
pruebas hasta el primer éxito.
\[ \boxed{ Poisson(\lambda) } \]
eventos en un intervalo.
Capítulo 12 – Distribuciones continuas: uniforme, exponencial y normal
1. Variables continuas
Para una variable continua:
\[ P(X=x)=0 \]
Las probabilidades corresponden a intervalos:
\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]
2. Distribución uniforme continua
Si todos los valores de:
\[ [a,b] \]
son igualmente plausibles:
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
3. Densidad uniforme
\[ \boxed{ f(x)= \frac1{b-a} } \]
para:
\[ a\leq x\leq b \]
4. Probabilidad uniforme
\[ \boxed{ P(c\leq X\leq d) = \frac{d-c}{b-a} } \]
5. Ejemplo
\[ X\sim U(0,10) \]
\[ P(2\leq X\leq5) = \frac3{10} = 0,3 \]
6. Media y varianza de la uniforme
\[ \boxed{ E(X)=\frac{a+b}{2} } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} } \]
7. Distribución exponencial
La distribución exponencial modela, sobre todo, tiempos de espera.
Escribimos:
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
8. Densidad exponencial
\[ \boxed{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} } \]
para:
\[ x\geq0 \]
9. Función de distribución
\[ \boxed{ F(x)=1-e^{-\lambda x} } \]
10. Probabilidad de superar \(x\)
\[ \boxed{ P(X>x)=e^{-\lambda x} } \]
11. Ejemplo
\[ X\sim Exp(0,2) \]
\[ P(X>5) = e^{-1} \approx0,3679 \]
12. Probabilidad en un intervalo
\[ \boxed{ P(a<X<b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} } \]
13. Media y varianza de la exponencial
\[ \boxed{ E(X)=\frac1\lambda } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac1{\lambda^2} } \]
\[ \boxed{ \sigma=\frac1\lambda } \]
14. Relación con Poisson
Poisson:
¿cuántos sucesos?
Exponencial:
¿cuánto tiempo transcurre entre sucesos?
Por tanto:
\[ \boxed{ Poisson\leftrightarrow conteggio } \]
\[ \boxed{ Esponenziale\leftrightarrow attesa } \]
15. Falta de memoria
\[ \boxed{ P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t) } \]
16. Distribución normal
La distribución normal, o gaussiana, se denota:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
17. Densidad de la normal
\[ \boxed{ f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} } \]
18. Propiedades de la normal
La curva:
- es simétrica;
- tiene forma de campana;
- está centrada en \(\mu\);
- tiene área total 1.
19. Media, mediana y moda
Para la normal:
\[ \boxed{ \text{media}= \text{mediana}= \text{moda} = \mu } \]
20. Papel de \(\mu\)
\(\mu\) determina la posición de la curva.
Al cambiar \(\mu\), la curva se desplaza.
21. Papel de \(\sigma\)
\(\sigma\) determina la dispersión.
Un \(\sigma\) pequeño:
\[ \text{curva stretta} \]
Un \(\sigma\) grande:
\[ \text{curva larga} \]
22. Simetría
\[ P(X<\mu)=\frac12 \]
\[ P(X>\mu)=\frac12 \]
23. Regla 68–95–99,7
Para una normal:
\[ P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx68\% \]
\[ P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma) \approx95\% \]
\[ P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma) \approx99,7\% \]
24. Estandarización
Definimos:
\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]
Si:
\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]
entonces:
\[ \boxed{ Z\sim N(0,1) } \]
25. Significado de la puntuación z
\[ z= \frac{x-\mu}{\sigma} \]
indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor por encima o por debajo de la media.
26. Ejemplo
\[ \mu=100 \]
\[ \sigma=15 \]
\[ x=130 \]
\[ z= \frac{130-100}{15} = 2 \]
El valor está dos desviaciones estándar por encima de la media.
27. Otro ejemplo
\[ x=85 \]
\[ z= \frac{85-100}{15} = -1 \]
Una desviación estándar por debajo de la media.
28. Función \(\Phi\)
Para la normal estándar:
\[ \boxed{ \Phi(z)=P(Z\leq z) } \]
29. Simetría de la normal estándar
\[ \boxed{ \Phi(-z)=1-\Phi(z) } \]
30. Probabilidad a la derecha
\[ \boxed{ P(Z>z)=1-\Phi(z) } \]
31. Probabilidad entre dos valores
\[ \boxed{ P(a<Z<b) = \Phi(b)-\Phi(a) } \]
32. Ejemplo completo
\[ X\sim N(100,15^2) \]
Calcular:
\[ P(X<115) \]
Estandarizamos:
\[ z=1 \]
Por tanto:
\[ P(X<115) = \Phi(1) \approx0,8413 \]
33. Probabilidad superior
\[ P(X>130) \]
\[ z=2 \]
\[ P(Z>2) = 1-\Phi(2) \]
\[ \approx0,0228 \]
34. Probabilidad central
\[ P(85<X<115) \]
corresponde a:
\[ P(-1<Z<1) \]
\[ \approx0,6827 \]
35. Búsqueda inversa
Si:
\[ \Phi(z)=0,95 \]
entonces:
\[ z\approx1,645 \]
36. Valores críticos importantes
90 % central:
\[ z\approx1,645 \]
95 % central:
\[ z\approx1,96 \]
99 % central:
\[ z\approx2,576 \]
37. Por qué 1,96 y no 2
El 95 % central exacto es aproximadamente:
\[ P(-1,96<Z<1,96)=0,95 \]
El valor 2 es una aproximación cómoda.
38. Percentiles
El percentil \(p\) satisface:
\[ P(X\leq x_p)=p \]
Para una normal:
\[ \boxed{ x_p= \mu+z_p\sigma } \]
39. Ejemplo
\[ X\sim N(100,15^2) \]
Percentil 95:
\[ z_{0,95}\approx1,645 \]
\[ x_{0,95} = 100+1,645\cdot15 \]
\[ \approx124,7 \]
40. 95 % central y percentil 95
No son lo mismo.
95 % central:
\[ -1,96<Z<1,96 \]
Percentil 95:
\[ Z\leq1,645 \]
41. Cuándo es plausible la normal
La normal aparece con frecuencia en:
- errores de medición;
- características biológicas;
- medidas físicas;
- sumas de muchos efectos pequeños;
- medias muestrales.
Pero no todos los fenómenos siguen una distribución normal.
42. Comparación entre distribuciones continuas
Uniforme
Valores equiprobables en un intervalo.
Exponencial
Tiempos de espera.
Normal
Fenómenos simétricos con forma de campana.
43. Ejercicios
Ejercicio 1
\[ X\sim U(10,20) \]
\[ P(12<X<16) = \frac4{10} = 0,4 \]
Ejercicio 2
\[ E(X)=15 \]
Ejercicio 3
\[ X\sim Exp(0,5) \]
\[ P(X>4) = e^{-2} \approx0,1353 \]
Ejercicio 4
Tiempo medio:
\[ E(X)=\frac1{0,5}=2 \]
Ejercicio 5
\[ X\sim N(50,10^2) \]
para:
\[ x=70 \]
tenemos:
\[ z=2 \]
44. Síntesis del capítulo 12
Uniforme:
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
\[ E(X)=\frac{a+b}{2} \]
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]
Exponencial:
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
\[ P(X>x)=e^{-\lambda x} \]
\[ E(X)=\frac1\lambda \]
Normal:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
y estandarización:
\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]
Pon a prueba los modelos: abre el laboratorio de distribuciones.
