La probabilità nasce dagli esperimenti casuali e arriva fino alla lettura critica dei dati. Questa dispensa segue il percorso passo dopo passo: eventi, conteggio, probabilità condizionata, variabili aleatorie, distribuzioni e inferenza statistica. I venti capitoli appartengono a un unico articolo: scegli un titolo nell’indice per aprire il relativo box, oppure procedi in ordine.
Capitolo 1 – Esperimenti casuali, eventi e spazio campionario
1. Perché nasce la probabilità
In molti problemi matematici, conoscendo le condizioni iniziali, possiamo determinare con certezza il risultato.
Per esempio:
\[ 7+5=12 \]
oppure, se un'automobile viaggia a velocità costante di 80 km/h per 2 ore, percorre:
\[ 80\cdot2=160\text{ km} \]
Esistono però situazioni nelle quali non siamo in grado di prevedere con certezza ciò che accadrà.
Se lanciamo una moneta, non sappiamo in anticipo se uscirà testa oppure croce.
Se lanciamo un dado, sappiamo che il risultato sarà uno dei numeri:
\[ 1,2,3,4,5,6 \]
ma non sappiamo quale.
La probabilità nasce proprio per studiare matematicamente situazioni di questo tipo.
Non cerca necessariamente di prevedere con certezza il singolo risultato, ma cerca di misurare quanto sia plausibile che un determinato risultato si verifichi.
2. Esperimento deterministico ed esperimento casuale
Esperimento deterministico
Un esperimento è detto deterministico quando, nelle stesse condizioni, produce sempre lo stesso risultato.
Per esempio:
- calcolare \(5+7\);
- lasciare cadere un oggetto in condizioni ideali;
- calcolare l'area di un quadrato di lato 4 cm.
Il risultato è completamente determinato dalle condizioni iniziali.
Esperimento casuale
Un esperimento casuale, detto anche esperimento aleatorio, è un esperimento del quale conosciamo i possibili risultati, ma non possiamo sapere con certezza quale di essi si verificherà prima di effettuare l'esperimento.
Esempi:
- lanciare una moneta;
- lanciare un dado;
- estrarre una carta da un mazzo;
- scegliere casualmente una persona da una popolazione;
- osservare il numero di clienti che entrano in un negozio in un'ora;
- misurare il tempo necessario affinché un componente elettronico si guasti.
La parola casuale non significa che non sappiamo nulla.
Al contrario, possiamo spesso conoscere perfettamente l'insieme dei risultati possibili.
Quello che non conosciamo è quale risultato si realizzerà.
3. Esito di un esperimento
Ogni possibile risultato di un esperimento casuale viene chiamato esito.
Consideriamo il lancio di un dado.
Gli esiti possibili sono:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Se il dado mostra 4, diciamo che si è verificato l'esito:
\[ 4 \]
Nel lancio di una moneta gli esiti sono invece:
\[ T,\ C \]
dove:
- \(T\) = testa;
- \(C\) = croce.
4. Lo spazio campionario
L'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale prende il nome di spazio campionario.
Si indica generalmente con la lettera greca:
\[ \Omega \]
oppure, in alcuni testi, con \(S\).
Esempio 1 – Lancio di una moneta
\[ \Omega=\{T,C\} \]
Esempio 2 – Lancio di un dado
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Esempio 3 – Estrazione di una carta
Supponiamo di estrarre una carta da un normale mazzo italiano di 40 carte.
Lo spazio campionario contiene tutte le 40 carte.
Possiamo scrivere:
\[ \Omega=\{\text{tutte le 40 carte del mazzo}\} \]
5. Lo spazio campionario dipende da ciò che osserviamo
Consideriamo il lancio di un dado.
Se ci interessa il numero ottenuto:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Se invece ci interessa soltanto sapere se il risultato è pari oppure dispari:
\[ \Omega=\{\text{pari},\text{dispari}\} \]
L'esperimento fisico è lo stesso.
È cambiata l'informazione che vogliamo osservare.
6. Lancio di due monete
Lanciamo contemporaneamente due monete.
Lo spazio campionario corretto è:
\[ \Omega= \{TT,TC,CT,CC\} \]
Abbiamo quattro possibili esiti.
È importante distinguere:
\[ TC \]
da:
\[ CT \]
perché rappresentano due risultati differenti se distinguiamo la prima moneta dalla seconda.
7. Lancio di due dadi
Lanciamo due dadi.
Il risultato può essere rappresentato mediante una coppia ordinata:
\[ (i,j) \]
dove:
- \(i\) è il risultato del primo dado;
- \(j\) è il risultato del secondo.
Per esempio:
\[ (2,5) \]
significa:
- primo dado: 2;
- secondo dado: 5.
Lo spazio campionario contiene:
\[ 6\cdot6=36 \]
esiti.
Possiamo scrivere:
\[ \Omega= \{(i,j):i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\} \]
8. Evento
Un evento è un insieme di uno o più esiti dello spazio campionario.
Matematicamente:
\[ A\subseteq\Omega \]
cioè un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario.
Esempio
Lanciamo un dado.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Consideriamo l'evento:
esce un numero pari.
Allora:
\[ A=\{2,4,6\} \]
L'evento \(A\) si verifica quando il risultato del lancio appartiene all'insieme \(A\).
9. Evento elementare
Un evento formato da un solo esito prende il nome di evento elementare.
Per esempio:
\[ A=\{3\} \]
rappresenta:
esce 3.
10. Evento composto
Un evento formato da più esiti è detto evento composto.
Per esempio:
\[ A=\{2,4,6\} \]
rappresenta:
esce un numero pari.
11. Evento certo
Un evento che coincide con l'intero spazio campionario è detto evento certo.
Nel lancio di un dado:
esce un numero compreso tra 1 e 6
corrisponde a:
\[ \Omega \]
La sua probabilità sarà:
\[ P(\Omega)=1 \]
12. Evento impossibile
Un evento che non contiene alcun esito è detto evento impossibile.
È rappresentato dall'insieme vuoto:
\[ \varnothing \]
Per esempio:
lanciando un dado esce 8
è impossibile.
Quindi:
\[ P(\varnothing)=0 \]
13. Evento e frase
Consideriamo:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Evento:
esce un numero maggiore di 4.
\[ A=\{5,6\} \]
Evento:
esce un numero dispari.
\[ B=\{1,3,5\} \]
Evento:
esce un multiplo di 3.
\[ C=\{3,6\} \]
Tradurre correttamente il linguaggio in insiemi è fondamentale.
14. Esempio con due dadi
Lanciamo due dadi e consideriamo:
la somma dei risultati è 7.
Gli esiti favorevoli sono:
\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]
Quindi:
\[ A= \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\} \]
15. Spazi campionari finiti e infiniti
Spazio campionario finito
Per un dado:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
e:
\[ |\Omega|=6 \]
Spazio campionario infinito discreto
Lanciamo una moneta fino a quando compare testa.
Il numero di lanci può essere:
\[ 1,2,3,4,\ldots \]
quindi:
\[ \Omega=\{1,2,3,4,\ldots\} \]
Spazio campionario continuo
Consideriamo il tempo di durata di una lampadina.
Idealmente:
\[ \Omega=[0,+\infty) \]
16. Esito ed evento non sono la stessa cosa
Supponiamo di lanciare un dado e ottenere:
\[ 4 \]
Il numero 4 è un esito.
L'insieme:
\[ \{2,4,6\} \]
è invece l'evento:
esce un numero pari.
Poiché:
\[ 4\in\{2,4,6\} \]
l'evento si è verificato.
17. Esempio completo
Consideriamo:
\[ \Omega= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
Definiamo:
\[ A=\{\text{numero pari}\} \]
\[ B=\{\text{numero maggiore di 7}\} \]
\[ C=\{\text{multiplo di 5}\} \]
Allora:
\[ A=\{2,4,6,8,10\} \]
\[ B=\{8,9,10\} \]
\[ C=\{5,10\} \]
Se viene estratto:
\[ 10 \]
si verificano contemporaneamente:
\[ A,\quad B,\quad C \]
18. Diagramma concettuale
\[ \boxed{\text{Esperimento casuale}} \]
produce uno dei possibili:
\[ \boxed{\text{Esiti}} \]
L'insieme di tutti gli esiti forma:
\[ \boxed{\Omega=\text{spazio campionario}} \]
Un insieme di esiti costituisce:
\[ \boxed{\text{Evento}} \]
Matematicamente:
\[ \boxed{A\subseteq\Omega} \]
19. Errori frequenti
Errore 1
Confondere evento ed esito.
Errore 2
Dimenticare l'ordine.
Nel lancio di due dadi:
\[ (2,5)\neq(5,2) \]
Errore 3
Costruire male lo spazio campionario.
Per due monete:
\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]
Errore 4
Pensare che casuale significhi “senza regole”.
Un fenomeno casuale può essere studiato matematicamente.
20. Esercizi
Esercizio 1
Si lancia un dado.
Scrivere lo spazio campionario.
Soluzione
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Esercizio 2
Scrivere l'evento:
esce un numero minore di 4.
Soluzione
\[ A=\{1,2,3\} \]
Esercizio 3
Si estrae un numero da 1 a 12.
Evento:
multiplo di 4.
Soluzione
\[ A=\{4,8,12\} \]
Esercizio 4
Si lanciano due monete.
Soluzione
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Esercizio 5
Si lanciano due dadi.
Evento:
la somma è 4.
Soluzione
\[ A=\{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
21. Esercizio più ragionato
Lanciamo due dadi.
Evento:
almeno uno dei due dadi mostra 6.
Gli esiti sono:
\[ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \]
e:
\[ (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) \]
In totale:
\[ 6+6-1=11 \]
esiti.
22. Idea conclusiva
Il punto di partenza di ogni problema di probabilità è:
- qual è l'esperimento?
- quali sono gli esiti possibili?
- qual è lo spazio campionario?
- quale evento ci interessa?
- quali esiti appartengono all'evento?
La relazione fondamentale è:
\[ \boxed{ \text{evento}=\text{sottoinsieme dello spazio campionario} } \]
Capitolo 2 – Definizione di probabilità
1. Dallo spazio campionario alla probabilità
Vogliamo misurare quanto sia probabile che un evento si verifichi.
Introduciamo:
\[ P(A) \]
con:
\[ 0\leq P(A)\leq1 \]
Più \(P(A)\) è vicino a 1, più l'evento è probabile.
Più è vicino a 0, meno è probabile.
2. Probabilità 0 e probabilità 1
Evento impossibile:
\[ P(A)=0 \]
Evento certo:
\[ P(A)=1 \]
Qui stiamo ragionando su uno spazio campionario finito con esiti di probabilità positiva. In generale, soprattutto nei modelli continui, un evento può avere probabilità 0 senza essere impossibile, oppure probabilità 1 senza coincidere con tutto lo spazio campionario.
3. Definizione classica
Se tutti gli esiti sono equiprobabili:
\[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{casi favorevoli}} {\text{casi possibili}} } \]
In simboli:
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]
4. Esempio: dado
Evento:
numero pari.
\[ A=\{2,4,6\} \]
Quindi:
\[ P(A)=\frac36=\frac12 \]
5. Numero maggiore di 4
\[ B=\{5,6\} \]
Quindi:
\[ P(B)=\frac26=\frac13 \]
6. Evento elementare
Evento:
esce 3.
\[ P(3)=\frac16 \]
7. La parola fondamentale: equiprobabili
La formula:
\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]
vale quando gli esiti sono equiprobabili.
8. Moneta truccata
Supponiamo:
\[ P(T)=0,7 \]
\[ P(C)=0,3 \]
Non possiamo scrivere:
\[ P(T)=\frac12 \]
solo perché abbiamo due esiti.
I due esiti non sono equiprobabili.
9. Urna non uniforme
Un'urna contiene:
- 9 palline rosse;
- 1 blu.
La probabilità di rosso è:
\[ P(R)=\frac9{10} \]
non:
\[ \frac12 \]
10. Costruire correttamente lo spazio campionario
Possiamo distinguere:
\[ R_1,R_2,\ldots,R_9,B \]
Ora abbiamo 10 esiti equiprobabili.
L'evento rosso contiene 9 esiti:
\[ P(R)=\frac9{10} \]
11. Procedura corretta
- costruire lo spazio campionario;
- verificare l'equiprobabilità;
- contare i casi possibili;
- contare i casi favorevoli;
- fare il rapporto.
12. Due dadi
Lanciamo due dadi.
Gli esiti sono:
\[ 36 \]
Evento:
somma 7.
Casi favorevoli:
\[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \]
Quindi:
\[ P(\text{somma}=7) = \frac6{36} = \frac16 \]
13. Errore comune: le somme non sono equiprobabili
Le somme possibili vanno da:
\[ 2 \]
a:
\[ 12 \]
ma non hanno tutte la stessa probabilità.
Per esempio:
\[ P(\text{somma}=2)=\frac1{36} \]
mentre:
\[ P(\text{somma}=7)=\frac6{36} \]
14. Distribuzione delle somme
\[ 2\rightarrow1 \]
\[ 3\rightarrow2 \]
\[ 4\rightarrow3 \]
\[ 5\rightarrow4 \]
\[ 6\rightarrow5 \]
\[ 7\rightarrow6 \]
\[ 8\rightarrow5 \]
\[ 9\rightarrow4 \]
\[ 10\rightarrow3 \]
\[ 11\rightarrow2 \]
\[ 12\rightarrow1 \]
15. Frazione, decimale e percentuale
\[ \frac14=0,25=25\% \]
Sono tre modi diversi di esprimere la stessa probabilità.
16. Probabilità frequentista
Supponiamo di testare:
\[ 10000 \]
lampadine.
Se:
\[ 8200 \]
durano più di 1000 ore:
\[ \frac{8200}{10000}=0,82 \]
Possiamo stimare:
\[ P(\text{durata}>1000)\approx0,82 \]
17. Frequenza relativa
Se un evento \(A\) si verifica \(n_A\) volte in \(n\) prove:
\[ \boxed{ f_A=\frac{n_A}{n} } \]
18. Probabilità e frequenza non sono la stessa cosa
Per una moneta equilibrata:
\[ P(T)=0,5 \]
Ma in 10 lanci potremmo ottenere 6 teste:
\[ f_T=0,6 \]
La probabilità è teorica.
La frequenza è osservata.
19. Stabilizzazione delle frequenze
Con molti lanci:
\[ f_T \]
tende ad avvicinarsi a:
\[ 0,5 \]
Questo sarà formalizzato dalla Legge dei Grandi Numeri.
20. Definizione assiomatica
La probabilità soddisfa tre assiomi fondamentali.
Primo
\[ P(A)\geq0 \]
Secondo
\[ P(\Omega)=1 \]
Terzo
Se \(A\) e \(B\) sono incompatibili:
\[ A\cap B=\varnothing \]
allora:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
21. Tre modi di vedere la probabilità
Classico
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]
quando i casi sono equiprobabili.
Frequentista
\[ P(A)\approx\frac{n_A}{n} \]
per molte prove.
Assiomatico
La probabilità è una funzione che soddisfa precise proprietà matematiche.
22. Probabilità soggettiva
La probabilità può anche rappresentare un grado di fiducia basato sulle informazioni disponibili.
Questa interpretazione è importante in:
- economia;
- medicina;
- previsioni;
- intelligenza artificiale;
- teoria delle decisioni.
23. Probabile non significa certo
Se:
\[ P(A)=0,9 \]
l'evento è molto probabile, ma può non verificarsi.
Se:
\[ P(A)=0,01 \]
è improbabile, ma può verificarsi.
24. Esempio con urna
Urna con:
- 5 rosse;
- 3 blu;
- 2 verdi.
Totale:
\[ 10 \]
Quindi:
\[ P(R)=\frac5{10}=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac3{10} \]
\[ P(V)=\frac2{10}=\frac15 \]
e:
\[ \frac5{10}+\frac3{10}+\frac2{10}=1 \]
25. Mazzo di carte
Da un mazzo di 52 carte:
\[ P(\text{asso})=\frac4{52}=\frac1{13} \]
\[ P(\text{cuori})=\frac{13}{52}=\frac14 \]
26. Figure
Le figure sono:
- Jack;
- Donna;
- Re.
Sono:
\[ 3\cdot4=12 \]
Quindi:
\[ P(\text{figura}) = \frac{12}{52} = \frac3{13} \]
27. Problema controintuitivo: almeno una testa
Lanciamo due monete.
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Evento:
almeno una testa.
\[ A=\{TT,TC,CT\} \]
Quindi:
\[ P(A)=\frac34 \]
28. Metodo del complementare
L'unico caso senza testa è:
\[ CC \]
Quindi:
\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac14 = \frac34 \]
29. Esercizi
Esercizio 1
Dado: probabilità di numero dispari.
\[ P=\frac36=\frac12 \]
Esercizio 2
Numero da 1 a 20: probabilità di multiplo di 5.
Multipli:
\[ 5,10,15,20 \]
Quindi:
\[ P=\frac4{20}=\frac15 \]
Esercizio 3
Due dadi: somma 5.
Casi:
\[ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \]
Quindi:
\[ P=\frac4{36}=\frac19 \]
Esercizio 4
Urna con 7 bianche e 3 nere.
\[ P(N)=\frac3{10} \]
Esercizio 5
Due monete: esattamente una testa.
\[ \{TC,CT\} \]
Quindi:
\[ P=\frac24=\frac12 \]
Esercizio 6
Due monete: almeno una croce.
Complementare:
\[ TT \]
Quindi:
\[ P=1-\frac14=\frac34 \]
30. Domanda concettuale
Se:
\[ P(A)=0,2 \]
non significa che l'evento si verifica certamente una volta ogni 5 prove.
Significa che su molte ripetizioni la frequenza relativa tende ad avvicinarsi a:
\[ 0,2 \]
31. Fallacia del giocatore
Se per 10 lanci non è mai uscita testa, la probabilità di testa al lancio successivo, per una moneta equilibrata, rimane:
\[ \frac12 \]
La moneta non “deve recuperare”.
32. Sintesi
La probabilità è un numero:
\[ 0\leq P(A)\leq1 \]
La definizione classica è:
\[ \boxed{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} } \]
quando gli esiti sono equiprobabili.
La distinzione fondamentale è:
\[ \boxed{ \text{probabilità}\neq\text{frequenza osservata} } \]
anche se, aumentando il numero delle prove, la frequenza tende spesso ad avvicinarsi alla probabilità.
Capitolo 3 – Operazioni tra eventi
1. Eventi come insiemi
Abbiamo visto che un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario.
Se:
\[ \Omega \]
è lo spazio campionario e \(A\) e \(B\) sono due eventi, possiamo usare le normali operazioni tra insiemi.
Le più importanti sono:
- unione;
- intersezione;
- complementare;
- differenza;
- incompatibilità.
2. Unione di due eventi
L'unione di due eventi \(A\) e \(B\) si indica con:
\[ A\cup B \]
e significa:
si verifica \(A\) oppure \(B\), oppure entrambi.
Esempio
Lanciamo un dado.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Sia:
\[ A=\{\text{numero pari}\}=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{\text{numero maggiore di 3}\}=\{4,5,6\} \]
Allora:
\[ A\cup B=\{2,4,5,6\} \]
3. Intersezione di due eventi
L'intersezione si indica con:
\[ A\cap B \]
e significa:
si verificano contemporaneamente \(A\) e \(B\).
Con gli eventi precedenti:
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
4. “Oppure” ed “e”
In probabilità:
\(A\) oppure \(B\)
si traduce:
\[ A\cup B \]
mentre:
\(A\) e \(B\)
si traduce:
\[ A\cap B \]
5. Attenzione al significato di “oppure”
L'unione:
\[ A\cup B \]
ha normalmente significato inclusivo:
\(A\), oppure \(B\), oppure entrambi.
