Probabilités et statistique : un parcours en 20 chapitres

1. Pourquoi la probabilité apparaît

Dans de nombreux problèmes mathématiques, en connaissant les conditions initiales, nous pouvons déterminer le résultat avec certitude.

Par exemple :

\[ 7+5=12 \]

ou, si une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h pendant 2 heures, elle roule :

\[ 80\cdot2=160\text{ km} \]

Il existe cependant des situations dans lesquelles nous ne sommes pas en mesure de prédire avec certitude ce qui va se passer.

Si nous tirons à pile ou face, nous ne savons pas à l’avance si elle tombera sur pile ou sur face.

Si nous lançons un dé, nous savons que le résultat sera l’un des nombres suivants :

\[ 1,2,3,4,5,6 \]

mais nous ne savons pas lequel.

Les probabilités ont été créées précisément pour étudier mathématiquement des situations de ce type.

Il n'essaie pas nécessairement de prédire le résultat individuel avec certitude, mais il essaie de mesurer dans quelle mesure il est plausible qu'un résultat donné se produise.

2. Expérience déterministe et expérience aléatoire

Expérience déterministe

Une expérience est dite déterministe lorsque, dans les mêmes conditions, elle produit toujours le même résultat.

Par exemple :

• calculer \(5+7\) ;
• laisser tomber un objet dans des conditions idéales ;
• calculer l'aire d'un carré de 4 cm de côté.

Le résultat est entièrement déterminé par les conditions initiales.

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire, également appelée expérience aléatoire, est une expérience pour laquelle nous connaissons les résultats possibles, mais nous ne pouvons pas savoir avec certitude lesquels d'entre eux se produiront avant de réaliser l'expérience.

Exemples :

• lancer une pièce de monnaie ;
• lancer un dé ;
• extraire une carte d'un jeu ;
• choisir au hasard une personne dans une population ;
• observer le nombre de clients qui entrent dans un magasin en une heure ;
• mesurer le temps nécessaire à la défaillance d'un composant électronique.

Le mot aléatoire ne signifie pas que nous ne savons rien.

Au contraire, nous pouvons souvent connaître parfaitement l’ensemble des résultats possibles.

Ce que nous ne savons pas, c'est quel résultat va se produire.

3. Résultat d'une expérience

Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé un résultat.

Pensez à lancer un dé.

Les résultats possibles sont :

\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]

Si le dé indique 4, on dit que le résultat s'est produit :

\[ 4 \]

Lorsque l’on lance une pièce de monnaie, les résultats sont :

\[ T,\ C \]

où :

• \(T\) = tête ;
• \(C\) = queues.

4. L'espace échantillon

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé espace échantillon.

Il est généralement indiqué par la lettre grecque :

\[ \Omega \]

ou, dans certains textes, avec \(S\).

Exemple 1 – Lancer une pièce de monnaie

\[ \Omega=\{T,C\} \]

Exemple 2 – Lancer un dé

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Exemple 3 – Piocher une carte

Supposons que nous piochions une carte dans un jeu italien normal de 40 cartes.

L’espace échantillon contient les 40 cartes.

On peut écrire :

\[ \Omega=\{\text{tutte le 40 carte del mazzo}\} \]

5. L'espace d'échantillonnage dépend de ce que nous observons

Pensez à lancer un dé.

Si nous sommes intéressés par le numéro obtenu :

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Si toutefois nous souhaitons uniquement savoir si le résultat est pair ou impair :

\[ \Omega=\{\text{pari},\text{dispari}\} \]

L'expérience physique est la même.

Les informations que nous voulons observer ont changé.

6. Tirage à deux pièces

Nous lançons deux pièces en même temps.

L’espace échantillon correct est :

\[ \Omega= \{TT,TC,CT,CC\} \]

Nous avons quatre résultats possibles.

Il est important de distinguer :

\[ TC \]

de :

\[ CT \]

car ils représentent deux résultats différents si l’on distingue la première pièce de la seconde.

7. Lancez deux dés

Nous lançons deux dés.

Le résultat peut être représenté par une paire ordonnée :

\[ (i,j) \]

où :

• \(i\) est le résultat du premier dé ;
• \(j\) est le résultat de la seconde.

Par exemple :

\[ (2,5) \]

signifie :

• premier dé : 2 ;
• deuxième dé : 5.

L'espace échantillon contient :

\[ 6\cdot6=36 \]

résultats.

On peut écrire :

\[ \Omega= \{(i,j):i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\} \]

8. Événement

Un événement est un ensemble d'un ou plusieurs résultats d'espace d'échantillonnage.

Mathématiquement :

\[ A\subseteq\Omega \]

c'est-à-dire qu'un événement est un sous-ensemble de l'espace échantillon.

Exemple

Lançons un dé.

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Considérons l'événement :

un nombre pair sort.

Ensuite :

\[ A=\{2,4,6\} \]

L'événement \(A\) se produit lorsque le résultat du lancer appartient à l'ensemble \(A\).

9. Événement élémentaire

Un événement constitué d'un seul résultat est appelé un événement élémentaire.

Par exemple :

\[ A=\{3\} \]

représente :

sorties 3.

10. Événement composé

Un événement composé de plusieurs résultats est appelé un événement composé.

Par exemple :

\[ A=\{2,4,6\} \]

représente :

un nombre pair sort.

11. Certains événements

Un événement qui coïncide avec l'ensemble de l'espace échantillon est appelé un certain événement.

Lorsque vous lancez un dé :

un chiffre entre 1 et 6 sort

correspond à :

\[ \Omega \]

Sa probabilité sera :

\[ P(\Omega)=1 \]

12. Événement impossible

Un événement qui ne contient aucun résultat est appelé un événement impossible.

Il est représenté par l'ensemble vide :

\[ \varnothing \]

Par exemple :

lancer un dé sort 8

c'est impossible.

Donc :

\[ P(\varnothing)=0 \]

13. Événement et phrase

Considérons :

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Événement :

un nombre supérieur à 4 sort.

\[ A=\{5,6\} \]

Événement :

un nombre impair sort.

\[ B=\{1,3,5\} \]

Événement :

un multiple de 3 sort.

\[ C=\{3,6\} \]

Il est essentiel de traduire correctement le langage en ensembles.

14. Exemple avec deux dés

Lançons deux dés et considérons :

la somme des résultats est 7.

Les résultats favorables sont :

\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]

Donc :

\[ A= \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\} \]

15. Espaces d'échantillonnage finis et infinis

Espace échantillon fini

Pour un dé :

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

et :

\[ |\Omega|=6 \]

Espace d'échantillonnage infini et discret

Nous tirons à pile ou face jusqu'à ce que des faces apparaissent.

Le nombre de lancements peut être :

\[ 1,2,3,4,\ldots \]

donc :

\[ \Omega=\{1,2,3,4,\ldots\} \]

Espace d'échantillonnage continu

Considérons la durée de vie d'une ampoule.

Idéalement :

\[ \Omega=[0,+\infty) \]

16. Le résultat et l'événement ne sont pas la même chose

Supposons que nous lançons un dé et obtenons :

\[ 4 \]

Le chiffre 4 est un résultat.

Le tout :

\[ \{2,4,6\} \]

c'est plutôt l'événement :

un nombre pair sort.

Parce que :

\[ 4\in\{2,4,6\} \]

l'événement s'est produit.

17. Exemple complet

Considérons :

\[ \Omega= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]

Définissons :

\[ A=\{\text{numero pari}\} \]

\[ B=\{\text{numero maggiore di 7}\} \]

\[ C=\{\text{multiplo di 5}\} \]

Ensuite :

\[ A=\{2,4,6,8,10\} \]

\[ B=\{8,9,10\} \]

\[ C=\{5,10\} \]

S'il est extrait :

\[ 10 \]

se produisent simultanément :

\[ A,\quad B,\quad C \]

18. Schéma conceptuel

\[ \boxed{\text{Esperimento casuale}} \]

produit l'un des possibles :

\[ \boxed{\text{Esiti}} \]

L'ensemble de tous les formulaires de résultats :

\[ \boxed{\Omega=\text{spazio campionario}} \]

Un ensemble de résultats constitue :

\[ \boxed{\text{Evento}} \]

Mathématiquement :

\[ \boxed{A\subseteq\Omega} \]

19. Erreurs fréquentes

Erreur 1

Événement et résultat déroutants.

Erreur 2

Oubliez la commande.

En lançant deux dés :

\[ (2,5)\neq(5,2) \]

Erreur 3

Construire mal l’espace d’échantillonnage.

Pour deux pièces :

\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]

Erreur 4

Penser que le hasard signifie « sans règles ».

Un phénomène aléatoire peut être étudié mathématiquement.

20. Exercices

Exercice 1

Un dé est lancé.

Écrivez l’espace échantillon.

Solution

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Exercice 2

Écrivez l'événement :

un nombre inférieur à 4 sort.

Solution

\[ A=\{1,2,3\} \]

Exercice 3

Un numéro de 1 à 12 est tiré au sort.

Événement :

multiple de 4.

Solution

\[ A=\{4,8,12\} \]

Exercice 4

Deux pièces sont lancées.

Solution

\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]

Exercice 5

Deux dés sont lancés.

Événement :

la somme est 4.

Solution

\[ A=\{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]

21. Exercice plus réfléchi

Nous lançons deux dés.

Événement :

au moins un des deux dés indique 6.

Les résultats sont :

\[ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \]

et :

\[ (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) \]

Au total :

\[ 6+6-1=11 \]

résultats.

22. Idée finale

Le point de départ de tout problème de probabilité est :

1. Quelle est l’expérience ?
2. Quels sont les résultats possibles ?
3. Quel est l’espace échantillon ?
4. quel événement nous intéresse ?
5. Quels résultats appartiennent à l'événement ?

La relation fondamentale est :

\[ \boxed{ \text{evento}=\text{sottoinsieme dello spazio campionario} } \]

1. De l'espace échantillon à la probabilité

Nous voulons mesurer la probabilité qu’un événement se produise.

Nous introduisons :

\[ P(A) \]

avec :

\[ 0\leq P(A)\leq1 \]

Plus \(P(A)\) est proche de 1, plus l'événement est probable.

Plus il est proche de 0, moins il est probable.

2. Probabilité 0 et probabilité 1

Événement impossible :

\[ P(A)=0 \]

Certains événements :

\[ P(A)=1 \]

Nous pensons ici à un espace échantillon fini avec des résultats à probabilité positive. En général, notamment dans les modèles continus, un événement peut avoir une probabilité de 0 sans être impossible, ou une probabilité de 1 sans coïncider avec l’ensemble de l’espace échantillon.

3. Définition classique

Si tous les résultats sont également probables :

\[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{casi favorevoli}} {\text{casi possibili}} } \]

En symboles :

\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]

4. Exemple : les dés

Événement :

nombre pair.

\[ A=\{2,4,6\} \]

Donc :

\[ P(A)=\frac36=\frac12 \]

5. Nombre supérieur à 4

\[ B=\{5,6\} \]

Donc :

\[ P(B)=\frac26=\frac13 \]

6. Événement élémentaire

Événement :

sorties 3.

\[ P(3)=\frac16 \]

7. Le mot clé : équiprobable

La formule :

\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]

est valable lorsque les résultats sont également probables.

8. Pièce trompée

Supposons :

\[ P(T)=0,7 \]

\[ P(C)=0,3 \]

On ne peut pas écrire :

\[ P(T)=\frac12 \]

simplement parce que nous avons deux résultats.

Les deux résultats ne sont pas également probables.

9. Urne inégale

Une urne contient :

• 9 boules rouges ;
• 1 bleu.

La probabilité du rouge est :

\[ P(R)=\frac9{10} \]

non :

\[ \frac12 \]

10. Construisez correctement l'espace d'échantillonnage

On peut distinguer :

\[ R_1,R_2,\ldots,R_9,B \]

Nous avons maintenant 10 résultats également probables.

L'événement rouge contient 9 résultats :

\[ P(R)=\frac9{10} \]

11. Procédure correcte

1. construire l'espace d'échantillonnage ;
2. vérifier l'équiprobabilité ;
3. compter les cas possibles ;
4. compter les cas favorables ;
5. faire le rapport.

12. Deux dés

Nous lançons deux dés.

Les résultats sont :

\[ 36 \]

Événement :

somme 7.

Cas favorables :

\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]

Donc :

\[ P(\text{somma}=7) = \frac6{36} = \frac16 \]

13. Erreur courante : les sommes ne sont pas équiprobables

Les sommes possibles vont de :

\[ 2 \]

à:

\[ 12 \]

mais ils n'ont pas tous la même probabilité.

Par exemple :

\[ P(\text{somma}=2)=\frac1{36} \]

tandis que :

\[ P(\text{somma}=7)=\frac6{36} \]

14. Répartition des sommes

\[ 2\rightarrow1 \]

\[ 3\rightarrow2 \]

\[ 4\rightarrow3 \]

\[ 5\rightarrow4 \]

\[ 6\rightarrow5 \]

\[ 7\rightarrow6 \]

\[ 8\rightarrow5 \]

\[ 9\rightarrow4 \]

\[ 10\rightarrow3 \]

\[ 11\rightarrow2 \]

\[ 12\rightarrow1 \]

15. Fraction, décimal et pourcentage

\[ \frac14=0,25=25\% \]

Ce sont trois manières différentes d’exprimer la même probabilité.

16. Probabilité fréquentiste

Supposons que nous testions :

\[ 10000 \]

ampoules.

Si :

\[ 8200 \]

durent plus de 1000 heures :

\[ \frac{8200}{10000}=0,82 \]

On peut estimer :

\[ P(\text{durata}>1000)\approx0,82 \]

17. Fréquence relative

Si un événement \(A\) se produit plusieurs fois \(n_A\) dans les essais \(n\) :

\[ \boxed{ f_A=\frac{n_A}{n} } \]

18. La probabilité et la fréquence ne sont pas la même chose

Pour une monnaie équilibrée :

\[ P(T)=0,5 \]

Mais en 10 lancers on pourrait obtenir 6 faces :

\[ f_T=0,6 \]

La probabilité est théorique.

La fréquence est observée.

19. Stabilisation de fréquence

Avec de nombreux lancements :

\[ f_T \]

tend à se rapprocher de :

\[ 0,5 \]

Ceci sera formalisé par la Loi des Grands Nombres.

20. Définition axiomatique

La probabilité satisfait trois axiomes fondamentaux.

Premier

\[ P(A)\geq0 \]

Seconde

\[ P(\Omega)=1 \]

Troisième

Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles :

\[ A\cap B=\varnothing \]

alors :

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

21. Trois façons d'envisager les probabilités

Classique

\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]

lorsque les cas sont équiprobables.

Fréquentiste

\[ P(A)\approx\frac{n_A}{n} \]

pour de nombreux tests.

Axiomatique

La probabilité est une fonction qui satisfait des propriétés mathématiques précises.

22. Probabilité subjective

La probabilité peut également représenter un degré de confiance basé sur les informations disponibles.

Cette interprétation est importante dans :

• l'économie ;
• médecine;
• les prévisions ;
• l'intelligence artificielle ;
• théorie de la décision.

23. Probable ne veut pas dire certain

Si :

\[ P(A)=0,9 \]

l'événement est très probable, mais peut ne pas se produire.

Si :

\[ P(A)=0,01 \]

C'est peu probable, mais cela peut arriver.

24. Exemple avec urne

Urne avec :

• 5 rouges ;
• 3 bleus ;
• 2 verts.

Total :

\[ 10 \]

Donc :

\[ P(R)=\frac5{10}=\frac12 \]

\[ P(B)=\frac3{10} \]

\[ P(V)=\frac2{10}=\frac15 \]

et :

\[ \frac5{10}+\frac3{10}+\frac2{10}=1 \]

25. Jeu de cartes

À partir d'un jeu de 52 cartes :

\[ P(\text{asso})=\frac4{52}=\frac1{13} \]

\[ P(\text{cuori})=\frac{13}{52}=\frac14 \]

26. Chiffres

Les chiffres sont :

-Jack ;

• Femme;
• Roi.

Ce sont :

\[ 3\cdot4=12 \]

Donc :

\[ P(\text{figura}) = \frac{12}{52} = \frac3{13} \]

27. Problème contre-intuitif : au moins une tête

Lançons deux pièces.

\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]

Événement :

au moins une tête.

\[ A=\{TT,TC,CT\} \]

Donc :

\[ P(A)=\frac34 \]

28. Méthode complémentaire

Le seul cas sans tête est :

\[ CC \]

Donc :

\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac14 = \frac34 \]

29. Exercices

Exercice 1

Mourir : probabilité d'un nombre impair.

\[ P=\frac36=\frac12 \]

Exercice 2

Nombre de 1 à 20 : probabilité d'un multiple de 5.

Multiples :

\[ 5,10,15,20 \]

Donc :

\[ P=\frac4{20}=\frac15 \]

Exercice 3

Deux dés : somme 5.

Cas :

\[ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \]

Donc :

\[ P=\frac4{36}=\frac19 \]

Exercice 4

Urne avec 7 blanches et 3 noires.

\[ P(N)=\frac3{10} \]

Exercice 5

Deux pièces - exactement une tête.

\[ \{TC,CT\} \]

Donc :

\[ P=\frac24=\frac12 \]

Exercice 6

Deux pièces : au moins une croix.

Complémentaire :

\[ TT \]

Donc :

\[ P=1-\frac14=\frac34 \]

30. Question conceptuelle

Si :

\[ P(A)=0,2 \]

cela ne signifie pas que l'événement se produit certainement une fois tous les 5 essais.

Cela signifie que sur de nombreuses répétitions, la fréquence relative tend à se rapprocher de :

\[ 0,2 \]

31. L'erreur du joueur

Si aucune face n'est jamais sortie après 10 lancers, la probabilité d'obtenir face au prochain lancer, pour une pièce équilibrée, reste :

\[ \frac12 \]

La monnaie n’a pas « besoin de se redresser ».

32. Résumé

La probabilité est un nombre :

\[ 0\leq P(A)\leq1 \]

La définition classique est :

\[ \boxed{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} } \]

lorsque les résultats sont également probables.

La distinction fondamentale est :

\[ \boxed{ \text{probabilità}\neq\text{frequenza osservata} } \]

même si, en augmentant le nombre d'essais, la fréquence tend souvent à se rapprocher de la probabilité.

1. Événements sous forme d'ensembles

Nous avons vu qu'un événement est un sous-ensemble de l'espace échantillon.

Si :

\[ \Omega \]

est l'espace échantillon et \(A\) et \(B\) sont deux événements, nous pouvons utiliser des opérations d'ensemble normales.

Les plus importants sont :

• syndicat;
• le carrefour ;
• complémentaire ;
• différence;
• incompatibilité.

2. Union de deux événements

L'union de deux événements \(A\) et \(B\) est indiquée par :

\[ A\cup B \]

et cela signifie :

\(A\) ou \(B\), ou les deux, se produisent.

Exemple

Lançons un dé.

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Soit :

\[ A=\{\text{numero pari}\}=\{2,4,6\} \]

\[ B=\{\text{numero maggiore di 3}\}=\{4,5,6\} \]

Ensuite :

\[ A\cup B=\{2,4,5,6\} \]

3. Intersection de deux événements

L'intersection est indiquée par :

\[ A\cap B \]

et cela signifie :

\(A\) et \(B\) se produisent simultanément.

Avec les événements précédents :

\[ A\cap B=\{4,6\} \]

4. « Ou » et « et »

En probabilité :

\(A\) ou \(B\)

traduit :

\[ A\cup B \]

tandis que :

\(A\) et \(B\)

traduit :

\[ A\cap B \]

5. Faites attention à la signification de « ou »

Le syndicat :

\[ A\cup B \]

a normalement une signification inclusive :

\(A\), ou \(B\), ou les deux.