Capítulo 13 – Ley de los grandes números y teorema del límite central
1. Dos resultados diferentes pero relacionados
Cuando repetimos muchas veces un experimento aleatorio suceden dos cosas fundamentales:
- la media observada tiende a estabilizarse;
- la distribución de la media tiende a menudo a adoptar una forma normal.
Estos fenómenos se describen por:
\[ \boxed{\text{Legge dei Grandi Numeri}} \]
y:
\[ \boxed{\text{Teorema Centrale del Limite}} \]
La Ley de los Grandes Números se refiere a hacia qué valor tiende el promedio.
El teorema del límite central se refiere a cómo se distribuye la media.
2. Media muestral
Consideremos:
\[ X_1,X_2,\ldots,X_n \]
Independiente y con la misma distribución.
La media muestral es:
\[ \boxed{ \bar X= \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} } \]
3. Valor esperado de la media
Si:
\[ E(X_i)=\mu \]
entonces:
\[ E(\bar X) = \frac1n \sum_{i=1}^nE(X_i) \]
\[ = \frac{n\mu}{n} \]
por lo tanto:
\[ \boxed{ E(\bar X)=\mu } \]
4. Varianza de la media
Si:
\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2 \]
y las observaciones son independientes:
\[ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} \]
por lo tanto:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} } \]
5. Error estándar
La desviación estándar de la media muestral es:
\[ \boxed{ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
Esta cantidad se llama error estándar de la media.
6. Consecuencia
Aumento de \(n\):
\[ \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
disminuye.
Por lo tanto, los promedios muestrales se concentran cada vez más en torno a:
\[ \mu \]
7. Ejemplo
Supongamos:
\[ \mu=100 \]
\[ \sigma=20 \]
Con:
\[ n=25 \]
tenemos:
\[ SE=\frac{20}{5}=4 \]
Con:
\[ n=100 \]
tenemos:
\[ SE=\frac{20}{10}=2 \]
8. Ley de los grandes números
La Ley de los Grandes Números establece, intuitivamente, que:
\[ \boxed{ \bar X_n\longrightarrow\mu } \]
cuando:
\[ n\to\infty \]
El promedio observado tiende a acercarse al valor esperado.
9. Ejemplo con un dado
Para una nuez normal:
\[ E(X)=3,5 \]
Después de algunos lanzamientos, la media puede ser muy diferente.
Después de muchos lanzamientos, tenderá a estabilizarse cerca de:
\[ 3,5 \]
10. Frecuencia relativa
Consideremos un evento \(A\) y definamos:
\[ X_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Entonces:
\[ E(X_i)=P(A) \]
El promedio:
\[ \bar X = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \]
coincide con la frecuencia relativa.
Entonces:
\[ \boxed{ f_n(A)\to P(A) } \]
11. Lo que NO dice la Ley de los Grandes Números
No dice eso:
después de muchas cruces debe salir cara.
Si los lanzamientos son independientes:
\[ P(T)=\frac12 \]
con cada lanzamiento.
La moneda no "se pone al día" con los resultados anteriores.
12. Versión probabilística
Una formulación importante es:
\[ \boxed{ P(|\bar X_n-\mu|>\varepsilon) \to0 } \]
para:
\[ n\to\infty \]
13. Teorema del límite central
Si:
\[ X_1,\ldots,X_n \]
son independientes y están distribuidas idénticamente con:
\[ E(X_i)=\mu \]
y:
\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty \]
luego para \(n\) grande:
\[ \boxed{ \bar X \approx N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]
14. Formulario estandarizado
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \approx N(0,1) } \]
Esta fórmula será fundamental para la inferencia estadística.
15. El sorprendente resultado
La población inicial puede ser:
- uniforme;
- exponencial;
- discreto;
- asimétrico.
La distribución de la media muestral tiende a ser normal, en condiciones apropiadas.
16. Atención
La TCL no dice que los datos originales se vuelvan normales.
Dice que la distribución de:
\[ \boxed{\bar X} \]
17. Distribución muestral de la media
La distribución de posibles valores de:
\[ \bar X \]
tiene:
\[ E(\bar X)=\mu \]
y:
\[ \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n} \]
18. Aumento de \(n\)
Suceden dos cosas:
- la distribución de la media tiende a la normalidad;
- la dispersión disminuye.
19. Caso especial: población normal
Si:
\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]
entonces:
\[ \boxed{ \bar X \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]
para cualquier \(n\).
20. Ejemplo
Supongamos:
\[ X\sim N(175,10^2) \]
y:
\[ n=25 \]
Entonces:
\[ \bar X \sim N\left( 175, \frac{100}{25} \right) \]
por lo tanto:
\[ \bar X\sim N(175,4) \]
y:
\[ SE=2 \]
21. Probabilidad en promedio
Calculemos:
\[ P(\bar X>178) \]
Estandarizamos:
\[ Z= \frac{178-175}{2} = 1,5 \]
Entonces:
\[ P(\bar X>178) = P(Z>1,5) \approx0,0668 \]
22. Observación única y promedio.
Para una sola observación:
\[ \sigma_X=\sigma \]
Para un promedio:
\[ \boxed{ \sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
Por tanto, el promedio es mucho menos variable.
23. Reducir a la mitad el error estándar
Porque:
\[ SE\propto\frac1{\sqrt n} \]
para reducirlo a la mitad es necesario cuadriplicar \(n\).
24. TCL por la suma
Si:
\[ S_n=X_1+\cdots+X_n \]
entonces:
\[ E(S_n)=n\mu \]
\[ \operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^2 \]
y:
\[ \boxed{ S_n \approx N(n\mu,n\sigma^2) } \]
25. Estandarización de la suma
\[ \boxed{ Z= \frac{ S_n-n\mu }{ \sigma\sqrt n } \approx N(0,1) } \]
26. Conexión con el binomio
Si:
\[ X\sim Bin(n,p) \]
entonces:
\[ E(X)=np \]
\[ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) \]
Para \(n\) grande:
\[ \boxed{ X \approx N(np,np(1-p)) } \]
27. Solución de continuidad
Como el binomio es discreto y la normal es continua:
\[ P(X\leq10) \]
se aproxima con:
\[ P(Y<10,5) \]
y:
\[ P(X=10) \]
con:
\[ P(9,5<Y<10,5) \]
28. Comparación de LGN y TCL
Ley de los Grandes Números:
\[ \boxed{ \bar X\to\mu } \]
Teorema del límite central:
\[ \boxed{ \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \approx N(0,1) } \]
29. Idea final
Podemos recordar:
\[ \boxed{ \text{LGN: la media va verso }\mu } \]
\[ \boxed{ \text{TCL: la media si distribuisce come una normale} } \]
Estos resultados son la base de la estadística inferencial.
Capítulo 14 – Muestreo, estimación puntual e intervalos de confianza.