6. Complementare di un evento
Il complementare di \(A\) è l'evento:
\(A\) non si verifica.
Si indica con:
\[ A^c \]
oppure:
\[ \overline A \]
Esempio
Se:
\[ A=\{2,4,6\} \]
allora:
\[ A^c=\{1,3,5\} \]
7. Proprietà del complementare
Un evento e il suo complementare soddisfano:
\[ A\cup A^c=\Omega \]
e:
\[ A\cap A^c=\varnothing \]
8. Formula del complementare
Poiché:
\[ P(\Omega)=1 \]
abbiamo:
\[ P(A)+P(A^c)=1 \]
quindi:
\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]
9. Esempio
Se:
\[ P(A)=0,7 \]
allora:
\[ P(A^c)=0,3 \]
10. Almeno uno e complementare
Lanciamo tre monete.
Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa?
È più semplice usare il complementare.
L'evento contrario è:
nessuna testa.
Questo significa:
\[ CCC \]
Quindi:
\[ P(\text{nessuna testa}) = \left(\frac12\right)^3 = \frac18 \]
Pertanto:
\[ P(\text{almeno una testa}) = 1-\frac18 = \frac78 \]
11. Differenza tra eventi
La differenza:
\[ A\setminus B \]
significa:
si verifica \(A\), ma non \(B\).
Equivalentemente:
\[ A\setminus B=A\cap B^c \]
Esempio
Se:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
allora:
\[ A\setminus B=\{2\} \]
12. Eventi incompatibili
Due eventi sono incompatibili quando non possono verificarsi contemporaneamente.
Matematicamente:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Esempio
Lanciando un dado:
\[ A=\{\text{numero pari}\} \]
\[ B=\{\text{numero dispari}\} \]
Sono incompatibili.
13. Eventi compatibili
Sono compatibili se:
\[ A\cap B\neq\varnothing \]
Per esempio:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
hanno:
\[ A\cap B=\{4,6\} \]
14. Probabilità dell'unione per eventi incompatibili
Se:
\[ A\cap B=\varnothing \]
allora:
\[ \boxed{ P(A\cup B)=P(A)+P(B) } \]
15. Esempio
Dado:
\[ A=\{1\} \]
\[ B=\{6\} \]
Quindi:
\[ P(A\cup B) = \frac16+\frac16 = \frac13 \]
16. Perché non possiamo sempre sommare
Supponiamo:
\[ A=\{2,4,6\} \]
\[ B=\{4,5,6\} \]
Se facessimo:
\[ P(A)+P(B) = \frac36+\frac36 = 1 \]
sbaglieremmo perché:
\[ 4,6 \]
sono stati contati due volte.
17. Formula generale dell'unione
La formula corretta è:
\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]
18. Esempio
\[ P(A)=\frac36 \]
\[ P(B)=\frac36 \]
\[ P(A\cap B)=\frac26 \]
Quindi:
\[ P(A\cup B) = \frac36+\frac36-\frac26 = \frac46 = \frac23 \]
19. Principio di inclusione-esclusione
La formula:
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
è un caso del principio di inclusione-esclusione.
L'idea è:
- contiamo \(A\);
- contiamo \(B\);
- l'intersezione è stata contata due volte;
- la sottraiamo una volta.
20. Diagrammi di Venn
Nei diagrammi di Venn:
- il rettangolo rappresenta \(\Omega\);
- le regioni interne rappresentano gli eventi;
- la sovrapposizione rappresenta \(A\cap B\);
- l'insieme delle due regioni rappresenta \(A\cup B\);
- la parte esterna ad \(A\) rappresenta \(A^c\).
21. Leggi di De Morgan
\[ \boxed{ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c } \]
e:
\[ \boxed{ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c } \]
22. Interpretazione
La prima significa:
non si verifica né \(A\) né \(B\).
La seconda significa:
non si verificano contemporaneamente \(A\) e \(B\).
23. “Almeno uno”
L'espressione:
almeno uno
porta spesso all'unione.
Il contrario è:
nessuno.
Quindi spesso:
\[ P(\text{almeno uno}) = 1-P(\text{nessuno}) \]
24. “Esattamente uno”
Non coincide con “almeno uno”.
Con due monete:
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
“almeno una testa”:
\[ \{TT,TC,CT\} \]
“esattamente una testa”:
\[ \{TC,CT\} \]
Quindi:
\[ P(\text{almeno una testa})=\frac34 \]
\[ P(\text{esattamente una testa})=\frac12 \]
25. “Al massimo uno”
Significa:
\[ 0\text{ oppure }1 \]
Per esempio:
al massimo una testa
comprende:
- nessuna testa;
- esattamente una testa.
26. Esempio con carte
Da un mazzo di 52 carte estraiamo una carta.
Sia:
\[ A=\{\text{asso}\} \]
\[ B=\{\text{cuori}\} \]
Abbiamo:
\[ P(A)=\frac4{52} \]
\[ P(B)=\frac{13}{52} \]
\[ P(A\cap B)=\frac1{52} \]
Quindi:
\[ P(A\cup B) = \frac4{52} + \frac{13}{52} - \frac1{52} \]
\[ = \frac{16}{52} = \frac4{13} \]
27. Probabilità di tre eventi
Per tre eventi:
\[ P(A\cup B\cup C) \]
vale:
\[ P(A)+P(B)+P(C) \]
\[ -P(A\cap B) -P(A\cap C) -P(B\cap C) \]
\[ +P(A\cap B\cap C) \]
28. Esempio di conteggio
In una classe:
- 18 studiano inglese;
- 12 francese;
- 7 entrambe.
Quanti studiano almeno una lingua?
\[ 18+12-7=23 \]
29. Esercizi
Esercizio 1
\[ A=\{1,2,3\} \]
\[ B=\{3,4,5\} \]
Trova:
\[ A\cup B \]
e:
\[ A\cap B \]
Soluzione
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
\[ A\cap B=\{3\} \]
Esercizio 2
Dado:
\[ A=\{\text{numero maggiore di 2}\} \]
Allora:
\[ A=\{3,4,5,6\} \]
\[ A^c=\{1,2\} \]
Esercizio 3
Se:
\[ P(A)=0,35 \]
allora:
\[ P(A^c)=0,65 \]
Esercizio 4
Se:
\[ P(A)=0,4 \]
\[ P(B)=0,3 \]
e sono incompatibili:
\[ P(A\cup B)=0,7 \]
Esercizio 5
Se:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(B)=0,5 \]
\[ P(A\cap B)=0,2 \]
allora:
\[ P(A\cup B)=0,9 \]
30. Sintesi del Capitolo 3
\[ \boxed{ A\cup B } \]
significa:
\(A\) oppure \(B\).
\[ \boxed{ A\cap B } \]
significa:
\(A\) e \(B\).
\[ \boxed{ A^c } \]
significa:
non \(A\).
Formula del complementare:
\[ \boxed{ P(A^c)=1-P(A) } \]
Formula dell'unione:
\[ \boxed{ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) } \]
Capitolo 4 – Calcolo combinatorio applicato alla probabilità
1. Perché serve il calcolo combinatorio
Nella probabilità classica:
\[ P(A)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} \]
Spesso il vero problema è contare correttamente questi casi.
Per esempio:
- quante password possiamo formare?
- quanti gruppi possiamo scegliere?
- quante disposizioni sono possibili?
- quante mani di carte esistono?
Il calcolo combinatorio permette di rispondere senza elencare tutti i casi.
2. Principio fondamentale del conteggio
Se un procedimento ha più fasi e:
- la prima può essere svolta in \(n_1\) modi;
- la seconda in \(n_2\);
- la terza in \(n_3\);
allora il numero totale di possibilità è:
\[ \boxed{ n_1n_2n_3 } \]
3. Esempio
4 magliette e 3 pantaloni.
Gli abbinamenti sono:
\[ 4\cdot3=12 \]
4. Menu
3 primi, 4 secondi, 2 dolci.
\[ 3\cdot4\cdot2=24 \]
menu.
5. Password con ripetizione
Password di 4 cifre.
Ogni posizione ha:
\[ 10 \]
possibilità.
Quindi:
\[ 10^4=10000 \]
6. Password senza ripetizione
Se le cifre non possono ripetersi:
\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040 \]
7. Fattoriale
Per un intero positivo:
\[ \boxed{ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 } \]
Esempi:
\[ 5!=120 \]
\[ 4!=24 \]
\[ 3!=6 \]
Per convenzione:
\[ \boxed{0!=1} \]
8. Permutazioni semplici
Se abbiamo \(n\) oggetti distinti e vogliamo ordinarli tutti:
\[ \boxed{ P_n=n! } \]
9. Esempio
Con:
\[ A,B,C \]
abbiamo:
\[ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA \]
Quindi:
\[ 3!=6 \]
10. Persone in fila
Cinque persone:
\[ 5!=120 \]
ordinamenti.
11. Quando usare le permutazioni
Usiamo le permutazioni quando:
- usiamo tutti gli elementi;
- gli elementi sono distinti;
- l'ordine conta.
12. Disposizioni semplici
Se abbiamo \(n\) elementi e ne scegliamo \(k\), con ordine importante e senza ripetizione:
\[ \boxed{ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} } \]
13. Esempio
Tra 10 persone scegliamo:
- presidente;
- vicepresidente;
- segretario.
L'ordine conta.
\[ D_{10,3} = 10\cdot9\cdot8 = 720 \]
14. Perché l'ordine conta
Marco presidente, Luca vicepresidente
è diverso da:
Luca presidente, Marco vicepresidente.
15. Disposizioni con ripetizione
Se abbiamo \(n\) simboli e costruiamo sequenze di lunghezza \(k\), con ripetizione:
\[ \boxed{ n^k } \]
16. Esempio
Password di 5 cifre:
\[ 10^5=100000 \]
17. Combinazioni semplici
Se scegliamo \(k\) elementi tra \(n\) e l'ordine non conta:
\[ \boxed{ \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]
18. Esempio
Scegliamo una commissione di 3 persone tra 10.
\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120 \]
19. Perché dividiamo per \(k!\)
Le disposizioni conterebbero ogni gruppo:
\[ k! \]
volte.
Quindi:
\[ \binom nk = \frac{D_{n,k}}{k!} \]
20. Domanda decisiva
Bisogna chiedersi:
cambiando l'ordine ottengo un risultato diverso?
Se sì:
\[ \text{disposizioni o permutazioni} \]
Se no:
\[ \text{combinazioni} \]
21. Schema concettuale
Tutti gli elementi, ordine importante
\[ n! \]
\(k\) elementi su \(n\), ordine importante
\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]
\(k\) elementi su \(n\), ordine non importante
\[ \binom nk \]
Ripetizioni ammesse e ordine importante
\[ n^k \]
22. Permutazioni con elementi ripetuti
Parola:
\[ MAMMA \]
Abbiamo:
- 5 lettere;
- \(M\) ripetuta 3 volte;
- \(A\) ripetuta 2 volte.
Gli anagrammi distinti sono:
\[ \frac{5!}{3!2!} = 10 \]
23. Formula generale
Se:
\[ n_1+n_2+\cdots+n_r=n \]
allora:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
24. Esempio: MATEMATICA
La parola ha 10 lettere.
Ripetizioni:
- \(A\): 3;
- \(M\): 2;
- \(T\): 2.
Quindi:
\[ \frac{10!}{3!2!2!} \]
25. Carte e combinazioni
Da 52 carte scegliamo 5.
Se l'ordine non interessa:
\[ \boxed{ \binom{52}{5} } \]
26. Probabilità di 5 cuori
Le carte di cuori sono 13.
Casi favorevoli:
\[ \binom{13}{5} \]
Casi possibili:
\[ \binom{52}{5} \]
Quindi:
\[ \boxed{ P= \frac{\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}} } \]
27. Esattamente 2 assi
In una mano di 5 carte:
- scegliamo 2 assi tra 4;
- scegliamo 3 non assi tra 48.
Quindi:
\[ \boxed{ P= \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]
28. Lotteria
Se si estraggono 6 numeri da 90 e l'ordine non conta:
\[ \binom{90}{6} \]
possibili sestine.
La probabilità di una sestina specifica è:
\[ \frac1{\binom{90}{6}} \]
29. Errore comune
Per una mano di 5 carte non dobbiamo usare disposizioni se l'ordine non conta.
La mano:
\[ A,B,C,D,E \]
è la stessa di:
\[ E,D,C,B,A \]
30. Quando invece l'ordine conta
Se tre numeri formano un codice:
\[ 2,5,7 \]
è diverso da:
\[ 7,5,2 \]
Quindi usiamo disposizioni.
31. Codice con lettere e cifre
Codice formato da:
- 2 lettere;
- 3 cifre.
Con ripetizione:
\[ 26^2\cdot10^3 \]
32. Password che non inizia con zero
Password numerica di 4 cifre.
Prima cifra:
\[ 9 \]
possibilità.
Altre tre:
\[ 10 \]
ciascuna.
Totale:
\[ 9\cdot10^3=9000 \]
33. Numeri di 4 cifre tutte diverse
Prima cifra:
\[ 9 \]
Seconda:
\[ 9 \]
Terza:
\[ 8 \]
Quarta:
\[ 7 \]
Totale:
\[ 9\cdot9\cdot8\cdot7 = 4536 \]
34. Proprietà delle combinazioni
\[ \boxed{ \binom nk=\binom n{n-k} } \]
Perché scegliere \(k\) elementi equivale a scegliere quali \(n-k\) lasciare fuori.
35. Relazione di Pascal
\[ \boxed{ \binom nk = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} } \]
36. Triangolo di Pascal
\[ 1 \]
\[ 1\quad1 \]
\[ 1\quad2\quad1 \]
\[ 1\quad3\quad3\quad1 \]
\[ 1\quad4\quad6\quad4\quad1 \]
Ogni numero interno è la somma dei due sopra.
37. Collegamento con il binomio di Newton
\[ (a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \]
I coefficienti:
\[ 1,4,6,4,1 \]
sono coefficienti binomiali.
38. Problema completo
Una classe ha:
- 7 ragazze;
- 5 ragazzi.
Si scelgono 4 studenti.
Probabilità di esattamente 3 ragazze:
\[ \boxed{ P= \frac{ \binom73\binom51 }{ \binom{12}{4} } } \]
39. Altro problema completo
Urna con:
- 6 rosse;
- 4 blu.
Si estraggono 3 palline.
Probabilità di esattamente 2 rosse:
\[ P= \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]
Calcolando:
\[ \binom62=15 \]
\[ \binom41=4 \]
\[ \binom{10}{3}=120 \]
Quindi:
\[ P=\frac{60}{120}=\frac12 \]
40. Esercizi
Esercizio 1
Disporre 6 persone in fila.
\[ 6!=720 \]
Esercizio 2
Presidente e vicepresidente tra 8 persone.
\[ D_{8,2}=8\cdot7=56 \]
Esercizio 3
Commissione di 2 persone tra 8.
\[ \binom82=28 \]
Esercizio 4
Sequenze di 6 cifre con ripetizione.
\[ 10^6 \]
Esercizio 5
Sequenze di 6 cifre senza ripetizione.
\[ 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 \]
Esercizio 6
Anagrammi di:
\[ ANNA \]
\[ \frac{4!}{2!2!}=6 \]
41. Probabilità che una persona sia scelta
Da 8 persone scegliamo 3.
Probabilità che Marco venga scelto:
\[ \frac{\binom72}{\binom83} \]
\[ = \frac{21}{56} = \frac38 \]
42. Almeno un asso
Da 52 carte scegliamo 5.
Probabilità di almeno un asso:
\[ 1- \frac{ \binom{48}{5} }{ \binom{52}{5} } \]
Il complementare semplifica il calcolo.
43. Il metodo prima della formula
Prima di scegliere una formula chiediamoci:
- che cosa sto costruendo o scegliendo?
- uso tutti gli elementi?
- l'ordine conta?
- sono ammesse ripetizioni?
- ci sono elementi uguali?
- ci sono vincoli?
44. Guida rapida
Tutti gli elementi, ordine importante:
\[ \boxed{n!} \]
\(k\) su \(n\), ordine importante:
\[ \boxed{ \frac{n!}{(n-k)!} } \]
\(k\) su \(n\), ordine importante con ripetizione:
\[ \boxed{n^k} \]
\(k\) su \(n\), ordine non importante:
\[ \boxed{ \binom nk } \]
Elementi ripetuti:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
45. Sintesi del Capitolo 4
Il calcolo combinatorio permette di contare senza elencare.
Le formule fondamentali sono:
\[ \boxed{P_n=n!} \]
\[ \boxed{ D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!} } \]
\[ \boxed{ D'_{n,k}=n^k } \]
\[ \boxed{ \binom nk= \frac{n!}{k!(n-k)!} } \]
e, con elementi ripetuti:
\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} } \]
La regola più importante resta:
\[ \boxed{ \text{prima ragionare, poi scegliere la formula} } \]
Capitolo 5 – Probabilità condizionata
1. L'idea di probabilità condizionata
Finora abbiamo calcolato probabilità conoscendo soltanto l'esperimento casuale.
Ma spesso riceviamo una nuova informazione.
Per esempio:
lanciamo un dado e sappiamo che è uscito un numero pari.
A questo punto gli esiti possibili non sono più:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]
ma soltanto:
\[ \{2,4,6\} \]
La nuova informazione ha ristretto lo spazio delle possibilità.
Se ora chiediamo:
qual è la probabilità che il numero sia maggiore di 3?
tra:
\[ 2,4,6 \]
gli esiti favorevoli sono:
\[ 4,6 \]
quindi:
\[ \frac23 \]
Questa è una probabilità condizionata.
2. Notazione
La probabilità dell'evento \(A\), sapendo che si è verificato \(B\), si indica con:
\[ \boxed{P(A\mid B)} \]
e si legge:
probabilità di \(A\) dato \(B\).
3. Primo esempio
Lanciamo un dado.
Sia:
\[ A=\{\text{numero maggiore di 3}\} \]
quindi:
\[ A=\{4,5,6\} \]
e:
\[ B=\{\text{numero pari}\} \]
quindi:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Vogliamo:
\[ P(A\mid B) \]
Sapendo che \(B\) è avvenuto, consideriamo soltanto:
\[ \{2,4,6\} \]
Gli esiti appartenenti anche ad \(A\) sono:
\[ \{4,6\} \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=\frac23 } \]
4. Formula della probabilità condizionata
In generale:
\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]
purché:
\[ P(B)>0 \]
5. Perché compare l'intersezione
Sapendo che \(B\) si è verificato, \(B\) diventa il nuovo spazio delle possibilità.
Tra gli esiti di \(B\), quelli favorevoli ad \(A\) sono:
\[ A\cap B \]
Quindi:
\[ P(A\mid B) = \frac{\text{parte di }B\text{ favorevole ad }A} {\text{tutto }B} \]
6. Verifica con il dado
Abbiamo:
\[ P(A\cap B)=\frac26=\frac13 \]
e:
\[ P(B)=\frac36=\frac12 \]
Quindi:
\[ P(A\mid B) = \frac{\frac13}{\frac12} = \frac23 \]
7. Esempio con le carte
Da un mazzo di 52 carte estraiamo una carta.
Sappiamo che è una figura.
Qual è la probabilità che sia un re?
Le figure sono:
- 4 Jack;
- 4 Donne;
- 4 Re.
In totale:
\[ 12 \]
I re sono:
\[ 4 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(\text{Re}\mid\text{Figura}) = \frac4{12} = \frac13 } \]
8. L'ordine conta
In generale:
\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]
Per esempio:
\[ P(\text{Re}\mid\text{Figura})=\frac13 \]
ma:
\[ P(\text{Figura}\mid\text{Re})=1 \]
perché tutti i re sono figure.