6. Complémentaire d'un événement

Le complément de \(A\) est l'événement :

\(A\) ne se produit pas.

Il est indiqué par :

\[ A^c \]

ou :

\[ \overline A \]

Exemple

Si :

\[ A=\{2,4,6\} \]

alors :

\[ A^c=\{1,3,5\} \]

7. Propriétés du complémentaire

Un événement et son complément satisfont :

\[ A\cup A^c=\Omega \]

et :

\[ A\cap A^c=\varnothing \]

8. Formule complémentaire

Parce que :

\[ P(\Omega)=1 \]

nous avons :

\[ P(A)+P(A^c)=1 \]

donc :

\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]

9. Exemple

Si :

\[ P(A)=0,7 \]

alors :

\[ P(A^c)=0,3 \]

10. Au moins un et complémentaire

Nous lançons trois pièces.

Quelle est la probabilité d’avoir au moins une tête ?

Il est plus facile d'utiliser le complémentaire.

L'événement inverse est :

pas de tête.

Cela signifie :

\[ CCC \]

Donc :

\[ P(\text{nessuna testa}) = \left(\frac12\right)^3 = \frac18 \]

Par conséquent :

\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac18 = \frac78 \]

11. Différence entre les événements

La différence :

\[ A\setminus B \]

signifie :

\(A\) se produit, mais pas \(B\).

De manière équivalente :

\[ A\setminus B=A\cap B^c \]

Exemple

Si :

\[ A=\{2,4,6\} \]

\[ B=\{4,5,6\} \]

alors :

\[ A\setminus B=\{2\} \]

12. Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Mathématiquement :

\[ A\cap B=\varnothing \]

Exemple

Lancer un dé :

\[ A=\{\text{numero pari}\} \]

\[ B=\{\text{numero dispari}\} \]

Ils sont incompatibles.

13. Événements compatibles

Ils sont compatibles si :

\[ A\cap B\neq\varnothing \]

Par exemple :

\[ A=\{2,4,6\} \]

\[ B=\{4,5,6\} \]

avoir :

\[ A\cap B=\{4,6\} \]

14. Probabilité d'union pour des événements incompatibles

Si :

\[ A\cap B=\varnothing \]

alors :

\[ \boxed{ P(A\cup B)=P(A)+P(B) } \]

15. Exemple

Dés :

\[ A=\{1\} \]

\[ B=\{6\} \]

Donc :

\[ P(A\cup B) = \frac16+\frac16 = \frac13 \]

16. Parce qu'on ne peut pas toujours additionner

Supposons :

\[ A=\{2,4,6\} \]

\[ B=\{4,5,6\} \]

Si nous l'avons fait :

\[ P(A)+P(B) = \frac36+\frac36 = 1 \]

nous aurions tort car :

\[ 4,6 \]

ils ont été comptés deux fois.

17. Formule générale du syndicat

La bonne formule est :

\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]

18. Exemple

\[ P(A)=\frac36 \]

\[ P(B)=\frac36 \]

\[ P(A\cap B)=\frac26 \]

Donc :

\[ P(A\cup B) = \frac36+\frac36-\frac26 = \frac46 = \frac23 \]

19. Principe d'inclusion-exclusion

La formule :

\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

il s’agit du principe d’inclusion-exclusion.

L'idée est :

1. nous comptons \(A\) ;
2. nous comptons \(B\) ;
3. l'intersection a été comptée deux fois ;
4. nous le soustrayons une fois.

20. Diagrammes de Venn

Dans les diagrammes de Venn :

• le rectangle représente \(\Omega\) ;
• les régions internes représentent les événements ;
• le chevauchement représente \(A\cap B\) ;
• l'ensemble des deux régions représente \(A\cup B\) ;
• la partie extérieure à \(A\) représente \(A^c\).

21. Lois de De Morgan

\[ \boxed{ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c } \]

et :

\[ \boxed{ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c } \]

22. Interprétation

Le premier signifie :

ni \(A\) ni \(B\) ne se produisent.

La seconde signifie :

\(A\) et \(B\) n'apparaissent pas en même temps.

23. « Au moins un »

L'expression :

au moins un

conduit souvent à l’union.

Le contraire est :

aucun.

Très souvent :

\[ P(\text{almeno uno}) = 1-P(\text{nessuno}) \]

24. « Exactement un »

Cela ne coïncide pas avec « au moins un ».

Avec deux pièces :

\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]

« au moins une tête » :

\[ \{TT,TC,CT\} \]

« exactement une tête » :

\[ \{TC,CT\} \]

Donc :

\[ P(\text{almeno una testa})=\frac34 \]

\[ P(\text{esattamente una testa})=\frac12 \]

25. « Au plus un »

Cela signifie :

\[ 0\text{ oppure }1 \]

Par exemple :

au plus une tête

comprend :

• pas de tête ;
• exactement une tête.

26. Exemple avec des cartes

A partir d'un jeu de 52 cartes, nous piochons une carte.

Soit :

\[ A=\{\text{asso}\} \]

\[ B=\{\text{cuori}\} \]

Nous avons :

\[ P(A)=\frac4{52} \]

\[ P(B)=\frac{13}{52} \]

\[ P(A\cap B)=\frac1{52} \]

Donc :

\[ P(A\cup B) = \frac4{52} + \frac{13}{52} - \frac1{52} \]

\[ = \frac{16}{52} = \frac4{13} \]

27. Probabilité de trois événements

Pour trois événements :

\[ P(A\cup B\cup C) \]

est valide :

\[ P(A)+P(B)+P(C) \]

\[ -P(A\cap B) -P(A\cap C) -P(B\cap C) \]

\[ +P(A\cap B\cap C) \]

28. Exemple de comptage

Dans une salle de classe :

• 18 étudient l'anglais ;
• 12 français ;
• 7 les deux.

Combien étudient au moins une langue ?

\[ 18+12-7=23 \]

29. Exercices

Exercice 1

\[ A=\{1,2,3\} \]

\[ B=\{3,4,5\} \]

Trouver :

\[ A\cup B \]

et :

\[ A\cap B \]

Solution

\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5\} \]

\[ A\cap B=\{3\} \]

Exercice 2

Dés :

\[ A=\{\text{numero maggiore di 2}\} \]

Ensuite :

\[ A=\{3,4,5,6\} \]

\[ A^c=\{1,2\} \]

Exercice 3

Si :

\[ P(A)=0,35 \]

alors :

\[ P(A^c)=0,65 \]

Exercice 4

Si :

\[ P(A)=0,4 \]

\[ P(B)=0,3 \]

et ils sont incompatibles :

\[ P(A\cup B)=0,7 \]

Exercice 5

Si :

\[ P(A)=0,6 \]

\[ P(B)=0,5 \]

\[ P(A\cap B)=0,2 \]

alors :

\[ P(A\cup B)=0,9 \]

30. Résumé du chapitre 3

\[ \boxed{ A\cup B } \]

signifie :

\(A\) ou \(B\).

\[ \boxed{ A\cap B } \]

signifie :

\(A\) et \(B\).

\[ \boxed{ A^c } \]

signifie :

pas \(A\).

Formule complémentaire :

\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]

Formule syndicale :

\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]

1. Pourquoi la combinatoire est nécessaire

En probabilité classique :

\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]

Souvent, le véritable problème est de compter correctement ces cas.

Par exemple :

• combien de mots de passe pouvons-nous former ?
• combien de groupes pouvons-nous choisir ?
• combien de dispositions sont possibles ?
• combien y a-t-il de mains de cartes ?

Le calcul combinatoire permet de répondre sans lister tous les cas.

2. Principe fondamental du comptage

Si une procédure comporte plusieurs phases et :

• la première peut être réalisée de manière \(n_1\) ;
• le deuxième dans \(n_2\) ;
• le troisième dans \(n_3\) ;

alors le nombre total de possibilités est :

\[ \boxed{ n_1n_2n_3 } \]

3. Exemple

4 chemises et 3 pantalons.

Les combinaisons sont :

\[ 4\cdot3=12 \]

4. Menus

3 entrées, 4 seconds plats, 2 desserts.

\[ 3\cdot4\cdot2=24 \]

menu.

5. Répétez le mot de passe

Mot de passe à 4 chiffres.

Chaque emplacement dispose de :

\[ 10 \]

possibilité.

Donc :

\[ 10^4=10000 \]

6. Mot de passe sans répétition

Si les chiffres ne peuvent pas se répéter :

\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040 \]

7. Factorielle

Pour un entier positif :

\[ \boxed{ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 } \]

Exemples :

\[ 5!=120 \]

\[ 4!=24 \]

\[ 3!=6 \]

Par convention :

\[ \boxed{0!=1} \]

8. Permutations simples

Si nous avons des objets distincts \(n\) et que nous voulons tous les trier :

\[ \boxed{ P_n=n! } \]

9. Exemple

Avec :

\[ A,B,C \]

nous avons :

\[ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA \]

Donc :

\[ 3!=6 \]

10. Personnes faisant la queue

Cinq personnes :

\[ 5!=120 \]

commandes.

11. Quand utiliser les permutations

Nous utilisons des permutations lorsque :

1. nous utilisons tous les éléments ;
2. les éléments sont distincts ;
3. l’ordre compte.

12. Dispositions simples

Si nous avons des éléments \(n\) et que nous choisissons \(k\), avec un ordre important et sans répétition :

\[ \boxed{ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} } \]

13. Exemple

Parmi 10 personnes nous choisissons :

• président ;
• vice-président;
• secrétaire.

L’ordre compte.

\[ D_{10,3} = 10\cdot9\cdot8 = 720 \]

14. Pourquoi l'ordre est important

Marco président, Luca vice-président

est différent de :

Luca président, Marco vice-président.

15. Dispositions avec répétition

Si nous avons des symboles \(n\) et que nous construisons des séquences de longueur \(k\), avec répétition :

\[ \boxed{ n^k } \]

16. Exemple

Mot de passe à 5 chiffres :

\[ 10^5=100000 \]

17. Combinaisons simples

Si nous choisissons les articles \(k\) entre \(n\) et que la commande ne compte pas :

\[ \boxed{ \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]

18. Exemple

Nous choisissons une commission de 3 personnes sur 10.

\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120 \]

19. Pourquoi divisons-nous par \(k!\)

Les dispositions compteraient chaque groupe :

\[ k! \]

fois.

Donc :

\[ \binom nk = \frac{D_{n,k}}{k!} \]

20. Question décisive

Nous devons nous demander :

est-ce que j'obtiens un résultat différent en modifiant l'ordre ?

Si oui :

\[ \text{disposizioni o permutazioni} \]

Sinon :

\[ \text{combinazioni} \]

21. Schéma conceptuel

Tous les articles, commande importante

\[ n! \]

Articles \(k\) sur \(n\), commande importante

\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]

Articles \(k\) sur \(n\), commande sans importance

\[ \binom nk \]

Répétitions autorisées et ordre important

\[ n^k \]

22. Permutations avec des éléments répétés

Mot :

\[ MAMMA \]

Nous avons :

• 5 lettres ;
• \(M\) répété 3 fois ;
• \(A\) répété 2 fois.

Les anagrammes distinctes sont :

\[ \frac{5!}{3!2!} = 10 \]

23. Formule générale

Si :

\[ n_1+n_2+\cdots+n_r=n \]

alors :

\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]

24. Exemple : MATHÉMATIQUES

Le mot comporte 10 lettres.

Répétitions :

• \(A\) : 3 ;
• \(M\) : 2 ;
• \(T\) : 2.

Donc :

\[ \frac{10!}{3!2!2!} \]

25. Cartes et fusions

Parmi 52 cartes, nous en choisissons 5.

Si la commande ne vous intéresse pas :

\[ \boxed{ \binom{52}{5} } \]

26. Chance d'obtenir 5 cœurs

Il y a 13 cartes cœur.

Cas favorables :

\[ \binom{13}{5} \]

Cas possibles :

\[ \binom{52}{5} \]

Donc :

\[ \boxed{ P= \frac{\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}} } \]

27. Exactement 2 as

Dans une main de 5 cartes :

• on choisit 2 as parmi 4 ;
• on choisit 3 non-as parmi 48.

Donc :

\[ \boxed{ P= \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]

28. Loterie

Si vous tirez 6 numéros sur 90 et que l'ordre ne compte pas :

\[ \binom{90}{6} \]

d'éventuels sextuplés.

La probabilité d’un sextuplé spécifique est :

\[ \frac1{\binom{90}{6}} \]

29. Erreur courante

Pour une main de 5 cartes, nous n'avons pas besoin d'utiliser des dispositions si l'ordre n'a pas d'importance.

La main :

\[ A,B,C,D,E \]

est la même chose que :

\[ E,D,C,B,A \]

30. Quand la commande compte à la place

Si trois nombres forment un code :

\[ 2,5,7 \]

est différent de :

\[ 7,5,2 \]

Nous utilisons donc des dispositions.

31. Coder avec des lettres et des chiffres

Code composé de :

• 2 lettres ;
• 3 chiffres.

Avec répétition :

\[ 26^2\cdot10^3 \]

32. Mot de passe qui ne commence pas par zéro

Mot de passe numérique à 4 chiffres.

Premier chiffre :

\[ 9 \]

possibilité.

Trois autres :

\[ 10 \]

chacun.

Total :

\[ 9\cdot10^3=9000 \]

33. Nombres à 4 chiffres différents

Premier chiffre :

\[ 9 \]

Deuxièmement :

\[ 9 \]

Troisièmement :

\[ 8 \]

Quatrièmement :

\[ 7 \]

Total :

\[ 9\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536 \]

34. Propriétés des combinaisons

\[ \boxed{ \binom nk=\binom n{n-k} } \]

Parce que choisir les éléments \(k\) équivaut à choisir quel \(n-k\) laisser de côté.

35. Relation pascale

\[ \boxed{ \binom nk = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} } \]

36. Le triangle de Pascal

\[ 1 \]

\[ 1\quad1 \]

\[ 1\quad2\quad1 \]

\[ 1\quad3\quad3\quad1 \]

\[ 1\quad4\quad6\quad4\quad1 \]

Chaque numéro interne est la somme des deux ci-dessus.

37. Connexion avec le binôme de Newton

\[ (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \]

Les coefficients :

\[ 1,4,6,4,1 \]

ce sont des coefficients binomiaux.

38. Problème complet

Une classe possède :

• 7 filles ;
• 5 gars.

4 étudiants sont choisis.

Probabilité d’avoir exactement 3 filles :

\[ \boxed{ P= \frac{ \binom73\binom51 }{ \binom{12}{4} } } \]

39. Un autre problème complet

Urne avec :

• 6 rouges ;
• 4 bleus.

3 boules sont tirées.

Probabilité d'exactement 2 rouges :

\[ P= \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]

Calcul :

\[ \binom62=15 \]

\[ \binom41=4 \]

\[ \binom{10}{3}=120 \]

Donc :

\[ P=\frac{60}{120}=\frac12 \]

40. Exercices

Exercice 1

Disposez 6 personnes d'affilée.

\[ 6!=720 \]

Exercice 2

Président et vice-président parmi 8 personnes.

\[ D_{8,2}=8\cdot7=56 \]

Exercice 3

Commission de 2 personnes parmi 8.

\[ \binom82=28 \]

Exercice 4

Séquences de 6 chiffres avec répétition.

\[ 10^6 \]

Exercice 5

Séquences de 6 chiffres sans répétition.

\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 \]

Exercice 6

Anagrammes de :

\[ ANNA \]

\[ \frac{4!}{2!2!}=6 \]

41. Probabilité qu'une personne soit choisie

Parmi 8 personnes nous en choisissons 3.

Probabilité que Marco soit choisi :

\[ \frac{\binom72}{\binom83} \]

\[ = \frac{21}{56} = \frac38 \]

42. Au moins un as

Parmi 52 cartes, nous en choisissons 5.

Probabilité d'avoir au moins un as :

\[ 1- \frac{ \binom{48}{5} }{ \binom{52}{5} } \]

La complémentaire simplifie le calcul.

43. La méthode avant la formule

Avant de choisir une formule, demandez-vous :

1. qu’est-ce que je construis ou choisis ?
2. est-ce que j'utilise tous les éléments ?
3. la commande compte-t-elle ?
4. Les répétitions sont-elles autorisées ?
5. Y a-t-il les mêmes éléments ?
6. Y a-t-il des contraintes ?

44. Guide de démarrage rapide

Tous les éléments, ordre important :

\[ \boxed{n!} \]

\(k\) à \(n\), commande importante :

\[ \boxed{ \frac{n!}{(n-k)!} } \]

\(k\) sur \(n\), ordre important avec répétition :

\[ \boxed{n^k} \]

\(k\) sur \(n\), l'ordre n'est pas important :

\[ \boxed{ \binom nk } \]

Éléments répétitifs :

\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]

45. Résumé du chapitre 4

Le calcul combinatoire permet de compter sans lister.

Les formules de base sont :

\[ \boxed{P_n=n!} \]

\[ \boxed{ D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!} } \]

\[ \boxed{ D'_{n,k}=n^k } \]

\[ \boxed{ \binom nk= \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]

et, avec des éléments répétés :

\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]

La règle la plus importante reste :

\[ \boxed{ \text{prima ragionare, poi scegliere la formula} } \]

1. L'idée de probabilité conditionnelle

Jusqu’à présent, nous avons calculé des probabilités en connaissant uniquement l’expérience aléatoire.

Mais nous recevons souvent de nouvelles informations.

Par exemple :

on lance un dé et on sait qu'un nombre pair est lancé.

À ce stade, les résultats possibles ne sont plus :

\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]

mais seulement :

\[ \{2,4,6\} \]

Les nouvelles informations ont rétréci l’espace des possibles.

Si nous demandons maintenant :

quelle est la probabilité que le nombre soit supérieur à 3 ?

entre :

\[ 2,4,6 \]

les résultats favorables sont :

\[ 4,6 \]

donc :

\[ \frac23 \]

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle.

2. Notations

La probabilité que l'événement \(A\), sachant que \(B\) s'est produit, est indiquée par :

\[ \boxed{P(A\mid B)} \]

et on lit :

probabilité de \(A\) étant donné \(B\).

3. Premier exemple

Lançons un dé.

Soit :

\[ A=\{\text{numero maggiore di 3}\} \]

donc :

\[ A=\{4,5,6\} \]

et :

\[ B=\{\text{numero pari}\} \]

donc :

\[ B=\{2,4,6\} \]

Nous voulons :

\[ P(A\mid B) \]

Sachant que \(B\) s'est produit, nous considérons uniquement :

\[ \{2,4,6\} \]

Les résultats appartenant également à \(A\) sont :

\[ \{4,6\} \]

Donc :

\[ \boxed{ P(A\mid B)=\frac23 } \]

4. Formule de probabilité conditionnelle

En général :

\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]

à condition :

\[ P(B)>0 \]

5. Pourquoi l'intersection apparaît-elle

Sachant que \(B\) s'est produit, \(B\) devient le nouvel espace de possibilités.

Parmi les résultats du \(B\), ceux favorables au \(A\) sont :

\[ A\cap B \]

Donc :

\[ P(A\mid B) = \frac{\text{parte di }B\text{ favorevole ad }A} {\text{tutto }B} \]

6. Vérifiez avec les dés

Nous avons :

\[ P(A\cap B)=\frac26=\frac13 \]

et :

\[ P(B)=\frac36=\frac12 \]

Donc :

\[ P(A\mid B) = \frac{\frac13}{\frac12} = \frac23 \]

7. Exemple avec des cartes

A partir d'un jeu de 52 cartes, nous piochons une carte.