1. De la probabilidad a la estadística
En probabilidad partimos de un modelo conocido.
En estadística partimos de los datos y queremos conocer la población.
Esquema:
\[ \boxed{ \text{Popolazione} \rightarrow \text{Campione} \rightarrow \text{Inferenza} } \]
2. Población y muestra
La población es el conjunto completo de elementos estudiados.
La muestra es un subconjunto observado.
3. Parámetros y estadísticas
Parámetros de población:
\[ \mu,\quad\sigma^2,\quad p \]
Estadísticas de muestra:
\[ \bar X,\quad S^2,\quad\hat p \]
4. Estimación puntual
Si se desconoce \(\mu\), podemos estimarlo con:
\[ \boxed{ \hat\mu=\bar X } \]
Por ejemplo, si:
\[ \bar x=175,4 \]
estimamos:
\[ \mu\approx175,4 \]
5. Porque no es suficiente
Una estimación calculada a partir de 5 observaciones es menos precisa que la misma estimación calculada a partir de 500 observaciones.
Por tanto, es necesario cuantificar la incertidumbre.
6. Distribución de la media
Sabemos que:
\[ E(\bar X)=\mu \]
y:
\[ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
7. Intervalo de confianza con \(\sigma\) conocido
Si:
\[ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \]
y:
\[ P(-1,96<Z<1,96)\approx0,95 \]
entonces:
\[ \boxed{ \mu \in \bar X \pm 1,96\frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
al nivel de confianza del 95%.
8. Forma general
\[ \boxed{ \bar X \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
donde:
\[ 1-\alpha \]
es el nivel de confianza.
9. Valores críticos
90%:
\[ z\approx1,645 \]
95%:
\[ z\approx1,96 \]
99%:
\[ z\approx2,576 \]
10. Ejemplo completo
Supongamos:
\[ \sigma^2=10,66 \]
\[ n=58 \]
\[ \bar x=175,4 \]
Entonces:
\[ \sigma=\sqrt{10,66}\approx3,265 \]
y:
\[ SE= \frac{3,265}{\sqrt{58}} \approx0,429 \]
11. Rango del 90%
\[ E= 1,645\cdot0,429 \approx0,706 \]
Entonces:
\[ 175,4\pm0,706 \]
es decir, aproximadamente:
\[ \boxed{ [174,69,\ 176,11] } \]
12. Rango del 95%
\[ E= 1,96\cdot0,429 \approx0,841 \]
Entonces:
\[ \boxed{ [174,56,\ 176,24] } \]
13. Rango del 99%
\[ E= 2,576\cdot0,429 \approx1,105 \]
Entonces:
\[ \boxed{ [174,30,\ 176,51] } \]
14. Nivel y amplitud de confianza
A medida que aumenta el nivel de confianza, el intervalo se hace más amplio.
Cuanto más conservadores queramos ser, más tendremos que aceptar una amplia gama.
15. Margen de error
\[ \boxed{ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
El rango es:
\[ \boxed{ \bar X\pm E } \]
16. De qué depende
El margen depende de:
\[ z_{\alpha/2} \]
\[ \sigma \]
\[ n \]
17. Efecto de \(n\)
Si \(n\) aumenta, el rango se estrecha.
Para reducir a la mitad el margen es necesario cuadriplicar la muestra.
18. 95% de interpretación
Formalmente, el parámetro:
\[ \mu \]
está arreglado.
Son los intervalos los que cambian de una muestra a otra.
Si repetimos el muestreo muchas veces, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos contendrán \(\mu\).
19. Cuando se desconoce \(\sigma\)
En la práctica, a menudo se desconoce \(\sigma\).
Lo estimamos con:
\[ s \]
y usamos la distribución:
\[ \boxed{\text{t di Student}} \]
20. Intervalo con t
\[ \boxed{ \bar X \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]
Los grados de libertad son:
\[ \boxed{ n-1 } \]
21. Ejemplo
Supongamos:
\[ n=25 \]
\[ \bar x=50 \]
\[ s=10 \]
Para el 95%, con 24 grados de libertad:
\[ t\approx2,064 \]
Error estándar:
\[ \frac{10}{5}=2 \]
Margen:
\[ 2,064\cdot2=4,128 \]
Rango:
\[ \boxed{ [45,872,\ 54,128] } \]
22. Variación de la muestra
\[ \boxed{ S^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 }{ n-1 } } \]
El denominador \(n-1\) convierte a \(S^2\) en un estimador insesgado de \(\sigma^2\).
23. Intervalo para una proporción
Si:
\[ \hat p=\frac Xn \]
luego, para muestras grandes:
\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]
24. Ejemplo
De 400 personas:
\[ 240 \]
ellos responden que si.
\[ \hat p=\frac{240}{400}=0,6 \]
Error estándar:
\[ SE= \sqrt{ \frac{0,6\cdot0,4}{400} } \approx0,0245 \]
Margen al 95%:
\[ 1,96\cdot0,0245 \approx0,048 \]
Rango:
\[ \boxed{ [0,552,\ 0,648] } \]
25. Muestreo correcto
Una muestra grande pero sesgada puede producir una estimación muy precisa del valor incorrecto.
La calidad del muestreo es crítica.
26. Error sistemático y de muestreo
Error de muestreo:
- por casualidad;
- disminuye al aumentar \(n\).
Error sistemático:
- muestra no representativa;
- errores de medición;
- selección sesgada.
Aumentar \(n\) no lo elimina.
27. Tamaño de muestra para la media
De:
\[ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
obtenemos:
\[ \boxed{ n= \left( \frac{ z_{\alpha/2}\sigma }{ E } \right)^2 } \]
28. Ejemplo
Queremos:
\[ \sigma=12 \]
95% de confianza,
\[ E=2 \]
Entonces:
\[ n= \left( \frac{1,96\cdot12}{2} \right)^2 \approx138,3 \]
Necesitas al menos:
\[ \boxed{139} \]
observaciones.
29. Tamaño de muestra para una proporción
\[ \boxed{ n= \frac{ z_{\alpha/2}^2p(1-p) }{ E^2 } } \]
Si se desconoce \(p\), solemos utilizar:
\[ p=0,5 \]
porque maximiza:
\[ p(1-p) \]
30. Resumen del Capítulo 14
Promedio con nota \(\sigma\):
\[ \boxed{ \bar x \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
Promedio con \(\sigma\) desconocido:
\[ \boxed{ \bar x \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]
Proporción:
\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]
De la muestra al intervalo: sigue el laboratorio guiado.
Capítulo 15 – Pruebas de hipótesis y valores p.
1. De la estimación a la verificación
Supongamos que alguien afirma:
la media poblacional es 100.
Queremos entender si los datos observados son compatibles con esta afirmación.
Así nacen las pruebas de hipótesis.
2. Hipótesis nulas y alternativas
Definamos:
\[ \boxed{H_0} \]
hipótesis nula,
y:
\[ \boxed{H_1} \]
hipótesis alternativa.
Ejemplo:
\[ H_0:\mu=100 \]
\[ H_1:\mu\neq100 \]
3. Principio de prueba
El razonamiento es:
- Asumimos que es verdadero \(H_0\);
- veamos qué tan plausibles son los datos;
- si son demasiado extremos, rechazamos \(H_0\).