9. Errore frequente
Confondere:
\[ P(A\mid B) \]
con:
\[ P(B\mid A) \]
è uno degli errori più comuni.
La parte dopo la barra è l'informazione che sappiamo essere vera.
10. Esempio con studenti
In una classe:
- 18 ragazze;
- 12 ragazzi;
- 10 ragazze portano gli occhiali;
- 4 ragazzi portano gli occhiali.
Probabilità di occhiali sapendo che è una ragazza:
\[ P(O\mid R) = \frac{10}{18} = \frac59 \]
11. Invertiamo la domanda
Probabilità di essere ragazza sapendo che porta gli occhiali:
Gli studenti con occhiali sono:
\[ 10+4=14 \]
quindi:
\[ P(R\mid O) = \frac{10}{14} = \frac57 \]
Osserviamo:
\[ \frac59\neq\frac57 \]
12. Diagramma ad albero
La probabilità condizionata si rappresenta bene con un albero.
Supponiamo:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(A^c)=0,4 \]
e:
\[ P(B\mid A)=0,7 \]
\[ P(B\mid A^c)=0,2 \]
Ogni ramo rappresenta una probabilità condizionata.
13. Regola del prodotto
Partiamo da:
\[ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Moltiplicando per \(P(B)\):
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) } \]
Analogamente:
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]
14. Interpretazione
La probabilità che avvengano entrambi gli eventi può essere calcolata come:
\[ P(A) \]
moltiplicato per la probabilità di \(B\) sapendo che \(A\) è già avvenuto.
15. Urna senza reinserimento
Un'urna contiene:
- 3 palline rosse;
- 2 blu.
Estraiamo due palline senza reinserimento.
Probabilità che siano entrambe rosse:
\[ P(R_1)=\frac35 \]
Dopo una rossa restano:
- 2 rosse;
- 2 blu.
Quindi:
\[ P(R_2\mid R_1)=\frac24 \]
e:
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac24 \]
\[ = \frac3{10} \]
16. Con reinserimento
Se rimettiamo la prima pallina nell'urna:
\[ P(R_2\mid R_1)=\frac35 \]
Quindi:
\[ P(R_1\cap R_2) = \frac35\cdot\frac35 = \frac9{25} \]
17. Dipendenza e indipendenza
Se sapere che \(A\) è avvenuto cambia la probabilità di \(B\), gli eventi sono dipendenti.
Se invece:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
gli eventi sono indipendenti.
Questo concetto sarà approfondito nel Capitolo 6.
18. Esempio di indipendenza
Lanciamo una moneta e un dado.
Sia:
\[ A=\{\text{dado mostra 6}\} \]
\[ B=\{\text{moneta mostra testa}\} \]
Sapere che è uscita testa non cambia la probabilità del 6.
Quindi:
\[ P(A\mid B)=P(A)=\frac16 \]
19. Esempio di dipendenza
Estraiamo due carte senza reinserimento.
Sia:
\[ A=\{\text{prima carta è un asso}\} \]
\[ B=\{\text{seconda carta è un asso}\} \]
Prima:
\[ P(B)=\frac4{52} \]
Sapendo che la prima è un asso:
\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]
Le due probabilità sono diverse.
20. Due dadi
Lanciamo due dadi.
Sappiamo che la somma è 8.
Qual è la probabilità che almeno uno mostri 5?
Gli esiti con somma 8 sono:
\[ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \]
Quelli con almeno un 5:
\[ (3,5),(5,3) \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un 5}\mid\text{somma}=8) = \frac25 } \]
21. Problema dei due figli
Modello semplificato:
\[ \{MM,MF,FM,FF\} \]
Sapendo che almeno un figlio è maschio, eliminiamo:
\[ FF \]
Restano:
\[ MM,MF,FM \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(MM\mid\text{almeno un maschio}) = \frac13 } \]
22. Informazioni diverse producono probabilità diverse
Se sappiamo invece:
il primo figlio è maschio
restano:
\[ MM,MF \]
Quindi:
\[ P(MM\mid\text{primo figlio maschio}) = \frac12 \]
L'informazione condizionante è decisiva.
23. Tre eventi
La regola del prodotto si estende:
\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A) P(B\mid A) P(C\mid A\cap B) } \]
24. Esempio con tre carte
Da un mazzo di 52 carte estraiamo tre carte senza reinserimento.
Probabilità che siano tutte assi:
\[ \frac4{52} \cdot \frac3{51} \cdot \frac2{50} \]
25. Metodo alternativo
Possiamo anche scrivere:
\[ \frac{\binom43}{\binom{52}{3}} \]
I due metodi conducono allo stesso risultato.
26. Errore da evitare
Non possiamo scrivere sempre:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
La formula corretta generale è:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A) } \]
Solo in caso di indipendenza:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
e quindi:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
27. Esercizi
Esercizio 1
Dado: probabilità di 6 sapendo che è uscito un numero pari.
\[ P(6\mid\text{pari})=\frac13 \]
Esercizio 2
Carta: probabilità di asso sapendo che è di cuori.
\[ P(\text{asso}\mid\text{cuori}) = \frac1{13} \]
Esercizio 3
Urna con 5 rosse e 3 blu.
Due estrazioni senza reinserimento.
Probabilità di due blu:
\[ \frac38\cdot\frac27 = \frac3{28} \]
Esercizio 4
Probabilità prima rossa e poi blu:
\[ \frac58\cdot\frac37 = \frac{15}{56} \]
Esercizio 5
Se:
\[ P(A)=0,4 \]
e:
\[ P(B\mid A)=0,3 \]
allora:
\[ P(A\cap B)=0,12 \]
Esercizio 6
Se:
\[ P(A\cap B)=0,18 \]
e:
\[ P(B)=0,3 \]
allora:
\[ P(A\mid B)=0,6 \]
28. Sintesi del Capitolo 5
La probabilità condizionata è:
\[ \boxed{ P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} } \]
La regola del prodotto è:
\[ \boxed{ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) } \]
Idea fondamentale:
\[ \boxed{ \text{una nuova informazione restringe lo spazio delle possibilità} } \]
Capitolo 6 – Indipendenza e dipendenza degli eventi
1. L'idea di indipendenza
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità dell'altro.
In altre parole, conoscere il risultato di \(A\) non ci fornisce informazione utile su \(B\).
2. Definizione tramite probabilità condizionata
Se:
\[ P(A)>0 \]
e:
\[ P(B)>0 \]
gli eventi sono indipendenti quando:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]
e quindi anche:
\[ \boxed{ P(B\mid A)=P(B) } \]
3. Definizione equivalente
Usando la regola del prodotto:
\[ P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A) \]
Se gli eventi sono indipendenti:
\[ P(B\mid A)=P(B) \]
quindi:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Questa è la forma più utilizzata.
4. Esempio con dado e moneta
Lanciamo una moneta e un dado.
Sia:
\[ A=\{\text{testa}\} \]
\[ B=\{\text{esce 6}\} \]
Abbiamo:
\[ P(A)=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac16 \]
La probabilità che avvengano entrambi è:
\[ P(A\cap B)=\frac1{12} \]
Poiché:
\[ \frac12\cdot\frac16=\frac1{12} \]
gli eventi sono indipendenti.
5. Esempio con due lanci di moneta
Lanciamo due volte una moneta equilibrata.
Sia:
\[ A=\{\text{prima testa}\} \]
\[ B=\{\text{seconda testa}\} \]
Abbiamo:
\[ P(A)=\frac12 \]
\[ P(B)=\frac12 \]
e:
\[ P(A\cap B)=\frac14 \]
Poiché:
\[ \frac12\cdot\frac12=\frac14 \]
gli eventi sono indipendenti.
6. Dipendenza
Due eventi sono dipendenti quando:
\[ P(A\mid B)\neq P(A) \]
cioè sapere che \(B\) è avvenuto modifica la probabilità di \(A\).
7. Esempio con carte
Da un mazzo di 52 carte estraiamo due carte senza reinserimento.
Sia:
\[ A=\{\text{prima carta asso}\} \]
\[ B=\{\text{seconda carta asso}\} \]
Abbiamo:
\[ P(B)=\frac4{52} \]
ma:
\[ P(B\mid A)=\frac3{51} \]
Quindi \(A\) e \(B\) sono dipendenti.
8. Reinserimento e indipendenza
Se dopo la prima estrazione rimettiamo la carta nel mazzo e rimescoliamo:
\[ P(B\mid A)=\frac4{52} \]
uguale a:
\[ P(B) \]
In questo caso le due estrazioni sono indipendenti.
9. Attenzione: incompatibilità e indipendenza non sono la stessa cosa
Questa è una distinzione fondamentale.
Eventi incompatibili
Non possono verificarsi insieme:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Eventi indipendenti
Il verificarsi di uno non modifica la probabilità dell'altro:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Sono concetti completamente diversi.
10. Esempio di incompatibilità
Lanciamo un dado.
Sia:
\[ A=\{\text{esce 2}\} \]
\[ B=\{\text{esce 5}\} \]
Non possono verificarsi insieme.
Quindi:
\[ A\cap B=\varnothing \]
Sono incompatibili.
11. Sono anche indipendenti?
Abbiamo:
\[ P(A)=\frac16 \]
\[ P(B)=\frac16 \]
Se fossero indipendenti dovrebbe valere:
\[ P(A\cap B) = \frac1{36} \]
Ma in realtà:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Quindi non sono indipendenti.
12. Regola importante
Due eventi incompatibili con probabilità positiva non possono essere indipendenti.
Infatti, se:
\[ P(A)>0 \]
e:
\[ P(B)>0 \]
per indipendenza servirebbe:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)>0 \]
ma per incompatibilità:
\[ P(A\cap B)=0 \]
contraddizione.
13. Esempio intuitivo
Se sappiamo che è uscito 2:
\[ P(\text{esce 5}\mid\text{esce 2})=0 \]
mentre prima:
\[ P(\text{esce 5})=\frac16 \]
Sapere che \(A\) è avvenuto cambia completamente la probabilità di \(B\).
14. Eventi indipendenti possono verificarsi insieme
Nel lancio di moneta e dado:
\[ A=\{\text{testa}\} \]
\[ B=\{\text{6}\} \]
possono verificarsi contemporaneamente.
Infatti:
\[ A\cap B \]
non è vuoto.
L'indipendenza non significa impossibilità di verificarsi insieme.
15. Formula del prodotto per eventi indipendenti
Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Questa formula è molto importante.
16. Tre eventi indipendenti
Se tre eventi:
\[ A,B,C \]
sono mutuamente indipendenti, allora:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
\[ P(A\cap C)=P(A)P(C) \]
\[ P(B\cap C)=P(B)P(C) \]
e anche:
\[ \boxed{ P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C) } \]
17. Indipendenza a coppie non basta
È possibile che tre eventi siano indipendenti a coppie ma non mutuamente indipendenti.
Questo è un punto più avanzato ma importante.
18. Esempio classico
Lanciamo due monete equilibrate.
Definiamo:
\[ A=\{\text{prima moneta testa}\} \]
\[ B=\{\text{seconda moneta testa}\} \]
\[ C=\{\text{le due monete danno lo stesso risultato}\} \]
Lo spazio è:
\[ \{TT,TC,CT,CC\} \]
Abbiamo:
\[ P(A)=P(B)=P(C)=\frac12 \]
19. Indipendenza a coppie
\[ A\cap B=\{TT\} \]
quindi:
\[ P(A\cap B)=\frac14 = \frac12\cdot\frac12 \]
Analogamente:
\[ P(A\cap C)=\frac14 \]
e:
\[ P(B\cap C)=\frac14 \]
Quindi gli eventi sono indipendenti a coppie.
20. Ma non mutuamente indipendenti
L'intersezione tripla è:
\[ A\cap B\cap C=\{TT\} \]
quindi:
\[ P(A\cap B\cap C)=\frac14 \]
Ma:
\[ P(A)P(B)P(C) = \frac18 \]
Poiché:
\[ \frac14\neq\frac18 \]
i tre eventi non sono mutuamente indipendenti.
21. Indipendenza e complementare
Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti, allora anche:
\[ A^c \]
e:
\[ B \]
sono indipendenti.
Vale anche per:
\[ A \]
e:
\[ B^c \]
e per:
\[ A^c \]
e:
\[ B^c \]
22. Dimostrazione
Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Ora:
\[ P(A^c\cap B) = P(B)-P(A\cap B) \]
\[ = P(B)-P(A)P(B) \]
\[ = P(B)(1-P(A)) \]
\[ = P(B)P(A^c) \]
Quindi \(A^c\) e \(B\) sono indipendenti.
23. Almeno un successo in prove indipendenti
Supponiamo di avere \(n\) prove indipendenti.
La probabilità di successo in ciascuna è:
\[ p \]
La probabilità di nessun successo è:
\[ (1-p)^n \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un successo}) = 1-(1-p)^n } \]
24. Esempio con un dado
Lanciamo un dado 4 volte.
Qual è la probabilità di ottenere almeno un 6?
Probabilità di non ottenere 6 in un lancio:
\[ \frac56 \]
Probabilità di nessun 6 in 4 lanci:
\[ \left(\frac56\right)^4 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(\text{almeno un 6}) = 1-\left(\frac56\right)^4 } \]
25. Probabilità di una sequenza
Se i lanci sono indipendenti, la probabilità di una sequenza specifica si ottiene moltiplicando.
Per esempio, con una moneta equilibrata:
\[ P(TCTT) = \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac1{16} \]
26. Moneta non equilibrata
Se:
\[ P(T)=p \]
e:
\[ P(C)=1-p \]
allora:
\[ P(TCTT) = p(1-p)p^2 \]
\[ = p^3(1-p) \]
27. Collegamento con la binomiale
Questo ragionamento conduce direttamente alla distribuzione binomiale.
Se in \(n\) prove indipendenti vogliamo esattamente \(k\) successi, ogni sequenza con \(k\) successi ha probabilità:
\[ p^k(1-p)^{n-k} \]
Il numero di sequenze possibili è:
\[ \binom nk \]
Quindi:
\[ P(X=k) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} \]
28. Esempio con probabilità date
Supponiamo:
\[ P(A)=0,4 \]
\[ P(B)=0,5 \]
e \(A\), \(B\) indipendenti.
Allora:
\[ P(A\cap B) = 0,4\cdot0,5 = 0,2 \]
29. Probabilità dell'unione
Usiamo:
\[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Quindi:
\[ P(A\cup B) = 0,4+0,5-0,2 = 0,7 \]
30. Esempio inverso
Supponiamo:
\[ P(A)=0,3 \]
\[ P(B)=0,4 \]
\[ P(A\cap B)=0,12 \]
Poiché:
\[ 0,3\cdot0,4=0,12 \]
gli eventi sono indipendenti.
31. Altro esempio
Se:
\[ P(A)=0,3 \]
\[ P(B)=0,4 \]
ma:
\[ P(A\cap B)=0,20 \]
allora:
\[ 0,20\neq0,12 \]
quindi gli eventi sono dipendenti.
32. Indipendenza non significa probabilità uguali
Due eventi indipendenti possono avere probabilità molto diverse.
Per esempio:
\[ P(A)=0,9 \]
\[ P(B)=0,1 \]
possono essere perfettamente indipendenti.
L'indipendenza riguarda il rapporto tra gli eventi, non il valore delle loro probabilità.
33. Esempio con prove ripetute
Una macchina produce un pezzo difettoso con probabilità:
\[ 0,02 \]
Assumiamo che i pezzi siano indipendenti.
Qual è la probabilità che 3 pezzi consecutivi siano tutti buoni?
Probabilità che un pezzo sia buono:
\[ 0,98 \]
Quindi:
\[ P(\text{3 buoni}) = 0,98^3 \]
34. Probabilità di almeno un difettoso
Il complementare è:
tutti buoni.
Quindi:
\[ P(\text{almeno un difettoso}) = 1-0,98^3 \]
35. Esercizi
Esercizio 1
Se:
\[ P(A)=0,5 \]
\[ P(B)=0,2 \]
e gli eventi sono indipendenti, calcolare:
\[ P(A\cap B) \]
Soluzione
\[ P(A\cap B)=0,5\cdot0,2=0,1 \]
Esercizio 2
Con gli stessi dati, calcolare:
\[ P(A\cup B) \]
Soluzione
\[ P(A\cup B) = 0,5+0,2-0,1 = 0,6 \]
Esercizio 3
Se:
\[ P(A)=0,6 \]
\[ P(B)=0,5 \]
\[ P(A\cap B)=0,3 \]
sono indipendenti?
Soluzione
\[ 0,6\cdot0,5=0,3 \]
Sì.
Esercizio 4
Dado lanciato 5 volte.
Probabilità di nessun 6:
\[ \boxed{ \left(\frac56\right)^5 } \]
Probabilità di almeno un 6:
\[ \boxed{ 1-\left(\frac56\right)^5 } \]
Esercizio 5
Moneta equilibrata lanciata 8 volte.
Probabilità di ottenere sempre testa:
\[ \boxed{ \left(\frac12\right)^8 } \]
36. Errore concettuale tipico
“Gli eventi sono incompatibili, quindi sono indipendenti.”
È falso.
Se due eventi incompatibili hanno probabilità positiva, il verificarsi dell'uno rende impossibile l'altro.
Quindi sono fortemente dipendenti.
37. Altro errore
“Gli eventi sono indipendenti, quindi non possono avvenire insieme.”
È falso.
L'indipendenza richiede proprio:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
che, se entrambe le probabilità sono positive, è positiva.
38. Schema di confronto
Incompatibili
\[ \boxed{ P(A\cap B)=0 } \]
Indipendenti
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Sono due concetti distinti.
39. Sintesi del Capitolo 6
Due eventi sono indipendenti se:
\[ \boxed{ P(A\mid B)=P(A) } \]
equivalentemente:
\[ \boxed{ P(A\cap B)=P(A)P(B) } \]
Sono dipendenti se il verificarsi di uno modifica la probabilità dell'altro.
La distinzione fondamentale è:
\[ \boxed{ \text{indipendenza}\neq\text{incompatibilità} } \]
Per eventi incompatibili:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Per eventi indipendenti:
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]
Questa distinzione sarà fondamentale per comprendere probabilità totale, Bayes e distribuzione binomiale.
Capitolo 7 – Teorema della probabilità totale
1. Il problema di partenza
Supponiamo che un evento possa verificarsi attraverso più strade diverse.
Per esempio, un prodotto può provenire:
- dalla macchina 1;
- dalla macchina 2;
- dalla macchina 3.
Se vogliamo conoscere la probabilità che il prodotto sia difettoso, dobbiamo tenere conto:
- della probabilità che provenga da ciascuna macchina;
- della probabilità che sia difettoso sapendo da quale macchina proviene.
Il teorema della probabilità totale permette di combinare queste informazioni.
2. Un esempio intuitivo
Una fabbrica utilizza due macchine.
La macchina \(M_1\) produce il:
\[ 60\% \]
dei pezzi.
La macchina \(M_2\) produce il:
\[ 40\% \]
dei pezzi.
Quindi:
\[ P(M_1)=0,6 \]
\[ P(M_2)=0,4 \]
Supponiamo inoltre che:
\[ P(D\mid M_1)=0,02 \]
e:
\[ P(D\mid M_2)=0,05 \]
dove \(D\) è l'evento:
il pezzo è difettoso.
Vogliamo calcolare:
\[ P(D) \]
3. Dividiamo il problema in due strade
Un pezzo difettoso può provenire:
- da \(M_1\);
- oppure da \(M_2\).
Quindi:
\[ D=(D\cap M_1)\cup(D\cap M_2) \]
I due eventi sono incompatibili.
