Probabilité · parcours interactif

De la population aux intervalles : laboratoire guidé

Six étapes liées : de la distribution théorique aux données, puis aux moyennes, aux intervalles et à leur couverture.

Accéder au laboratoire d’analyse de vos données

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Explorer une distribution

Choisissez un modèle et modifiez ses paramètres. La courbe décrit la population théorique, pas un échantillon.

Explique-moi la théorie

Une variable aléatoire associe des nombres à des résultats incertains. Les variables discrètes ont des probabilités ponctuelles ; les continues ont des densités et des probabilités données par des aires. Moyenne et variance appartiennent au modèle.

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Générer un échantillon

Prélevez de nouvelles données du même modèle : ses paramètres restent fixes, tandis que moyenne et variance de l’échantillon changent.

Explique-moi la théorie

La moyenne x̄ et la variance s²=Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1) sont des statistiques : elles dépendent des données prélevées. Un nouvel échantillon modifie les statistiques, pas les paramètres de la population.

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Répéter l’échantillonnage

Prélevez de nombreux échantillons de même taille et retenez une moyenne par échantillon. Le graphique représente maintenant des moyennes, et non des observations individuelles.

Explique-moi la théorie

Pour des observations indépendantes de moyenne μ et de variance finie σ², E(x̄)=μ et SE(x̄)=σ/√n. Sous des conditions appropriées, le théorème central limite décrit l’approche d’une loi Normale pour les moyennes lorsque n grandit.

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Construire un intervalle

Calculez un intervalle pour la moyenne de l’échantillon actuel. Utilisez z seulement si le σ de la population est connu dans le modèle ; sinon utilisez t.

Explique-moi la théorie

σ connu : x̄ ± z·σ/√n. σ inconnu : x̄ ± t·s/√n avec n−1 degrés de liberté. Pour de petits échantillons, l’intervalle t est exact uniquement avec une population Normale. L’intervalle concerne μ, pas les données individuelles.

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Vérifier la couverture

Répétez l’expérience : combien d’intervalles contiennent la vraie moyenne de la population ? Le graphique montre au plus les 80 premiers.

Explique-moi la théorie

Un niveau de 95 % décrit la procédure : sur de nombreuses répétitions, environ 95 intervalles sur 100 contiennent μ si les hypothèses sont vraies. Il n’attribue pas une probabilité de 95 % à μ après calcul d’un intervalle particulier.

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Expériences guidées

Faites d’abord une prédiction, puis cliquez sur « Essayer » et comparez-la à l’explication.

Augmenter n

Si vous quadruplez n, que devient l’erreur standard ?

Voir l’explication

SE=σ/√n : quadrupler n divise SE par deux. Essayez n=10 puis n=100 pour voir le sens de la variation.

90 %, 95 %, 99 %

Avec les mêmes données, quel intervalle sera le plus large ?

Voir l’explication

99 % exige une valeur critique supérieure à celles de 95 % et de 90 % : la couverture nominale augmente, mais aussi la largeur.

Modifier σ

Une population plus dispersée donne-t-elle des intervalles plus larges ?

Voir l’explication

Oui : avec z et n fixe, la marge est proportionnelle à σ. Avec t, l’écart-type s varie selon l’échantillon.

z contre t

Pourquoi t donne-t-elle en général un intervalle plus large pour un petit n ?

Voir l’explication

σ inconnu est estimé par s : t a des queues plus épaisses et une valeur critique plus grande. La comparaison exacte suppose une population Normale.

Queues de la loi t

Que devient la loi t lorsque ν augmente ?

Voir l’explication

Ses queues se rapprochent de celles de la Normale centrée réduite. Sa moyenne existe seulement pour ν>1 et sa variance pour ν>2.

Théorème central limite

Les moyennes d’échantillons exponentiels deviennent-elles plus symétriques quand n augmente ?

Voir l’explication

Oui, sous les hypothèses du théorème. La population reste asymétrique ; c’est la distribution des moyennes qui change.

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