4. Estadísticas de prueba
Para un promedio con nota \(\sigma\):
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]
5. Interpretación
\(Z\) mide cuántas unidades de error estándar separan:
\[ \bar X \]
de:
\[ \mu_0 \]
6. Ejemplo
\[ \mu_0=100 \]
\[ \bar x=104 \]
\[ \sigma=12 \]
\[ n=36 \]
Error estándar:
\[ SE=2 \]
Entonces:
\[ Z= \frac{104-100}{2} = 2 \]
7. Prueba bilateral
Si:
\[ H_1:\mu\neq\mu_0 \]
la prueba es bilateral.
Ambas colas son relevantes.
8. Prueba unilateral derecha
Si:
\[ H_1:\mu>\mu_0 \]
buscamos valores grandes del estadístico de prueba.
9. Prueba unilateral izquierda
Si:
\[ H_1:\mu<\mu_0 \]
buscamos valores muy negativos.
10. Nivel de significancia
Elegimos:
\[ \alpha \]
Valores comunes:
\[ 0,10,\quad0,05,\quad0,01 \]
11. Error tipo I
Consiste en rechazar \(H_0\) cuando es cierto.
La probabilidad es:
\[ \boxed{\alpha} \]
12. Región crítica
En una prueba bilateral del 5%:
\[ |Z|>1,96 \]
conduce al rechazo de \(H_0\).
13. Prueba unilateral
Al 5%:
\[ Z>1,645 \]
para una prueba correcta,
o:
\[ Z<-1,645 \]
para una prueba siniestra.
14. valor p
El:
\[ \boxed{p\text{-value}} \]
es la probabilidad, suponiendo que sea verdadero \(H_0\), de observar un resultado al menos tan extremo como el obtenido.
15. Regla de decisión
Si:
\[ p<\alpha \]
rechazamos \(H_0\).
Si:
\[ p\geq\alpha \]
No rechazamos \(H_0\).
16. No rechazar no significa aceptar
No rechazar \(H_0\) solo significa:
los datos no proporcionan pruebas suficientes contra \(H_0\).
No significa que haya demostrado que \(H_0\) sea cierto.
17. Ejemplo completo
Tenemos:
\[ Z=2 \]
En una prueba bilateral del 5%:
\[ |2|>1,96 \]
por lo tanto rechazamos \(H_0\).
El valor p es:
\[ p= 2P(Z\geq2) \]
\[ \approx0,0456 \]
Porque:
\[ 0,0456<0,05 \]
rechazamos \(H_0\).
18. En el nivel del 1%
\[ 0,0456>0,01 \]
por lo que no rechazamos \(H_0\).
19. Importancia estadística
Si:
\[ p<\alpha \]
digamos que el resultado es estadísticamente significativo.
Pero:
\[ \boxed{ \text{significativo} \neq \text{importante} } \]
20. Error tipo II
Consiste en no rechazar \(H_0\) cuando es falso.
Su probabilidad está indicada por:
\[ \boxed{\beta} \]
21. Prueba de potencia
\[ \boxed{ 1-\beta } \]
es la probabilidad de rechazar correctamente \(H_0\) cuando es falso.
22. Cómo aumenta la potencia
Generalmente aumenta cuando:
- aumentar \(n\);
- aumenta el efecto real;
- disminuye la variabilidad;
- aumenta \(\alpha\).
23. prueba t
Si se desconoce \(\sigma\):
\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]
con:
\[ n-1 \]
grados de libertad.
24. Prueba en una proporción
Para:
\[ H_0:p=p_0 \]
utilizamos:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]
25. Ejemplo de proporción
Una empresa declara:
\[ p=0,60 \]
En:
\[ 400 \]
clientes satisfechos:
\[ 260 \]
por lo tanto:
\[ \hat p=0,65 \]
Las estadísticas son aproximadamente:
\[ Z\approx2,04 \]
Porque:
\[ 2,04>1,96 \]
rechazamos \(H_0\) al 5%.
26. Vinculación con intervalo de confianza
Para una prueba bilateral de nivel:
\[ \alpha \]
rechazamos:
\[ H_0:\mu=\mu_0 \]
si:
\[ \mu_0 \]
no pertenece al intervalo de confianza:
\[ 1-\alpha \]
27. Ejemplo
Si el intervalo del 95% es:
\[ [101,2,\ 106,8] \]
el valor:
\[ 100 \]
no pertenece a la gama.
Entonces la prueba del 5% rechaza:
\[ H_0:\mu=100 \]
28. valor p: error común
Si:
\[ p=0,04 \]
no significa:
\(H_0\) tiene un 4% de posibilidades de ser cierto.
El valor p se calcula asumiendo que \(H_0\) es verdadero.
29. Ejemplo práctico
Un fabricante afirma:
\[ \mu=500\text{ g} \]
Queremos comprobar:
\[ H_1:\mu<500 \]
Supongamos:
\[ n=64 \]
\[ \bar x=497 \]
\[ \sigma=12 \]
Entonces:
\[ Z= \frac{497-500}{12/8} = -2 \]
Porque:
\[ -2<-1,645 \]
rechazamos \(H_0\) al 5%.
30. Múltiples pruebas
Si hacemos muchas pruebas, aumenta el riesgo de falsos positivos.
Una solución sencilla es Bonferroni:
\[ \boxed{ \alpha^\ast= \frac{\alpha}{m} } \]
donde \(m\) es el número de prueba.
31. Tamaño del efecto
Un valor p pequeño no implica necesariamente un efecto grande.
También es útil considerar:
- diferencia observada;
- intervalo de confianza;
- medición del efecto.
32. Procedimiento general
- definir el parámetro;
- escriba \(H_0\) y \(H_1\);
- elija \(\alpha\);
- calcular la estadística de prueba;
- calcular el valor p;
- tomar la decisión;
- interpretar en contexto.
33. Resumen del Capítulo 15
Prueba Z:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]
prueba t:
\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]
Prueba de proporción:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]
Error tipo I:
\[ \alpha \]
Error tipo II:
\[ \beta \]
Poder:
\[ 1-\beta \]
Capítulo 16 – Covarianza, correlación y regresión lineal.
1. De una variable a dos variables
Muchas veces queremos estudiar dos variables al mismo tiempo.
Ejemplos:
- altura y peso;
- horas de estudio y calificación;
- temperatura y consumo;
- publicidad y ventas.
La pregunta es:
¿Existe una relación entre \(X\) y \(Y\)?
2. Pares de observaciones
Observamos:
\[ (x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n) \]
Cada observación es un par.
3. Diagrama de dispersión
El diagrama de dispersión representa:
\[ X \]
en el eje horizontal y:
\[ Y \]
en el vertical.
Puede mostrar:
- relación positiva;
- negativo;
- ausencia de relación lineal;
- relación curva;
- valores atípicos.
4. Covarianza
La covarianza es:
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]
5. Fórmula alternativa
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) } \]
6. Interpretación
Si:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)>0 \]
las variables tienden a moverse en la misma dirección.
Si:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)<0 \]
tienden a moverse en direcciones opuestas.