Perciò:
\[ P(D) = P(D\cap M_1)+P(D\cap M_2) \]
4. Regola del prodotto
Sappiamo che:
\[ P(D\cap M_1) = P(M_1)P(D\mid M_1) \]
e:
\[ P(D\cap M_2) = P(M_2)P(D\mid M_2) \]
Quindi:
\[ P(D) = 0,6\cdot0,02 + 0,4\cdot0,05 \]
\[ = 0,012+0,020 \]
\[ = 0,032 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(D)=3,2\% } \]
5. Idea fondamentale
La probabilità complessiva è la somma delle probabilità dei diversi percorsi.
In forma intuitiva:
\[ \boxed{ \text{probabilità totale} = \text{somma delle probabilità dei diversi percorsi} } \]
6. Partizione dello spazio campionario
Gli eventi:
\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]
formano una partizione dello spazio campionario se:
- sono incompatibili a due a due:
\[ B_i\cap B_j=\varnothing \]
per:
\[ i\neq j \]
- coprono tutto lo spazio campionario:
\[ B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega \]
7. Esempio di partizione
Supponiamo di dividere una popolazione in fasce d'età:
\[ B_1=\{\text{meno di 30 anni}\} \]
\[ B_2=\{\text{tra 30 e 60 anni}\} \]
\[ B_3=\{\text{più di 60 anni}\} \]
Se le fasce non si sovrappongono e coprono tutta la popolazione, costituiscono una partizione.
8. Teorema della probabilità totale
Se:
\[ B_1,B_2,\ldots,B_n \]
formano una partizione, allora per ogni evento \(A\):
\[ \boxed{ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A\mid B_i) } \]
cioè:
\[ P(A) = P(B_1)P(A\mid B_1) +\cdots+ P(B_n)P(A\mid B_n) \]
9. Perché funziona
L'evento \(A\) può essere scomposto in:
\[ A\cap B_1,\quad A\cap B_2,\quad \ldots,\quad A\cap B_n \]
Questi eventi sono incompatibili.
Quindi:
\[ P(A) = \sum_i P(A\cap B_i) \]
Ma:
\[ P(A\cap B_i) = P(B_i)P(A\mid B_i) \]
da cui il teorema.
10. Diagramma ad albero
Il teorema si interpreta bene con un albero.
Dalla radice partono i rami:
\[ B_1,\ B_2,\ B_3,\ldots \]
Da ciascun ramo parte poi l'evento \(A\).
La probabilità di un percorso è:
\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]
11. Regola pratica dell'albero
Ricordiamo:
\[ \boxed{\text{lungo un percorso si moltiplica}} \]
e:
\[ \boxed{\text{tra percorsi alternativi si somma}} \]
12. Esempio con tre stabilimenti
Un'azienda produce in tre stabilimenti:
\[ P(S_1)=0,5 \]
\[ P(S_2)=0,3 \]
\[ P(S_3)=0,2 \]
I tassi di difetto sono:
\[ P(D\mid S_1)=0,01 \]
\[ P(D\mid S_2)=0,03 \]
\[ P(D\mid S_3)=0,04 \]
Calcoliamo:
\[ P(D) \]
13. Soluzione
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
\[ = 0,005+0,009+0,008 \]
\[ = 0,022 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(D)=2,2\% } \]
14. Media pesata
La formula:
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
può essere vista come una media pesata delle probabilità condizionate.
I pesi sono:
\[ 0,5,\quad0,3,\quad0,2 \]
15. Conseguenza importante
Poiché i pesi sommano a 1:
\[ P(B_1)+\cdots+P(B_n)=1 \]
la probabilità totale deve essere compresa tra il minimo e il massimo delle probabilità condizionate:
\[ \min_i P(A\mid B_i) \leq P(A) \leq \max_i P(A\mid B_i) \]
16. Caso \(B\) e \(B^c\)
Un evento e il suo complementare formano una partizione.
Quindi:
\[ \boxed{ P(A) = P(B)P(A\mid B) + P(B^c)P(A\mid B^c) } \]
17. Esempio
Il 30% di una popolazione utilizza un servizio:
\[ P(S)=0,3 \]
quindi:
\[ P(S^c)=0,7 \]
Supponiamo:
\[ P(A\mid S)=0,8 \]
\[ P(A\mid S^c)=0,2 \]
Allora:
\[ P(A) = 0,3\cdot0,8 + 0,7\cdot0,2 \]
\[ = 0,24+0,14 = 0,38 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(A)=38\% } \]
18. Esempio con urne
Scegliamo un'urna:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
\[ P(U_2)=\frac23 \]
L'urna \(U_1\) contiene:
- 4 rosse;
- 6 blu.
L'urna \(U_2\) contiene:
- 7 rosse;
- 3 blu.
Vogliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa.
19. Soluzione
\[ P(R\mid U_1)=\frac4{10} \]
\[ P(R\mid U_2)=\frac7{10} \]
Quindi:
\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]
\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(R)=\frac35 } \]
20. Esempio con studenti
In una scuola:
- 40% scientifico;
- 35% classico;
- 25% linguistico.
La probabilità di partecipare a un'attività è:
\[ 0,60 \]
per lo scientifico,
\[ 0,50 \]
per il classico,
\[ 0,40 \]
per il linguistico.
Quindi:
\[ P(A) = 0,40\cdot0,60 + 0,35\cdot0,50 + 0,25\cdot0,40 \]
\[ = 0,24+0,175+0,10 \]
\[ = 0,515 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(A)=51,5\% } \]
21. Esempio con test diagnostico
Supponiamo:
\[ P(M)=0,02 \]
\[ P(M^c)=0,98 \]
e:
\[ P(+\mid M)=0,95 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]
Qual è la probabilità complessiva di test positivo?
22. Soluzione
\[ P(+) = P(M)P(+\mid M) + P(M^c)P(+\mid M^c) \]
\[ = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]
\[ = 0,019+0,0392 \]
\[ = 0,0582 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(+)=5,82\% } \]
23. Una domanda naturale
Ora possiamo chiedere:
sapendo che il test è positivo, qual è la probabilità che la persona abbia la condizione?
Vogliamo:
\[ P(M\mid+) \]
Conosciamo invece:
\[ P(+\mid M) \]
Le due probabilità non sono la stessa cosa.
Questo porta al Teorema di Bayes.
24. Frequenze assolute
Possiamo rendere il problema più intuitivo immaginando 10000 persone.
Con:
\[ P(M)=0,02 \]
abbiamo:
\[ 200 \]
persone con la condizione.
Il 95% risulta positivo:
\[ 190 \]
Le persone senza la condizione sono:
\[ 9800 \]
Il 4% risulta positivo:
\[ 392 \]
Totale positivi:
\[ 190+392=582 \]
e:
\[ \frac{582}{10000}=0,0582 \]
25. Esempio con mezzi di trasporto
Una persona va al lavoro:
- auto 50%;
- treno 30%;
- bici 20%.
Probabilità di ritardo:
\[ 0,10 \]
con auto,
\[ 0,20 \]
con treno,
\[ 0,05 \]
con bici.
Quindi:
\[ P(R) = 0,50\cdot0,10 + 0,30\cdot0,20 + 0,20\cdot0,05 \]
\[ = 0,05+0,06+0,01 = 0,12 \]
Quindi:
\[ \boxed{12\%} \]
26. Procedura generale
Passo 1
Individuare le cause:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
Passo 2
Verificare che formino una partizione.
Passo 3
Individuare l'evento finale \(A\).
Passo 4
Scrivere:
\[ P(B_i) \]
e:
\[ P(A\mid B_i) \]
Passo 5
Moltiplicare lungo ogni percorso:
\[ P(B_i)P(A\mid B_i) \]
Passo 6
Sommare:
\[ P(A) = \sum_i P(B_i)P(A\mid B_i) \]
27. Esercizi
Esercizio 1
Due macchine producono:
\[ 70\% \]
e:
\[ 30\% \]
dei pezzi.
Tassi di difetto:
\[ 2\% \]
e:
\[ 5\% \]
Quindi:
\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]
\[ = 0,029 \]
\[ \boxed{2,9\%} \]
Esercizio 2
Due urne scelte con uguale probabilità.
Urna A:
- 8 bianche;
- 2 nere.
Urna B:
- 3 bianche;
- 7 nere.
Quindi:
\[ P(Bianca) = \frac12\cdot\frac8{10} + \frac12\cdot\frac3{10} \]
\[ = \frac{11}{20} = 0,55 \]
Esercizio 3
25% acquisti online, 75% in negozio.
Restituzioni:
\[ 10\% \]
online,
\[ 4\% \]
negozio.
\[ P(R) = 0,25\cdot0,10 + 0,75\cdot0,04 \]
\[ = 0,055 \]
\[ \boxed{5,5\%} \]
28. Sintesi del Capitolo 7
Se:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
formano una partizione:
\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]
Regola pratica:
\[ \boxed{\text{moltiplica lungo i percorsi}} \]
\[ \boxed{\text{somma i percorsi alternativi}} \]
Capitolo 8 – Teorema di Bayes
1. Il problema inverso
Nel capitolo precedente abbiamo calcolato:
\[ P(A) \]
conoscendo:
\[ P(B_i) \]
e:
\[ P(A\mid B_i) \]
Ora vogliamo fare il percorso inverso.
Osserviamo \(A\) e vogliamo sapere:
qual è la probabilità che la causa sia stata \(B_i\)?
Cioè vogliamo:
\[ P(B_i\mid A) \]
2. Da dove nasce la formula
Partiamo da:
\[ P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
Ma:
\[ P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B) \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } } \]
Questa è la forma base del Teorema di Bayes.
3. Formula generale
Se:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
formano una partizione:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_j P(B_j)P(A\mid B_j) } } \]
4. Interpretazione intuitiva
Bayes aggiorna una probabilità iniziale dopo aver ricevuto una nuova informazione.
Schema:
\[ \boxed{ \text{probabilità iniziale} \rightarrow \text{nuova evidenza} \rightarrow \text{probabilità aggiornata} } \]
5. A priori e a posteriori
La probabilità iniziale:
\[ P(B) \]
si chiama probabilità a priori.
La probabilità aggiornata:
\[ P(B\mid A) \]
si chiama probabilità a posteriori.
6. Esempio con urne
Scegliamo:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
\[ P(U_2)=\frac23 \]
Urna \(U_1\):
- 4 rosse;
- 6 blu.
Urna \(U_2\):
- 7 rosse;
- 3 blu.
Osserviamo una pallina rossa.
Vogliamo:
\[ P(U_1\mid R) \]
7. Probabilità totale del rosso
\[ P(R) = \frac13\cdot\frac4{10} + \frac23\cdot\frac7{10} \]
\[ = \frac4{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30} = \frac35 \]
8. Applichiamo Bayes
\[ P(U_1\mid R) = \frac{ \frac13\cdot\frac4{10} }{ \frac35 } \]
\[ = \frac29 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(U_1\mid R)=\frac29 } \]
9. Seconda urna
\[ P(U_2\mid R) = 1-\frac29 = \frac79 \]
10. Significato
Prima dell'estrazione:
\[ P(U_1)=\frac13 \]
Dopo aver osservato rosso:
\[ P(U_1\mid R)=\frac29 \]
L'evidenza ha modificato la probabilità iniziale.
11. Esempio con fabbriche
Due stabilimenti producono:
\[ 70\% \]
e:
\[ 30\% \]
dei pezzi.
Tassi di difetto:
\[ 2\% \]
e:
\[ 5\% \]
Un pezzo è difettoso.
Qual è la probabilità che provenga dal secondo stabilimento?
12. Probabilità del difetto
\[ P(D) = 0,7\cdot0,02 + 0,3\cdot0,05 \]
\[ = 0,014+0,015 = 0,029 \]
13. Bayes
\[ P(S_2\mid D) = \frac{ 0,3\cdot0,05 }{ 0,029 } \]
\[ = \frac{0,015}{0,029} \]
\[ \approx0,5172 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(S_2\mid D)\approx51,7\% } \]
14. Interpretazione
Il secondo stabilimento produce solo il 30% dei pezzi.
Ma tra i difettosi la probabilità di provenienza da \(S_2\) sale oltre il 50%.
Questo accade perché ha un tasso di difetti maggiore.
15. Test diagnostico
Supponiamo:
\[ P(M)=0,02 \]
\[ P(M^c)=0,98 \]
e:
\[ P(+\mid M)=0,95 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,04 \]
Una persona risulta positiva.
Vogliamo:
\[ P(M\mid+) \]
16. Calcoliamo \(P(+)\)
\[ P(+) = 0,02\cdot0,95 + 0,98\cdot0,04 \]
\[ = 0,019+0,0392 \]
\[ = 0,0582 \]
17. Applichiamo Bayes
\[ P(M\mid+) = \frac{ 0,02\cdot0,95 }{ 0,0582 } \]
\[ = \frac{0,019}{0,0582} \]
\[ \approx0,3265 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(M\mid+)\approx32,6\% } \]
18. Risultato controintuitivo
Il test riconosce il 95% dei soggetti con la condizione.
Eppure un positivo ha circa il 32,6% di probabilità di avere realmente la condizione.
La ragione è che la condizione è rara.
19. Frequenze naturali
Immaginiamo:
\[ 10000 \]
persone.
Con la condizione:
\[ 200 \]
Veri positivi:
\[ 200\cdot0,95=190 \]
Senza condizione:
\[ 9800 \]
Falsi positivi:
\[ 9800\cdot0,04=392 \]
Totale positivi:
\[ 190+392=582 \]
Quindi:
\[ \frac{190}{582} \approx0,3265 \]
20. Le due probabilità non sono uguali
\[ P(+\mid M)=95\% \]
ma:
\[ P(M\mid+)\approx32,6\% \]
In generale:
\[ \boxed{ P(A\mid B)\neq P(B\mid A) } \]
21. Bayes come inversione
Bayes permette di passare da:
\[ P(A\mid B) \]
a:
\[ P(B\mid A) \]
correggendo per le probabilità di base.
22. Forma interpretativa
Possiamo ricordare:
\[ \boxed{ \text{posteriori} = \frac{ \text{priori}\times\text{verosimiglianza} }{ \text{evidenza} } } \]
cioè:
\[ P(B\mid A) = \frac{ P(B)P(A\mid B) }{ P(A) } \]
23. Esempio con studenti
In una scuola:
- 60% biennio;
- 40% triennio.
Partecipa a un corso:
- 20% del biennio;
- 50% del triennio.
Vogliamo la probabilità che uno studente partecipante sia del triennio.
24. Probabilità di partecipazione
\[ P(C) = 0,6\cdot0,2 + 0,4\cdot0,5 \]
\[ = 0,12+0,20 = 0,32 \]
25. Bayes
\[ P(T\mid C) = \frac{ 0,4\cdot0,5 }{ 0,32 } \]
\[ = 0,625 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(T\mid C)=62,5\% } \]
26. Esempio con tre cause
Tre macchine producono:
\[ 50\%,\quad30\%,\quad20\% \]
dei pezzi.
Tassi di difetto:
\[ 1\%,\quad3\%,\quad4\% \]
Un pezzo è difettoso.
Qual è la probabilità che venga dalla terza macchina?
27. Probabilità totale del difetto
\[ P(D) = 0,5\cdot0,01 + 0,3\cdot0,03 + 0,2\cdot0,04 \]
\[ = 0,005+0,009+0,008 = 0,022 \]
28. Bayes
\[ P(M_3\mid D) = \frac{ 0,2\cdot0,04 }{ 0,022 } \]
\[ = \frac{0,008}{0,022} \]
\[ \approx0,3636 \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(M_3\mid D)\approx36,4\% } \]
29. Verifica
\[ P(M_1\mid D) = \frac{0,005}{0,022} \approx22,7\% \]
\[ P(M_2\mid D) = \frac{0,009}{0,022} \approx40,9\% \]
\[ P(M_3\mid D) \approx36,4\% \]
La somma è circa:
\[ 100\% \]
30. Bayes come rapporto tra percorsi
Possiamo ricordare:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ \text{probabilità del percorso }B_i\to A }{ \text{probabilità totale di arrivare ad }A } } \]
31. Errore del tasso base
Un errore frequente consiste nell'ignorare:
\[ P(B) \]
cioè la probabilità iniziale.
Se un evento è molto raro, anche un test accurato può produrre molti falsi positivi rispetto ai veri positivi.
32. Quando usare Bayes
Bayes è utile quando:
- esistono diverse possibili cause;
- conosciamo la probabilità iniziale delle cause;
- conosciamo la probabilità dell'evidenza data ciascuna causa;
- osserviamo l'evidenza;
- vogliamo risalire alla causa.
33. Esercizio 1
Due urne:
\[ P(U_1)=0,4 \]
\[ P(U_2)=0,6 \]
Probabilità di bianco:
\[ P(B\mid U_1)=0,3 \]
\[ P(B\mid U_2)=0,7 \]
Calcoliamo:
\[ P(B) = 0,4\cdot0,3 + 0,6\cdot0,7 \]
\[ = 0,54 \]
Quindi:
\[ P(U_1\mid B) = \frac{0,12}{0,54} = \frac29 \]
34. Esercizio 2
Linea 1:
\[ 75\% \]
produzione, difetti:
\[ 2\% \]
Linea 2:
\[ 25\% \]
produzione, difetti:
\[ 6\% \]
Probabilità totale:
\[ P(D) = 0,75\cdot0,02 + 0,25\cdot0,06 \]
\[ = 0,03 \]
Quindi:
\[ P(L_2\mid D) = \frac{0,015}{0,03} = 0,5 \]
\[ \boxed{50\%} \]
35. Esercizio 3
Caratteristica presente nel 10% della popolazione.
Test positivo:
- 90% se presente;
- 20% se assente.
\[ P(+) = 0,1\cdot0,9 + 0,9\cdot0,2 \]
\[ = 0,27 \]
Quindi:
\[ P(C\mid+) = \frac{0,09}{0,27} = \frac13 \]
\[ \boxed{33,3\%} \]
36. Esercizio controintuitivo
Una condizione interessa:
\[ 1 \]
persona su:
\[ 1000 \]
Quindi:
\[ P(M)=0,001 \]
Test:
\[ P(+\mid M)=0,99 \]
\[ P(+\mid M^c)=0,01 \]
Calcoliamo:
\[ P(+) = 0,001\cdot0,99 + 0,999\cdot0,01 \]
\[ = 0,01098 \]
Quindi:
\[ P(M\mid+) = \frac{0,00099}{0,01098} \]
\[ \approx0,0902 \]
cioè circa:
\[ \boxed{9\%} \]
37. Bayes non crea informazioni
Il teorema richiede dati iniziali:
- probabilità a priori;
- probabilità condizionate;
- evidenza osservata.
Se queste informazioni sono incerte, anche il risultato sarà incerto.
38. Procedura generale
Passo 1
Individuare le cause:
\[ B_1,\ldots,B_n \]
Passo 2
Scrivere:
\[ P(B_i) \]
Passo 3
Scrivere:
\[ P(A\mid B_i) \]
Passo 4
Calcolare:
\[ P(A) \]
con la probabilità totale.
Passo 5
Applicare:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ P(A) } } \]
39. Probabilità totale e Bayes
I due teoremi lavorano insieme.
Probabilità totale:
\[ \boxed{ P(A) = \sum_iP(B_i)P(A\mid B_i) } \]
Bayes:
\[ \boxed{ P(B_i\mid A) = \frac{ P(B_i)P(A\mid B_i) }{ \sum_jP(B_j)P(A\mid B_j) } } \]
40. Idea conclusiva
Bayes può essere riassunto così:
\[ \boxed{ \text{una nuova informazione modifica razionalmente le probabilità iniziali} } \]
Prima abbiamo:
\[ P(B) \]
Dopo aver osservato \(A\):
\[ P(B\mid A) \]
È uno dei principi fondamentali della statistica, della diagnostica e dell'inferenza probabilistica.