Nous savons que c'est un chiffre.

Quelle est la probabilité qu’il soit roi ?

Les chiffres sont :

• 4 vérins ;
• 4 Femmes ;
• 4 Rois.

Au total :

\[ 12 \]

Les rois sont :

\[ 4 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(\text{Re}\mid\text{Figura}) = \frac4{12} = \frac13 } \]

8. La commande compte

En général :

\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]

Par exemple :

\[ P(\text{Re}\mid\text{Figura})=\frac13 \]

mais :

\[ P(\text{Figura}\mid\text{Re})=1 \]

parce que tous les rois sont des figures.

9. Erreur fréquente

Confondre :

\[ P(A\mid B) \]

avec :

\[ P(B\mid A) \]

c'est l'une des erreurs les plus courantes.

La partie après la barre oblique correspond à l’information que nous savons être vraie.

10. Exemple avec des étudiants

Dans une salle de classe :

• 18 filles ;
• 12 garçons ;
• 10 filles portent des lunettes ;
• 4 garçons portent des lunettes.

Probabilité que les lunettes sachent que c'est une fille :

\[ P(O\mid R) = \frac{10}{18} = \frac59 \]

11. Inversons la question

Probabilité d'être une fille sachant qu'elle porte des lunettes :

Les élèves portant des lunettes sont :

\[ 10+4=14 \]

donc :

\[ P(R\mid O) = \frac{10}{14} = \frac57 \]

On observe :

\[ \frac59\neq\frac57 \]

12. Diagramme en arbre

La probabilité conditionnelle est bien représentée par un arbre.

Supposons :

\[ P(A)=0,6 \]

\[ P(A^c)=0,4 \]

et :

\[ P(B\mid A)=0,7 \]

\[ P(B\mid A^c)=0,2 \]

Chaque branche représente une probabilité conditionnelle.

13. Règle du produit

Commençons par :

\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Multiplication par \(P(B)\) :

\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) } \]

De même :

\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]

14. Interprétation

La probabilité que les deux événements se produisent peut être calculée comme suit :

\[ P(A) \]

multiplié par la probabilité que \(B\) sache que \(A\) s'est déjà produit.

15. Urne sans réinsertion

Une urne contient :

• 3 boules rouges ;
• 2 bleus.

On extrait deux boules sans les réinsérer.

Probabilité qu'ils soient tous les deux rouges :

\[ P(R_1)=\frac35 \]

Après un rouge il reste :

• 2 rouges ;
• 2 bleus.

Donc :

\[ P(R_2\mid R_1)=\frac24 \]

et :

\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac24 \]

\[ = \frac3{10} \]

16. Avec réintégration

Si on remet la première boule dans l'urne :

\[ P(R_2\mid R_1)=\frac35 \]

Donc :

\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac35 = \frac9{25} \]

17. Dépendance et indépendance

Si le fait de savoir que \(A\) s'est produit modifie la probabilité de \(B\), les événements sont dépendants.

Si par contre :

\[ P(B\mid A)=P(B) \]

les événements sont indépendants.

Ce concept sera exploré plus en profondeur au chapitre 6.

18. Exemple d'indépendance

Nous jetons une pièce de monnaie et un dé.

Soit :

\[ A=\{\text{dado mostra 6}\} \]

\[ B=\{\text{moneta mostra testa}\} \]

Sachant que c’est face ne change pas la probabilité de 6.

Donc :

\[ P(A\mid B)=P(A)=\frac16 \]

19. Exemple de dépendance

On extrait deux cartes sans les réinsérer.

Soit :

\[ A=\{\text{prima carta è un asso}\} \]

\[ B=\{\text{seconda carta è un asso}\} \]

Avant :

\[ P(B)=\frac4{52} \]

Sachant que le premier est un as :

\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]

Les deux probabilités sont différentes.

20. Deux dés

Nous lançons deux dés.

Nous savons que la somme est 8.

Quelle est la probabilité qu’au moins un affiche un 5 ?

Les résultats avec une somme de 8 sont :

\[ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \]

Ceux qui ont au moins un 5 :

\[ (3,5),(5,3) \]

Donc :

\[ \boxed{ P(\text{almeno un 5}\mid\text{somma}=8) = \frac25 } \]

21. Problème de deux enfants

Modèle simplifié :

\[ \{MM,MF,FM,FF\} \]

Sachant qu'au moins un enfant est de sexe masculin, on élimine :

\[ FF \]

Restant :

\[ MM,MF,FM \]

Donc :

\[ \boxed{ P(MM\mid\text{almeno un maschio}) = \frac13 } \]

22. Différentes informations produisent différentes probabilités

Si l'on sait à la place :

le premier enfant est un garçon

reste :

\[ MM,MF \]

Donc :

\[ P(MM\mid\text{primo figlio maschio}) = \frac12 \]

Les informations de conditionnement sont déterminantes.

23. Trois événements

La règle du produit s'étend :

\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A) P(B\mid A) P(C\mid A\cap B) } \]

24. Exemple avec trois cartes

D'un jeu de 52 cartes on extrait trois cartes sans les remplacer.

Probabilité qu'ils soient tous des as :

\[ \frac4{52} \cdot \frac3{51} \cdot \frac2{50} \]

25. Méthode alternative

On peut aussi écrire :

\[ \frac{\binom43}{\binom{52}{3}} \]

Les deux méthodes conduisent au même résultat.

26. Erreur à éviter

On ne peut pas toujours écrire :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

La formule générale correcte est :

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A) } \]

Uniquement en cas d'indépendance :

\[ P(B\mid A)=P(B) \]

et donc :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

27. Exercices

Exercice 1

Dé : probabilité de 6 sachant qu'un nombre pair est obtenu.

\[ P(6\mid\text{pari})=\frac13 \]

Exercice 2

Carte : probabilité d'as sachant qu'elle est de cœur.

\[ P(\text{asso}\mid\text{cuori}) = \frac1{13} \]

Exercice 3

Urne avec 5 rouges et 3 bleues.

Deux extractions sans réinsertion.

Probabilité de deux bleus :

\[ \frac38\cdot\frac27 = \frac3{28} \]

Exercice 4

Probabilité d'abord rouge puis bleue :

\[ \frac58\cdot\frac37 = \frac{15}{56} \]

Exercice 5

Si :

\[ P(A)=0,4 \]

et :

\[ P(B\mid A)=0,3 \]

alors :

\[ P(A\cap B)=0,12 \]

Exercice 6

Si :

\[ P(A\cap B)=0,18 \]

et :

\[ P(B)=0,3 \]

alors :

\[ P(A\mid B)=0,6 \]

28. Résumé du chapitre 5

La probabilité conditionnelle est :

\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]

La règle du produit est la suivante :

\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]

Idée fondamentale :

\[ \boxed{ \text{una nuova informazione restringe lo spazio delle possibilità} } \]

1. L'idée d'indépendance

Deux événements sont indépendants lorsque la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.

En d’autres termes, connaître le résultat de \(A\) ne nous fournit pas d’informations utiles sur \(B\).

2. Définition via probabilité conditionnelle

Si :

\[ P(A)>0 \]

et :

\[ P(B)>0 \]

les événements sont indépendants lorsque :

\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]

et donc aussi :

\[ \boxed{ P(B\mid A)=P(B) } \]

3. Définition équivalente

En utilisant la règle du produit :

\[ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) \]

Si les événements sont indépendants :

\[ P(B\mid A)=P(B) \]

donc :

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]

C'est la forme la plus utilisée.

4. Exemple avec des dés et des pièces

Nous jetons une pièce de monnaie et un dé.

Soit :

\[ A=\{\text{testa}\} \]

\[ B=\{\text{esce 6}\} \]

Nous avons :

\[ P(A)=\frac12 \]

\[ P(B)=\frac16 \]

La probabilité que les deux se produisent est :

\[ P(A\cap B)=\frac1{12} \]

Parce que :

\[ \frac12\cdot\frac16=\frac1{12} \]

les événements sont indépendants.

5. Exemple avec deux tirages au sort

Lançons une bonne pièce deux fois.

Soit :

\[ A=\{\text{prima testa}\} \]

\[ B=\{\text{seconda testa}\} \]

Nous avons :

\[ P(A)=\frac12 \]

\[ P(B)=\frac12 \]

et :

\[ P(A\cap B)=\frac14 \]

Parce que :

\[ \frac12\cdot\frac12=\frac14 \]

les événements sont indépendants.

6. Dépendance

Deux événements sont dépendants lorsque :

\[ P(A\mid B)\neq P(A) \]

c'est-à-dire que savoir que \(B\) s'est produit modifie la probabilité de \(A\).

7. Exemple avec des cartes

D'un jeu de 52 cartes on extrait deux cartes sans les remplacer.

Soit :

\[ A=\{\text{prima carta asso}\} \]

\[ B=\{\text{seconda carta asso}\} \]

Nous avons :

\[ P(B)=\frac4{52} \]

mais :

\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]

\(A\) et \(B\) sont donc dépendants.

8. Réintégration et indépendance

Si après la première pioche on remet la carte dans le paquet et on mélange :

\[ P(B\mid A)=\frac4{52} \]

égal à :

\[ P(B) \]

Dans ce cas les deux extractions sont indépendantes.

9. Attention : incompatibilité et indépendance ne sont pas la même chose

Il s’agit d’une distinction clé.

Événements incompatibles

Ils ne peuvent pas se produire ensemble :

\[ A\cap B=\varnothing \]

Événements indépendants

L’occurrence de l’un ne change pas la probabilité de l’autre :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Ce sont des concepts complètement différents.

10. Exemple d'incompatibilité

Lançons un dé.

Soit :

\[ A=\{\text{esce 2}\} \]

\[ B=\{\text{esce 5}\} \]

Ils ne peuvent pas se produire ensemble.

Donc :

\[ A\cap B=\varnothing \]

Ils sont incompatibles.

11. Sont-ils également indépendants ?

Nous avons :

\[ P(A)=\frac16 \]

\[ P(B)=\frac16 \]

S'ils étaient indépendants, cela devrait contenir :

\[ P(A\cap B) = \frac1{36} \]

Mais en réalité :

\[ P(A\cap B)=0 \]

Ils ne sont donc pas indépendants.

12. Règle importante

Deux événements incompatibles avec une probabilité positive ne peuvent pas être indépendants.

En effet, si :

\[ P(A)>0 \]

et :

\[ P(B)>0 \]

pour l'indépendance, il faudrait :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)>0 \]

mais pour cause d'incompatibilité :

\[ P(A\cap B)=0 \]

contradiction.

13. Exemple intuitif

Si on sait que 2 est sorti :

\[ P(\text{esce 5}\mid\text{esce 2})=0 \]

alors qu'avant :

\[ P(\text{esce 5})=\frac16 \]

Sachant que \(A\) s'est produit, cela change complètement la probabilité de \(B\).

14. Des événements indépendants peuvent se produire ensemble

Au lancer de pièces et de dés :

\[ A=\{\text{testa}\} \]

\[ B=\{\text{6}\} \]

peuvent se produire simultanément.

En fait :

\[ A\cap B \]

ce n'est pas vide.

L’indépendance ne signifie pas l’impossibilité d’agir ensemble.

15. Formule produit pour événements indépendants

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants :

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]

Cette formule est très importante.

16. Trois événements indépendants

Si trois événements :

\[ A,B,C \]

sont mutuellement indépendants, alors :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

\[ P(A\cap C)=P(A)P(C) \]

\[ P(B\cap C)=P(B)P(C) \]

et aussi :

\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C) } \]

17. L'indépendance à deux ne suffit pas

Il est possible que trois événements soient indépendants deux à deux mais pas mutuellement indépendants.

C’est un point plus avancé mais important.

18. Exemple classique

Nous lançons deux pièces équilibrées.

Définissons :

\[ A=\{\text{prima moneta testa}\} \]

\[ B=\{\text{seconda moneta testa}\} \]

\[ C=\{\text{le due monete danno lo stesso risultato}\} \]

L'espace est :

\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]

Nous avons :

\[ P(A)=P(B)=P(C)=\frac12 \]

19. Indépendance à deux

\[ A\cap B=\{TT\} \]

donc :

\[ P(A\cap B)=\frac14 = \frac12\cdot\frac12 \]

De même :

\[ P(A\cap C)=\frac14 \]

et :

\[ P(B\cap C)=\frac14 \]

Les événements sont donc indépendants par paires.

20. Mais pas mutuellement indépendants

La triple intersection est :

\[ A\cap B\cap C=\{TT\} \]

donc :

\[ P(A\cap B\cap C)=\frac14 \]

Mais :

\[ P(A)P(B)P(C) = \frac18 \]

Parce que :

\[ \frac14\neq\frac18 \]

les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants.

21. Indépendance et complémentarité

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors également :

\[ A^c \]

et :

\[ B \]

ils sont indépendants.

S'applique également à :

\[ A \]

et :

\[ B^c \]

et pour :

\[ A^c \]

et :

\[ B^c \]

22. Démonstration

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Heure :

\[ P(A^c\cap B) = P(B)-P(A\cap B) \]

\[ = P(B)-P(A)P(B) \]

\[ = P(B)(1-P(A)) \]

\[ = P(B)P(A^c) \]

\(A^c\) et \(B\) sont donc indépendants.

23. Au moins une réussite aux tests indépendants

Supposons que nous disposions de preuves indépendantes \(n\).

La probabilité de succès dans chacun est :

\[ p \]

La probabilité d’échec est :

\[ (1-p)^n \]

Donc :

\[ \boxed{ P(\text{almeno un successo}) = 1-(1-p)^n } \]

24. Exemple avec un dé

On lance un dé 4 fois.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?

Probabilité de ne pas lancer 6 en un seul lancer :

\[ \frac56 \]

Probabilité de ne pas obtenir de 6 en 4 lancers :

\[ \left(\frac56\right)^4 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(\text{almeno un 6}) = 1-\left(\frac56\right)^4 } \]

25. Probabilité d'une séquence

Si les lancers sont indépendants, la probabilité d'une séquence spécifique est obtenue en multipliant.

Par exemple, avec une devise équilibrée :

\[ P(TCTT) = \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac1{16} \]

26. Monnaie déséquilibrée

Si :

\[ P(T)=p \]

et :

\[ P(C)=1-p \]

alors :

\[ P(TCTT) = p(1-p)p^2 \]

\[ = p^3(1-p) \]

27. Connexion avec le binôme

Ce raisonnement mène directement à la distribution binomiale.

Si dans les essais indépendants \(n\), nous voulons exactement des succès \(k\), chaque séquence avec des succès \(k\) a une probabilité :

\[ p^k(1-p)^{n-k} \]

Le nombre de séquences possibles est :

\[ \binom nk \]

Donc :

\[ P(X=k) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} \]

28. Exemple avec probabilités données

Supposons :

\[ P(A)=0,4 \]

\[ P(B)=0,5 \]

et \(A\), \(B\) indépendant.

Ensuite :

\[ P(A\cap B) = 0,4\cdot0,5 = 0,2 \]

29. Probabilité d'union

Nous utilisons :

\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

Donc :

\[ P(A\cup B) = 0,4+0,5-0,2 = 0,7 \]

30. Exemple inverse

Supposons :

\[ P(A)=0,3 \]

\[ P(B)=0,4 \]

\[ P(A\cap B)=0,12 \]

Parce que :

\[ 0,3\cdot0,4=0,12 \]

les événements sont indépendants.

31. Un autre exemple

Si :

\[ P(A)=0,3 \]

\[ P(B)=0,4 \]

mais :

\[ P(A\cap B)=0,20 \]

alors :

\[ 0,20\neq0,12 \]

les événements sont donc dépendants.

32. Indépendance ne signifie pas égalité des chances

Deux événements indépendants peuvent avoir des probabilités très différentes.

Par exemple :

\[ P(A)=0,9 \]

\[ P(B)=0,1 \]

ils peuvent être parfaitement indépendants.

L'indépendance concerne la relation entre les événements et non la valeur de leurs probabilités.

33. Exemple avec des tests répétés

Une machine produit une pièce défectueuse avec probabilité :

\[ 0,02 \]

Nous supposons que les pièces sont indépendantes.

Quelle est la probabilité que 3 pièces consécutives soient toutes bonnes ?

Probabilité qu'une pièce soit bonne :

\[ 0,98 \]

Donc :

\[ P(\text{3 buoni}) = 0,98^3 \]

34. Probabilité d'au moins un défectueux

Le complémentaire est :

tout va bien.

Donc :

\[ P(\text{almeno un difettoso}) = 1-0,98^3 \]

35. Exercices

Exercice 1

Si :

\[ P(A)=0,5 \]

\[ P(B)=0,2 \]

et les événements sont indépendants, calculez :

\[ P(A\cap B) \]

Solution

\[ P(A\cap B)=0,5\cdot0,2=0,1 \]

Exercice 2

Avec les mêmes données, calculez :

\[ P(A\cup B) \]

Solution

\[ P(A\cup B) = 0,5+0,2-0,1 = 0,6 \]

Exercice 3

Si :

\[ P(A)=0,6 \]

\[ P(B)=0,5 \]

\[ P(A\cap B)=0,3 \]

sont-ils indépendants ?

Solution

\[ 0,6\cdot0,5=0,3 \]

Oui.

Exercice 4

Les dés ont été lancés 5 fois.

Cotes du n°6 :

\[ \boxed{ \left(\frac56\right)^5 } \]

Chances d'au moins 6 :

\[ \boxed{ 1-\left(\frac56\right)^5 } \]

Exercice 5

La pièce équilibrée a été retournée 8 fois.

Probabilité d'avoir toujours face :

\[ \boxed{ \left(\frac12\right)^8 } \]

36. Erreur conceptuelle typique

"Les événements sont incompatibles, donc indépendants."

C'est faux.

Si deux événements incompatibles ont une probabilité positive, la survenance de l’un rend l’autre impossible.

Ils sont donc très dépendants.

37. Une autre erreur

"Les événements sont indépendants, ils ne peuvent donc pas se dérouler ensemble."

C'est faux.

L’indépendance nécessite précisément :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

ce qui, si les deux probabilités sont positives, est positif.

38. Schéma de comparaison

Incompatible

\[ \boxed{ P(A\cap B)=0 } \]

Indépendant

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]

Ce sont deux notions distinctes.

39. Résumé du chapitre 6

Deux événements sont indépendants si :

\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]

de manière équivalente :

\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]

Ils sont dépendants si l’occurrence de l’un modifie la probabilité de l’autre.

La distinction fondamentale est :

\[ \boxed{ \text{indipendenza}\neq\text{incompatibilità} } \]

Pour les événements incompatibles :

\[ P(A\cap B)=0 \]

Pour les événements indépendants :

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

Cette distinction sera fondamentale pour comprendre la probabilité totale, la distribution bayésienne et binomiale.

1. Le problème de démarrage

Supposons qu'un événement puisse se produire via plusieurs itinéraires différents.

Par exemple, un produit peut provenir de :

• depuis la machine 1 ;
• de la machine 2 ;
• de la voiture 3.

Si nous voulons connaître la probabilité que le produit soit défectueux, nous devons prendre en compte :

• la probabilité qu'il provienne de chaque machine ;
• la probabilité qu'il soit défectueux sachant de quelle machine il provient.

Le théorème de probabilité totale vous permet de combiner ces informations.

2. Un exemple intuitif

Une usine utilise deux machines.

La machine \(M_1\) produit :

\[ 60\% \]

des pièces.

La machine \(M_2\) produit :

\[ 40\% \]

des pièces.