7. Covarianza de muestra
\[ \boxed{ s_{XY} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ n-1 } } \]
8. Límite de covarianza
Depende de las unidades de medida.
Por eso es difícil comparar directamente su tamaño.
9. Correlación
Estandaricemos la covarianza:
\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]
En la muestra:
\[ \boxed{ r= \frac{ s_{XY} }{ s_Xs_Y } } \]
10. Intervalo
\[ \boxed{ -1\leq r\leq1 } \]
11. Interpretación
\[ r\approx1 \]
fuerte relación lineal positiva.
\[ r\approx-1 \]
fuerte relación lineal negativa.
\[ r\approx0 \]
relación lineal débil o ausente.
12. Correlación cero no significa independencia
También puede existir una relación no lineal cuando:
\[ r=0 \]
Por ejemplo:
\[ Y=X^2 \]
con \(X\) simétrico alrededor de cero.
13. Correlación no implica causalidad
\[ \boxed{ \text{correlazione}\neq\text{causalità} } \]
Dos variables pueden correlacionarse debido al efecto de una tercera variable.
14. Regresión lineal
El modelo más simple es:
\[ \boxed{ Y=a+bX+\varepsilon } \]
donde:
- \(a\) = interceptar;
- \(b\) = coeficiente angular;
- \(\varepsilon\) = error.
15. Matrícula estimada
\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]
16. Significado de \(b\)
El coeficiente:
\[ b \]
indica cuánto varía \(Y\) en promedio cuando \(X\) aumenta en una unidad.
17. Residuo
\[ \boxed{ e_i=y_i-\hat y_i } \]
Es la diferencia entre el valor observado y el valor predicho.
18. Mínimos cuadrados
La línea recta se elige minimizando:
\[ \boxed{ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat y_i)^2 } \]
19. Pendiente
\[ \boxed{ b= \frac{ \sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ \sum(x_i-\bar x)^2 } } \]
equivalentemente:
\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} } \]
20. Interceptar
\[ \boxed{ a= \bar y-b\bar x } \]
La línea siempre pasa por:
\[ (\bar x,\bar y) \]
21. Conexión con correlación
\[ \boxed{ b= r\frac{s_Y}{s_X} } \]
El signo de \(b\) coincide con el signo de \(r\).
22. Ejemplo
Supongamos:
\[ \bar x=4 \]
\[ \bar y=10 \]
\[ s_X=2 \]
\[ s_Y=6 \]
\[ r=0,5 \]
Entonces:
\[ b= 0,5\cdot\frac62 = 1,5 \]
y:
\[ a= 10-1,5\cdot4 = 4 \]
Entonces:
\[ \boxed{ \hat Y=4+1,5X } \]
23. Predicción
Para:
\[ X=6 \]
tenemos:
\[ \hat Y= 4+1,5\cdot6 = 13 \]
24. Interpolación y extrapolación
Interpolación:
pronóstico dentro del rango observado.
Extrapolación:
pronóstico fuera del rango observado.
La extrapolación es más arriesgada.
25. Coeficiente de determinación
En regresión lineal simple con intersección:
\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]
26. Interpretación
Si:
\[ R^2=0,64 \]
Aproximadamente el 64% de la variabilidad de \(Y\) se describe mediante el modelo lineal.
27. Valores atípicos
Un valor extremo puede modificar fuertemente:
- \(r\);
- pendiente;
- interceptar.
Debe analizarse, no eliminarse automáticamente.
28. Residuos
Un buen modelo lineal debería producir residuos:
- centrado alrededor de cero;
- sin patrón;
- con una dispersión bastante constante.
29. Homocedasticidad
Si la dispersión del error es constante:
\[ \boxed{\text{omoschedasticità}} \]
Si cambia a \(X\):
\[ \boxed{\text{eteroschedasticità}} \]
30. Prueba de pendiente
Podemos verificar:
\[ H_0:b=0 \]
en contra:
\[ H_1:b\neq0 \]
con una estadística como:
\[ \boxed{ t= \frac{\hat b}{SE(\hat b)} } \]
31. Ejemplo de horas de estudio
Supongamos:
\[ \hat Y=18+4X \]
Pendiente 4 significa:
cada hora adicional de estudio se asocia con un aumento medio de 4 puntos.
No significa necesariamente causalidad.
32. Variables de confusión
La relación observada puede verse influenciada por:
- preparación inicial;
- motivación;
- dificultad;
- otros factores.
33. Ejercicios
Ejercicio 1
Si:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=12 \]
\[ \sigma_X=3 \]
\[ \sigma_Y=8 \]
entonces:
\[ r= \frac{12}{24} = 0,5 \]
Ejercicio 2
Si:
\[ r=-0,7 \]
tenemos una relación lineal negativa bastante fuerte.
Ejercicio 3
Si:
\[ r=0 \]
No podemos concluir la independencia.
Ejercicio 4
Si:
\[ \hat Y=12+3X \]
para:
\[ X=4 \]
obtenemos:
\[ \hat Y=24 \]
Ejercicio 5
Si:
\[ r=0,9 \]
entonces:
\[ R^2=0,81 \]
es decir:
\[ 81\% \]
34. Resumen del Capítulo 16
Covarianza:
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]
Correlación:
\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]
Tarifa:
\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]
Pendiente:
\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} = r\frac{s_Y}{s_X} } \]
Interceptar:
\[ \boxed{ a=\bar y-b\bar x } \]
Coeficiente de determinación:
\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]
Idea fundamental:
\[ \boxed{ \text{correlazione non implica causalità} } \]
Capítulo 17 – Distribuciones hipergeométrica y binomial negativa
1. Dos nuevos modelos discretos
Hay dos situaciones que no encajan perfectamente en los modelos ya estudiados:
- extracciones sin reemplazo;
- ensayos repetidos hasta alcanzar el \(r\)-ésimo éxito.
Estas situaciones conducen, respectivamente, a:
\[ \boxed{\text{distribuzione ipergeometrica}} \]
y a:
\[ \boxed{\text{distribuzione binomiale negativa}} \]
2. Por qué no basta el modelo binomial
El modelo binomial exige:
- probabilidad de éxito constante;
- ensayos independientes.
Si extraemos sin reemplazo, cambia la composición de la población.
Por tanto, también cambia la probabilidad de éxito.
3. Distribución hipergeométrica
Supongamos que tenemos:
\[ N \]
elementos en total, de los cuales:
\[ K \]
son éxitos.
Extraemos:
\[ n \]
elementos sin reemplazo.
Definimos:
\[ X=\text{numero di successi estratti} \]
Entonces:
\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]
4. Fórmula
\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk \binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]
5. Interpretación
El denominador:
\[ \binom Nn \]
cuenta todas las muestras posibles.
El numerador cuenta:
- \(k\) éxitos entre \(K\);
- \(n-k\) fracasos entre \(N-K\).
6. Ejemplo
Una urna contiene:
- 6 bolas rojas;
- 4 bolas azules.
Extraemos 3 bolas sin reemplazo.