Capitolo 9 – Variabili aleatorie discrete e continue
1. Perché introduciamo le variabili aleatorie
Finora abbiamo studiato eventi come:
esce un numero pari
oppure:
il pezzo è difettoso.
Ma spesso vogliamo associare un numero al risultato dell'esperimento.
Per esempio:
- numero di teste in 5 lanci;
- numero di clienti che entrano in un negozio in un'ora;
- tempo di attesa;
- altezza di una persona;
- durata di una lampadina.
Per descrivere matematicamente queste quantità introduciamo il concetto di variabile aleatoria.
2. Definizione intuitiva
Una variabile aleatoria è una funzione che associa un numero reale a ogni possibile esito di un esperimento casuale.
In simboli:
\[ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R} \]
A ogni esito:
\[ \omega\in\Omega \]
la variabile associa:
\[ X(\omega) \]
3. Esempio con due monete
Lanciamo due monete.
\[ \Omega=\{TT,TC,CT,CC\} \]
Definiamo:
\[ X=\text{numero di teste} \]
Allora:
\[ X(TT)=2 \]
\[ X(TC)=1 \]
\[ X(CT)=1 \]
\[ X(CC)=0 \]
Quindi \(X\) può assumere:
\[ 0,1,2 \]
4. Esito e valore della variabile
Nell'esempio:
\[ TC \]
è un esito.
Invece:
\[ X(TC)=1 \]
è il valore della variabile aleatoria.
Lo spazio campionario contiene gli esiti.
La variabile li trasforma in numeri.
5. Perché è utile
Nel lancio di 10 monete ci sono:
\[ 2^{10}=1024 \]
sequenze possibili.
Se ci interessa solo il numero di teste, la variabile può assumere soltanto:
\[ 0,1,2,\ldots,10 \]
Questo semplifica enormemente il problema.
6. Variabile aleatoria discreta
Una variabile è discreta quando assume un numero finito o numerabile di valori.
Esempi:
- numero di figli;
- numero di telefonate;
- numero di difetti;
- numero di successi;
- numero di volte che compare 6.
7. Variabile aleatoria continua
Una variabile è continua quando può assumere tutti i valori in un intervallo.
Esempi:
- altezza;
- peso;
- temperatura;
- tempo;
- distanza;
- durata.
8. Esempio discreto
Lanciamo un dado.
\[ X=\text{numero ottenuto} \]
Allora:
\[ X\in\{1,2,3,4,5,6\} \]
9. Esempio continuo
Misuriamo il tempo necessario per un'attività.
Possiamo avere:
\[ 10,4 \]
\[ 10,43 \]
\[ 10,437 \]
e così via.
Idealmente:
\[ X\in[0,+\infty) \]
10. Funzione di probabilità discreta
Se \(X\) è discreta:
\[ \boxed{ p(x)=P(X=x) } \]
Deve valere:
\[ p(x)\geq0 \]
e:
\[ \sum_xp(x)=1 \]
11. Esempio con due monete
Per:
\[ X=\text{numero di teste} \]
abbiamo:
\[ P(X=0)=\frac14 \]
\[ P(X=1)=\frac12 \]
\[ P(X=2)=\frac14 \]
e:
\[ \frac14+\frac12+\frac14=1 \]
12. Distribuzione di probabilità
L'insieme dei valori possibili di \(X\) e delle rispettive probabilità costituisce la sua:
\[ \boxed{\text{distribuzione di probabilità}} \]
13. Dado regolare
Se:
\[ X=\text{numero ottenuto} \]
allora:
\[ P(X=x)=\frac16 \]
per:
\[ x=1,\ldots,6 \]
14. Variabile indicatrice
Definiamo:
\[ I_A= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Una variabile di questo tipo si chiama:
\[ \boxed{\text{indicatrice}} \]
15. Esempio con dado
Definiamo:
\[ X= \begin{cases} 1 & \text{se esce pari}\\ 0 & \text{se esce dispari} \end{cases} \]
Allora:
\[ P(X=1)=\frac12 \]
\[ P(X=0)=\frac12 \]
16. Variabili continue e probabilità puntuale
Per una variabile continua:
\[ \boxed{ P(X=x)=0 } \]
per ogni singolo valore \(x\).
Questo non significa che quel valore sia impossibile.
Significa che la probabilità di un singolo punto è nulla.
17. Densità di probabilità
Per una variabile continua utilizziamo una funzione:
\[ f(x) \]
detta densità.
Deve valere:
\[ f(x)\geq0 \]
e:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1 \]
18. La probabilità è un'area
Per una variabile continua:
\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]
La probabilità è quindi un'area sotto la curva.
19. Densità e probabilità non sono la stessa cosa
Il valore:
\[ f(x) \]
non è una probabilità puntuale.
Una densità può anche superare 1.
Ciò che deve essere pari a 1 è l'area totale.
20. Uniforme continua
Se:
\[ X\sim U(0,10) \]
la densità è:
\[ f(x)=\frac1{10} \]
per:
\[ 0\leq x\leq10 \]
21. Esempio
\[ P(2\leq X\leq5) = 3\cdot\frac1{10} = 0,3 \]
22. Funzione di ripartizione
Per qualsiasi variabile definiamo:
\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]
È la probabilità accumulata fino a \(x\).
23. Esempio discreto
Supponiamo:
\[ P(X=0)=0,2 \]
\[ P(X=1)=0,5 \]
\[ P(X=2)=0,3 \]
Allora:
\[ F(0)=0,2 \]
\[ F(1)=0,7 \]
\[ F(2)=1 \]
24. Proprietà di \(F(x)\)
La funzione di ripartizione:
- è compresa tra 0 e 1;
- non decresce;
- tende a 0 per \(x\to-\infty\);
- tende a 1 per \(x\to+\infty\).
25. Probabilità di un intervallo
\[ \boxed{ P(a<X\leq b) = F(b)-F(a) } \]
26. Discreto e continuo
Per una variabile discreta:
\[ P(X=x) \]
può essere positivo.
Per una continua:
\[ P(X=x)=0 \]
27. Esempio: numero di clienti
\[ X=\text{numero di clienti in un'ora} \]
Valori possibili:
\[ 0,1,2,\ldots \]
Quindi:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
28. Esempio: tempo di attesa
\[ X=\text{tempo di attesa} \]
Può assumere valori reali positivi.
Quindi:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
29. Più variabili sullo stesso esperimento
Lanciando due dadi possiamo definire:
\[ X=\text{somma} \]
\[ Y=\text{massimo} \]
\[ Z=\text{numero di 6} \]
Lo spazio campionario è lo stesso, ma le variabili descrivono aspetti diversi.
30. Somma di due dadi
Se:
\[ X=D_1+D_2 \]
allora:
\[ X\in\{2,3,\ldots,12\} \]
con probabilità:
\[ \frac1{36},\frac2{36},\frac3{36},\ldots \]
La somma 7 ha probabilità:
\[ \frac6{36} \]
31. Distribuzione della somma
\[ P(X=2)=\frac1{36} \]
\[ P(X=3)=\frac2{36} \]
\[ P(X=4)=\frac3{36} \]
\[ P(X=5)=\frac4{36} \]
\[ P(X=6)=\frac5{36} \]
\[ P(X=7)=\frac6{36} \]
e poi simmetricamente.
32. Esercizi
Esercizio 1
Tre monete.
\[ X=\text{numero di teste} \]
Valori:
\[ \boxed{0,1,2,3} \]
Esercizio 2
\[ P(X=3)=\frac18 \]
Esercizio 3
\[ P(X=2)=\frac38 \]
Esercizio 4
Numero di email ricevute:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
Esercizio 5
Temperatura:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
33. Sintesi del Capitolo 9
Una variabile aleatoria è:
\[ \boxed{ X:\Omega\rightarrow\mathbb R } \]
Può essere:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
oppure:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
Per una discreta:
\[ p(x)=P(X=x) \]
Per una continua:
\[ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx \]
Per entrambe:
\[ \boxed{ F(x)=P(X\leq x) } \]
Capitolo 10 – Valore atteso, varianza e deviazione standard
1. Perché servono
Una distribuzione può essere riassunta con alcuni numeri fondamentali:
\[ \boxed{\text{valore atteso}} \]
\[ \boxed{\text{varianza}} \]
\[ \boxed{\text{deviazione standard}} \]
Il valore atteso descrive il centro.
Varianza e deviazione standard descrivono la dispersione.
2. Valore atteso
Per una variabile discreta:
\[ \boxed{ E(X)=\sum_i x_ip_i } \]
È una media pesata dei valori possibili.
3. Esempio con dado
\[ E(X) = 1\cdot\frac16+ 2\cdot\frac16+ \cdots+ 6\cdot\frac16 \]
\[ = \frac{21}{6} = 3,5 \]
Quindi:
\[ \boxed{E(X)=3,5} \]
4. Un punto importante
Il dado non può mostrare:
\[ 3,5 \]
Il valore atteso non deve necessariamente essere un valore possibile della variabile.
È una media teorica di lungo periodo.
5. Due monete
Se:
\[ X=\text{numero di teste} \]
con probabilità:
\[ \frac14,\frac12,\frac14 \]
allora:
\[ E(X) = 0\cdot\frac14+ 1\cdot\frac12+ 2\cdot\frac14 = 1 \]
6. Giochi e valore atteso
Supponiamo:
- vinci 20 € con probabilità 0,1;
- perdi 2 € con probabilità 0,9.
\[ E(X) = 20\cdot0,1 + (-2)\cdot0,9 \]
\[ = 0,2 \]
Quindi il guadagno medio teorico è:
\[ 0,20€ \]
7. Gioco equo
Un gioco è equo se:
\[ \boxed{ E(X)=0 } \]
Se:
\[ E(X)>0 \]
è favorevole al giocatore in termini di media.
Se:
\[ E(X)<0 \]
è sfavorevole.
8. Linearità del valore atteso
\[ \boxed{ E(aX+b)=aE(X)+b } \]
e:
\[ \boxed{ E(X+Y)=E(X)+E(Y) } \]
Questa proprietà vale anche senza indipendenza.
9. Variabile indicatrice
Per:
\[ I_A= \begin{cases} 1 & A\\ 0 & A^c \end{cases} \]
abbiamo:
\[ E(I_A)=P(A) \]
Quindi:
\[ \boxed{ E(I_A)=P(A) } \]
10. Perché la media non basta
Due distribuzioni possono avere la stessa media ma dispersioni molto diverse.
Esempio:
A
\[ X=10 \]
sempre.
B
\[ Y= \begin{cases} 0 & \text{prob. }1/2\\ 20 & \text{prob. }1/2 \end{cases} \]
Entrambe hanno media:
\[ 10 \]
ma la seconda è molto più dispersa.
11. Scarto dalla media
Poniamo:
\[ \mu=E(X) \]
Lo scarto è:
\[ X-\mu \]
La media degli scarti vale 0.
Per questo consideriamo gli scarti al quadrato.
12. Varianza
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]
Per variabili discrete:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \sum_i(x_i-\mu)^2P(X=x_i) } \]
13. Esempio con due monete
Avevamo:
\[ E(X)=1 \]
Quindi:
\[ \operatorname{Var}(X) = (0-1)^2\frac14+ (1-1)^2\frac12+ (2-1)^2\frac14 \]
\[ = \frac12 \]
14. Formula alternativa
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]
Spesso è più comoda.
15. Dimostrazione
\[ (X-\mu)^2 = X^2-2\mu X+\mu^2 \]
Prendendo il valore atteso:
\[ E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2 \]
Poiché:
\[ E(X)=\mu \]
otteniamo:
\[ E(X^2)-\mu^2 \]
16. Esempio con dado
\[ E(X)=3,5 \]
Calcoliamo:
\[ E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \]
Quindi:
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac72\right)^2 \]
\[ = \frac{35}{12} \]
17. Deviazione standard
La varianza è espressa in unità quadrate.
Per tornare all'unità originale definiamo:
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]
18. Esempio con dado
\[ \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx1,708 \]
19. Interpretazione
Deviazione standard piccola:
\[ \text{valori concentrati} \]
Deviazione standard grande:
\[ \text{valori dispersi} \]
20. Stessa media, dispersione diversa
Supponiamo:
\[ X= \begin{cases} 9 & 1/2\\ 11 & 1/2 \end{cases} \]
e:
\[ Y= \begin{cases} 0 & 1/2\\ 20 & 1/2 \end{cases} \]
Entrambe hanno media 10.
Ma:
\[ \operatorname{Var}(X)=1 \]
mentre:
\[ \operatorname{Var}(Y)=100 \]
21. Trasformazioni lineari
Se:
\[ Y=aX+b \]
allora:
\[ \boxed{ E(Y)=aE(X)+b } \]
e:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(Y) = a^2\operatorname{Var}(X) } \]
22. Deviazione standard
\[ \boxed{ \sigma_Y=|a|\sigma_X } \]
Il termine \(b\) non modifica la dispersione.
23. Somma di variabili
\[ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]
In generale:
\[ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y) \]
24. Caso indipendente
Se \(X\) e \(Y\) sono indipendenti:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) } \]
25. Attenzione
Non vale:
\[ \sigma_{X+Y} = \sigma_X+\sigma_Y \]
In caso di indipendenza:
\[ \sigma_{X+Y} = \sqrt{ \sigma_X^2+\sigma_Y^2 } \]
26. Variabili continue
Per una variabile continua:
\[ \boxed{ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx } \]
e:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2f(x)\,dx } \]
27. Uniforme su \([0,10]\)
Per:
\[ X\sim U(0,10) \]
\[ E(X)=5 \]
e:
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \]
28. Media teorica e media campionaria
Media teorica:
\[ \mu=E(X) \]
Media campionaria:
\[ \bar x= \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]
Sono concetti diversi.
29. Esempio completo
Supponiamo:
\[ P(X=0)=0,2 \]
\[ P(X=1)=0,5 \]
\[ P(X=3)=0,3 \]
Media:
\[ E(X) = 0+0,5+0,9 = 1,4 \]
30. Calcolo di \(E(X^2)\)
\[ E(X^2) = 0+0,5+2,7 = 3,2 \]
31. Varianza
\[ \operatorname{Var}(X) = 3,2-(1,4)^2 \]
\[ = 1,24 \]
32. Deviazione standard
\[ \sigma=\sqrt{1,24} \approx1,11 \]
33. Esercizi
Esercizio 1
\[ X=1,2,3 \]
con probabilità:
\[ 0,2,\ 0,5,\ 0,3 \]
\[ E(X)=2,1 \]
Esercizio 2
\[ E(X^2)=4,9 \]
Esercizio 3
\[ \operatorname{Var}(X)=0,49 \]
Esercizio 4
\[ \sigma=0,7 \]
Esercizio 5
Se:
\[ E(X)=8 \]
e:
\[ Y=5X-3 \]
allora:
\[ E(Y)=37 \]
34. Sintesi del Capitolo 10
\[ \boxed{ E(X)=\sum_xxP(X=x) } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 } \]
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{\operatorname{Var}(X)} } \]
Capitolo 11 – Distribuzioni discrete
1. Perché usare distribuzioni standard
Molti esperimenti differenti condividono la stessa struttura matematica.
Le principali distribuzioni discrete che studiamo sono:
\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
2. Bernoulli
Una prova di Bernoulli ha due esiti:
\[ \text{successo} \]
e:
\[ \text{insuccesso} \]
con probabilità:
\[ p \]
e:
\[ 1-p \]
Definiamo:
\[ X= \begin{cases} 1 & \text{successo}\\ 0 & \text{insuccesso} \end{cases} \]
Scriviamo:
\[ \boxed{ X\sim Bernoulli(p) } \]
3. Funzione di probabilità
\[ P(X=1)=p \]
\[ P(X=0)=1-p \]
Forma compatta:
\[ \boxed{ P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x} } \]
4. Media e varianza Bernoulli
\[ \boxed{ E(X)=p } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = p(1-p) } \]
5. Dalla Bernoulli alla Binomiale
Ripetiamo una prova di Bernoulli \(n\) volte.
Definiamo:
\[ X=\text{numero di successi} \]
Se:
- \(n\) è fisso;
- le prove sono indipendenti;
- la probabilità \(p\) è costante;
allora:
\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]
6. Formula binomiale
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom nkp^k(1-p)^{n-k} } \]
per:
\[ k=0,\ldots,n \]
7. Perché compare \(\binom nk\)
Se vogliamo \(k\) successi in \(n\) prove, dobbiamo scegliere in quali \(k\) posizioni compaiono.
Il numero di modi è:
\[ \binom nk \]
8. Esempio
Moneta equilibrata lanciata 5 volte.
Probabilità di 3 teste:
\[ P(X=3) = \binom53 \left(\frac12\right)^5 \]
\[ = \frac5{16} \]
9. Media e varianza binomiale
\[ \boxed{ E(X)=np } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = np(1-p) } \]
\[ \boxed{ \sigma= \sqrt{np(1-p)} } \]
10. Esattamente, almeno, al massimo
Esattamente \(k\):
\[ P(X=k) \]
Almeno \(k\):
\[ P(X\geq k) \]
Al massimo \(k\):
\[ P(X\leq k) \]
11. Almeno un successo
\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-(1-p)^n } \]
12. Esempio
Probabilità di difetto:
\[ 0,02 \]
20 componenti indipendenti.
Probabilità di almeno un difettoso:
\[ 1-(0,98)^{20} \]
13. Quando NON usare la binomiale
Devono valere:
- numero fisso di prove;
- due esiti;
- stessa probabilità;
- indipendenza.
Se estraiamo senza reinserimento, queste condizioni possono fallire.
14. Distribuzione geometrica
La domanda cambia:
quante prove servono per ottenere il primo successo?
Se le prove sono indipendenti e hanno probabilità \(p\):
\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]
15. Formula geometrica
\[ \boxed{ P(X=k) = (1-p)^{k-1}p } \]
per:
\[ k=1,2,\ldots \]
16. Esempio
Lanciamo un dado fino al primo 6.
Probabilità che arrivi al quarto lancio:
\[ \left(\frac56\right)^3 \frac16 \]
17. Media e varianza geometrica
\[ \boxed{ E(X)=\frac1p } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} } \]
18. Proprietà senza memoria
\[ \boxed{ P(X>m+n\mid X>m) = P(X>n) } \]
Il processo non “ricorda” quanto abbiamo già aspettato.
19. Binomiale e geometrica
Binomiale:
quanti successi in \(n\) prove?
Geometrica:
quante prove fino al primo successo?
20. Distribuzione di Poisson
Si usa per contare eventi in un intervallo di:
- tempo;
- spazio;
- lunghezza;
- area;
- volume.
Scriviamo:
\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]
21. Formula della Poisson
\[ \boxed{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} } \]
22. Esempio
In media 3 chiamate all'ora.
\[ X\sim Poisson(3) \]
Probabilità di 2 chiamate:
\[ P(X=2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} \]
23. Nessun evento
\[ \boxed{ P(X=0)=e^{-\lambda} } \]
24. Almeno un evento
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1-e^{-\lambda} } \]
25. Media e varianza Poisson
\[ \boxed{ E(X)=\lambda } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X)=\lambda } \]
\[ \boxed{ \sigma=\sqrt\lambda } \]
26. Cambiare intervallo
Se arrivano 12 chiamate all'ora, in 15 minuti:
\[ \lambda= 12\cdot\frac14 = 3 \]
27. Quando usare Poisson
Quando:
- contiamo eventi;
- il tasso medio è stabile;
- gli eventi sono sufficientemente indipendenti;
- l'intervallo è ben definito.
28. Poisson come approssimazione della binomiale
Se:
\[ n \]
è grande e:
\[ p \]
piccolo, con:
\[ \lambda=np \]
possiamo usare:
\[ \boxed{ Bin(n,p)\approx Poisson(np) } \]
29. Confronto finale
Bernoulli
Una prova.