Donc :

\[ P(M_1)=0,6 \]

\[ P(M_2)=0,4 \]

Supposons également que :

\[ P(D\mid M_1)=0,02 \]

et :

\[ P(D\mid M_2)=0,05 \]

où \(D\) est l'événement :

la pièce est défectueuse.

On veut calculer :

\[ P(D) \]

3. Nous divisons le problème en deux chemins

Une pièce défectueuse peut provenir de :

• de \(M_1\) ;
• ou depuis \(M_2\).

Donc :

\[ D=(D\cap M_1)\cup(D\cap M_2) \]

Les deux événements sont incompatibles.

Par conséquent :

\[ P(D) = P(D\cap M_1)+P(D\cap M_2) \]

4. Règle du produit

Nous savons que :

\[ P(D\cap M_1) = P(M_1)P(D\mid M_1) \]

et :

\[ P(D\cap M_2) = P(M_2)P(D\mid M_2) \]

Donc :

\[ P(D) = 0,6\cdot0,02 + 0,4\cdot0,05 \]

\[ = 0,012+0,020 \]

\[ = 0,032 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(D)=3,2\% } \]

5. Idée fondamentale

La probabilité globale est la somme des probabilités des différents chemins.

Intuitivement :

\[ \boxed{ \text{probabilità totale} = \text{somma delle probabilità dei diversi percorsi} } \]

6. Partition de l'espace échantillon

Les événements :

\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]

former une partition de l'espace échantillon si :

1. ils sont incompatibles deux à deux :

\[ B_i\cap B_j=\varnothing \]

pour :

\[ i\neq j \]

2. ils couvrent tout l’espace échantillon :

\[ B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega \]

7. Exemple de partition

Supposons que nous divisons une population en groupes d'âge :

\[ B_1=\{\text{meno di 30 anni}\} \]

\[ B_2=\{\text{tra 30 e 60 anni}\} \]

\[ B_3=\{\text{più di 60 anni}\} \]

Si les bandes ne se chevauchent pas et ne couvrent pas la totalité de la population, elles constituent une partition.

8. Théorème de probabilité totale

Si :

\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]

former une partition, puis pour chaque événement \(A\) :

\[ \boxed{ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A\mid B_i) } \]

c'est à dire :

\[ P(A) = P(B_1)P(A\mid B_1) +\cdots+ P(B_n)P(A\mid B_n) \]

9. Parce que ça marche

L'événement \(A\) peut être décomposé en :

\[ A\cap B_1,\quad A\cap B_2,\quad \ldots,\quad A\cap B_n \]

Ces événements sont incompatibles.

Donc :

\[ P(A) = \sum_i P(A\cap B_i) \]

Mais :

\[ P(A\cap B_i) = P(B_i)P(A\mid B_i) \]

d'où le théorème.

10. Diagramme en arbre

Le théorème peut être bien interprété avec un arbre.

Les branches partent de la racine :

\[ B_1,\ B_2,\ B_3,\ldots \]

L'événement \(A\) démarre alors à partir de chaque branche.

La probabilité d'un chemin est :

\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]

11. Règle générale de l'arbre

Nous nous souvenons :

\[ \boxed{\text{lungo un percorso si moltiplica}} \]

et :

\[ \boxed{\text{tra percorsi alternativi si somma}} \]

12. Exemple avec trois usines

Une entreprise produit dans trois usines :

\[ P(S_1)=0,5 \]

\[ P(S_2)=0,3 \]

\[ P(S_3)=0,2 \]

Les taux de défauts sont :

\[ P(D\mid S_1)=0,01 \]

\[ P(D\mid S_2)=0,03 \]

\[ P(D\mid S_3)=0,04 \]

Calculons :

\[ P(D) \]

13. Solution

\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]

\[ = 0,005+0,009+0,008 \]

\[ = 0,022 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(D)=2,2\% } \]

14. Moyenne pondérée

La formule :

\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]

peut être considérée comme une moyenne pondérée des probabilités conditionnelles.

Les poids sont :

\[ 0,5,\quad0,3,\quad0,2 \]

15. Conséquence importante

Puisque les poids totalisent 1 :

\[ P(B_1)+\cdots+P(B_n)=1 \]

la probabilité totale doit être comprise entre le minimum et le maximum des probabilités conditionnelles :

\[ \min_i P(A\mid B_i) \leq P(A) \leq \max_i P(A\mid B_i) \]

16. Cas \(B\) et \(B^c\)

Un événement et son complément forment une partition.

Donc :

\[ \boxed{ P(A) = P(B)P(A\mid B) + P(B^c)P(A\mid B^c) } \]

17. Exemple

30% d'une population utilise un service :

\[ P(S)=0,3 \]

donc :

\[ P(S^c)=0,7 \]

Supposons :

\[ P(A\mid S)=0,8 \]

\[ P(A\mid S^c)=0,2 \]

Ensuite :

\[ P(A) = 0,3\cdot0,8 + 0,7\cdot0,2 \]

\[ = 0,24+0,14 = 0,38 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(A)=38\% } \]

18. Exemple avec des urnes

Choisissons une urne :

\[ P(U_1)=\frac13 \]

\[ P(U_2)=\frac23 \]

L'urne \(U_1\) contient :

• 4 rouges ;
• 6 bleus.

L'urne \(U_2\) contient :

• 7 rouges ;
• 3 bleus.

Nous voulons la probabilité de tirer une boule rouge.

19. Solution

\[ P(R\mid U_1)=\frac4{10} \]

\[ P(R\mid U_2)=\frac7{10} \]

Donc :

\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]

\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(R)=\frac35 } \]

20. Exemple avec des étudiants

Dans une école :

• 40% scientifique ;
• 35% classique ;
• 25% linguistique.

La probabilité de participer à une activité est :

\[ 0,60 \]

pour le scientifique,

\[ 0,50 \]

pour le classique,

\[ 0,40 \]

pour la linguistique.

Donc :

\[ P(A) = 0,40\cdot0,60 + 0,35\cdot0,50 + 0,25\cdot0,40 \]

\[ = 0,24+0,175+0,10 \]

\[ = 0,515 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(A)=51,5\% } \]

21. Exemple avec test de diagnostic

Supposons :

\[ P(M)=0,02 \]

\[ P(M^c)=0,98 \]

et :

\[ P(+\mid M)=0,95 \]

\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]

Quelle est la probabilité globale d’un test positif ?

22. Solution

\[ P(+) = P(M)P(+\mid M) + P(M^c)P(+\mid M^c) \]

\[ = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]

\[ = 0,019+0,0392 \]

\[ = 0,0582 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(+)=5,82\% } \]

23. Une question naturelle

Nous pouvons maintenant demander :

sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit atteinte de la maladie ?

Nous voulons :

\[ P(M\mid+) \]

Au lieu de cela, nous savons :

\[ P(+\mid M) \]

Les deux probabilités ne sont pas les mêmes.

Cela conduit au théorème de Bayes.

24. Fréquences absolues

Nous pouvons rendre le problème plus intuitif en imaginant 10 000 personnes.

Avec :

\[ P(M)=0,02 \]

nous avons :

\[ 200 \]

les personnes atteintes de cette maladie.

95% de tests positifs :

\[ 190 \]

Les personnes sans condition sont :

\[ 9800 \]

4% de tests positifs :

\[ 392 \]

Total des points positifs :

\[ 190+392=582 \]

et :

\[ \frac{582}{10000}=0,0582 \]

25. Exemple avec moyen de transport

Une personne va au travail :

• voiture 50 % ;
• former 30 % ;
• vélo 20%.

Probabilité de retard :

\[ 0,10 \]

avec voiture,

\[ 0,20 \]

en train,

\[ 0,05 \]

avec vélo.

Donc :

\[ P(R) = 0,50\cdot0,10 + 0,30\cdot0,20 + 0,20\cdot0,05 \]

\[ = 0,05+0,06+0,01 = 0,12 \]

Donc :

\[ \boxed{12\%} \]

26. Procédure générale

Étape 1

Identifiez les causes :

\[ B_1,\ldots,B_n \]

Étape 2

Vérifiez qu'ils forment une partition.

Étape 3

Recherchez l'événement final \(A\).

Étape 4

Écrivez :

\[ P(B_i) \]

et :

\[ P(A\mid B_i) \]

Étape 5

Multipliez le long de chaque chemin :

\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]

Étape 6

Ajouter :

\[ P(A) = \sum_i P(B_i)P(A\mid B_i) \]

27. Exercices

Exercice 1

Deux machines produisent :

\[ 70\% \]

et :

\[ 30\% \]

des pièces.

Taux de défauts :

\[ 2\% \]

et :

\[ 5\% \]

Donc :

\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]

\[ = 0,029 \]

\[ \boxed{2,9\%} \]

Exercice 2

Deux urnes choisies avec une égale probabilité.

Urne A :

• 8 blancs ;
• 2 noirs.

Urne B :

• 3 blancs ;
• 7 noirs.

Donc :

\[ P(Bianca) = \frac12\cdot\frac8{10} + \frac12\cdot\frac3{10} \]

\[ = \frac{11}{20} = 0,55 \]

Exercice 3

25% d'achats en ligne, 75% en magasin.

Retours :

\[ 10\% \]

en ligne,

\[ 4\% \]

boutique.

\[ P(R) = 0,25\cdot0,10 + 0,75\cdot0,04 \]

\[ = 0,055 \]

\[ \boxed{5,5\%} \]

28. Résumé du chapitre 7

Si :

\[ B_1,\ldots,B_n \]

former une partition :

\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]

Règle générale :

\[ \boxed{\text{moltiplica lungo i percorsi}} \]

\[ \boxed{\text{somma i percorsi alternativi}} \]

1. Le problème inverse

Dans le chapitre précédent, nous avons calculé :

\[ P(A) \]

sachant:

\[ P(B_i) \]

et :

\[ P(A\mid B_i) \]

Nous voulons maintenant faire le chemin inverse.

Nous examinons \(A\) et souhaitons savoir :

quelle est la probabilité que \(B_i\) en soit la cause ?

Autrement dit, nous voulons :

\[ P(B_i\mid A) \]

2. D'où vient la formule

Commençons par :

\[ P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

Mais :

\[ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) \]

Donc :

\[ \boxed{ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } } \]

C'est la forme de base du théorème de Bayes.

3. Formule générale

Si :

\[ B_1,\ldots,B_n \]

former une partition :

\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_j P(B_j)P(A\mid B_j) } } \]

4. Interprétation intuitive

Bayes met à jour une probabilité initiale après avoir reçu de nouvelles informations.

Schéma :

\[ \boxed{ \text{probabilità iniziale} \rightarrow \text{nuova evidenza} \rightarrow \text{probabilità aggiornata} } \]

5. A priori et a posteriori

La probabilité initiale :

\[ P(B) \]

C'est ce qu'on appelle une probabilité a priori.

La probabilité mise à jour :

\[ P(B\mid A) \]

C'est ce qu'on appelle la probabilité postérieure.

6. Exemple avec des urnes

Nous choisissons :

\[ P(U_1)=\frac13 \]

\[ P(U_2)=\frac23 \]

Urne \(U_1\) :

• 4 rouges ;
• 6 bleus.

Urne \(U_2\) :

• 7 rouges ;
• 3 bleus.

On observe une boule rouge.

Nous voulons :

\[ P(U_1\mid R) \]

7. Probabilité totale de rouge

\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]

\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]

8. Appliquons Bayes

\[ P(U_1\mid R) = \frac{ \frac13\cdot\frac4{10} }{ \frac35 } \]

\[ = \frac29 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(U_1\mid R)=\frac29 } \]

9. Deuxième urne

\[ P(U_2\mid R) = 1-\frac29 = \frac79 \]

10. Signification

Avant extraction :

\[ P(U_1)=\frac13 \]

Après avoir regardé le rouge :

\[ P(U_1\mid R)=\frac29 \]

Les preuves ont modifié la probabilité initiale.

11. Exemple avec des usines

Deux usines produisent :

\[ 70\% \]

et :

\[ 30\% \]

des pièces.

Taux de défauts :

\[ 2\% \]

et :

\[ 5\% \]

Une pièce est défectueuse.

Quelle est la probabilité que cela provienne de la deuxième plante ?

12. Probabilité de défaut

\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]

\[ = 0,014+0,015 = 0,029 \]

13. Bayès

\[ P(S_2\mid D) = \frac{ 0,3\cdot0,05 }{ 0,029 } \]

\[ = \frac{0,015}{0,029} \]

\[ \approx0,5172 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(S_2\mid D)\approx51,7\% } \]

14. Interprétation

La deuxième usine ne produit que 30 % des pièces.

Mais parmi les défectueux, la probabilité qu’ils proviennent de \(S_2\) dépasse 50 %.

C’est parce qu’il a un taux de défauts plus élevé.

15. Test diagnostique

Supposons :

\[ P(M)=0,02 \]

\[ P(M^c)=0,98 \]

et :

\[ P(+\mid M)=0,95 \]

\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]

Une personne est testée positive.

Nous voulons :

\[ P(M\mid+) \]

16. Calculons \(P(+)\)

\[ P(+) = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]

\[ = 0,019+0,0392 \]

\[ = 0,0582 \]

17. Appliquons Bayes

\[ P(M\mid+) = \frac{ 0,02\cdot0,95 }{ 0,0582 } \]

\[ = \frac{0,019}{0,0582} \]

\[ \approx0,3265 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(M\mid+)\approx32,6\% } \]

18. Résultat contre-intuitif

Le test reconnaît 95 % des personnes atteintes de la maladie.

Pourtant, un résultat positif a environ 32,6 % de chances d’être réellement atteint de la maladie.

La raison est que cette condition est rare.

19. Fréquences naturelles

Imaginons :

\[ 10000 \]

les gens.

Avec la condition :

\[ 200 \]

Vrais points positifs :

\[ 200\cdot0,95=190 \]

Sans condition :

\[ 9800 \]

Faux positifs :

\[ 9800\cdot0,04=392 \]

Total des points positifs :

\[ 190+392=582 \]

Donc :

\[ \frac{190}{582} \approx0,3265 \]

20. Les deux probabilités ne sont pas égales

\[ P(+\mid M)=95\% \]

mais :

\[ P(M\mid+)\approx32,6\% \]

En général :

\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]

21. Bayes comme inversion

Bayes permet de passer de :

\[ P(A\mid B) \]

à:

\[ P(B\mid A) \]

correction des probabilités de base.

22. Forme interprétative

On peut retenir :

\[ \boxed{ \text{posteriori} = \frac{ \text{priori}\times\text{verosimiglianza} }{ \text{evidenza} } } \]

c'est à dire :

\[ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } \]

23. Exemple avec des étudiants

Dans une école :

• 60% pendant deux ans ;
• 40% sur une période de trois ans.

Suivre un cours :

• 20% de la période de deux ans ;
• 50% de la période de trois ans.

Nous voulons la probabilité qu'un étudiant participant soit un étudiant de trois ans.

24. Probabilité de participation

\[ P(C) = 0,6\cdot0,2 + 0,4\cdot0,5 \]

\[ = 0,12+0,20 = 0,32 \]

25. Bayès

\[ P(T\mid C) = \frac{ 0,4\cdot0,5 }{ 0,32 } \]

\[ = 0,625 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(T\mid C)=62,5\% } \]

26. Exemple avec trois causes

Trois machines produisent :

\[ 50\%,\quad30\%,\quad20\% \]

des pièces.

Taux de défauts :

\[ 1\%,\quad3\%,\quad4\% \]

Une pièce est défectueuse.

Quelle est la probabilité que cela provienne de la troisième voiture ?

27. Probabilité totale de défaut

\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]

\[ = 0,005+0,009+0,008 = 0,022 \]

28. Bayès

\[ P(M_3\mid D) = \frac{ 0,2\cdot0,04 }{ 0,022 } \]

\[ = \frac{0,008}{0,022} \]

\[ \approx0,3636 \]

Donc :

\[ \boxed{ P(M_3\mid D)\approx36,4\% } \]

29. Vérifiez

\[ P(M_1\mid D) = \frac{0,005}{0,022} \approx22,7\% \]

\[ P(M_2\mid D) = \frac{0,009}{0,022} \approx40,9\% \]

\[ P(M_3\mid D) \approx36,4\% \]

La somme est d'environ :

\[ 100\% \]

30. Bayes comme rapport de chemin

On peut retenir :

\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ \text{probabilità del percorso }B_i\to A }{ \text{probabilità totale di arrivare ad }A } } \]

31. Erreur de taux de base

Une erreur courante consiste à ignorer :

\[ P(B) \]

c'est-à-dire la probabilité initiale.

Si un événement est très rare, même un test précis peut produire de nombreux faux positifs par rapport aux vrais positifs.

32. Quand utiliser Bayes

Bayes est utile lorsque :

1. il existe plusieurs causes possibles ;
2. nous connaissons la probabilité initiale des causes ;
3. nous connaissons la probabilité de la preuve étant donné chaque cause ;
4. nous examinons les preuves ;
5. nous voulons en retracer la cause.

33. Exercice 1

Deux urnes :

\[ P(U_1)=0,4 \]

\[ P(U_2)=0,6 \]

Probabilité de blanc :

\[ P(B\mid U_1)=0,3 \]

\[ P(B\mid U_2)=0,7 \]

Calculons :

\[ P(B) = 0,4\cdot0,3 + 0,6\cdot0,7 \]

\[ = 0,54 \]

Donc :

\[ P(U_1\mid B) = \frac{0,12}{0,54} = \frac29 \]

34. Exercice 2

Ligne 1 :

\[ 75\% \]

fabrication, défauts :

\[ 2\% \]

Ligne 2 :

\[ 25\% \]

fabrication, défauts :

\[ 6\% \]

Probabilité totale :

\[ P(D) = 0,75\cdot0,02 + 0,25\cdot0,06 \]

\[ = 0,03 \]

Donc :

\[ P(L_2\mid D) = \frac{0,015}{0,03} = 0,5 \]

\[ \boxed{50\%} \]

35. Exercice 3

Caractéristique présente chez 10% de la population.

Test positif :

• 90% si présent ;
• 20% en cas d'absence.

\[ P(+) = 0,1\cdot0,9 + 0,9\cdot0,2 \]

\[ = 0,27 \]

Donc :

\[ P(C\mid+) = \frac{0,09}{0,27} = \frac13 \]

\[ \boxed{33,3\%} \]

36. Exercice contre-intuitif

Une condition affecte :

\[ 1 \]

personne sur :

\[ 1000 \]

Donc :

\[ P(M)=0,001 \]

Essais :

\[ P(+\mid M)=0,99 \]

\[ P(+\mid M^c)=0,01 \]

Calculons :

\[ P(+) = 0,001\cdot0,99 + 0,999\cdot0,01 \]

\[ = 0,01098 \]

Donc :

\[ P(M\mid+) = \frac{0,00099}{0,01098} \]

\[ \approx0,0902 \]

c'est-à-dire environ :

\[ \boxed{9\%} \]

37. Bayes ne crée pas d'informations

Le théorème nécessite des données initiales :

• probabilité a priori ;
• probabilités conditionnelles ;
• les preuves observées.

Si cette information est incertaine, l’issue le sera également.

38. Procédure générale

Étape 1

Identifiez les causes :

\[ B_1,\ldots,B_n \]

Étape 2

Écrivez :

\[ P(B_i) \]

Étape 3

Écrivez :

\[ P(A\mid B_i) \]

Étape 4

Calculer :

\[ P(A) \]

avec la probabilité totale.

Étape 5

Postuler :

\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ P(A) } } \]

39. Probabilité totale et Bayes

Les deux théorèmes fonctionnent ensemble.