La probabilidad de obtener exactamente 2 bolas rojas es:
\[ P(X=2) = \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]
\[ = \frac{15\cdot4}{120} = \frac12 \]
7. Valor esperado
\[ \boxed{ E(X)=n\frac KN } \]
8. Varianza
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = n\frac KN \left(1-\frac KN\right) \frac{N-n}{N-1} } \]
El factor:
\[ \frac{N-n}{N-1} \]
es la corrección por población finita.
9. Comparación con la binomial
Con reemplazo, o con una población muy grande:
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
Sin reemplazo en una población finita:
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
10. Ejemplo con cartas
Extraemos 5 cartas de una baraja de 52.
La probabilidad de obtener exactamente 2 ases es:
\[ \boxed{ P(X=2) = \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]
11. Al menos un éxito
\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]
Por tanto:
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1- \frac{ \binom{N-K}{n} }{ \binom Nn } } \]
12. Distribución binomial negativa
La distribución geométrica responde:
¿cuántos ensayos hacen falta hasta el primer éxito?
La distribución binomial negativa responde:
¿cuántos ensayos hacen falta hasta el \(r\)-ésimo éxito?
13. Definición
Consideremos ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito:
\[ p \]
Definimos:
\[ X=\text{numero di prove necessarie per ottenere }r\text{ successi} \]
Entonces:
\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]
14. Fórmula
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]
con:
\[ k=r,r+1,\ldots \]
15. Por qué funciona
Para que el \(r\)-ésimo éxito llegue en el ensayo \(k\):
- entre los primeros \(k-1\) ensayos debe haber \(r-1\) éxitos;
- el ensayo \(k\) debe ser un éxito.
16. Ejemplo
Una moneda equilibrada.
¿Cuál es la probabilidad de que la tercera cara aparezca en el quinto lanzamiento?
\[ P(X=5) = \binom42 \left(\frac12\right)^3 \left(\frac12\right)^2 \]
\[ = \frac3{16} \]
17. Media y varianza
\[ \boxed{ E(X)=\frac rp } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} } \]
18. La geométrica como caso particular
Si:
\[ r=1 \]
obtenemos:
\[ \boxed{ Geom(p)=NB(1,p) } \]
19. Comparación final
Binomial:
\[ \boxed{\text{numero di prove fisso}} \]
\[ \boxed{\text{numero di successi casuale}} \]
Binomial negativa:
\[ \boxed{\text{numero di successi fissato}} \]
\[ \boxed{\text{numero di prove casuale}} \]
20. Síntesis del capítulo 17
Hipergeométrica:
\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk\binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]
Binomial negativa:
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]
Capítulo 18 – Cómo reconocer la distribución correcta
1. El verdadero problema
Muchas veces la dificultad no es la fórmula.
La verdadera pregunta es:
\[ \boxed{ \text{quale distribuzione devo usare?} } \]
2. Primera distinción
La variable es:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
o:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
3. Variables discretas
Ejemplos:
- número de clientes;
- número de defectos;
- número de éxitos;
- número de intentos.
Distribuciones principales:
- Bernoulli;
- Binomio;
- Geométrico;
- Binomio negativo;
- Hipergeométrico;
- Poison.
4. Variables continuas
Ejemplos:
- altura;
- tiempo;
- temperatura;
- peso.
Distribuciones principales:
- Uniforme;
- Exponencial;
- Normal.
5. Bernoulli
Sólo una prueba:
\[ \boxed{\text{successo/insuccesso}} \]
6. Binomio
Número fijo de pruebas.
Pregunta:
¿cuántos éxitos?
\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]
7. Geométrico
Pregunta:
¿Cuántas pruebas hasta el primer éxito?
\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]
8. Binomio negativo
Pregunta:
¿Cuántas pruebas hasta el éxito del \(r\)?
\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]
9. Hipergeométrico
Extracción sin reemplazo de una población finita.
\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]
10. Veneno
Pregunta:
¿cuántos eventos hay en un intervalo?
\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]
11. Uniforme
Todos los valores en un intervalo son igualmente plausibles.
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
12. Exponencial
Pregunta:
¿cuánto falta para el próximo evento?
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
13.Normal
Fenómeno continuo, simétrico y acampanado:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
14. Ruta de decisión discreta
¿Solo una prueba?
\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]
Número fijo de intentos, ¿cuento los éxitos?
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
¿Primer éxito?
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
\(r\) ¿ésimo éxito?
\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]
¿Sin reintegro?
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
¿Eventos en un intervalo?
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
15. Proceso continuo de toma de decisiones
¿Valores equiparables?
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
¿Tiempo de espera?
\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]
¿Campana simétrica?
\[ \boxed{\text{Normale}} \]
16. Ejemplo: moneda 10 veces
Probabilidad de exactamente 7 caras.
Número fijo de pruebas:
\[ n=10 \]
Entonces:
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
17. Misma moneda hasta la primera cara.
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
18. Misma moneda hasta la tercera cara.
\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]
19. Urna sin reinserción
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
20. Seis llamadas por hora
Número de llamadas:
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
Tiempo hasta la próxima:
\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]
21. Autobús en una zona
Si cada momento entre las 8:00 y las 8:20 es igualmente probable:
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
22. Altura normalmente distribuida
\[ \boxed{\text{Normale}} \]
23. Modelo exacto y aproximación.
Ejemplo:
\[ X\sim Bin(5000,0,001) \]
Es el modelo exacto.
Porque:
\[ np=5 \]
podemos usar:
\[ Poisson(5) \]
como una aproximación.
24. Aproximaciones importantes
Binomial versus Poisson:
\[ n\text{ grande},\ p\text{ piccolo} \]
Binomial versus normal:
\[ n\text{ grande} \]
Poisson hacia la normalidad:
\[ \lambda\text{ grande} \]
25. Regla fundamental
Pregúntate siempre:
\[ \boxed{ \text{che cosa è fissato e che cosa è casuale?} } \]
26. Errores frecuentes
Confundir:
- Poisson y exponencial;
- binomial y geométrica;
- binomial e hipergeométrica;
- distribución de datos y distribución de la media.
27. Modelo y realidad
Una distribución es un modelo.
No decimos:
la realidad es un Poisson.
Nosotros decimos:
Poisson es un modelo útil para describir el fenómeno.
28. Resumen del Capítulo 18
\[ \boxed{ \text{fenomeno} \rightarrow \text{variabile} \rightarrow \text{ipotesi} \rightarrow \text{distribuzione} \rightarrow \text{calcolo} } \]
Primero comprenda el fenómeno, luego elija la fórmula.
Capítulo 19 – Simulación Monte Carlo y verificación experimental.
1. ¿Por qué simular?
Muchos problemas pueden estudiarse mediante computadora simulando el experimento aleatorio muchas veces.
La idea es:
\[ \boxed{ \text{probabilità} \approx \text{frequenza relativa in molte simulazioni} } \]
2. Frecuencia relativa
Si ocurre un evento \(A\):
\[ N_A \]
veces en:
\[ N \]
simulaciones:
\[ \boxed{ \hat p= \frac{N_A}{N} } \]
3. Ejemplo con moneda
10 lanzamientos pueden dar:
\[ 6 \]
cabezas.