Binomiale
Numero di successi in \(n\) prove.
Geometrica
Numero di prove fino al primo successo.
Poisson
Numero di eventi in un intervallo.
30. Medie
Bernoulli:
\[ p \]
Binomiale:
\[ np \]
Geometrica:
\[ \frac1p \]
Poisson:
\[ \lambda \]
31. Varianze
Bernoulli:
\[ p(1-p) \]
Binomiale:
\[ np(1-p) \]
Geometrica:
\[ \frac{1-p}{p^2} \]
Poisson:
\[ \lambda \]
32. Sintesi del Capitolo 11
\[ \boxed{ Bernoulli(p) } \]
una singola prova.
\[ \boxed{ Bin(n,p) } \]
successi in \(n\) prove.
\[ \boxed{ Geom(p) } \]
prove fino al primo successo.
\[ \boxed{ Poisson(\lambda) } \]
eventi in un intervallo.
Capitolo 12 – Distribuzioni continue: uniforme, esponenziale e normale
1. Variabili continue
Per una variabile continua:
\[ P(X=x)=0 \]
Le probabilità riguardano intervalli:
\[ \boxed{ P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)\,dx } \]
2. Distribuzione uniforme continua
Se tutti i valori di:
\[ [a,b] \]
sono ugualmente plausibili:
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
3. Densità uniforme
\[ \boxed{ f(x)= \frac1{b-a} } \]
per:
\[ a\leq x\leq b \]
4. Probabilità uniforme
\[ \boxed{ P(c\leq X\leq d) = \frac{d-c}{b-a} } \]
5. Esempio
\[ X\sim U(0,10) \]
\[ P(2\leq X\leq5) = \frac3{10} = 0,3 \]
6. Media e varianza uniforme
\[ \boxed{ E(X)=\frac{a+b}{2} } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} } \]
7. Distribuzione esponenziale
La distribuzione esponenziale modella soprattutto tempi di attesa.
Scriviamo:
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
8. Densità esponenziale
\[ \boxed{ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} } \]
per:
\[ x\geq0 \]
9. Funzione di ripartizione
\[ \boxed{ F(x)=1-e^{-\lambda x} } \]
10. Probabilità di superare \(x\)
\[ \boxed{ P(X>x)=e^{-\lambda x} } \]
11. Esempio
\[ X\sim Exp(0,2) \]
\[ P(X>5) = e^{-1} \approx0,3679 \]
12. Probabilità su un intervallo
\[ \boxed{ P(a<X<b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} } \]
13. Media e varianza esponenziale
\[ \boxed{ E(X)=\frac1\lambda } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac1{\lambda^2} } \]
\[ \boxed{ \sigma=\frac1\lambda } \]
14. Collegamento con Poisson
Poisson:
quanti eventi?
Esponenziale:
quanto tempo tra gli eventi?
Quindi:
\[ \boxed{ Poisson\leftrightarrow conteggio } \]
\[ \boxed{ Esponenziale\leftrightarrow attesa } \]
15. Assenza di memoria
\[ \boxed{ P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t) } \]
16. Distribuzione normale
La distribuzione normale, o gaussiana, si indica:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
17. Densità della normale
\[ \boxed{ f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} } \]
18. Proprietà della normale
La curva:
- è simmetrica;
- ha forma a campana;
- è centrata in \(\mu\);
- ha area totale 1.
19. Media, mediana e moda
Per la normale:
\[ \boxed{ \text{media}= \text{mediana}= \text{moda} = \mu } \]
20. Ruolo di \(\mu\)
\(\mu\) determina la posizione della curva.
Cambiando \(\mu\), la curva si sposta.
21. Ruolo di \(\sigma\)
\(\sigma\) determina la dispersione.
Piccolo \(\sigma\):
\[ \text{curva stretta} \]
Grande \(\sigma\):
\[ \text{curva larga} \]
22. Simmetria
\[ P(X<\mu)=\frac12 \]
\[ P(X>\mu)=\frac12 \]
23. Regola 68–95–99,7
Per una normale:
\[ P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx68\% \]
\[ P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma) \approx95\% \]
\[ P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma) \approx99,7\% \]
24. Standardizzazione
Definiamo:
\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]
Se:
\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]
allora:
\[ \boxed{ Z\sim N(0,1) } \]
25. Significato dello z-score
\[ z= \frac{x-\mu}{\sigma} \]
indica quante deviazioni standard un valore si trova sopra o sotto la media.
26. Esempio
\[ \mu=100 \]
\[ \sigma=15 \]
\[ x=130 \]
\[ z= \frac{130-100}{15} = 2 \]
Il valore è due deviazioni standard sopra la media.
27. Altro esempio
\[ x=85 \]
\[ z= \frac{85-100}{15} = -1 \]
Una deviazione standard sotto la media.
28. Funzione \(\Phi\)
Per la normale standard:
\[ \boxed{ \Phi(z)=P(Z\leq z) } \]
29. Simmetria della normale standard
\[ \boxed{ \Phi(-z)=1-\Phi(z) } \]
30. Probabilità a destra
\[ \boxed{ P(Z>z)=1-\Phi(z) } \]
31. Probabilità tra due valori
\[ \boxed{ P(a<Z<b) = \Phi(b)-\Phi(a) } \]
32. Esempio completo
\[ X\sim N(100,15^2) \]
Calcolare:
\[ P(X<115) \]
Standardizziamo:
\[ z=1 \]
Quindi:
\[ P(X<115) = \Phi(1) \approx0,8413 \]
33. Probabilità superiore
\[ P(X>130) \]
\[ z=2 \]
\[ P(Z>2) = 1-\Phi(2) \]
\[ \approx0,0228 \]
34. Probabilità centrale
\[ P(85<X<115) \]
corrisponde a:
\[ P(-1<Z<1) \]
\[ \approx0,6827 \]
35. Ricerca inversa
Se:
\[ \Phi(z)=0,95 \]
allora:
\[ z\approx1,645 \]
36. Valori critici importanti
90% centrale:
\[ z\approx1,645 \]
95% centrale:
\[ z\approx1,96 \]
99% centrale:
\[ z\approx2,576 \]
37. Perché 1,96 e non 2
Il 95% centrale esatto è circa:
\[ P(-1,96<Z<1,96)=0,95 \]
Il valore 2 è una comoda approssimazione.
38. Percentili
Il percentile \(p\) soddisfa:
\[ P(X\leq x_p)=p \]
Per una normale:
\[ \boxed{ x_p= \mu+z_p\sigma } \]
39. Esempio
\[ X\sim N(100,15^2) \]
95° percentile:
\[ z_{0,95}\approx1,645 \]
\[ x_{0,95} = 100+1,645\cdot15 \]
\[ \approx124,7 \]
40. 95% centrale e 95° percentile
Non sono la stessa cosa.
95% centrale:
\[ -1,96<Z<1,96 \]
95° percentile:
\[ Z\leq1,645 \]
41. Quando la normale è plausibile
La normale compare spesso per:
- errori di misura;
- caratteristiche biologiche;
- misure fisiche;
- somme di molti piccoli effetti;
- medie campionarie.
Ma non tutti i fenomeni sono normali.
42. Confronto tra distribuzioni continue
Uniforme
Valori equiplausibili in un intervallo.
Esponenziale
Tempi di attesa.
Normale
Fenomeni simmetrici a campana.
43. Esercizi
Esercizio 1
\[ X\sim U(10,20) \]
\[ P(12<X<16) = \frac4{10} = 0,4 \]
Esercizio 2
\[ E(X)=15 \]
Esercizio 3
\[ X\sim Exp(0,5) \]
\[ P(X>4) = e^{-2} \approx0,1353 \]
Esercizio 4
Tempo medio:
\[ E(X)=\frac1{0,5}=2 \]
Esercizio 5
\[ X\sim N(50,10^2) \]
per:
\[ x=70 \]
abbiamo:
\[ z=2 \]
44. Sintesi del Capitolo 12
Uniforme:
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
\[ E(X)=\frac{a+b}{2} \]
\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \]
Esponenziale:
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
\[ P(X>x)=e^{-\lambda x} \]
\[ E(X)=\frac1\lambda \]
Normale:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
e standardizzazione:
\[ \boxed{ Z= \frac{X-\mu}{\sigma} } \]
Metti alla prova i modelli: apri il laboratorio delle distribuzioni.
Capitolo 13 – Legge dei Grandi Numeri e Teorema Centrale del Limite
1. Due risultati diversi ma collegati
Quando ripetiamo molte volte un esperimento casuale accadono due cose fondamentali:
- la media osservata tende a stabilizzarsi;
- la distribuzione della media tende spesso ad assumere forma normale.
Questi fenomeni sono descritti da:
\[ \boxed{\text{Legge dei Grandi Numeri}} \]
e:
\[ \boxed{\text{Teorema Centrale del Limite}} \]
La Legge dei Grandi Numeri riguarda verso quale valore tende la media.
Il Teorema Centrale del Limite riguarda come si distribuisce la media.
2. Media campionaria
Consideriamo:
\[ X_1,X_2,\ldots,X_n \]
indipendenti e con la stessa distribuzione.
La media campionaria è:
\[ \boxed{ \bar X= \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} } \]
3. Valore atteso della media
Se:
\[ E(X_i)=\mu \]
allora:
\[ E(\bar X) = \frac1n \sum_{i=1}^nE(X_i) \]
\[ = \frac{n\mu}{n} \]
quindi:
\[ \boxed{ E(\bar X)=\mu } \]
4. Varianza della media
Se:
\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2 \]
e le osservazioni sono indipendenti:
\[ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} \]
quindi:
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n} } \]
5. Errore standard
La deviazione standard della media campionaria è:
\[ \boxed{ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
Questa quantità si chiama errore standard della media.
6. Conseguenza
Aumentando \(n\):
\[ \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
diminuisce.
Le medie campionarie diventano quindi sempre più concentrate attorno a:
\[ \mu \]
7. Esempio
Supponiamo:
\[ \mu=100 \]
\[ \sigma=20 \]
Con:
\[ n=25 \]
abbiamo:
\[ SE=\frac{20}{5}=4 \]
Con:
\[ n=100 \]
abbiamo:
\[ SE=\frac{20}{10}=2 \]
8. Legge dei Grandi Numeri
La Legge dei Grandi Numeri afferma, intuitivamente, che:
\[ \boxed{ \bar X_n\longrightarrow\mu } \]
quando:
\[ n\to\infty \]
La media osservata tende ad avvicinarsi al valore atteso.
9. Esempio con un dado
Per un dado regolare:
\[ E(X)=3,5 \]
Dopo pochi lanci la media può essere molto diversa.
Dopo moltissimi lanci tenderà invece a stabilizzarsi vicino a:
\[ 3,5 \]
10. Frequenza relativa
Consideriamo un evento \(A\) e definiamo:
\[ X_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ si verifica}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Allora:
\[ E(X_i)=P(A) \]
La media:
\[ \bar X = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \]
coincide con la frequenza relativa.
Quindi:
\[ \boxed{ f_n(A)\to P(A) } \]
11. Cosa NON dice la Legge dei Grandi Numeri
Non dice che:
dopo molte croci deve uscire testa.
Se i lanci sono indipendenti:
\[ P(T)=\frac12 \]
a ogni lancio.
La moneta non “recupera” i risultati precedenti.
12. Versione probabilistica
Una formulazione importante è:
\[ \boxed{ P(|\bar X_n-\mu|>\varepsilon) \to0 } \]
per:
\[ n\to\infty \]
13. Teorema Centrale del Limite
Se:
\[ X_1,\ldots,X_n \]
sono indipendenti e identicamente distribuite con:
\[ E(X_i)=\mu \]
e:
\[ \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty \]
allora per \(n\) grande:
\[ \boxed{ \bar X \approx N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]
14. Forma standardizzata
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \approx N(0,1) } \]
Questa formula sarà fondamentale per l'inferenza statistica.
15. Il risultato sorprendente
La popolazione iniziale può essere:
- uniforme;
- esponenziale;
- discreta;
- asimmetrica.
La distribuzione della media campionaria tende comunque alla normale, sotto opportune condizioni.
16. Attenzione
Il TCL non dice che i dati originali diventano normali.
Dice che tende alla normale la distribuzione di:
\[ \boxed{\bar X} \]
17. Distribuzione campionaria della media
La distribuzione dei possibili valori di:
\[ \bar X \]
ha:
\[ E(\bar X)=\mu \]
e:
\[ \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n} \]
18. Aumentando \(n\)
Succedono due cose:
- la distribuzione della media tende alla normale;
- la dispersione diminuisce.
19. Caso speciale: popolazione normale
Se:
\[ X\sim N(\mu,\sigma^2) \]
allora:
\[ \boxed{ \bar X \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) } \]
per qualsiasi \(n\).
20. Esempio
Supponiamo:
\[ X\sim N(175,10^2) \]
e:
\[ n=25 \]
Allora:
\[ \bar X \sim N\left( 175, \frac{100}{25} \right) \]
quindi:
\[ \bar X\sim N(175,4) \]
e:
\[ SE=2 \]
21. Probabilità sulla media
Calcoliamo:
\[ P(\bar X>178) \]
Standardizziamo:
\[ Z= \frac{178-175}{2} = 1,5 \]
Quindi:
\[ P(\bar X>178) = P(Z>1,5) \approx0,0668 \]
22. Singola osservazione e media
Per una singola osservazione:
\[ \sigma_X=\sigma \]
Per una media:
\[ \boxed{ \sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
La media è quindi molto meno variabile.
23. Per dimezzare l'errore standard
Poiché:
\[ SE\propto\frac1{\sqrt n} \]
per dimezzarlo bisogna quadruplicare \(n\).
24. TCL per la somma
Se:
\[ S_n=X_1+\cdots+X_n \]
allora:
\[ E(S_n)=n\mu \]
\[ \operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^2 \]
e:
\[ \boxed{ S_n \approx N(n\mu,n\sigma^2) } \]
25. Standardizzazione della somma
\[ \boxed{ Z= \frac{ S_n-n\mu }{ \sigma\sqrt n } \approx N(0,1) } \]
26. Collegamento con la binomiale
Se:
\[ X\sim Bin(n,p) \]
allora:
\[ E(X)=np \]
\[ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) \]
Per \(n\) grande:
\[ \boxed{ X \approx N(np,np(1-p)) } \]
27. Correzione di continuità
Poiché la binomiale è discreta e la normale continua:
\[ P(X\leq10) \]
si approssima con:
\[ P(Y<10,5) \]
e:
\[ P(X=10) \]
con:
\[ P(9,5<Y<10,5) \]
28. Confronto LGN e TCL
Legge dei Grandi Numeri:
\[ \boxed{ \bar X\to\mu } \]
Teorema Centrale del Limite:
\[ \boxed{ \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \approx N(0,1) } \]
29. Idea conclusiva
Possiamo ricordare:
\[ \boxed{ \text{LGN: la media va verso }\mu } \]
\[ \boxed{ \text{TCL: la media si distribuisce come una normale} } \]
Questi risultati sono la base della statistica inferenziale.
Capitolo 14 – Campionamento, stima puntuale e intervalli di confidenza
1. Dalla probabilità alla statistica
Nella probabilità partiamo da un modello noto.
Nella statistica partiamo dai dati e vogliamo conoscere la popolazione.
Schema:
\[ \boxed{ \text{Popolazione} \rightarrow \text{Campione} \rightarrow \text{Inferenza} } \]
2. Popolazione e campione
La popolazione è l'insieme completo degli elementi studiati.
Il campione è un sottoinsieme osservato.
3. Parametri e statistiche
Parametri della popolazione:
\[ \mu,\quad\sigma^2,\quad p \]
Statistiche campionarie:
\[ \bar X,\quad S^2,\quad\hat p \]
4. Stima puntuale
Se \(\mu\) è sconosciuta, possiamo stimarla con:
\[ \boxed{ \hat\mu=\bar X } \]
Per esempio, se:
\[ \bar x=175,4 \]
stimiamo:
\[ \mu\approx175,4 \]
5. Perché non basta
Una stima calcolata su 5 osservazioni è meno precisa della stessa stima calcolata su 500 osservazioni.
Serve quindi quantificare l'incertezza.
6. Distribuzione della media
Sappiamo che:
\[ E(\bar X)=\mu \]
e:
\[ SE(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
7. Intervallo di confidenza con \(\sigma\) nota
Se:
\[ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } \]
e:
\[ P(-1,96<Z<1,96)\approx0,95 \]
allora:
\[ \boxed{ \mu \in \bar X \pm 1,96\frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
al livello di confidenza del 95%.
8. Forma generale
\[ \boxed{ \bar X \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
dove:
\[ 1-\alpha \]
è il livello di confidenza.
9. Valori critici
90%:
\[ z\approx1,645 \]
95%:
\[ z\approx1,96 \]
99%:
\[ z\approx2,576 \]
10. Esempio completo
Supponiamo:
\[ \sigma^2=10,66 \]
\[ n=58 \]
\[ \bar x=175,4 \]
Allora:
\[ \sigma=\sqrt{10,66}\approx3,265 \]
e:
\[ SE= \frac{3,265}{\sqrt{58}} \approx0,429 \]
11. Intervallo al 90%
\[ E= 1,645\cdot0,429 \approx0,706 \]
Quindi:
\[ 175,4\pm0,706 \]
ossia circa:
\[ \boxed{ [174,69,\ 176,11] } \]
12. Intervallo al 95%
\[ E= 1,96\cdot0,429 \approx0,841 \]
Quindi:
\[ \boxed{ [174,56,\ 176,24] } \]
13. Intervallo al 99%
\[ E= 2,576\cdot0,429 \approx1,105 \]
Quindi:
\[ \boxed{ [174,30,\ 176,51] } \]
14. Livello di confidenza e ampiezza
Aumentando il livello di confidenza, l'intervallo diventa più largo.
Più vogliamo essere prudenti, più dobbiamo accettare un intervallo ampio.
15. Margine di errore
\[ \boxed{ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
L'intervallo è:
\[ \boxed{ \bar X\pm E } \]
16. Da cosa dipende
Il margine dipende da:
\[ z_{\alpha/2} \]
\[ \sigma \]
\[ n \]
17. Effetto di \(n\)
Se \(n\) aumenta, l'intervallo si restringe.
Per dimezzare il margine bisogna quadruplicare il campione.
18. Interpretazione del 95%
Formalmente, il parametro:
\[ \mu \]
è fisso.
Sono gli intervalli a cambiare da campione a campione.
Se ripetessimo il campionamento molte volte, circa il 95% degli intervalli costruiti conterrà \(\mu\).
19. Quando \(\sigma\) è sconosciuta
Nella pratica \(\sigma\) spesso non è nota.
La stimiamo con:
\[ s \]
e utilizziamo la distribuzione:
\[ \boxed{\text{t di Student}} \]
20. Intervallo con t
\[ \boxed{ \bar X \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]
I gradi di libertà sono:
\[ \boxed{ n-1 } \]
21. Esempio
Supponiamo:
\[ n=25 \]
\[ \bar x=50 \]
\[ s=10 \]
Per il 95%, con 24 gradi di libertà:
\[ t\approx2,064 \]
Errore standard:
\[ \frac{10}{5}=2 \]
Margine:
\[ 2,064\cdot2=4,128 \]
Intervallo:
\[ \boxed{ [45,872,\ 54,128] } \]
22. Varianza campionaria
\[ \boxed{ S^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 }{ n-1 } } \]
Il denominatore \(n-1\) rende \(S^2\) uno stimatore non distorto di \(\sigma^2\).