Probabilité totale :

\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]

Bayes :

\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_jP(B_j)P(A\mid B_j) } } \]

40. Idée finale

Bayes peut être résumé ainsi :

\[ \boxed{ \text{una nuova informazione modifica razionalmente le probabilità iniziali} } \]

Nous avons d'abord :

\[ P(B) \]

Après avoir observé \(A\) :

\[ P(B\mid A) \]

C'est l'un des principes fondamentaux des statistiques, des diagnostics et de l'inférence probabiliste.

1. Pourquoi introduisons-nous des variables aléatoires

Jusqu'à présent, nous avons étudié des événements tels que :

un nombre pair sort

ou :

la pièce est défectueuse.

Mais souvent on souhaite associer un chiffre au résultat de l’expérience.

Par exemple :

• nombre de têtes en 5 lancers ;
• nombre de clients entrant dans un magasin en une heure ;
• le temps d'attente ;
• la taille d'une personne ;
• durée de vie d'une ampoule.

Pour décrire mathématiquement ces quantités, nous introduisons le concept de variable aléatoire.

2. Définition intuitive

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire.

En symboles :

\[ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R} \]

À chaque résultat :

\[ \omega\in\Omega \]

la variable associe :

\[ X(\omega) \]

3. Exemple avec deux pièces

Lançons deux pièces.

\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]

Définissons :

\[ X=\text{numero di teste} \]

Ensuite :

\[ X(TT)=2 \]

\[ X(TC)=1 \]

\[ X(CT)=1 \]

\[ X(CC)=0 \]

Ainsi \(X\) peut prendre :

\[ 0,1,2 \]

4. Résultat et valeur de la variable

Dans l'exemple :

\[ TC \]

c'est un résultat.

Au lieu de cela :

\[ X(TC)=1 \]

est la valeur de la variable aléatoire.

L’espace échantillon contient les résultats.

La variable les transforme en nombres.

5. Parce que c'est utile

Au tirage au sort de 10 pièces il y a :

\[ 2^{10}=1024 \]

séquences possibles.

Si on s'intéresse uniquement au nombre de têtes, la variable ne peut prendre que :

\[ 0,1,2,\ldots,10 \]

Cela simplifie grandement le problème.

6. Variable aléatoire discrète

Une variable est discrète lorsqu'elle prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Exemples :

• nombre d'enfants ;
• nombre d'appels téléphoniques ;
• nombre de défauts ;
• nombre de réussites ;
• nombre de fois où il apparaît 6.

7. Variable aléatoire continue

Une variable est continue lorsqu'elle peut prendre toutes les valeurs d'une plage.

Exemples :

• la hauteur ;
• poids;
• température;
• temps;
• distance;
• durée.

8. Exemple discret

Lançons un dé.

\[ X=\text{numero ottenuto} \]

Ensuite :

\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]

9. Exemple continu

Nous mesurons le temps nécessaire à une activité.

On peut avoir :

\[ 10,4 \]

\[ 10,43 \]

\[ 10,437 \]

et ainsi de suite.

Idéalement :

\[ X\in[0,+\infty) \]

10. Fonction de probabilité discrète

Si \(X\) est discret :

\[ \boxed{ p(x)=P(X=x) } \]

Cela doit valoir :

\[ p(x)\geq0 \]

et :

\[ \sum_xp(x)=1 \]

11. Exemple avec deux pièces

Pour :

\[ X=\text{numero di teste} \]

nous avons :

\[ P(X=0)=\frac14 \]

\[ P(X=1)=\frac12 \]

\[ P(X=2)=\frac14 \]

et :

\[ \frac14+\frac12+\frac14=1 \]

12. Distribution de probabilité

L'ensemble des valeurs possibles de \(X\) et de leurs probabilités respectives constitue son :

\[ \boxed{\text{distribuzione di probabilità}} \]

13. Noix ordinaire

Si :

\[ X=\text{numero ottenuto} \]

alors :

\[ P(X=x)=\frac16 \]

pour :

\[ x=1,\ldots,6 \]

14. Variable indicatrice

Définissons :

\[ I_A= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]

Une variable de ce type s'appelle :

\[ \boxed{\text{indicatrice}} \]

15. Exemple avec des dés

Définissons :

\[ X= \begin{cases} 1 & \text{se esce pari}\\ 0 & \text{se esce dispari} \end{cases} \]

Ensuite :

\[ P(X=1)=\frac12 \]

\[ P(X=0)=\frac12 \]

16. Variables continues et probabilité ponctuelle

Pour une variable continue :

\[ \boxed{ P(X=x)=0 } \]

pour chaque valeur individuelle \(x\).

Cela ne veut pas dire que la valeur est impossible.

Cela signifie que la probabilité d’obtenir un seul point est nulle.

17. Densité de probabilité

Pour une variable continue, nous utilisons une fonction :

\[ f(x) \]

appelée densité.

Cela doit valoir :

\[ f(x)\geq0 \]

et :

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1 \]

18. La probabilité est un domaine

Pour une variable continue :

\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]

La probabilité est donc une aire sous la courbe.

19. La densité et la probabilité ne sont pas la même chose

La valeur :

\[ f(x) \]

ce n'est pas une probabilité précise.

Une densité peut même dépasser 1.

Ce qui doit être égal à 1 est la superficie totale.

20. Uniforme suite

Si :

\[ X\sim U(0,10) \]

la densité est :

\[ f(x)=\frac1{10} \]

pour :

\[ 0\leq x\leq10 \]

21. Exemple

\[ P(2\leq X\leq5) = 3\cdot\frac1{10} = 0,3 \]

22. Fonction de distribution

Pour toute variable nous définissons :

\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]

C'est la probabilité accumulée jusqu'à \(x\).

23. Exemple discret

Supposons :

\[ P(X=0)=0,2 \]

\[ P(X=1)=0,5 \]

\[ P(X=2)=0,3 \]

Ensuite :

\[ F(0)=0,2 \]

\[ F(1)=0,7 \]

\[ F(2)=1 \]

24. Propriétés de \(F(x)\)

La fonction de distribution :

• est compris entre 0 et 1 ;
• ne diminue pas ;
• tend vers 0 pour \(x\to-\infty\) ;
• rideaux à 1 pour \(x\to+\infty\).

25. Probabilité d'un intervalle

\[ \boxed{ P(a<X\leq b) = F(b)-F(a) } \]

26. Discret et continu

Pour une variable discrète :

\[ P(X=x) \]

ça peut être positif.

Pour la suite :

\[ P(X=x)=0 \]

27. Exemple : nombre de clients

\[ X=\text{numero di clienti in un'ora} \]

Valeurs possibles :

\[ 0,1,2,\ldots \]

Donc :

\[ \boxed{\text{discreta}} \]

28. Exemple : temps d'attente

\[ X=\text{tempo di attesa} \]

Il peut prendre des valeurs réelles positives.

Donc :

\[ \boxed{\text{continua}} \]

29. Plusieurs variables sur la même expérience

En lançant deux dés on peut définir :

\[ X=\text{somma} \]

\[ Y=\text{massimo} \]

\[ Z=\text{numero di 6} \]

L'espace d'échantillonnage est le même, mais les variables décrivent des aspects différents.

30. Somme de deux dés

Si :

\[ X=D_1+D_2 \]

alors :

\[ X\in\{2,3,\ldots,12\} \]

avec probabilité :

\[ \frac1{36},\frac2{36},\frac3{36},\ldots \]

La somme 7 a une probabilité :

\[ \frac6{36} \]

31. Répartition de la somme

\[ P(X=2)=\frac1{36} \]

\[ P(X=3)=\frac2{36} \]

\[ P(X=4)=\frac3{36} \]

\[ P(X=5)=\frac4{36} \]

\[ P(X=6)=\frac5{36} \]

\[ P(X=7)=\frac6{36} \]

puis symétriquement.

32. Exercices

Exercice 1

Trois pièces.

\[ X=\text{numero di teste} \]

Valeurs :

\[ \boxed{0,1,2,3} \]

Exercice 2

\[ P(X=3)=\frac18 \]

Exercice 3

\[ P(X=2)=\frac38 \]

Exercice 4

Nombre d'emails reçus :

\[ \boxed{\text{discreta}} \]

Exercice 5

Température :

\[ \boxed{\text{continua}} \]

33. Résumé du chapitre 9

Une variable aléatoire est :

\[ \boxed{ X:\Omega\rightarrow\mathbb R } \]

Cela peut être :

\[ \boxed{\text{discreta}} \]

ou :

\[ \boxed{\text{continua}} \]

Pour un discret :

\[ p(x)=P(X=x) \]

Pour la suite :

\[ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx \]

Pour les deux :

\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]

1. Pourquoi ils sont utiles

Une distribution peut être résumée par quelques nombres fondamentaux :

\[ \boxed{\text{valore atteso}} \]

\[ \boxed{\text{varianza}} \]

\[ \boxed{\text{deviazione standard}} \]

L'espérance décrit le centre.

La variance et l'écart type décrivent la dispersion.

2. Espérance

Pour une variable discrète :

\[ \boxed{ E(X)=\sum_i x_ip_i } \]

C'est une moyenne pondérée des valeurs possibles.

3. Exemple avec un dé

\[ E(X) = 1\cdot\frac16+ 2\cdot\frac16+ \cdots+ 6\cdot\frac16 \]

\[ = \frac{21}{6} = 3,5 \]

Donc :

\[ \boxed{E(X)=3,5} \]

4. Un point important

Le dé ne peut pas afficher :

\[ 3,5 \]

L'espérance n'est pas nécessairement une valeur que la variable peut prendre.

C'est une moyenne théorique à long terme.

5. Deux pièces

Si :

\[ X=\text{numero di teste} \]

avec la probabilité :

\[ \frac14,\frac12,\frac14 \]

alors :

\[ E(X) = 0\cdot\frac14+ 1\cdot\frac12+ 2\cdot\frac14 = 1 \]

6. Jeux et espérance

Supposons que :

• vous gagnez 20 € avec une probabilité de 0,1 ;
• vous perdez 2 € avec une probabilité de 0,9.

\[ E(X) = 20\cdot0,1 + (-2)\cdot0,9 \]

\[ = 0,2 \]

Le gain moyen théorique est donc :

\[ 0,20€ \]

7. Jeu équitable

Un jeu est équitable si :

\[ \boxed{ E(X)=0 } \]

Si :

\[ E(X)>0 \]

il est favorable au joueur en moyenne.

Si :

\[ E(X)<0 \]

il est défavorable.

8. Linéarité de l'espérance

\[ \boxed{ E(aX+b)=aE(X)+b } \]

et :

\[ \boxed{ E(X+Y)=E(X)+E(Y) } \]

Cette propriété est valable même sans indépendance.

9. Variable indicatrice

Pour :

\[ I_A= \begin{cases} 1 & A\\ 0 & A^c \end{cases} \]

nous avons :

\[ E(I_A)=P(A) \]

Donc :

\[ \boxed{ E(I_A)=P(A) } \]

10. Pourquoi la moyenne ne suffit pas

Deux distributions peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes.

Exemple :

A

\[ X=10 \]

toujours.

B

\[ Y= \begin{cases} 0 & \text{prob. }1/2\\ 20 & \text{prob. }1/2 \end{cases} \]

Les deux ont pour moyenne :

\[ 10 \]

mais la seconde est beaucoup plus dispersée.

11. Écart à la moyenne

Posons :

\[ \mu=E(X) \]

L'écart est :

\[ X-\mu \]

La moyenne des écarts vaut 0.

C'est pourquoi nous considérons les carrés des écarts.

12. Variance

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]

Pour les variables discrètes :

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \sum_i(x_i-\mu)^2P(X=x_i) } \]

13. Exemple avec deux pièces

Nous avions :

\[ E(X)=1 \]

Donc :

\[ \operatorname{Var}(X) = (0-1)^2\frac14+ (1-1)^2\frac12+ (2-1)^2\frac14 \]

\[ = \frac12 \]

14. Autre formule

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]

Elle est souvent plus pratique.

15. Démonstration

\[ (X-\mu)^2 = X^2-2\mu X+\mu^2 \]

En prenant l'espérance :

\[ E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2 \]

Puisque :

\[ E(X)=\mu \]

nous obtenons :

\[ E(X^2)-\mu^2 \]

16. Exemple avec un dé

\[ E(X)=3,5 \]

Calculons :

\[ E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \]

Donc :

\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac72\right)^2 \]

\[ = \frac{35}{12} \]

17. Écart type

La variance est exprimée en unités au carré.

Pour revenir à l'unité d'origine, nous définissons :

\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]

18. Exemple avec un dé

\[ \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx1,708 \]

19. Interprétation

Petit écart type :

\[ \text{valori concentrati} \]

Grand écart type :

\[ \text{valori dispersi} \]

20. Même moyenne, dispersion différente

Supposons :

\[ X= \begin{cases} 9 & 1/2\\ 11 & 1/2 \end{cases} \]

et :

\[ Y= \begin{cases} 0 & 1/2\\ 20 & 1/2 \end{cases} \]

Les deux ont pour moyenne 10.

Mais :

\[ \operatorname{Var}(X)=1 \]

tandis que :

\[ \operatorname{Var}(Y)=100 \]

21. Transformations linéaires

Si :

\[ Y=aX+b \]

alors :

\[ \boxed{ E(Y)=aE(X)+b } \]

et :

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(Y) = a^2\operatorname{Var}(X) } \]

22. Écart type

\[ \boxed{ \sigma_Y=|a|\sigma_X } \]

Le terme \(b\) ne modifie pas la dispersion.

23. Somme de variables

\[ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]

En général :

\[ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y) \]

24. Cas indépendant

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes :

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) } \]

25. Attention

L'égalité suivante est fausse :

\[ \sigma_{X+Y} = \sigma_X+\sigma_Y \]

En cas d'indépendance :

\[ \sigma_{X+Y} = \sqrt{ \sigma_X^2+\sigma_Y^2 } \]

26. Variables continues

Pour une variable continue :

\[ \boxed{ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx } \]

et :

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2f(x)\,dx } \]

27. Loi uniforme sur \([0,10]\)

Pour :

\[ X\sim U(0,10) \]

\[ E(X)=5 \]

et :

\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \]

28. Moyenne théorique et moyenne empirique

Moyenne théorique :

\[ \mu=E(X) \]

Moyenne empirique :

\[ \bar x= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]

Ce sont deux notions différentes.

29. Exemple complet

Supposons :

\[ P(X=0)=0,2 \]

\[ P(X=1)=0,5 \]

\[ P(X=3)=0,3 \]

Moyenne :

\[ E(X) = 0+0,5+0,9 = 1,4 \]

30. Calcul de \(E(X^2)\)

\[ E(X^2) = 0+0,5+2,7 = 3,2 \]

31. Variance

\[ \operatorname{Var}(X) = 3,2-(1,4)^2 \]

\[ = 1,24 \]

32. Écart type

\[ \sigma=\sqrt{1,24} \approx1,11 \]

33. Exercices

Exercice 1

\[ X=1,2,3 \]

avec la probabilité :

\[ 0,2,\ 0,5,\ 0,3 \]

\[ E(X)=2,1 \]

Exercice 2

\[ E(X^2)=4,9 \]

Exercice 3

\[ \operatorname{Var}(X)=0,49 \]

Exercice 4

\[ \sigma=0,7 \]

Exercice 5

Si :

\[ E(X)=8 \]

et :

\[ Y=5X-3 \]

alors :

\[ E(Y)=37 \]

34. Synthèse du chapitre 10

\[ \boxed{ E(X)=\sum_xxP(X=x) } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]

\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]

1. Pourquoi utiliser des distributions classiques

De nombreuses expériences différentes partagent la même structure mathématique.

Les principales distributions discrètes que nous étudions sont :

\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]

\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]

\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]

\[ \boxed{\text{Poisson}} \]

2. Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues :

\[ \text{successo} \]

et :

\[ \text{insuccesso} \]

avec les probabilités :

\[ p \]

et :

\[ 1-p \]

Définissons :

\[ X= \begin{cases} 1 & \text{successo}\\ 0 & \text{insuccesso} \end{cases} \]

Nous écrivons :

\[ \boxed{ X\sim Bernoulli(p) } \]

3. Fonction de probabilité

\[ P(X=1)=p \]

\[ P(X=0)=1-p \]

Forme compacte :

\[ \boxed{ P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x} } \]

4. Espérance et variance de Bernoulli

\[ \boxed{ E(X)=p } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = p(1-p) } \]

5. De Bernoulli à la loi binomiale

Nous répétons une épreuve de Bernoulli \(n\) fois.

Définissons :

\[ X=\text{numero di successi} \]

Si :

• \(n\) est fixé ;
• les épreuves sont indépendantes ;
• la probabilité \(p\) est constante ;

alors :

\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]

6. Formule binomiale

\[ \boxed{ P(X=k) = \binom nkp^k(1-p)^{n-k} } \]

pour :

\[ k=0,\ldots,n \]

7. Pourquoi apparaît \(\binom nk\)

Si nous voulons \(k\) succès en \(n\) épreuves, nous devons choisir les \(k\) positions où ils se produisent.

Le nombre de possibilités est :

\[ \binom nk \]

8. Exemple

Une pièce équilibrée lancée 5 fois.

Probabilité d'obtenir 3 fois pile :

\[ P(X=3) = \binom53 \left(\frac12\right)^5 \]

\[ = \frac5{16} \]

9. Espérance et variance de la loi binomiale

\[ \boxed{ E(X)=np } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = np(1-p) } \]

\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{np(1-p)} } \]

10. Exactement, au moins, au plus

Exactement \(k\) :

\[ P(X=k) \]

Au moins \(k\) :

\[ P(X\geq k) \]

Au plus \(k\) :

\[ P(X\leq k) \]

11. Au moins un succès

\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]

Donc :

\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-(1-p)^n } \]

12. Exemple

Probabilité de défaut :

\[ 0,02 \]

20 composants indépendants.

Probabilité d'au moins un composant défectueux :

\[ 1-(0,98)^{20} \]

13. Quand NE PAS utiliser la loi binomiale

Il faut que les conditions suivantes soient remplies :

• nombre fixe d'épreuves ;
• deux issues ;
• même probabilité ;
• indépendance.

Si nous tirons sans remise, ces conditions peuvent ne plus être remplies.

14. Distribution géométrique

La question change :

combien d'épreuves faut-il pour obtenir le premier succès ?

Si les épreuves sont indépendantes et ont une probabilité \(p\) :

\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]

15. Formule géométrique

\[ \boxed{ P(X=k) = (1-p)^{k-1}p } \]

pour :

\[ k=1,2,\ldots \]

16. Exemple

Nous lançons un dé jusqu'au premier 6.

Probabilité que ce 6 arrive au quatrième lancer :

\[ \left(\frac56\right)^3 \frac16 \]

17. Espérance et variance de la loi géométrique

\[ \boxed{ E(X)=\frac1p } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} } \]

18. Propriété sans mémoire

\[ \boxed{ P(X>m+n\mid X>m) = P(X>n) } \]

Le processus ne « se souvient » pas de la durée déjà attendue.

19. Binomiale et géométrique

Binomiale :

combien de succès en \(n\) épreuves ?

Géométrique :

combien d'épreuves jusqu'au premier succès ?

20. Distribution de Poisson

Elle sert à compter les événements sur un intervalle de :

• temps ;
• espace ;
• longueur ;
• surface ;
• volume.