Entonces:
\[ \hat p=0,6 \]
Con 10000 lanzamientos podríamos obtener:
\[ 0,502 \]
La frecuencia tiende a:
\[ 0,5 \]
4. Conexión con la Ley de los Grandes Números
Definamos:
\[ I_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ avviene}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Entonces:
\[ \hat p= \frac1N\sum_{i=1}^NI_i \]
y:
\[ \hat p\to P(A) \]
5. Dos dados
Probabilidad teórica de la suma 7:
\[ \frac16 \]
Simulando 100.000 lanzamientos y obteniendo 16642 veces la suma 7:
\[ \hat p= 0,16642 \]
muy cerca de:
\[ 0,16667 \]
6. ¿Qué es Montecarlo?
El método Monte Carlo utiliza simulaciones aleatorias repetidas para estimar cantidades matemáticas.
Procedimiento:
- generar resultados aleatorios;
- calcular el monto de los intereses;
- repetir muchas veces;
- hacer un promedio o frecuencia.
7. Estimación de Montecarlo
\[ \boxed{ \hat p_N= \frac1N \sum_{i=1}^{N}I_i } \]
8. Error estándar de Montecarlo
\[ \boxed{ SE(\hat p) = \sqrt{ \frac{p(1-p)}{N} } } \]
En la práctica utilizamos:
\[ \hat p \]
en lugar de \(p\).
9. Consecuencia
El error disminuye como:
\[ \frac1{\sqrt N} \]
Para reducirlo a la mitad es necesario cuadriplicar el número de simulaciones.
10. Intervalo de Montecarlo
Aproximadamente:
\[ \boxed{ \hat p \pm 1,96 \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{N} } } \]
11. Estimación de \(\pi\)
Generemos puntos aleatorios en el cuadrado:
\[ [-1,1]\times[-1,1] \]
Un punto pertenece a la circunferencia si:
\[ X^2+Y^2\leq1 \]
Porque:
\[ P(\text{cerchio})=\frac{\pi}{4} \]
tenemos:
\[ \boxed{ \pi \approx 4\frac{N_C}{N} } \]
12. Montecarlo para integrales
Si:
\[ U\sim U(a,b) \]
entonces:
\[ E[f(U)] = \frac1{b-a} \int_a^bf(x)\,dx \]
Entonces:
\[ \boxed{ \int_a^bf(x)\,dx \approx (b-a) \frac1N \sum_{i=1}^{N}f(U_i) } \]
13. Simular la ley de los números grandes
Podemos:
- generar datos;
- calcular el promedio móvil;
- representarlo gráficamente;
- compárelo con \(\mu\).
14. Simular el TCL
Procedimiento:
- elija una distribución no normal;
- extraer una muestra de tamaño \(n\);
- calcular el promedio;
- repetir miles de veces;
- construir el histograma de los promedios.
A medida que aumenta \(n\), emerge la forma normal.
15. Estandarización de promedios
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } } \]
Los \(Z\) simulados deberían verse así:
\[ N(0,1) \]
16. Simulación de un binomio
Para:
\[ X\sim Bin(20,0,3) \]
Simulemos 20 ensayos de Bernoulli y contemos los éxitos.
Repetimos muchas veces.
El histograma empírico tenderá hacia la distribución teórica.
17. Simulación de Poisson
Para:
\[ X\sim Poisson(4) \]
simulamos muchos valores.
Debemos observar:
\[ \bar X\approx4 \]
y:
\[ s^2\approx4 \]
18. Generadores pseudoaleatorios
Las computadoras suelen utilizar números:
\[ \boxed{\text{pseudocasuali}} \]
La semilla te permite reproducir la misma secuencia.
19. Método inverso
Si:
\[ U\sim U(0,1) \]
y \(F\) es invertible:
\[ \boxed{ X=F^{-1}(U) } \]
Tiene distribución \(F\).
20. Ejemplo exponencial
Para:
\[ F(x)=1-e^{-\lambda x} \]
obtenemos:
\[ \boxed{ X= -\frac{\ln U}{\lambda} } \]
21. Eventos raros
Si:
\[ P(A)=10^{-8} \]
Es posible que incluso millones de simulaciones nunca observen \(A\).
Direct Monte Carlo se vuelve ineficiente.
22. Arranque
El bootstrap utiliza los datos observados y genera nuevas muestras con reinserción.
Procedimiento:
- muestra original;
- remuestreo con reinserción;
- cálculo de estadísticas;
- repetición;
- estudio de la distribución empírica.
23. Utilidad de arranque
Le permite estimar:
- error estándar;
- inclinación;
- intervalos de confianza;
incluso para estadísticas complicadas.
24. Laboratorio en línea
Un simulador podría preguntar:
- distribución;
- parámetros;
- número de simulaciones;
- evento.
Y mostrar:
- frecuencia;
- probabilidad teórica;
- error;
- histograma;
- media y varianza.
25. Laboratorio TCL
El usuario elige:
- distribución inicial;
- tamaño de muestra \(n\);
- número de simulaciones.
El programa muestra el histograma de los promedios.
26. Laboratorio de intervalos de confianza
Se pueden simular 100 intervalos del 95%.
Acerca de:
\[ 95 \]
deben contener el valor verdadero.
Esto hace visible el significado frecuentista de confianza.
27. Laboratorio de prueba de hipótesis.
Con verdadero \(H_0\):
\[ \alpha=0,05 \]
Repitiendo muchas pruebas deberíamos rechazar incorrectamente \(H_0\) en aproximadamente el 5% de los casos.
28. Teoría y simulación.
La teoría:
\[ \boxed{\text{spiega perché}} \]
La simulación:
\[ \boxed{\text{mostra cosa accade}} \]
Son herramientas complementarias.
29. Resumen del Capítulo 19
Procedimiento de Montecarlo:
- definir el experimento;
- generar datos aleatorios;
- calcular el resultado;
- repetir muchas veces;
- resumir frecuencias y promedios.
Prueba las simulaciones: abre el laboratorio interactivo.
Capítulo 20 – De los datos a la distribución
1. El problema inverso
Hasta ahora hemos hecho a menudo:
\[ \boxed{ \text{distribuzione} \rightarrow \text{probabilità} } \]
En la práctica podemos tener:
\[ x_1,x_2,\ldots,x_n \]
y quiero entender:
\[ \boxed{ \text{quale distribuzione potrebbe aver generato i dati?} } \]
2. Primer paso: discreto o continuo
Datos de recuento de números enteros:
\[ 0,1,2,\ldots \]
sugerir una variable discreta.
Medidas reales:
\[ 2,13,\ 5,78,\ 9,41 \]
sugerir una variable continua.
3. Entender el fenómeno
No basta con mirar el gráfico.
También necesitamos entender cómo se generan los datos.
Por ejemplo:
- cuenta → Poisson;
- tiempos de espera → exponencial;
- éxitos → binomial;
- medidas simétricas → normales.
4. Estadísticas descriptivas
Calculemos:
- numerosidad;
- mínimo;
- máximo;
- promedio;
- mediana;
- variación;
- desviación estándar;
- cuartiles;
- percentiles.
5. Promedio
\[ \boxed{ \bar x= \frac1n \sum_{i=1}^{n}x_i } \]
6. Variación de la muestra
\[ \boxed{ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 }{ n-1 } } \]
7. Cuartiles y IQR
\[ \boxed{ IQR=Q_3-Q_1 } \]
Mida la dispersión de la parte central.
