Probabilità · percorso interattivo

Dalla popolazione agli intervalli: laboratorio guidato

Sei tappe collegate: dalla distribuzione teorica ai dati, dalle medie campionarie agli intervalli e alla loro copertura.

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Esplora una distribuzione

Scegli il modello e modifica i suoi parametri. La curva descrive la popolazione teorica, non un campione.

Spiegami la teoria

Una variabile casuale associa numeri a esiti incerti. Le variabili discrete hanno probabilità puntuali; le continue hanno densità e probabilità date da aree. Media e varianza sono proprietà del modello.

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Genera un campione

Estrai nuovi dati dallo stesso modello: i parametri restano fissi, media e varianza campionarie cambiano.

Spiegami la teoria

La media campionaria x̄ e la varianza s²=Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1) sono statistiche: dipendono dai dati estratti. Un nuovo campione modifica le statistiche, non i parametri della popolazione.

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Ripeti il campionamento

Estrai molti campioni della stessa ampiezza e conserva una media per ciascuno. Il grafico ora rappresenta medie, non osservazioni individuali.

Spiegami la teoria

Se le osservazioni sono indipendenti, hanno media μ e varianza finita σ², E(x̄)=μ e SE(x̄)=σ/√n. Il teorema centrale del limite descrive l’avvicinamento della distribuzione delle medie alla Normale quando n cresce, sotto condizioni appropriate.

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Costruisci un intervallo

Calcola un intervallo per la media del campione corrente. Usa z solo se σ della popolazione è nota nel modello; altrimenti usa t.

Spiegami la teoria

Con σ nota: x̄ ± z·σ/√n. Con σ sconosciuta: x̄ ± t·s/√n con n−1 gradi di libertà. Per piccoli campioni l’intervallo t è esatto solo se la popolazione è Normale. L’intervallo riguarda μ, non i singoli dati.

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Verifica la copertura

Ripeti l’esperimento: quanti intervalli contengono la vera media della popolazione? Il grafico mostra al massimo i primi 80 intervalli.

Spiegami la teoria

Un livello del 95% descrive la procedura: in molte ripetizioni circa 95 intervalli su 100 contengono μ se le ipotesi sono vere. Non attribuisce una probabilità del 95% a μ dopo che il singolo intervallo è stato calcolato.

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Esperimenti guidati

Prima prevedi il risultato, poi premi «Prova» e confrontalo con la spiegazione.

Aumentare n

Se quadruplichi n, che cosa succede all’errore standard?

Mostra spiegazione

SE=σ/√n: quadruplicando n, SE si dimezza. Prova n=10 e n=100 per vedere la direzione del cambiamento.

90%, 95%, 99%

A dati uguali, quale intervallo sarà più largo?

Mostra spiegazione

Il 99% richiede un valore critico maggiore del 95% e del 90%: aumenta la copertura nominale, ma anche la larghezza.

Cambiare σ

Una popolazione più dispersa rende gli intervalli più larghi?

Mostra spiegazione

Sì: con metodo z e stesso n, il margine è proporzionale a σ. Con metodo t la deviazione s varia tra campioni.

z contro t

Perché, con n piccolo, t dà in genere un intervallo più largo?

Mostra spiegazione

σ ignota è stimata con s: la t ha code più pesanti e un valore critico maggiore. Il confronto è esatto nel modello Normale.

Le code della t

Cosa succede alla t aumentando ν?

Mostra spiegazione

Le code si avvicinano a quelle della Normale standard. La media esiste solo per ν>1 e la varianza solo per ν>2.

Teorema centrale del limite

Le medie di campioni esponenziali diventano più simmetriche aumentando n?

Mostra spiegazione

Sì, sotto le ipotesi del teorema. La popolazione rimane asimmetrica; cambia la distribuzione delle medie.

Le simulazioni sono eseguite nel browser. Non inviano i campioni al server.