Nous écrivons :

\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]

21. Formule de Poisson

\[ \boxed{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} } \]

22. Exemple

En moyenne, 3 appels par heure.

\[ X\sim Poisson(3) \]

Probabilité de 2 appels :

\[ P(X=2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} \]

23. Aucun événement

\[ \boxed{ P(X=0)=e^{-\lambda} } \]

24. Au moins un événement

\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-e^{-\lambda} } \]

25. Espérance et variance de Poisson

\[ \boxed{ E(X)=\lambda } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X)=\lambda } \]

\[ \boxed{ \sigma=\sqrt\lambda } \]

26. Changer d'intervalle

Si 12 appels arrivent en moyenne par heure, en 15 minutes :

\[ \lambda= 12\cdot\frac14 = 3 \]

27. Quand utiliser Poisson

Lorsque :

• nous comptons des événements ;
• le taux moyen est stable ;
• les événements sont suffisamment indépendants ;
• l'intervalle est bien défini.

28. Poisson comme approximation de la loi binomiale

Si :

\[ n \]

est grand et :

\[ p \]

est petit, avec :

\[ \lambda=np \]

nous pouvons utiliser :

\[ \boxed{ Bin(n,p)\approx Poisson(np) } \]

29. Comparaison finale

Bernoulli

Une seule épreuve.

Binomiale

Nombre de succès en \(n\) épreuves.

Géométrique

Nombre d'épreuves jusqu'au premier succès.

Poisson

Nombre d'événements dans un intervalle.

30. Espérances

Bernoulli :

\[ p \]

Binomiale :

\[ np \]

Géométrique :

\[ \frac1p \]

Poisson :

\[ \lambda \]

31. Variances

Bernoulli :

\[ p(1-p) \]

Binomiale :

\[ np(1-p) \]

Géométrique :

\[ \frac{1-p}{p^2} \]

Poisson :

\[ \lambda \]

32. Synthèse du chapitre 11

\[ \boxed{ Bernoulli(p) } \]

une seule épreuve.

\[ \boxed{ Bin(n,p) } \]

succès en \(n\) épreuves.

\[ \boxed{ Geom(p) } \]

épreuves jusqu'au premier succès.

\[ \boxed{ Poisson(\lambda) } \]

événements dans un intervalle.

1. Variables continues

Pour une variable continue :

\[ P(X=x)=0 \]

Les probabilités concernent les plages :

\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]

2. Distribution uniforme continue

Si toutes les valeurs de :

\[ [a,b] \]

sont tout aussi plausibles :

\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]

3. Densité uniforme

\[ \boxed{ f(x)= \frac1{b-a} } \]

pour :

\[ a\leq x\leq b \]

4. Probabilité uniforme

\[ \boxed{ P(c\leq X\leq d) = \frac{d-c}{b-a} } \]

5. Exemple

\[ X\sim U(0,10) \]

\[ P(2\leq X\leq5) = \frac3{10} = 0,3 \]

6. Moyenne et variance uniformes

\[ \boxed{ E(X)=\frac{a+b}{2} } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} } \]

7. Distribution exponentielle

La distribution exponentielle modélise principalement les temps d’attente.

Nous écrivons :

\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]

8. Densité exponentielle

\[ \boxed{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} } \]

pour :

\[ x\geq0 \]

9. Fonction de distribution

\[ \boxed{ F(x)=1-e^{-\lambda x} } \]

10. Chance de réussir \(x\)

\[ \boxed{ P(X>x)=e^{-\lambda x} } \]

11. Exemple

\[ X\sim Exp(0,2) \]

\[ P(X>5) = e^{-1} \approx0,3679 \]

12. Probabilité sur un intervalle

\[ \boxed{ P(a<X<b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} } \]

13. Moyenne et variance exponentielles

\[ \boxed{ E(X)=\frac1\lambda } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac1{\lambda^2} } \]

\[ \boxed{ \sigma=\frac1\lambda } \]

14. Connexion avec Poisson

Poisson :

combien d'événements ?

Exponentiel :

combien de temps entre les événements ?

Donc :

\[ \boxed{ Poisson\leftrightarrow conteggio } \]

\[ \boxed{ Esponenziale\leftrightarrow attesa } \]

15. Pas de mémoire

\[ \boxed{ P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t) } \]

16. Distribution normale

La distribution normale, ou gaussienne, est indiquée :

\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]

17. Densité de la normale

\[ \boxed{ f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} } \]

18. Propriétés de la normale

La courbe :

• il est symétrique ;
• a une forme de cloche ;
• est centré sur \(\mu\) ;
• a une aire totale de 1.

19. Moyenne, médiane et mode

Pour la normale :

\[ \boxed{ \text{media}= \text{mediana}= \text{moda} = \mu } \]

20. Rôle de \(\mu\)

\(\mu\) détermine la position de la courbe.

En modifiant \(\mu\), la courbe se déplace.

21. Rôle de \(\sigma\)

\(\sigma\) détermine la dispersion.

Petit \(\sigma\) :

\[ \text{curva stretta} \]

Grand \(\sigma\) :

\[ \text{curva larga} \]

22. Symétrie

\[ P(X<\mu)=\frac12 \]

\[ P(X>\mu)=\frac12 \]

23. Règle 68-95-99.7

Pour un normal :

\[ P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx68\% \]

\[ P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma) \approx95\% \]

\[ P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma) \approx99,7\% \]

24. Normalisation

Définissons :

\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]

Si :

\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]

alors :

\[ \boxed{ Z\sim N(0,1) } \]

25. Signification du z-score

\[ z= \frac{x-\mu}{\sigma} \]

indique le nombre d'écarts types d'une valeur au-dessus ou en dessous de la moyenne.

26. Exemple

\[ \mu=100 \]

\[ \sigma=15 \]

\[ x=130 \]

\[ z= \frac{130-100}{15} = 2 \]

La valeur est de deux écarts types au-dessus de la moyenne.

27. Un autre exemple

\[ x=85 \]

\[ z= \frac{85-100}{15} = -1 \]

Un écart type en dessous de la moyenne.

28. Fonction \(\Phi\)

Pour la norme normale :

\[ \boxed{ \Phi(z)=P(Z\leq z) } \]

29. Symétrie de la normale standard

\[ \boxed{ \Phi(-z)=1-\Phi(z) } \]

30. Chances à droite

\[ \boxed{ P(Z>z)=1-\Phi(z) } \]

31. Probabilité entre deux valeurs

\[ \boxed{ P(a<Z<b) = \Phi(b)-\Phi(a) } \]

32. Exemple complet

\[ X\sim N(100,15^2) \]

Calculer :

\[ P(X<115) \]

Nous normalisons :

\[ z=1 \]

Donc :

\[ P(X<115) = \Phi(1) \approx0,8413 \]

33. Probabilité plus élevée

\[ P(X>130) \]

\[ z=2 \]

\[ P(Z>2) = 1-\Phi(2) \]

\[ \approx0,0228 \]

34. Probabilité centrale

\[ P(85<X<115) \]

correspond à :

\[ P(-1<Z<1) \]

\[ \approx0,6827 \]

35. Recherche inversée

Si :

\[ \Phi(z)=0,95 \]

alors :

\[ z\approx1,645 \]

36. Valeurs critiques importantes

90% centrale :

\[ z\approx1,645 \]

95% centrale :

\[ z\approx1,96 \]

99% centrale :

\[ z\approx2,576 \]

37. Pourquoi 1,96 et pas 2

Les 95 % centraux exacts sont d’environ :

\[ P(-1,96<Z<1,96)=0,95 \]

La valeur 2 est une approximation pratique.

38. Centiles

Le percentile \(p\) satisfait :

\[ P(X\leq x_p)=p \]

Pour un normal :

\[ \boxed{ x_p= \mu+z_p\sigma } \]

39. Exemple

\[ X\sim N(100,15^2) \]

95e centile :

\[ z_{0,95}\approx1,645 \]

\[ x_{0,95} = 100+1,645\cdot15 \]

\[ \approx124,7 \]

40. Central 95 % et 95e percentile

Ce n’est pas la même chose.

95% centrale :

\[ -1,96<Z<1,96 \]

95e centile :

\[ Z\leq1,645 \]

41. Quand la normale est plausible

La normale apparaît souvent pour :

• les erreurs de mesure ;
• les caractéristiques biologiques ;
• les mesures physiques ;
• des sommes de nombreux petits effets ;
• des moyennes d'échantillons.

Mais tous les phénomènes ne sont pas normaux.

42. Comparaison des distributions continues

Uniforme

Valeurs équiplausibles dans un intervalle.

Exponentiel

Délais d'attente.

Normal

Phénomènes symétriques en forme de cloche.

43. Exercices

Exercice 1

\[ X\sim U(10,20) \]

\[ P(12<X<16) = \frac4{10} = 0,4 \]

Exercice 2

\[ E(X)=15 \]

Exercice 3

\[ X\sim Exp(0,5) \]

\[ P(X>4) = e^{-2} \approx0,1353 \]

Exercice 4

Durée moyenne :

\[ E(X)=\frac1{0,5}=2 \]

Exercice 5

\[ X\sim N(50,10^2) \]

pour :

\[ x=70 \]

nous avons :

\[ z=2 \]

44. Résumé du chapitre 12

Uniforme :

\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]

\[ E(X)=\frac{a+b}{2} \]

\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]

Exponentiel :

\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]

\[ P(X>x)=e^{-\lambda x} \]

\[ E(X)=\frac1\lambda \]

Normale :

\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]

et normalisation :

\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]

Mettez les modèles à l’épreuve: ouvrez le laboratoire des distributions.

1. Deux résultats différents mais liés

Lorsque nous répétons une expérience aléatoire plusieurs fois, deux choses fondamentales se produisent :

• la moyenne observée tend à se stabiliser ;
• la distribution de la moyenne tend souvent à prendre une forme normale.

Ces phénomènes sont décrits par :

\[ \boxed{\text{Legge dei Grandi Numeri}} \]

et :

\[ \boxed{\text{Teorema Centrale del Limite}} \]

La loi des grands nombres concerne vers quelle valeur tend la moyenne.

Le théorème central limite concerne la façon dont la moyenne est distribuée.

2. Moyenne de l'échantillon

Considérons :

\[ X_1,X_2,\ldots,X_n \]

indépendant et avec la même distribution.

La moyenne de l'échantillon est :

\[ \boxed{ \bar X= \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} } \]

3. Valeur attendue de la moyenne

Si :

\[ E(X_i)=\mu \]

alors :

\[ E(\bar X) = \frac1n \sum_{i=1}^nE(X_i) \]

\[ = \frac{n\mu}{n} \]

donc :

\[ \boxed{ E(\bar X)=\mu } \]

4. Variance de la moyenne

Si :

\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2 \]

et les observations sont indépendantes :

\[ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} \]

donc :

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} } \]

5. Erreur standard

L’écart type de la moyenne de l’échantillon est :

\[ \boxed{ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

Cette quantité est appelée erreur standard de la moyenne.

6. Conséquence

Augmentation de \(n\) :

\[ \frac{\sigma}{\sqrt n} \]

diminue.

Les moyennes de l’échantillon se concentrent donc de plus en plus autour :

\[ \mu \]

7. Exemple

Supposons :

\[ \mu=100 \]

\[ \sigma=20 \]

Avec :

\[ n=25 \]

nous avons :

\[ SE=\frac{20}{5}=4 \]

Avec :

\[ n=100 \]

nous avons :

\[ SE=\frac{20}{10}=2 \]

8. Loi des grands nombres

La loi des grands nombres stipule intuitivement que :

\[ \boxed{ \bar X_n\longrightarrow\mu } \]

quand :

\[ n\to\infty \]

La moyenne observée tend à se rapprocher de la valeur attendue.

9. Exemple avec un dé

Pour une noix ordinaire :

\[ E(X)=3,5 \]

Après quelques lancements, la moyenne peut être très différente.

Après de nombreux lancements, il aura plutôt tendance à se stabiliser autour de :

\[ 3,5 \]

10. Fréquence relative

Considérons un événement \(A\) et définissons :

\[ X_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]

Ensuite :

\[ E(X_i)=P(A) \]

La moyenne :

\[ \bar X = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \]

coïncide avec la fréquence relative.

Donc :

\[ \boxed{ f_n(A)\to P(A) } \]

11. Ce que la loi des grands nombres ne dit PAS

Il n'est pas dit que :

après plusieurs queues, il faut que ça tombe sur face.

Si les lancements sont indépendants :

\[ P(T)=\frac12 \]

à chaque lancer.

La pièce ne « rattrape » pas les résultats précédents.

12. Version probabiliste

Une formulation importante est la suivante :

\[ \boxed{ P(|\bar X_n-\mu|>\varepsilon) \to0 } \]

pour :

\[ n\to\infty \]

13. Théorème central limite

Si :

\[ X_1,\ldots,X_n \]

sont indépendants et identiquement répartis avec :

\[ E(X_i)=\mu \]

et :

\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty \]

puis pour les grands \(n\) :

\[ \boxed{ \bar X \approx N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]

14. Formulaire standardisé

\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \approx N(0,1) } \]

Cette formule sera essentielle pour l’inférence statistique.

15. Le résultat surprenant

La population initiale peut être :

• uniforme;
• exponentiel ;
• discret ;
• asymétrique.

La distribution de la moyenne de l'échantillon a tendance à être normale, dans des conditions appropriées.

16. Attention

Le TCL ne dit pas que les données originales deviennent normales.

Il dit que la distribution de :

\[ \boxed{\bar X} \]

17. Distribution d'échantillonnage de la moyenne

La distribution des valeurs possibles de :

\[ \bar X \]

a :

\[ E(\bar X)=\mu \]

et :

\[ \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n} \]

18. Augmentation de \(n\)

Deux choses se produisent :

1. la distribution de la moyenne tend vers la normale ;
2. la dispersion diminue.

19. Cas particulier : population normale

Si :

\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]

alors :

\[ \boxed{ \bar X \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]

pour tout \(n\).

20. Exemple

Supposons :

\[ X\sim N(175,10^2) \]

et :

\[ n=25 \]

Ensuite :

\[ \bar X \sim N\left( 175, \frac{100}{25} \right) \]

donc :

\[ \bar X\sim N(175,4) \]

et :

\[ SE=2 \]

21. Probabilité en moyenne

Calculons :

\[ P(\bar X>178) \]

Nous normalisons :

\[ Z= \frac{178-175}{2} = 1,5 \]

Donc :

\[ P(\bar X>178) = P(Z>1,5) \approx0,0668 \]

22. Observation unique et moyenne

Pour une seule observation :

\[ \sigma_X=\sigma \]

Pour une moyenne :

\[ \boxed{ \sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

La moyenne est donc beaucoup moins variable.

23. Réduire de moitié l'erreur type

Parce que :

\[ SE\propto\frac1{\sqrt n} \]

pour le réduire de moitié, vous devez quadrupler \(n\).

24. TCL pour la somme

Si :

\[ S_n=X_1+\cdots+X_n \]

alors :

\[ E(S_n)=n\mu \]

\[ \operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^2 \]

et :

\[ \boxed{ S_n \approx N(n\mu,n\sigma^2) } \]

25. Standardisation de la somme

\[ \boxed{ Z= \frac{ S_n-n\mu }{ \sigma\sqrt n } \approx N(0,1) } \]

26. Connexion avec le binôme

Si :

\[ X\sim Bin(n,p) \]

alors :

\[ E(X)=np \]

\[ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) \]

Pour \(n\) grand :

\[ \boxed{ X \approx N(np,np(1-p)) } \]

27. Correctif de continuité

Puisque le binôme est discret et la normale est continue :

\[ P(X\leq10) \]

se rapproche de :

\[ P(Y<10,5) \]

et :

\[ P(X=10) \]

avec :

\[ P(9,5<Y<10,5) \]

28. Comparaison de LGN et TCL

Loi des grands nombres :

\[ \boxed{ \bar X\to\mu } \]

Théorème central limite :

\[ \boxed{ \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \approx N(0,1) } \]

29. Idée finale

On peut retenir :

\[ \boxed{ \text{LGN: la media va verso }\mu } \]

\[ \boxed{ \text{TCL: la media si distribuisce come una normale} } \]

Ces résultats constituent la base des statistiques inférentielles.

1. Des probabilités aux statistiques

En probabilité, nous partons d'un modèle connu.

En statistiques, nous partons des données et nous voulons connaître la population.

Schéma :

\[ \boxed{ \text{Popolazione} \rightarrow \text{Campione} \rightarrow \text{Inferenza} } \]

2. Population et échantillon

La population est l'ensemble complet des éléments étudiés.

Le échantillon est un sous-ensemble observé.

3. Paramètres et statistiques

Paramètres de population :

\[ \mu,\quad\sigma^2,\quad p \]

Exemples de statistiques :

\[ \bar X,\quad S^2,\quad\hat p \]

4. Devis ponctuel

Si \(\mu\) est inconnu, on peut l'estimer avec :

\[ \boxed{ \hat\mu=\bar X } \]

Par exemple, si :

\[ \bar x=175,4 \]

nous estimons :

\[ \mu\approx175,4 \]

5. Parce que ce n'est pas suffisant

Une estimation calculée à partir de 5 observations est moins précise que la même estimation calculée à partir de 500 observations.

Il est donc nécessaire de quantifier l'incertitude.

6. Distribution de la moyenne

Nous savons que :

\[ E(\bar X)=\mu \]

et :

\[ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} \]

7. Intervalle de confiance avec \(\sigma\) connu

Si :

\[ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \]

et :

\[ P(-1,96<Z<1,96)\approx0,95 \]

alors :

\[ \boxed{ \mu \in \bar X \pm 1,96\frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

au niveau de confiance de 95 %.

8. Forme générale

\[ \boxed{ \bar X \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

où :

\[ 1-\alpha \]

est le niveau de confiance.

9. Valeurs critiques

90 % :

\[ z\approx1,645 \]

95 % :

\[ z\approx1,96 \]

99 % :

\[ z\approx2,576 \]

10. Exemple complet

Supposons :

\[ \sigma^2=10,66 \]

\[ n=58 \]

\[ \bar x=175,4 \]

Ensuite :

\[ \sigma=\sqrt{10,66}\approx3,265 \]

et :

\[ SE= \frac{3,265}{\sqrt{58}} \approx0,429 \]

11. Portée de 90 %

\[ E= 1,645\cdot0,429 \approx0,706 \]

Donc :

\[ 175,4\pm0,706 \]

soit environ :

\[ \boxed{ [174,69,\ 176,11] } \]

12. Portée de 95 %

\[ E= 1,96\cdot0,429 \approx0,841 \]

Donc :

\[ \boxed{ [174,56,\ 176,24] } \]

13. Portée de 99 %

\[ E= 2,576\cdot0,429 \approx1,105 \]

Donc :

\[ \boxed{ [174,30,\ 176,51] } \]

14. Niveau de confiance et étendue

À mesure que le niveau de confiance augmente, l’intervalle s’élargit.

Plus nous voulons être conservateurs, plus nous devons accepter une large gamme.

15. Marge d'erreur

\[ \boxed{ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

La gamme est :

\[ \boxed{ \bar X\pm E } \]

16. De quoi cela dépend

La marge dépend :

\[ z_{\alpha/2} \]

\[ \sigma \]

\[ n \]

17. Effet de \(n\)

Si \(n\) augmente, la plage se rétrécit.

Pour réduire de moitié la marge, vous devez quadrupler l’échantillon.

18. 95% d'interprétation

Formellement, le paramètre :

\[ \mu \]

c'est réparé.

Ce sont les intervalles qui changent d’un échantillon à l’autre.

Si nous répétons l'échantillonnage plusieurs fois, environ 95 % des intervalles construits contiendront \(\mu\).

19. Lorsque \(\sigma\) est inconnu

En pratique, \(\sigma\) est souvent inconnu.