23. Intervallo per una proporzione
Se:
\[ \hat p=\frac Xn \]
allora, per campioni grandi:
\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]
24. Esempio
Su 400 persone:
\[ 240 \]
rispondono sì.
\[ \hat p=\frac{240}{400}=0,6 \]
Errore standard:
\[ SE= \sqrt{ \frac{0,6\cdot0,4}{400} } \approx0,0245 \]
Margine al 95%:
\[ 1,96\cdot0,0245 \approx0,048 \]
Intervallo:
\[ \boxed{ [0,552,\ 0,648] } \]
25. Campionamento corretto
Un campione grande ma distorto può produrre una stima molto precisa del valore sbagliato.
La qualità del campionamento è fondamentale.
26. Errore campionario e sistematico
Errore campionario:
- dovuto al caso;
- diminuisce aumentando \(n\).
Errore sistematico:
- campione non rappresentativo;
- errori di misura;
- selezione distorta.
Aumentare \(n\) non lo elimina.
27. Dimensione campionaria per la media
Da:
\[ E= z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \]
ricaviamo:
\[ \boxed{ n= \left( \frac{ z_{\alpha/2}\sigma }{ E } \right)^2 } \]
28. Esempio
Vogliamo:
\[ \sigma=12 \]
confidenza 95%,
\[ E=2 \]
Quindi:
\[ n= \left( \frac{1,96\cdot12}{2} \right)^2 \approx138,3 \]
Servono almeno:
\[ \boxed{139} \]
osservazioni.
29. Dimensione campionaria per una proporzione
\[ \boxed{ n= \frac{ z_{\alpha/2}^2p(1-p) }{ E^2 } } \]
Se \(p\) è sconosciuta usiamo spesso:
\[ p=0,5 \]
perché massimizza:
\[ p(1-p) \]
30. Sintesi del Capitolo 14
Media con \(\sigma\) nota:
\[ \boxed{ \bar x \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} } \]
Media con \(\sigma\) sconosciuta:
\[ \boxed{ \bar x \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt n} } \]
Proporzione:
\[ \boxed{ \hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{n} } } \]
Dal campione all’intervallo: segui il laboratorio guidato.
Capitolo 15 – Test di ipotesi e p-value
1. Dalla stima alla verifica
Supponiamo che qualcuno affermi:
la media della popolazione è 100.
Vogliamo capire se i dati osservati sono compatibili con questa affermazione.
Nascono così i test di ipotesi.
2. Ipotesi nulla e alternativa
Definiamo:
\[ \boxed{H_0} \]
ipotesi nulla,
e:
\[ \boxed{H_1} \]
ipotesi alternativa.
Esempio:
\[ H_0:\mu=100 \]
\[ H_1:\mu\neq100 \]
3. Principio del test
Il ragionamento è:
- assumiamo vera \(H_0\);
- vediamo quanto sono plausibili i dati;
- se sono troppo estremi, rifiutiamo \(H_0\).
4. Statistica test
Per una media con \(\sigma\) nota:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]
5. Interpretazione
\(Z\) misura quante unità di errore standard separano:
\[ \bar X \]
da:
\[ \mu_0 \]
6. Esempio
\[ \mu_0=100 \]
\[ \bar x=104 \]
\[ \sigma=12 \]
\[ n=36 \]
Errore standard:
\[ SE=2 \]
Quindi:
\[ Z= \frac{104-100}{2} = 2 \]
7. Test bilaterale
Se:
\[ H_1:\mu\neq\mu_0 \]
il test è bilaterale.
Sono rilevanti entrambe le code.
8. Test unilaterale destro
Se:
\[ H_1:\mu>\mu_0 \]
cerchiamo valori grandi della statistica test.
9. Test unilaterale sinistro
Se:
\[ H_1:\mu<\mu_0 \]
cerchiamo valori molto negativi.
10. Livello di significatività
Scegliamo:
\[ \alpha \]
Valori comuni:
\[ 0,10,\quad0,05,\quad0,01 \]
11. Errore di I tipo
Consiste nel rifiutare \(H_0\) quando è vera.
La probabilità è:
\[ \boxed{\alpha} \]
12. Regione critica
In un test bilaterale al 5%:
\[ |Z|>1,96 \]
porta al rifiuto di \(H_0\).
13. Test unilaterale
Al 5%:
\[ Z>1,645 \]
per un test destro,
oppure:
\[ Z<-1,645 \]
per un test sinistro.
14. p-value
Il:
\[ \boxed{p\text{-value}} \]
è la probabilità, assumendo vera \(H_0\), di osservare un risultato almeno altrettanto estremo di quello ottenuto.
15. Regola decisionale
Se:
\[ p<\alpha \]
rifiutiamo \(H_0\).
Se:
\[ p\geq\alpha \]
non rifiutiamo \(H_0\).
16. Non rifiutare non significa accettare
Non rifiutare \(H_0\) significa soltanto:
i dati non forniscono evidenza sufficiente contro \(H_0\).
Non significa aver dimostrato che \(H_0\) sia vera.
17. Esempio completo
Abbiamo:
\[ Z=2 \]
In un test bilaterale al 5%:
\[ |2|>1,96 \]
quindi rifiutiamo \(H_0\).
Il p-value è:
\[ p= 2P(Z\geq2) \]
\[ \approx0,0456 \]
Poiché:
\[ 0,0456<0,05 \]
rifiutiamo \(H_0\).
18. Al livello dell'1%
\[ 0,0456>0,01 \]
quindi non rifiutiamo \(H_0\).
19. Significatività statistica
Se:
\[ p<\alpha \]
diciamo che il risultato è statisticamente significativo.
Ma:
\[ \boxed{ \text{significativo} \neq \text{importante} } \]
20. Errore di II tipo
Consiste nel non rifiutare \(H_0\) quando è falsa.
La sua probabilità si indica con:
\[ \boxed{\beta} \]
21. Potenza del test
\[ \boxed{ 1-\beta } \]
è la probabilità di rifiutare correttamente \(H_0\) quando è falsa.
22. Come aumenta la potenza
Generalmente aumenta quando:
- aumenta \(n\);
- aumenta l'effetto reale;
- diminuisce la variabilità;
- aumenta \(\alpha\).
23. t-test
Se \(\sigma\) è sconosciuta:
\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]
con:
\[ n-1 \]
gradi di libertà.
24. Test su una proporzione
Per:
\[ H_0:p=p_0 \]
usiamo:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]
25. Esempio proporzione
Un'azienda dichiara:
\[ p=0,60 \]
Su:
\[ 400 \]
clienti, soddisfatti:
\[ 260 \]
quindi:
\[ \hat p=0,65 \]
La statistica è circa:
\[ Z\approx2,04 \]
Poiché:
\[ 2,04>1,96 \]
rifiutiamo \(H_0\) al 5%.
26. Legame con intervallo di confidenza
Per un test bilaterale al livello:
\[ \alpha \]
rifiutiamo:
\[ H_0:\mu=\mu_0 \]
se:
\[ \mu_0 \]
non appartiene all'intervallo di confidenza:
\[ 1-\alpha \]
27. Esempio
Se l'intervallo al 95% è:
\[ [101,2,\ 106,8] \]
il valore:
\[ 100 \]
non appartiene all'intervallo.
Quindi il test al 5% rifiuta:
\[ H_0:\mu=100 \]
28. p-value: errore comune
Se:
\[ p=0,04 \]
non significa:
\(H_0\) ha probabilità 4% di essere vera.
Il p-value è calcolato assumendo \(H_0\) vera.
29. Esempio pratico
Un produttore dichiara:
\[ \mu=500\text{ g} \]
Vogliamo verificare:
\[ H_1:\mu<500 \]
Supponiamo:
\[ n=64 \]
\[ \bar x=497 \]
\[ \sigma=12 \]
Allora:
\[ Z= \frac{497-500}{12/8} = -2 \]
Poiché:
\[ -2<-1,645 \]
rifiutiamo \(H_0\) al 5%.
30. Test multipli
Se eseguiamo molti test, aumenta il rischio di falsi positivi.
Una correzione semplice è Bonferroni:
\[ \boxed{ \alpha^\ast= \frac{\alpha}{m} } \]
dove \(m\) è il numero di test.
31. Dimensione dell'effetto
Un p-value piccolo non implica necessariamente un effetto grande.
È utile considerare anche:
- differenza osservata;
- intervallo di confidenza;
- misura dell'effetto.
32. Procedura generale
- definire il parametro;
- scrivere \(H_0\) e \(H_1\);
- scegliere \(\alpha\);
- calcolare la statistica test;
- calcolare il p-value;
- prendere la decisione;
- interpretare nel contesto.
33. Sintesi del Capitolo 15
Z-test:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ \sigma/\sqrt n } } \]
t-test:
\[ \boxed{ T= \frac{ \bar X-\mu_0 }{ s/\sqrt n } } \]
Test proporzione:
\[ \boxed{ Z= \frac{ \hat p-p_0 }{ \sqrt{ p_0(1-p_0)/n } } } \]
Errore di I tipo:
\[ \alpha \]
Errore di II tipo:
\[ \beta \]
Potenza:
\[ 1-\beta \]
Capitolo 16 – Covarianza, correlazione e regressione lineare
1. Da una variabile a due variabili
Spesso vogliamo studiare due variabili contemporaneamente.
Esempi:
- altezza e peso;
- ore di studio e voto;
- temperatura e consumo;
- pubblicità e vendite.
La domanda è:
esiste una relazione tra \(X\) e \(Y\)?
2. Coppie di osservazioni
Osserviamo:
\[ (x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n) \]
Ogni osservazione è una coppia.
3. Diagramma di dispersione
Lo scatter plot rappresenta:
\[ X \]
sull'asse orizzontale e:
\[ Y \]
su quello verticale.
Può mostrare:
- relazione positiva;
- negativa;
- assenza di relazione lineare;
- relazione curva;
- outlier.
4. Covarianza
La covarianza è:
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]
5. Formula alternativa
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) } \]
6. Interpretazione
Se:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)>0 \]
le variabili tendono a muoversi nella stessa direzione.
Se:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)<0 \]
tendono a muoversi in direzioni opposte.
7. Covarianza campionaria
\[ \boxed{ s_{XY} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ n-1 } } \]
8. Limite della covarianza
Dipende dalle unità di misura.
Per questo è difficile confrontarne direttamente la grandezza.
9. Correlazione
Standardizziamo la covarianza:
\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]
Nel campione:
\[ \boxed{ r= \frac{ s_{XY} }{ s_Xs_Y } } \]
10. Intervallo
\[ \boxed{ -1\leq r\leq1 } \]
11. Interpretazione
\[ r\approx1 \]
forte relazione lineare positiva.
\[ r\approx-1 \]
forte relazione lineare negativa.
\[ r\approx0 \]
relazione lineare debole o assente.
12. Correlazione zero non significa indipendenza
Può esistere una relazione non lineare anche quando:
\[ r=0 \]
Per esempio:
\[ Y=X^2 \]
con \(X\) simmetrica attorno a zero.
13. Correlazione non implica causalità
\[ \boxed{ \text{correlazione}\neq\text{causalità} } \]
Due variabili possono essere correlate per effetto di una terza variabile.
14. Regressione lineare
Il modello più semplice è:
\[ \boxed{ Y=a+bX+\varepsilon } \]
dove:
- \(a\) = intercetta;
- \(b\) = coefficiente angolare;
- \(\varepsilon\) = errore.
15. Retta stimata
\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]
16. Significato di \(b\)
Il coefficiente:
\[ b \]
indica di quanto varia in media \(Y\) quando \(X\) aumenta di una unità.
17. Residuo
\[ \boxed{ e_i=y_i-\hat y_i } \]
È la differenza tra valore osservato e valore previsto.
18. Minimi quadrati
La retta viene scelta minimizzando:
\[ \boxed{ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat y_i)^2 } \]
19. Pendenza
\[ \boxed{ b= \frac{ \sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{ \sum(x_i-\bar x)^2 } } \]
equivalentemente:
\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} } \]
20. Intercetta
\[ \boxed{ a= \bar y-b\bar x } \]
La retta passa sempre per:
\[ (\bar x,\bar y) \]
21. Collegamento con correlazione
\[ \boxed{ b= r\frac{s_Y}{s_X} } \]
Il segno di \(b\) coincide con il segno di \(r\).
22. Esempio
Supponiamo:
\[ \bar x=4 \]
\[ \bar y=10 \]
\[ s_X=2 \]
\[ s_Y=6 \]
\[ r=0,5 \]
Allora:
\[ b= 0,5\cdot\frac62 = 1,5 \]
e:
\[ a= 10-1,5\cdot4 = 4 \]
Quindi:
\[ \boxed{ \hat Y=4+1,5X } \]
23. Predizione
Per:
\[ X=6 \]
abbiamo:
\[ \hat Y= 4+1,5\cdot6 = 13 \]
24. Interpolazione ed estrapolazione
Interpolazione:
previsione dentro l'intervallo osservato.
Estrapolazione:
previsione fuori dall'intervallo osservato.
L'estrapolazione è più rischiosa.
25. Coefficiente di determinazione
Nella regressione lineare semplice con intercetta:
\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]
26. Interpretazione
Se:
\[ R^2=0,64 \]
circa il 64% della variabilità di \(Y\) è descritta dal modello lineare.
27. Outlier
Un valore estremo può modificare fortemente:
- \(r\);
- pendenza;
- intercetta.
Va analizzato, non eliminato automaticamente.
28. Residui
Un buon modello lineare dovrebbe produrre residui:
- centrati attorno a zero;
- senza pattern;
- con dispersione abbastanza costante.
29. Omoschedasticità
Se la dispersione degli errori è costante:
\[ \boxed{\text{omoschedasticità}} \]
Se cambia con \(X\):
\[ \boxed{\text{eteroschedasticità}} \]
30. Test sulla pendenza
Possiamo verificare:
\[ H_0:b=0 \]
contro:
\[ H_1:b\neq0 \]
con una statistica del tipo:
\[ \boxed{ t= \frac{\hat b}{SE(\hat b)} } \]
31. Esempio ore di studio
Supponiamo:
\[ \hat Y=18+4X \]
La pendenza 4 significa:
ogni ora di studio in più è associata a un aumento medio di 4 punti.
Non significa necessariamente causalità.
32. Variabili confondenti
La relazione osservata può essere influenzata da:
- preparazione iniziale;
- motivazione;
- difficoltà;
- altri fattori.
33. Esercizi
Esercizio 1
Se:
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=12 \]
\[ \sigma_X=3 \]
\[ \sigma_Y=8 \]
allora:
\[ r= \frac{12}{24} = 0,5 \]
Esercizio 2
Se:
\[ r=-0,7 \]
abbiamo una relazione lineare negativa abbastanza marcata.
Esercizio 3
Se:
\[ r=0 \]
non possiamo concludere indipendenza.
Esercizio 4
Se:
\[ \hat Y=12+3X \]
per:
\[ X=4 \]
otteniamo:
\[ \hat Y=24 \]
Esercizio 5
Se:
\[ r=0,9 \]
allora:
\[ R^2=0,81 \]
cioè:
\[ 81\% \]
34. Sintesi del Capitolo 16
Covarianza:
\[ \boxed{ \operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] } \]
Correlazione:
\[ \boxed{ \rho= \frac{ \operatorname{Cov}(X,Y) }{ \sigma_X\sigma_Y } } \]
Retta:
\[ \boxed{ \hat Y=a+bX } \]
Pendenza:
\[ \boxed{ b= \frac{s_{XY}}{s_X^2} = r\frac{s_Y}{s_X} } \]
Intercetta:
\[ \boxed{ a=\bar y-b\bar x } \]
Coefficiente di determinazione:
\[ \boxed{ R^2=r^2 } \]
Idea fondamentale:
\[ \boxed{ \text{correlazione non implica causalità} } \]
Capitolo 17 – Distribuzione ipergeometrica e binomiale negativa
1. Due nuovi modelli discreti
Esistono due situazioni che non rientrano perfettamente nei modelli già studiati:
- estrazioni senza reinserimento;
- prove ripetute fino al raggiungimento del \(r\)-esimo successo.
Queste situazioni portano rispettivamente a:
\[ \boxed{\text{distribuzione ipergeometrica}} \]
e:
\[ \boxed{\text{distribuzione binomiale negativa}} \]
2. Perché la binomiale non basta
La binomiale richiede:
- probabilità di successo costante;
- prove indipendenti.
Se estraiamo senza reinserimento, la composizione della popolazione cambia.
Quindi anche la probabilità di successo cambia.
3. Distribuzione ipergeometrica
Supponiamo di avere:
\[ N \]
elementi totali, di cui:
\[ K \]
sono successi.
Estraiamo:
\[ n \]
elementi senza reinserimento.
Definiamo:
\[ X=\text{numero di successi estratti} \]
Allora:
\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]
4. Formula
\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk \binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]
5. Interpretazione
Il denominatore:
\[ \binom Nn \]
conta tutti i possibili campioni.
Il numeratore conta:
- \(k\) successi tra \(K\);
- \(n-k\) insuccessi tra \(N-K\).
6. Esempio
Urna con:
- 6 rosse;
- 4 blu.
Estraiamo 3 palline senza reinserimento.
Probabilità di esattamente 2 rosse:
\[ P(X=2) = \frac{ \binom62\binom41 }{ \binom{10}{3} } \]
\[ = \frac{15\cdot4}{120} = \frac12 \]
7. Valore atteso
\[ \boxed{ E(X)=n\frac KN } \]
8. Varianza
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = n\frac KN \left(1-\frac KN\right) \frac{N-n}{N-1} } \]
Il termine:
\[ \frac{N-n}{N-1} \]
è la correzione per popolazione finita.
9. Confronto con la binomiale
Con reinserimento o popolazione molto grande:
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
Senza reinserimento da popolazione finita:
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
10. Esempio con carte
Da 52 carte estraiamo 5 carte.
Probabilità di esattamente 2 assi:
\[ \boxed{ P(X=2) = \frac{ \binom42\binom{48}{3} }{ \binom{52}{5} } } \]
11. Almeno un successo
\[ P(X\geq1) = 1-P(X=0) \]
Quindi:
\[ \boxed{ P(X\geq1) = 1- \frac{ \binom{N-K}{n} }{ \binom Nn } } \]
12. Binomiale negativa
La geometrica risponde:
quante prove fino al primo successo?
La binomiale negativa risponde:
quante prove fino al \(r\)-esimo successo?
13. Definizione
Consideriamo prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo:
\[ p \]
Definiamo:
\[ X=\text{numero di prove necessarie per ottenere }r\text{ successi} \]
Allora:
\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]
14. Formula
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]
con:
\[ k=r,r+1,\ldots \]
15. Perché
Affinché il \(r\)-esimo successo arrivi alla prova \(k\):
- nelle prime \(k-1\) prove devono esserci \(r-1\) successi;
- la prova \(k\) deve essere un successo.
16. Esempio
Moneta equilibrata.
Qual è la probabilità che la terza testa arrivi al quinto lancio?
\[ P(X=5) = \binom42 \left(\frac12\right)^3 \left(\frac12\right)^2 \]
\[ = \frac3{16} \]
17. Media e varianza
\[ \boxed{ E(X)=\frac rp } \]
\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} } \]
18. La geometrica come caso particolare
Se:
\[ r=1 \]
otteniamo:
\[ \boxed{ Geom(p)=NB(1,p) } \]
19. Confronto finale
Binomiale:
\[ \boxed{\text{numero di prove fisso}} \]
\[ \boxed{\text{numero di successi casuale}} \]
Binomiale negativa:
\[ \boxed{\text{numero di successi fissato}} \]
\[ \boxed{\text{numero di prove casuale}} \]
20. Sintesi del Capitolo 17
Ipergeometrica:
\[ \boxed{ P(X=k) = \frac{ \binom Kk\binom{N-K}{n-k} }{ \binom Nn } } \]
Binomiale negativa:
\[ \boxed{ P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r} } \]
Capitolo 18 – Come riconoscere la distribuzione giusta
1. Il vero problema
Spesso la difficoltà non è la formula.