8. Histograma
El histograma te permite observar:
- simetría;
- asimetría;
- picos;
- colas;
- valores atípicos.
9. Distribución simétrica
Si el histograma tiene forma de campana y es simétrico, puede ser plausible una normalidad.
10. Asimetría hacia la derecha
Muchos valores pequeños y unos pocos valores grandes pueden sugerir patrones como el exponencial.
11. Uniformidad
Si el histograma es lo suficientemente plano:
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
podría ser candidato.
12. Multimodalidad
Múltiples picos pueden indicar una mezcla de diferentes poblaciones.
En este caso, una simple implementación puede no ser suficiente.
13. Diagrama de caja
Mostrar:
- cuartiles;
- mediana;
- dispersión;
- valores extremos.
14. Valores atípicos
Una regla común considera valores inferiores a: sospechosos.
\[ Q_1-1,5IQR \]
o mayor que:
\[ Q_3+1,5IQR \]
Pero no deberían eliminarse automáticamente.
15. Poisson: media y varianza
Para un Poisson:
\[ E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda \]
Entonces si:
\[ \bar x\approx s^2 \]
un Poisson puede ser plausible.
16. Sobredispersión
Si:
\[ s^2\gg\bar x \]
puede haber sobredispersión.
Un binomio negativo puede ser más adecuado.
17. Exponencial
Para una exponencial:
\[ E(X)=\sigma \]
Por lo tanto, los datos positivos, asimétricos a la derecha, con media y desviación estándar similares, pueden sugerir un modelo exponencial.
18.Normal
Para uno normal esperamos:
- simetría;
- cierre de media y mediana;
- un único pico;
- colas en ambos lados.
19. Regla 68–95–99.7
Podemos comprobar cuántos valores caen dentro de:
\[ \bar x\pm s \]
\[ \bar x\pm2s \]
\[ \bar x\pm3s \]
y comparar con:
\[ 68\%,95\%,99,7\% \]
20. Trama Q-Q
El gráfico Q-Q compara:
- cuantiles observados;
- cuantiles teóricos.
Si los puntos están casi alineados, el modelo puede ser plausible.
21. Función empírica
\[ \boxed{ F_n(x) = \frac{ \#\{x_i\leq x\} }{ n } } \]
Se puede comparar con una función teórica:
\[ F(x) \]
22. Prueba de adaptación
Podemos utilizar pruebas de bondad de ajuste.
Ejemplo:
\[ \boxed{\chi^2} \]
con estadísticas:
\[ \boxed{ \chi^2 = \sum_i \frac{ (O_i-E_i)^2 }{ E_i } } \]
23. Hipótesis
\[ H_0: \text{il modello è compatibile con i dati} \]
en contra:
\[ H_1: \text{il modello non è adeguato} \]
24. Kolmogorov-Smirnov
Comparar:
\[ F_n(x) \]
y:
\[ F(x) \]
a través de:
\[ \boxed{ D= \sup_x|F_n(x)-F(x)| } \]
25. Prueba de normalidad
Entre los más utilizados:
- Shapiro-Wilk;
- Anderson-Darling;
- Kolmogorov-Smirnov en versiones apropiadas.
26. Una prueba no es suficiente
Con muestras pequeñas puede que tenga poca potencia.
Con muestras enormes se pueden detectar pequeñas diferencias.
Mejor combinar:
\[ \boxed{ \text{grafici} + \text{indicatori} + \text{test} + \text{conoscenza del fenomeno} } \]
27. Estimación de parámetros
veneno:
\[ \boxed{ \hat\lambda=\bar x } \]
Exponencial:
\[ \boxed{ \hat\lambda=\frac1{\bar x} } \]
Normalidades:
\[ \boxed{ \hat\mu=\bar x } \]
\[ \boxed{ \hat\sigma\approx s } \]
Binomio:
\[ \boxed{ \hat p=\frac{\bar x}{n} } \]
si se conoce \(n\).
28. Método de momentos
La idea es igualar momentos teóricos y muestrales.
Si:
\[ E(X)=g(\theta) \]
digamos:
\[ \bar x=g(\hat\theta) \]
y obtenemos:
\[ \hat\theta \]
29. Máxima probabilidad
La máxima verosimilitud elige parámetros que hacen que los datos observados sean lo más plausibles posible.
\[ \boxed{ \hat\theta = \arg\max_\theta L(\theta) } \]
30. Ejemplo de Bernoulli
Con:
\[ k \]
visitas a:
\[ n \]
pruebas:
\[ \boxed{ \hat p=\frac kn } \]
31. Compara varios modelos
Podemos comparar:
- histograma;
- densidades teóricas;
- Gráfico Q-Q;
- prueba de adaptación;
- criterios estadísticos.
32. Ahorro
Si dos modelos describen los datos de la misma manera, normalmente preferimos el más simple.
33. El ejemplo cuenta
Supongamos:
\[ \bar x=3,1 \]
\[ s^2=3,3 \]
Un Poisson puede ser plausible.
Estimamos:
\[ \hat\lambda=3,1 \]
34. Ejemplo de tiempos de espera
Supongamos:
\[ \bar x=5,2 \]
\[ s=5,0 \]
y una fuerte asimetría hacia la derecha.
Una exponencial puede ser plausible.
\[ \hat\lambda = \frac1{5,2} \approx0,192 \]
35. Ejemplo normal
Supongamos:
\[ \bar x=170,3 \]
\[ s=7,4 \]
con histograma simétrico.
Modelo candidato:
\[ \boxed{ N(170,3,7,4^2) } \]
36. Simulador automático
Un programa podría:
- leer los datos;
- clasificar discreto/continuo;
- calcular estadísticas;
- construir gráficos;
- proponer modelos;
- estimar los parámetros;
- comparar modelos;
- devolver una opinión de compatibilidad.
37. Salida correcta
Mejor decir:
el modelo normal parece compatible con los datos
en lugar de:
los datos ciertamente siguen una normalidad.
38. Si ningún modelo funciona
Puedes responder:
\[ \boxed{ \text{nessuna delle distribuzioni considerate descrive adeguatamente i dati} } \]
No es necesario forzar el modelo.
39. Simular a partir del modelo estimado.
Después de estimar un modelo podemos generar nuevos datos y compararlos con datos reales.
Esto permite una comprobación de idoneidad muy intuitiva.
40. Esquema final
\[ \boxed{ \text{Dati} \rightarrow \text{Grafici} \rightarrow \text{Indicatori} \rightarrow \text{Modello} \rightarrow \text{Stima} \rightarrow \text{Controllo} } \]
41. Idea final
La probabilidad comienza desde el modelo:
\[ \boxed{ \text{modello} \rightarrow \text{dati} } \]
Las estadísticas suelen tomar el camino opuesto:
\[ \boxed{ \text{dati} \rightarrow \text{modello} } \]
El ciclo completo se convierte en:
\[ \boxed{ \text{osservare} \rightarrow \text{ipotizzare} \rightarrow \text{verificare} \rightarrow \text{simulare} } \]
Esta es una de las formas más completas de comprender la probabilidad y la estadística.