Nous l'estimons avec :

\[ s \]

et on utilise la distribution :

\[ \boxed{\text{t di Student}} \]

20. Intervalle avec t

\[ \boxed{ \bar X \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]

Les degrés de liberté sont :

\[ \boxed{ n-1 } \]

21. Exemple

Supposons :

\[ n=25 \]

\[ \bar x=50 \]

\[ s=10 \]

Pour 95%, avec 24 degrés de liberté :

\[ t\approx2,064 \]

Erreur type :

\[ \frac{10}{5}=2 \]

Marge :

\[ 2,064\cdot2=4,128 \]

Gamme :

\[ \boxed{ [45,872,\ 54,128] } \]

22. Écart de l'échantillon

\[ \boxed{ S^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 }{ n-1 } } \]

Le dénominateur \(n-1\) fait de \(S^2\) un estimateur sans biais de \(\sigma^2\).

23. Intervalle pour une proportion

Si :

\[ \hat p=\frac Xn \]

puis, pour les grands échantillons :

\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]

24. Exemple

Sur 400 personnes :

\[ 240 \]

ils répondent oui.

\[ \hat p=\frac{240}{400}=0,6 \]

Erreur type :

\[ SE= \sqrt{ \frac{0,6\cdot0,4}{400} } \approx0,0245 \]

Marge à 95% :

\[ 1,96\cdot0,0245 \approx0,048 \]

Gamme :

\[ \boxed{ [0,552,\ 0,648] } \]

25. Échantillonnage correct

Un échantillon important mais biaisé peut produire une estimation très précise d’une valeur erronée.

La qualité de l'échantillonnage est essentielle.

26. Erreur d'échantillonnage et systématique

Erreur d'échantillonnage :

• dû au hasard ;
• diminue en augmentant \(n\).

Erreur systématique :

• échantillon non représentatif ;
• les erreurs de mesure ;
• sélection biaisée.

L'augmentation de \(n\) ne l'élimine pas.

27. Taille de l'échantillon pour la moyenne

De :

\[ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \]

on obtient :

\[ \boxed{ n= \left( \frac{ z_{\alpha/2}\sigma }{ E } \right)^2 } \]

28. Exemple

Nous voulons :

\[ \sigma=12 \]

95% de confiance,

\[ E=2 \]

Donc :

\[ n= \left( \frac{1,96\cdot12}{2} \right)^2 \approx138,3 \]

Il vous faut au minimum :

\[ \boxed{139} \]

observations.

29. Taille de l'échantillon pour une proportion

\[ \boxed{ n= \frac{ z_{\alpha/2}^2p(1-p) }{ E^2 } } \]

Si \(p\) est inconnu, nous utilisons souvent :

\[ p=0,5 \]

car il maximise :

\[ p(1-p) \]

30. Résumé du chapitre 14

Moyenne avec \(\sigma\) remarque :

\[ \boxed{ \bar x \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]

Moyenne avec \(\sigma\) inconnu :

\[ \boxed{ \bar x \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]

Proportions :

\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]

De l’échantillon à l’intervalle: suivez le laboratoire guidé.

1. De l'estimation à la vérification

Supposons que quelqu'un déclare :

la moyenne de la population est de 100.

Nous voulons comprendre si les données observées sont compatibles avec cette affirmation.

C'est ainsi que naissent les tests d'hypothèse.

2. Hypothèses nulles et alternatives

Définissons :

\[ \boxed{H_0} \]

hypothèse nulle,

et :

\[ \boxed{H_1} \]

hypothèse alternative.

Exemple :

\[ H_0:\mu=100 \]

\[ H_1:\mu\neq100 \]

3. Principe du test

Le raisonnement est le suivant :

1. Nous supposons que \(H_0\) est vrai ;
2. voyons dans quelle mesure les données sont plausibles ;
3. s’ils sont trop extrêmes, nous rejetons \(H_0\).

4. Statistiques des tests

Pour une moyenne avec \(\sigma\), notez :

\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]

5. Interprétation

\(Z\) mesure le nombre d'unités d'erreur standard séparées :

\[ \bar X \]

de :

\[ \mu_0 \]

6. Exemple

\[ \mu_0=100 \]

\[ \bar x=104 \]

\[ \sigma=12 \]

\[ n=36 \]

Erreur type :

\[ SE=2 \]

Donc :

\[ Z= \frac{104-100}{2} = 2 \]

7. Test bilatéral

Si :

\[ H_1:\mu\neq\mu_0 \]

le test est bilatéral.

Les deux files d'attente sont pertinentes.

8. Bon test unilatéral

Si :

\[ H_1:\mu>\mu_0 \]

nous recherchons de grandes valeurs de la statistique de test.

9. Test unilatéral gauche

Si :

\[ H_1:\mu<\mu_0 \]

nous recherchons des valeurs très négatives.

10. Niveau de signification

Nous choisissons :

\[ \alpha \]

Valeurs communes :

\[ 0,10,\quad0,05,\quad0,01 \]

11. Erreur de type I

Cela consiste à rejeter \(H_0\) alors qu’il est vrai.

La probabilité est :

\[ \boxed{\alpha} \]

12. Région critique

Dans un test bilatéral à 5 % :

\[ |Z|>1,96 \]

conduit au rejet de \(H_0\).

13. Test unilatéral

À 5 % :

\[ Z>1,645 \]

pour un bon test,

ou :

\[ Z<-1,645 \]

pour un sinistre test.

14. valeur p

Le :

\[ \boxed{p\text{-value}} \]

est la probabilité, en supposant \(H_0\) vrai, d'observer un résultat au moins aussi extrême que celui obtenu.

15. Règle de décision

Si :

\[ p<\alpha \]

nous rejetons \(H_0\).

Si :

\[ p\geq\alpha \]

nous ne rejetons pas \(H_0\).

16. Ne pas rejeter ne veut pas dire accepter

Ne pas rejeter \(H_0\) signifie uniquement :

les données ne fournissent pas de preuves suffisantes contre \(H_0\).

Cela ne signifie pas que vous avez prouvé que \(H_0\) est vrai.

17. Exemple complet

Nous avons :

\[ Z=2 \]

Dans un test bilatéral à 5 % :

\[ |2|>1,96 \]

nous rejetons donc \(H_0\).

La valeur p est :

\[ p= 2P(Z\geq2) \]

\[ \approx0,0456 \]

Parce que :

\[ 0,0456<0,05 \]

nous rejetons \(H_0\).

18. Au niveau de 1%

\[ 0,0456>0,01 \]

nous ne rejetons donc pas \(H_0\).

19. Signification statistique

Si :

\[ p<\alpha \]

disons que le résultat est statistiquement significatif.

Mais :

\[ \boxed{ \text{significativo} \neq \text{importante} } \]

20. Erreur de type II

Cela consiste à ne pas rejeter \(H_0\) lorsqu'il est faux.

Sa probabilité est indiquée par :

\[ \boxed{\beta} \]

21. Tester la puissance

\[ \boxed{ 1-\beta } \]

est la probabilité de rejeter correctement \(H_0\) lorsqu'il est faux.

22. Comment la puissance augmente

Il augmente généralement lorsque :

• augmenter \(n\) ;
• augmente l'effet réel ;
• diminue la variabilité ;
• augmente \(\alpha\).

23. test t

Si \(\sigma\) est inconnu :

\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]

avec :

\[ n-1 \]

degrés de liberté.

24. Test sur une proportion

Pour :

\[ H_0:p=p_0 \]

nous utilisons :

\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]

25. Exemple de proportion

Une entreprise déclare :

\[ p=0,60 \]

Sur :

\[ 400 \]

clients satisfaits :

\[ 260 \]

donc :

\[ \hat p=0,65 \]

Les statistiques sont d'environ :

\[ Z\approx2,04 \]

Parce que :

\[ 2,04>1,96 \]

nous rejetons \(H_0\) à 5%.

26. Liaison avec intervalle de confiance

Pour un test bilatéral au niveau :

\[ \alpha \]

nous refusons :

\[ H_0:\mu=\mu_0 \]

si :

\[ \mu_0 \]

n'appartient pas à l'intervalle de confiance :

\[ 1-\alpha \]

27. Exemple

Si l'intervalle de 95 % est :

\[ [101,2,\ 106,8] \]

la valeur :

\[ 100 \]

n'appartient pas à la gamme.

Ainsi, le test des 5 % rejette :

\[ H_0:\mu=100 \]

28. Valeur p : erreur courante

Si :

\[ p=0,04 \]

ne veut pas dire :

\(H_0\) a 4 % de chances d'être vrai.

La valeur p est calculée en supposant que \(H_0\) est vrai.

29. Exemple pratique

Un fabricant déclare :

\[ \mu=500\text{ g} \]

Nous voulons vérifier :

\[ H_1:\mu<500 \]

Supposons :

\[ n=64 \]

\[ \bar x=497 \]

\[ \sigma=12 \]

Ensuite :

\[ Z= \frac{497-500}{12/8} = -2 \]

Parce que :

\[ -2<-1,645 \]

nous rejetons \(H_0\) à 5%.

30. Tests multiples

Si nous effectuons beaucoup de tests, le risque de faux positifs augmente.

Une solution simple est Bonferroni :

\[ \boxed{ \alpha^\ast= \frac{\alpha}{m} } \]

où \(m\) est le numéro de test.

31. Taille de l'effet

Une petite valeur p n’implique pas nécessairement un effet important.

Il est également utile de considérer :

• différence observée ;
• intervalle de confiance ;
• mesure de l'effet.

32. Procédure générale

1. définir le paramètre ;
2. écrivez \(H_0\) et \(H_1\) ;
3. choisissez \(\alpha\) ;
4. calculer la statistique du test ;
5. calculer la valeur p ;
6. prendre la décision ;
7. interpréter dans son contexte.

33. Résumé du chapitre 15

Test Z :

\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]

test t :

\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]

Test de proportions :

\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]

Erreur de type I :

\[ \alpha \]

Erreur de type II :

\[ \beta \]

Puissance :

\[ 1-\beta \]

1. D'une variable à deux variables

On souhaite souvent étudier deux variables en même temps.

Exemples :

• taille et poids ;
• les heures d'études et la note ;
• température et consommation ;
• la publicité et les ventes.

La question est :

existe-t-il une relation entre \(X\) et \(Y\) ?

2. Paires d'observations

On observe :

\[ (x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n) \]

Chaque observation est une paire.

3. Diagramme de dispersion

Le nuage de points représente :

\[ X \]

sur l'axe horizontal et :

\[ Y \]

sur la verticale.

Il peut montrer :

• relation positive ;
• négatif;
• absence de relation linéaire ;
• relation courbe ;
• les valeurs aberrantes.

4. Covariance

La covariance est :

\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]

5. Formule alternative

\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) } \]

6. Interprétation

Si :

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)>0 \]

les variables ont tendance à évoluer dans le même sens.

Si :

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)<0 \]

ils ont tendance à se déplacer dans des directions opposées.

7. Exemple de covariance

\[ \boxed{ s_{XY} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ n-1 } } \]

8. Limite de covariance

Cela dépend des unités de mesure.

C’est pourquoi il est difficile de comparer directement leur taille.

9. Corrélation

Standardisons la covariance :

\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]

Dans l'échantillon :

\[ \boxed{ r= \frac{ s_{XY} }{ s_Xs_Y } } \]

10. Intervalle

\[ \boxed{ -1\leq r\leq1 } \]

11. Interprétation

\[ r\approx1 \]

forte relation linéaire positive.

\[ r\approx-1 \]

forte relation linéaire négative.

\[ r\approx0 \]

relation linéaire faible ou absente.

12. Corrélation zéro ne signifie pas indépendance

Une relation non linéaire peut également exister lorsque :

\[ r=0 \]

Par exemple :

\[ Y=X^2 \]

avec \(X\) symétrique autour de zéro.

13. La corrélation n'implique pas la causalité

\[ \boxed{ \text{correlazione}\neq\text{causalità} } \]

Deux variables peuvent être corrélées grâce à l’effet d’une troisième variable.

14. Régression linéaire

Le modèle le plus simple est :

\[ \boxed{ Y=a+bX+\varepsilon } \]

où :

• \(a\) = interception ;
• \(b\) = coefficient angulaire ;
• \(\varepsilon\) = erreur.

15. Frais de scolarité estimés

\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]

16. Signification de \(b\)

Le coefficient :

\[ b \]

indique de combien \(Y\) varie en moyenne lorsque \(X\) augmente d'une unité.

17. Résidus

\[ \boxed{ e_i=y_i-\hat y_i } \]

C'est la différence entre la valeur observée et la valeur prédite.

18. Moindres carrés

La droite est choisie en minimisant :

\[ \boxed{ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat y_i)^2 } \]

19. Pente

\[ \boxed{ b= \frac{ \sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ \sum(x_i-\bar x)^2 } } \]

de manière équivalente :

\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} } \]

20. Intercepter

\[ \boxed{ a= \bar y-b\bar x } \]

La ligne passe toujours par :

\[ (\bar x,\bar y) \]

21. Connexion avec corrélation

\[ \boxed{ b= r\frac{s_Y}{s_X} } \]

Le signe de \(b\) coïncide avec le signe de \(r\).

22. Exemple

Supposons :

\[ \bar x=4 \]

\[ \bar y=10 \]

\[ s_X=2 \]

\[ s_Y=6 \]

\[ r=0,5 \]

Ensuite :

\[ b= 0,5\cdot\frac62 = 1,5 \]

et :

\[ a= 10-1,5\cdot4 = 4 \]

Donc :

\[ \boxed{ \hat Y=4+1,5X } \]

23. Prédiction

Pour :

\[ X=6 \]

nous avons :

\[ \hat Y= 4+1,5\cdot6 = 13 \]

24. Interpolation et extrapolation

Interpolation :

prévision dans la fourchette observée.

Extrapolation :

prévision en dehors de la fourchette observée.

L'extrapolation est plus risquée.

25. Coefficient de détermination

En régression linéaire simple avec intercept :

\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]

26. Interprétation

Si :

\[ R^2=0,64 \]

environ 64 % de la variabilité de \(Y\) est décrite par le modèle linéaire.

27. Valeurs aberrantes

Une valeur extrême peut modifier fortement :

• \(r\) ;
• pente;
• intercepter.

Il doit être analysé et non automatiquement éliminé.

28. Résidus

Un bon modèle linéaire devrait produire des résidus :

• centré autour de zéro ;
• sans motif ;
• avec une dispersion assez constante.

29. Homoscédasticité

Si la dispersion des erreurs est constante :

\[ \boxed{\text{omoschedasticità}} \]

S'il devient \(X\) :

\[ \boxed{\text{eteroschedasticità}} \]

30. Test de pente

Nous pouvons vérifier :

\[ H_0:b=0 \]

contre :

\[ H_1:b\neq0 \]

avec une statistique comme :

\[ \boxed{ t= \frac{\hat b}{SE(\hat b)} } \]

31. Exemple d'heures d'étude

Supposons :

\[ \hat Y=18+4X \]

La pente 4 signifie :

chaque heure d'étude supplémentaire est associée à une augmentation moyenne de 4 points.

Cela ne signifie pas nécessairement un lien de causalité.

32. Variables confondantes

La relation observée peut être influencée par :

• préparation initiale ;
• motivation;
• difficulté ;
• d'autres facteurs.

33. Exercices

Exercice 1

Si :

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=12 \]

\[ \sigma_X=3 \]

\[ \sigma_Y=8 \]

alors :

\[ r= \frac{12}{24} = 0,5 \]

Exercice 2

Si :

\[ r=-0,7 \]

nous avons une relation linéaire négative assez forte.

Exercice 3

Si :

\[ r=0 \]

nous ne pouvons pas conclure à l’indépendance.

Exercice 4

Si :

\[ \hat Y=12+3X \]

pour :

\[ X=4 \]

on obtient :

\[ \hat Y=24 \]

Exercice 5

Si :

\[ r=0,9 \]

alors :

\[ R^2=0,81 \]

c'est à dire :

\[ 81\% \]

34. Résumé du chapitre 16

Covariance :

\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]

Corrélation :

\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]

Frais :

\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]

Pente :

\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} = r\frac{s_Y}{s_X} } \]

Interception :

\[ \boxed{ a=\bar y-b\bar x } \]

Coefficient de détermination :

\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]

Idée fondamentale :

\[ \boxed{ \text{correlazione non implica causalità} } \]

1. Deux nouveaux modèles discrets

Il existe deux situations qui ne correspondent pas parfaitement aux modèles déjà étudiés :

1. les tirages sans remise ;
2. les épreuves répétées jusqu'au \(r\)-ième succès.

Ces situations conduisent respectivement à :

\[ \boxed{\text{distribuzione ipergeometrica}} \]

et à :

\[ \boxed{\text{distribuzione binomiale negativa}} \]

2. Pourquoi le modèle binomial ne suffit pas

Le modèle binomial exige :

• une probabilité de succès constante ;
• des épreuves indépendantes.

Si nous tirons sans remise, la composition de la population change.

La probabilité de succès change donc elle aussi.

3. Distribution hypergéométrique

Supposons que nous ayons :

\[ N \]

éléments au total, dont :

\[ K \]

sont des succès.

Nous tirons :

\[ n \]

éléments sans remise.

Définissons :

\[ X=\text{numero di successi estratti} \]

Alors :

\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]

4. Formule

\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk \binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]

5. Interprétation

Le dénominateur :

\[ \binom Nn \]

compte tous les échantillons possibles.

Le numérateur compte :

• \(k\) succès parmi \(K\) ;
• \(n-k\) échecs parmi \(N-K\).

6. Exemple

Une urne contient :

• 6 boules rouges ;
• 4 boules bleues.

Nous tirons 3 boules sans remise.

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges est :

\[ P(X=2) = \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]

\[ = \frac{15\cdot4}{120} = \frac12 \]

7. Espérance

\[ \boxed{ E(X)=n\frac KN } \]

8. Variance

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = n\frac KN \left(1-\frac KN\right) \frac{N-n}{N-1} } \]

Le facteur :

\[ \frac{N-n}{N-1} \]

est la correction pour population finie.

9. Comparaison avec la loi binomiale

Avec remise, ou pour une population très grande :

\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]

Sans remise dans une population finie :

\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]

10. Exemple avec des cartes

Nous tirons 5 cartes d'un jeu de 52.

La probabilité d'obtenir exactement 2 as est :

\[ \boxed{ P(X=2) = \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]

11. Au moins un succès

\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]

Donc :

\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1- \frac{ \binom{N-K}{n} }{ \binom Nn } } \]

12. Distribution binomiale négative

La loi géométrique répond à la question :

combien d'épreuves jusqu'au premier succès ?

La loi binomiale négative répond à la question :

combien d'épreuves jusqu'au \(r\)-ième succès ?

13. Définition

Considérons des épreuves de Bernoulli indépendantes, de probabilité de succès :

\[ p \]

Définissons :

\[ X=\text{numero di prove necessarie per ottenere }r\text{ successi} \]

Alors :

\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]

14. Formule

\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]

avec :

\[ k=r,r+1,\ldots \]

15. Pourquoi la formule fonctionne

Pour que le \(r\)-ième succès arrive à l'épreuve \(k\) :

• parmi les \(k-1\) premières épreuves, il doit y avoir \(r-1\) succès ;
• l'épreuve \(k\) doit être un succès.

16. Exemple

Une pièce équilibrée.

Quelle est la probabilité que le troisième pile arrive au cinquième lancer ?

\[ P(X=5) = \binom42 \left(\frac12\right)^3 \left(\frac12\right)^2 \]

\[ = \frac3{16} \]

17. Espérance et variance

\[ \boxed{ E(X)=\frac rp } \]

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} } \]

18. La loi géométrique comme cas particulier

Si :

\[ r=1 \]

nous obtenons :

\[ \boxed{ Geom(p)=NB(1,p) } \]

19. Comparaison finale

Binomiale :

\[ \boxed{\text{numero di prove fisso}} \]

\[ \boxed{\text{numero di successi casuale}} \]

Binomiale négative :

\[ \boxed{\text{numero di successi fissato}} \]

\[ \boxed{\text{numero di prove casuale}} \]

20. Synthèse du chapitre 17

Hypergéométrique :

\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk\binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]

Binomiale négative :

\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]

1. Le vrai problème

Souvent, la difficulté ne réside pas dans la formule.