La vera domanda è:
\[ \boxed{ \text{quale distribuzione devo usare?} } \]
2. Prima distinzione
La variabile è:
\[ \boxed{\text{discreta}} \]
oppure:
\[ \boxed{\text{continua}} \]
3. Variabili discrete
Esempi:
- numero di clienti;
- numero di difetti;
- numero di successi;
- numero di tentativi.
Distribuzioni principali:
- Bernoulli;
- Binomiale;
- Geometrica;
- Binomiale negativa;
- Ipergeometrica;
- Poisson.
4. Variabili continue
Esempi:
- altezza;
- tempo;
- temperatura;
- peso.
Distribuzioni principali:
- Uniforme;
- Esponenziale;
- Normale.
5. Bernoulli
Una sola prova:
\[ \boxed{\text{successo/insuccesso}} \]
6. Binomiale
Numero fisso di prove.
Domanda:
quanti successi?
\[ \boxed{ X\sim Bin(n,p) } \]
7. Geometrica
Domanda:
quante prove fino al primo successo?
\[ \boxed{ X\sim Geom(p) } \]
8. Binomiale negativa
Domanda:
quante prove fino al \(r\)-esimo successo?
\[ \boxed{ X\sim NB(r,p) } \]
9. Ipergeometrica
Estrazione senza reinserimento da popolazione finita.
\[ \boxed{ X\sim Hyp(N,K,n) } \]
10. Poisson
Domanda:
quanti eventi in un intervallo?
\[ \boxed{ X\sim Poisson(\lambda) } \]
11. Uniforme
Tutti i valori di un intervallo sono equiplausibili.
\[ \boxed{ X\sim U(a,b) } \]
12. Esponenziale
Domanda:
quanto tempo fino al prossimo evento?
\[ \boxed{ X\sim Exp(\lambda) } \]
13. Normale
Fenomeno continuo, simmetrico e a campana:
\[ \boxed{ X\sim N(\mu,\sigma^2) } \]
14. Percorso decisionale discreto
Una sola prova?
\[ \boxed{\text{Bernoulli}} \]
Numero fisso di prove, conto i successi?
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
Primo successo?
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
\(r\)-esimo successo?
\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]
Senza reinserimento?
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
Eventi in un intervallo?
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
15. Percorso decisionale continuo
Valori equiplausibili?
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
Tempo di attesa?
\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]
Campana simmetrica?
\[ \boxed{\text{Normale}} \]
16. Esempio: moneta 10 volte
Probabilità di esattamente 7 teste.
Numero fisso di prove:
\[ n=10 \]
Quindi:
\[ \boxed{\text{Binomiale}} \]
17. Stessa moneta fino alla prima testa
\[ \boxed{\text{Geometrica}} \]
18. Stessa moneta fino alla terza testa
\[ \boxed{\text{Binomiale negativa}} \]
19. Urna senza reinserimento
\[ \boxed{\text{Ipergeometrica}} \]
20. Sei chiamate all'ora
Numero di chiamate:
\[ \boxed{\text{Poisson}} \]
Tempo fino alla prossima:
\[ \boxed{\text{Esponenziale}} \]
21. Autobus in un intervallo
Se ogni istante tra le 8:00 e le 8:20 è equiprobabile:
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
22. Altezza normalmente distribuita
\[ \boxed{\text{Normale}} \]
23. Modello esatto e approssimazione
Esempio:
\[ X\sim Bin(5000,0,001) \]
è il modello esatto.
Poiché:
\[ np=5 \]
possiamo usare:
\[ Poisson(5) \]
come approssimazione.
24. Approssimazioni importanti
Binomiale verso Poisson:
\[ n\text{ grande},\ p\text{ piccolo} \]
Binomiale verso normale:
\[ n\text{ grande} \]
Poisson verso normale:
\[ \lambda\text{ grande} \]
25. Regola fondamentale
Domandarsi sempre:
\[ \boxed{ \text{che cosa è fissato e che cosa è casuale?} } \]
26. Errori frequenti
Confondere:
- Poisson ed esponenziale;
- binomiale e geometrica;
- binomiale e ipergeometrica;
- distribuzione dei dati e distribuzione della media.
27. Modello e realtà
Una distribuzione è un modello.
Non diciamo:
la realtà è una Poisson.
Diciamo:
la Poisson è un modello utile per descrivere il fenomeno.
28. Sintesi del Capitolo 18
\[ \boxed{ \text{fenomeno} \rightarrow \text{variabile} \rightarrow \text{ipotesi} \rightarrow \text{distribuzione} \rightarrow \text{calcolo} } \]
Prima capire il fenomeno, poi scegliere la formula.
Capitolo 19 – Simulazione Monte Carlo e verifica sperimentale
1. Perché simulare
Molti problemi possono essere studiati simulando al computer l'esperimento casuale molte volte.
L'idea è:
\[ \boxed{ \text{probabilità} \approx \text{frequenza relativa in molte simulazioni} } \]
2. Frequenza relativa
Se un evento \(A\) si verifica:
\[ N_A \]
volte su:
\[ N \]
simulazioni:
\[ \boxed{ \hat p= \frac{N_A}{N} } \]
3. Esempio con moneta
10 lanci possono dare:
\[ 6 \]
teste.
Quindi:
\[ \hat p=0,6 \]
Con 10000 lanci potremmo ottenere:
\[ 0,502 \]
La frequenza tende verso:
\[ 0,5 \]
4. Collegamento con la Legge dei Grandi Numeri
Definiamo:
\[ I_i= \begin{cases} 1 & \text{se }A\text{ avviene}\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \]
Allora:
\[ \hat p= \frac1N\sum_{i=1}^NI_i \]
e:
\[ \hat p\to P(A) \]
5. Due dadi
Probabilità teorica di somma 7:
\[ \frac16 \]
Simulando 100000 lanci e ottenendo 16642 volte la somma 7:
\[ \hat p= 0,16642 \]
molto vicino a:
\[ 0,16667 \]
6. Che cos'è Monte Carlo
Il metodo Monte Carlo utilizza ripetute simulazioni casuali per stimare quantità matematiche.
Procedura:
- generare risultati casuali;
- calcolare la quantità di interesse;
- ripetere molte volte;
- fare una media o una frequenza.
7. Stima Monte Carlo
\[ \boxed{ \hat p_N= \frac1N \sum_{i=1}^{N}I_i } \]
8. Errore standard Monte Carlo
\[ \boxed{ SE(\hat p) = \sqrt{ \frac{p(1-p)}{N} } } \]
In pratica si usa:
\[ \hat p \]
al posto di \(p\).
9. Conseguenza
L'errore diminuisce come:
\[ \frac1{\sqrt N} \]
Per dimezzarlo bisogna quadruplicare il numero di simulazioni.
10. Intervallo Monte Carlo
Approssimativamente:
\[ \boxed{ \hat p \pm 1,96 \sqrt{ \frac{\hat p(1-\hat p)}{N} } } \]
11. Stima di \(\pi\)
Generiamo punti casuali nel quadrato:
\[ [-1,1]\times[-1,1] \]
Un punto appartiene al cerchio se:
\[ X^2+Y^2\leq1 \]
Poiché:
\[ P(\text{cerchio})=\frac{\pi}{4} \]
abbiamo:
\[ \boxed{ \pi \approx 4\frac{N_C}{N} } \]
12. Monte Carlo per integrali
Se:
\[ U\sim U(a,b) \]
allora:
\[ E[f(U)] = \frac1{b-a} \int_a^bf(x)\,dx \]
Quindi:
\[ \boxed{ \int_a^bf(x)\,dx \approx (b-a) \frac1N \sum_{i=1}^{N}f(U_i) } \]
13. Simulare la Legge dei Grandi Numeri
Possiamo:
- generare dati;
- calcolare la media progressiva;
- rappresentarla graficamente;
- confrontarla con \(\mu\).
14. Simulare il TCL
Procedura:
- scegliere una distribuzione non normale;
- estrarre un campione di dimensione \(n\);
- calcolare la media;
- ripetere migliaia di volte;
- costruire l'istogramma delle medie.
All'aumentare di \(n\), emerge la forma normale.
15. Standardizzazione delle medie
\[ \boxed{ Z= \frac{ \bar X-\mu }{ \sigma/\sqrt n } } \]
Gli \(Z\) simulati dovrebbero assomigliare a:
\[ N(0,1) \]
16. Simulazione di una binomiale
Per:
\[ X\sim Bin(20,0,3) \]
simuliamo 20 prove Bernoulli e contiamo i successi.
Ripetiamo molte volte.
L'istogramma empirico tenderà alla distribuzione teorica.
17. Simulazione Poisson
Per:
\[ X\sim Poisson(4) \]
simuliamo molti valori.
Dovremmo osservare:
\[ \bar X\approx4 \]
e:
\[ s^2\approx4 \]
18. Generatori pseudocasuali
I computer usano spesso numeri:
\[ \boxed{\text{pseudocasuali}} \]
Il seed permette di riprodurre la stessa sequenza.
19. Metodo dell'inversa
Se:
\[ U\sim U(0,1) \]
e \(F\) è invertibile:
\[ \boxed{ X=F^{-1}(U) } \]
ha distribuzione \(F\).
20. Esempio esponenziale
Per:
\[ F(x)=1-e^{-\lambda x} \]
si ottiene:
\[ \boxed{ X= -\frac{\ln U}{\lambda} } \]
21. Eventi rari
Se:
\[ P(A)=10^{-8} \]
anche milioni di simulazioni possono non osservare mai \(A\).
Monte Carlo diretto diventa inefficiente.
22. Bootstrap
Il bootstrap usa i dati osservati e genera nuovi campioni con reinserimento.
Procedura:
- campione originale;
- ricampionamento con reinserimento;
- calcolo della statistica;
- ripetizione;
- studio della distribuzione empirica.
23. Utilità del bootstrap
Permette di stimare:
- errore standard;
- bias;
- intervalli di confidenza;
anche per statistiche complicate.
24. Laboratorio online
Un simulatore potrebbe chiedere:
- distribuzione;
- parametri;
- numero di simulazioni;
- evento.
E mostrare:
- frequenza;
- probabilità teorica;
- errore;
- istogramma;
- media e varianza.
25. Laboratorio TCL
L'utente sceglie:
- distribuzione iniziale;
- dimensione campione \(n\);
- numero di simulazioni.
Il programma mostra l'istogramma delle medie.
26. Laboratorio intervalli di confidenza
Si possono simulare 100 intervalli al 95%.
Circa:
\[ 95 \]
dovrebbero contenere il vero valore.
Questo rende visibile il significato frequentista della confidenza.
27. Laboratorio test di ipotesi
Con \(H_0\) vera e:
\[ \alpha=0,05 \]
ripetendo molti test dovremmo rifiutare erroneamente \(H_0\) circa nel 5% dei casi.
28. Teoria e simulazione
La teoria:
\[ \boxed{\text{spiega perché}} \]
La simulazione:
\[ \boxed{\text{mostra cosa accade}} \]
Sono strumenti complementari.
29. Sintesi del Capitolo 19
Procedura Monte Carlo:
- definire l'esperimento;
- generare dati casuali;
- calcolare il risultato;
- ripetere molte volte;
- riassumere frequenze e medie.
Prova le simulazioni: apri il laboratorio interattivo.
Capitolo 20 – Dai dati alla distribuzione
1. Il problema inverso
Finora spesso abbiamo fatto:
\[ \boxed{ \text{distribuzione} \rightarrow \text{probabilità} } \]
Nella pratica possiamo avere:
\[ x_1,x_2,\ldots,x_n \]
e voler capire:
\[ \boxed{ \text{quale distribuzione potrebbe aver generato i dati?} } \]
2. Primo passo: discreto o continuo
Dati interi di conteggio:
\[ 0,1,2,\ldots \]
suggeriscono una variabile discreta.
Misure reali:
\[ 2,13,\ 5,78,\ 9,41 \]
suggeriscono una variabile continua.
3. Capire il fenomeno
Non basta guardare il grafico.
Bisogna capire anche come sono generati i dati.
Per esempio:
- conteggi → Poisson;
- tempi di attesa → esponenziale;
- successi → binomiale;
- misure simmetriche → normale.
4. Statistiche descrittive
Calcoliamo:
- numerosità;
- minimo;
- massimo;
- media;
- mediana;
- varianza;
- deviazione standard;
- quartili;
- percentili.
5. Media
\[ \boxed{ \bar x= \frac1n \sum_{i=1}^{n}x_i } \]
6. Varianza campionaria
\[ \boxed{ s^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 }{ n-1 } } \]
7. Quartili e IQR
\[ \boxed{ IQR=Q_3-Q_1 } \]
Misura la dispersione della parte centrale.
8. Istogramma
L'istogramma permette di osservare:
- simmetria;
- asimmetria;
- picchi;
- code;
- outlier.
9. Distribuzione simmetrica
Se l'istogramma è a campana e simmetrico, una normale può essere plausibile.
10. Asimmetria a destra
Molti valori piccoli e pochi valori grandi possono suggerire modelli come l'esponenziale.
11. Uniformità
Se l'istogramma è abbastanza piatto:
\[ \boxed{\text{Uniforme}} \]
può essere una candidata.
12. Multimodalità
Più picchi possono indicare una miscela di popolazioni diverse.
In questo caso una singola distribuzione semplice può non essere sufficiente.
13. Box plot
Mostra:
- quartili;
- mediana;
- dispersione;
- valori estremi.
14. Outlier
Una regola comune considera sospetti valori inferiori a:
\[ Q_1-1,5IQR \]
o superiori a:
\[ Q_3+1,5IQR \]
Ma non vanno eliminati automaticamente.
15. Poisson: media e varianza
Per una Poisson:
\[ E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda \]
Quindi se:
\[ \bar x\approx s^2 \]
una Poisson può essere plausibile.
16. Sovradispersione
Se:
\[ s^2\gg\bar x \]
potrebbe esserci sovradispersione.
Una binomiale negativa può essere più adatta.
17. Esponenziale
Per una esponenziale:
\[ E(X)=\sigma \]
Quindi dati positivi, asimmetrici a destra, con media e deviazione standard simili possono suggerire un modello esponenziale.
18. Normale
Per una normale ci aspettiamo:
- simmetria;
- media e mediana vicine;
- un solo picco;
- code su entrambi i lati.
19. Regola 68–95–99,7
Possiamo controllare quanti valori cadono entro:
\[ \bar x\pm s \]
\[ \bar x\pm2s \]
\[ \bar x\pm3s \]
e confrontare con:
\[ 68\%,95\%,99,7\% \]
20. Q-Q plot
Il Q-Q plot confronta:
- quantili osservati;
- quantili teorici.
Se i punti sono quasi allineati, il modello può essere plausibile.
21. Funzione empirica
\[ \boxed{ F_n(x) = \frac{ \#\{x_i\leq x\} }{ n } } \]
Può essere confrontata con una funzione teorica:
\[ F(x) \]
22. Test di adattamento
Possiamo usare test di bontà dell'adattamento.
Esempio:
\[ \boxed{\chi^2} \]
con statistica:
\[ \boxed{ \chi^2 = \sum_i \frac{ (O_i-E_i)^2 }{ E_i } } \]
23. Ipotesi
\[ H_0: \text{il modello è compatibile con i dati} \]
contro:
\[ H_1: \text{il modello non è adeguato} \]
24. Kolmogorov-Smirnov
Confronta:
\[ F_n(x) \]
e:
\[ F(x) \]
attraverso:
\[ \boxed{ D= \sup_x|F_n(x)-F(x)| } \]
25. Test di normalità
Tra i più usati:
- Shapiro-Wilk;
- Anderson-Darling;
- Kolmogorov-Smirnov in versioni appropriate.
26. Un test non basta
Con campioni piccoli può avere poca potenza.
Con campioni enormi può rilevare differenze minime.
Meglio combinare:
\[ \boxed{ \text{grafici} + \text{indicatori} + \text{test} + \text{conoscenza del fenomeno} } \]
27. Stima dei parametri
Poisson:
\[ \boxed{ \hat\lambda=\bar x } \]
Esponenziale:
\[ \boxed{ \hat\lambda=\frac1{\bar x} } \]
Normale:
\[ \boxed{ \hat\mu=\bar x } \]
\[ \boxed{ \hat\sigma\approx s } \]
Binomiale:
\[ \boxed{ \hat p=\frac{\bar x}{n} } \]
se \(n\) è noto.
28. Metodo dei momenti
L'idea è uguagliare momenti teorici e campionari.
Se:
\[ E(X)=g(\theta) \]
poniamo:
\[ \bar x=g(\hat\theta) \]
e ricaviamo:
\[ \hat\theta \]
29. Massima verosimiglianza
La massima verosimiglianza sceglie i parametri che rendono i dati osservati il più plausibili possibile.
\[ \boxed{ \hat\theta = \arg\max_\theta L(\theta) } \]
30. Esempio Bernoulli
Con:
\[ k \]
successi su:
\[ n \]
prove:
\[ \boxed{ \hat p=\frac kn } \]
31. Confrontare più modelli
Possiamo confrontare:
- istogramma;
- densità teoriche;
- Q-Q plot;
- test di adattamento;
- criteri statistici.
32. Parsimonia
Se due modelli descrivono i dati allo stesso modo, spesso preferiamo quello più semplice.
33. Esempio conteggi
Supponiamo:
\[ \bar x=3,1 \]
\[ s^2=3,3 \]
Una Poisson può essere plausibile.
Stimiamo:
\[ \hat\lambda=3,1 \]
34. Esempio tempi di attesa
Supponiamo:
\[ \bar x=5,2 \]
\[ s=5,0 \]
e forte asimmetria a destra.
Una esponenziale può essere plausibile.
\[ \hat\lambda = \frac1{5,2} \approx0,192 \]
35. Esempio normale
Supponiamo:
\[ \bar x=170,3 \]
\[ s=7,4 \]
con istogramma simmetrico.
Modello candidato:
\[ \boxed{ N(170,3,7,4^2) } \]
36. Simulatore automatico
Un programma potrebbe:
- leggere i dati;
- classificare discreto/continuo;
- calcolare statistiche;
- costruire grafici;
- proporre modelli;
- stimare parametri;
- confrontare i modelli;
- restituire un giudizio di compatibilità.
37. Output corretto
Meglio dire:
il modello normale appare compatibile con i dati
piuttosto che:
i dati seguono certamente una normale.
38. Se nessun modello funziona
È possibile rispondere:
\[ \boxed{ \text{nessuna delle distribuzioni considerate descrive adeguatamente i dati} } \]
Non bisogna forzare il modello.
39. Simulare dal modello stimato
Dopo aver stimato un modello possiamo generare nuovi dati e confrontarli con quelli reali.
Questo permette un controllo molto intuitivo dell'adeguatezza.
40. Schema finale
\[ \boxed{ \text{Dati} \rightarrow \text{Grafici} \rightarrow \text{Indicatori} \rightarrow \text{Modello} \rightarrow \text{Stima} \rightarrow \text{Controllo} } \]
41. Idea conclusiva
La probabilità parte dal modello:
\[ \boxed{ \text{modello} \rightarrow \text{dati} } \]
La statistica compie spesso il percorso opposto:
\[ \boxed{ \text{dati} \rightarrow \text{modello} } \]
Il ciclo completo diventa:
\[ \boxed{ \text{osservare} \rightarrow \text{ipotizzare} \rightarrow \text{verificare} \rightarrow \text{simulare} } \]
Questo è uno dei modi più completi per comprendere probabilità e statistica.