La vraie question est :

\[ \boxed{ \text{quale distribuzione devo usare?} } \]

2. Première distinction

La variable est :

\[ \boxed{\text{discreta}} \]

ou :

\[ \boxed{\text{continua}} \]

3. Variables discrètes

Exemples :

• nombre de clients ;
• nombre de défauts ;
• nombre de réussites ;
• nombre de tentatives.

Principales distributions :

• Bernoulli ;
• Binôme;
• Géométrique ;
• Binôme négatif ;
• Hypergéométrique ; -Poisson.

4. Variables continues

Exemples :

• la hauteur ;
• temps;
• température;
• poids.

Principales distributions :

• Uniforme ;
• Exponentiel ;
• Normale.

5. Bernoulli

Juste un test :

\[ \boxed{\text{successo/insuccesso}} \]

6. Binôme

Nombre fixe de tests.

Question :

combien de réussites ?

\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]

7. Géométrique

Question :

combien d'essais jusqu'au premier succès ?

\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]

8. Binôme négatif

Question :

combien de tests avant le \(r\)-ième succès ?

\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]

9. Hypergéométrique

Extraction sans remplacement à partir d’une population finie.

\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]

10. Poisson

Question :

combien d'événements dans un intervalle ?

\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]

11. Uniforme

Toutes les valeurs d’un intervalle sont également plausibles.

\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]

12. Exponentiel

Question :

combien de temps avant le prochain événement ?

\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]

13. Normal

Phénomène continu, symétrique et en forme de cloche :

\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]

14. Chemin de décision discret

Juste un test ?

\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]

Nombre d'essais fixe, est-ce que je compte les réussites ?

\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]

Premier succès ?

\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]

\(r\)-ème succès ?

\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]

Sans réintégration ?

\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]

Des événements dans un intervalle ?

\[ \boxed{\text{Poisson}} \]

15. Processus décisionnel continu

Des valeurs équiplausibles ?

\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]

Temps d'attente ?

\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]

Cloche symétrique ?

\[ \boxed{\text{Normale}} \]

16. Exemple : pièce 10 fois

Probabilité d’exactement 7 têtes.

Nombre fixe de tests :

\[ n=10 \]

Donc :

\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]

17. Même pièce jusqu'à la première face

\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]

18. Même pièce jusqu'à la troisième tête

\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]

19. Urne sans réinsertion

\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]

20. Six appels par heure

Nombre d'appels :

\[ \boxed{\text{Poisson}} \]

Temps jusqu'à la prochaine fois :

\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]

21. Bus dans une gamme

Si chaque instant entre 8h00 et 8h20 est également probable :

\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]

22. Hauteur normalement distribuée

\[ \boxed{\text{Normale}} \]

23. Modèle exact et approximation

Exemple :

\[ X\sim Bin(5000,0,001) \]

C'est le modèle exact.

Parce que :

\[ np=5 \]

nous pouvons utiliser :

\[ Poisson(5) \]

à titre approximatif.

24. approximations importantes

Binôme versus Poisson :

\[ n\text{ grande},\ p\text{ piccolo} \]

Binôme versus normal :

\[ n\text{ grande} \]

Poisson vers la normale :

\[ \lambda\text{ grande} \]

25. Règle fondamentale

Demandez-vous toujours :

\[ \boxed{ \text{che cosa è fissato e che cosa è casuale?} } \]

26. Erreurs fréquentes

Confondre :

• Poisson et exponentiel ;
• binôme et géométrique ;
• binomial et hypergéométrique ;
• répartition des données et répartition de la moyenne.

27. Modèle et réalité

Une distribution est un modèle.

Nous ne disons pas :

la réalité est un Poisson.

Nous disons :

Poisson est un modèle utile pour décrire le phénomène.

28. Résumé du chapitre 18

\[ \boxed{ \text{fenomeno} \rightarrow \text{variabile} \rightarrow \text{ipotesi} \rightarrow \text{distribuzione} \rightarrow \text{calcolo} } \]

Comprenez d’abord le phénomène, puis choisissez la formule.

1. Pourquoi simuler

De nombreux problèmes peuvent être étudiés par ordinateur en simulant plusieurs fois l’expérience aléatoire.

L'idée est :

\[ \boxed{ \text{probabilità} \approx \text{frequenza relativa in molte simulazioni} } \]

2. Fréquence relative

Si un événement \(A\) se produit :

\[ N_A \]

fois sur :

\[ N \]

simulation :

\[ \boxed{ \hat p= \frac{N_A}{N} } \]

3. Exemple avec une pièce de monnaie

10 lancers peuvent donner :

\[ 6 \]

têtes.

Donc :

\[ \hat p=0,6 \]

Avec 10 000 lancements nous pourrions obtenir :

\[ 0,502 \]

La fréquence tend vers :

\[ 0,5 \]

4. Lien avec la loi des grands nombres

Définissons :

\[ I_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ avviene}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]

Ensuite :

\[ \hat p= \frac1N\sum_{i=1}^NI_i \]

et :

\[ \hat p\to P(A) \]

5. Deux dés

Probabilité théorique de somme 7 :

\[ \frac16 \]

Simuler 100 000 lancements et obtenir 16642 fois la somme 7 :

\[ \hat p= 0,16642 \]

très proche de :

\[ 0,16667 \]

6. Qu'est-ce que Monte-Carlo

La méthode Monte Carlo utilise des simulations aléatoires répétées pour estimer des quantités mathématiques.

Procédure :

1. générer des résultats aléatoires ;
2. calculer le montant des intérêts ;
3. répétez plusieurs fois ;
4. faites une moyenne ou une fréquence.

7. Estimation Monte Carlo

\[ \boxed{ \hat p_N= \frac1N \sum_{i=1}^{N}I_i } \]

8. Erreur type de Monte Carlo

\[ \boxed{ SE(\hat p) = \sqrt{ \frac{p(1-p)}{N} } } \]

En pratique on utilise :

\[ \hat p \]

au lieu de \(p\).

9. Conséquence

L'erreur diminue lorsque :

\[ \frac1{\sqrt N} \]

Pour le diviser par deux, il faut quadrupler le nombre de simulations.

10. Intervalle de Monte Carlo

Environ :

\[ \boxed{ \hat p \pm 1,96 \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{N} } } \]

11. Estimation de \(\pi\)

Générons des points aléatoires dans le carré :

\[ [-1,1]\times[-1,1] \]

Un point appartient au cercle si :

\[ X^2+Y^2\leq1 \]

Parce que :

\[ P(\text{cerchio})=\frac{\pi}{4} \]

nous avons :

\[ \boxed{ \pi \approx 4\frac{N_C}{N} } \]

12. Monte Carlo pour les intégrales

Si :

\[ U\sim U(a,b) \]

alors :

\[ E[f(U)] = \frac1{b-a} \int_a^bf(x)\,dx \]

Donc :

\[ \boxed{ \int_a^bf(x)\,dx \approx (b-a) \frac1N \sum_{i=1}^{N}f(U_i) } \]

13. Simuler la loi des grands nombres

Nous pouvons :

1. générer des données ;
2. calculer la moyenne mobile ;
3. le représenter graphiquement ;
4. Comparez-le avec \(\mu\).

14. Simuler le TCL

Procédure :

1. choisir une distribution non normale ;
2. extraire un échantillon de taille \(n\) ;
3. calculer la moyenne ;
4. répéter des milliers de fois ;
5. construire l'histogramme des moyennes.

À mesure que \(n\) augmente, la forme normale apparaît.

15. Standardisation des moyennes

\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } } \]

Les \(Z\) simulés devraient ressembler à :

\[ N(0,1) \]

16. Simulation d'un binôme

Pour :

\[ X\sim Bin(20,0,3) \]

Simulons 20 essais de Bernoulli et comptons les succès.

Nous répétons plusieurs fois.

L'histogramme empirique tendra vers la distribution théorique.

17. Simulation de Poisson

Pour :

\[ X\sim Poisson(4) \]

nous simulons de nombreuses valeurs.

Il faut observer :

\[ \bar X\approx4 \]

et :

\[ s^2\approx4 \]

18. Générateurs pseudo-aléatoires

Les ordinateurs utilisent souvent des nombres :

\[ \boxed{\text{pseudocasuali}} \]

La seed permet de reproduire la même séquence.

19. Méthode inverse

Si :

\[ U\sim U(0,1) \]

et \(F\) est inversible :

\[ \boxed{ X=F^{-1}(U) } \]

Il a une distribution \(F\).

20. Exemple exponentiel

Pour :

\[ F(x)=1-e^{-\lambda x} \]

on obtient :

\[ \boxed{ X= -\frac{\ln U}{\lambda} } \]

21. Événements rares

Si :

\[ P(A)=10^{-8} \]

même des millions de simulations pourraient ne jamais observer \(A\).

Le Monte Carlo direct devient inefficace.

22. Amorcer

Le bootstrap utilise les données observées et génère de nouveaux échantillons avec réinsertion.

Procédure :

1. échantillon original ;
2. rééchantillonnage avec réinsertion ;
3. calcul de statistiques ;
4. répétition ;
5. étude de la distribution empirique.

23. Utilitaire d'amorçage

Il permet d'estimer :

• erreur standard ;
• biais;
• intervalles de confiance ;

même pour des statistiques compliquées.

24. Laboratoire en ligne

Un simulateur pourrait demander :

• distribution;
• paramètres ;
• nombre de simulations ;
• événement.

Et montrer :

• fréquence ;
• probabilité théorique ;
• erreur;
• histogramme ;
• moyenne et variance.

25. Laboratoire TCL

L'utilisateur choisit :

• distribution initiale ;
• taille de l'échantillon \(n\) ;
• nombre de simulations.

Le programme affiche l'histogramme des moyennes.

26. Laboratoire des intervalles de confiance

100 intervalles à 95 % peuvent être simulés.

À propos de :

\[ 95 \]

ils doivent contenir la vraie valeur.

Cela rend visible la signification fréquentiste de la confiance.

27. Laboratoire de tests d'hypothèses

Avec le vrai \(H_0\) :

\[ \alpha=0,05 \]

en répétant de nombreux tests, nous devrions rejeter à tort \(H_0\) dans environ 5 % des cas.

28. Théorie et simulation

La théorie :

\[ \boxed{\text{spiega perché}} \]

La simulation :

\[ \boxed{\text{mostra cosa accade}} \]

Ce sont des outils complémentaires.

29. Résumé du chapitre 19

Procédure de Monte Carlo :

1. définir l'expérience ;
2. générer des données aléatoires ;
3. calculer le résultat ;
4. répétez plusieurs fois ;
5. résumer les fréquences et les moyennes.

Essayez les simulations: ouvrez le laboratoire interactif.

1. Le problème inverse

Jusqu'à présent, nous avons souvent fait :

\[ \boxed{ \text{distribuzione} \rightarrow \text{probabilità} } \]

En pratique on peut avoir :

\[ x_1,x_2,\ldots,x_n \]

et je veux comprendre :

\[ \boxed{ \text{quale distribuzione potrebbe aver generato i dati?} } \]

2. Première étape : discrète ou continue

Données de nombre entier :

\[ 0,1,2,\ldots \]

suggérer une variable discrète.

Mesures réelles :

\[ 2,13,\ 5,78,\ 9,41 \]

suggérer une variable continue.

3. Comprendre le phénomène

Il ne suffit pas de regarder le graphique.

Nous devons également comprendre comment les données sont générées.

Par exemple :

• compte → Poisson;
• délais d'attente → exponentiels ;
• réussites → binôme ;
• mesures symétriques → normales.

4. Statistiques descriptives

Calculons :

• la multiplicité ;
• minimum ;
• maximale ;
• moyenne;
• médiane ;
• écart;
• écart type ;
• quartiles ;
• percentiles.

5. Moyenne

\[ \boxed{ \bar x= \frac1n \sum_{i=1}^{n}x_i } \]

6. Écart de l'échantillon

\[ \boxed{ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 }{ n-1 } } \]

7. Quartiles et IQR

\[ \boxed{ IQR=Q_3-Q_1 } \]

Mesurez la dispersion de la partie centrale.

8. Histogramme

L'histogramme permet d'observer :

• la symétrie ;
• asymétrie ;
• les sommets ;
• les files d'attente ;
• les valeurs aberrantes.

9. Distribution symétrique

Si l’histogramme est en forme de cloche et symétrique, une normale peut être plausible.

10. Asymétrie à droite

De nombreuses petites valeurs et quelques grandes valeurs peuvent suggérer des modèles tels qu'exponentiels.

11. Uniformité

Si l'histogramme est suffisamment plat :

\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]

pourrait être candidat.

12. Multimodalité

Plusieurs pics peuvent indiquer un mélange de populations différentes.

Dans ce cas, un simple déploiement peut ne pas suffire.

13. Boîte à moustaches

Afficher :

• quartiles ;
• médiane ;
• la dispersion ;
• des valeurs extrêmes.

14. Valeurs aberrantes

Une règle courante considère les valeurs inférieures à : suspectes.

\[ Q_1-1,5IQR \]

ou supérieur à :

\[ Q_3+1,5IQR \]

Mais ils ne doivent pas être automatiquement éliminés.

15. Poisson : moyenne et variance

Pour un Poisson :

\[ E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda \]

Alors si :

\[ \bar x\approx s^2 \]

un Poisson peut être plausible.

16. Surdispersion

Si :

\[ s^2\gg\bar x \]

il peut y avoir une surdispersion.

Un binôme négatif peut être plus approprié.

17. Exponentiel

Pour une exponentielle :

\[ E(X)=\sigma \]

Ainsi, des données positives asymétriques à droite avec une moyenne et un écart type similaires peuvent suggérer un modèle exponentiel.

18. Normal

Pour un normal, nous attendons :

• la symétrie ;
• clôture moyenne et médiane ;
• un seul pic ;
• queues des deux côtés.

19. Règle 68-95-99.7

Nous pouvons vérifier combien de valeurs appartiennent à :

\[ \bar x\pm s \]

\[ \bar x\pm2s \]

\[ \bar x\pm3s \]

et comparer avec :

\[ 68\%,95\%,99,7\% \]

20. Intrigue QQ

Le tracé Q-Q compare :

• les quantiles observés ;
• quantiles théoriques.

Si les points sont presque alignés, le modèle peut être plausible.

21. Fonction empirique

\[ \boxed{ F_n(x) = \frac{ \#\{x_i\leq x\} }{ n } } \]

Elle peut être comparée à une fonction théorique :

\[ F(x) \]

22. Test d'adaptation

Nous pouvons utiliser des tests d’adéquation.

Exemple :

\[ \boxed{\chi^2} \]

avec des statistiques :

\[ \boxed{ \chi^2 = \sum_i \frac{ (O_i-E_i)^2 }{ E_i } } \]

23. Hypothèse

\[ H_0: \text{il modello è compatibile con i dati} \]

contre :

\[ H_1: \text{il modello non è adeguato} \]

24. Kolmogorov-Smirnov

Comparez :

\[ F_n(x) \]

et :

\[ F(x) \]

à travers :

\[ \boxed{ D= \sup_x|F_n(x)-F(x)| } \]

25. Test de normalité

Parmi les plus utilisés :

• Shapiro-Wilk ; -Anderson-Darling ;
• Kolmogorov-Smirnov dans les versions appropriées.

26. Un seul test ne suffit pas

Avec de petits échantillons, sa puissance peut être faible.

Avec d’énormes échantillons, il peut détecter d’infimes différences.

Mieux vaut combiner :

\[ \boxed{ \text{grafici} + \text{indicatori} + \text{test} + \text{conoscenza del fenomeno} } \]

27. Estimation des paramètres

Poisson :

\[ \boxed{ \hat\lambda=\bar x } \]

Exponentiel :

\[ \boxed{ \hat\lambda=\frac1{\bar x} } \]

Normale :

\[ \boxed{ \hat\mu=\bar x } \]

\[ \boxed{ \hat\sigma\approx s } \]

Binôme :

\[ \boxed{ \hat p=\frac{\bar x}{n} } \]

si \(n\) est connu.

28. Méthode des moments

L’idée est d’égaliser les moments théoriques et échantillons.

Si :

\[ E(X)=g(\theta) \]

disons :

\[ \bar x=g(\hat\theta) \]

et on obtient :

\[ \hat\theta \]

29. Maximum de vraisemblance

Le maximum de vraisemblance choisit les paramètres qui rendent les données observées aussi plausibles que possible.

\[ \boxed{ \hat\theta = \arg\max_\theta L(\theta) } \]

30. Exemple de Bernoulli

Avec :

\[ k \]

frappe sur:

\[ n \]

épreuves :

\[ \boxed{ \hat p=\frac kn } \]

31. Comparez plusieurs modèles

On peut comparer :

• histogramme ;
• densités théoriques ;
• Terrain QQ ;
• épreuve d'adaptation ;
• des critères statistiques.

32. Économie

Si deux modèles décrivent les données de la même manière, on préfère souvent le plus simple.

33. L'exemple compte

Supposons :

\[ \bar x=3,1 \]

\[ s^2=3,3 \]

Un Poisson peut être plausible.

Nous estimons :

\[ \hat\lambda=3,1 \]

34. Exemple de délais d'attente

Supposons :

\[ \bar x=5,2 \]

\[ s=5,0 \]

et forte asymétrie vers la droite.

Une exponentielle peut être plausible.

\[ \hat\lambda = \frac1{5,2} \approx0,192 \]

35. Exemple normal

Supposons :

\[ \bar x=170,3 \]

\[ s=7,4 \]

avec histogramme symétrique.

Modèle candidat :

\[ \boxed{ N(170,3,7,4^2) } \]

36. Simulateur automatique

Un programme pourrait :

1. lire les données ;
2. classer discret/continu ;
3. calculer des statistiques ;
4. construire des graphiques ;
5. proposer des modèles ;
6. estimer les paramètres ;
7. comparer les modèles ;
8. renvoyer un avis de compatibilité.

37. Sortie correcte

Mieux vaut dire :

le modèle normal semble compatible avec les données

plutôt que :

les données suivent certainement une normale.

38. Si aucun modèle ne fonctionne

Vous pouvez répondre :

\[ \boxed{ \text{nessuna delle distribuzioni considerate descrive adeguatamente i dati} } \]

Il n'est pas nécessaire de forcer le modèle.

39. Simuler à partir du modèle estimé

Après avoir estimé un modèle, nous pouvons générer de nouvelles données et les comparer avec des données réelles.

Cela permet un contrôle d’adéquation très intuitif.

40. Aperçu final

\[ \boxed{ \text{Dati} \rightarrow \text{Grafici} \rightarrow \text{Indicatori} \rightarrow \text{Modello} \rightarrow \text{Stima} \rightarrow \text{Controllo} } \]

41. Idée finale

La probabilité part du modèle :

\[ \boxed{ \text{modello} \rightarrow \text{dati} } \]

Les statistiques empruntent souvent le chemin inverse :

\[ \boxed{ \text{dati} \rightarrow \text{modello} } \]

Le cycle complet devient :

\[ \boxed{ \text{osservare} \rightarrow \text{ipotizzare} \rightarrow \text{verificare} \rightarrow \text{simulare} } \]

C'est l'un des moyens les plus complets de comprendre les probabilités et les statistiques.