Un cuadrado mágico 4×4 con la suma elegida

¿Podemos elegir libremente una suma entera S y construir un cuadrado mágico 4×4? Sí, pero hay que distinguir la propiedad esencial —cada fila, columna y diagonal principal suma S— de otras propiedades, como tener dieciséis números positivos y distintos. El laboratorio interactivo compara dos construcciones y verifica las diez líneas antes de mostrar el resultado.

Primer método: S = 21a + b

El método paramétrico ya presentado escribe S = 21a + b y coloca las dieciséis casillas así:

a+b    a      12a    7a
11a    8a     b      2a
5a     10a    3a     3a+b
4a     2a+b   6a     9a

Las cuatro filas, cuatro columnas y dos diagonales suman 21a+b. Por lo general se puede elegir a=floor(S/21) y b=S−21a. Para 1≤S≤21, el laboratorio adapta la elección para evitar casillas nulas: a=1 si S está entre 1 y 17, a=2 si S está entre 18 y 21; b puede ser negativo. Con S=34, a=1 y b=13, y aparecen una sola vez todos los enteros del 1 al 16.

Segundo método: transformar un cuadrado normal

Partimos de este cuadrado que contiene una vez cada entero del 1 al 16:

 8  11  14   1
13   2   7  12
 3  16   9   6
10   5   4  15

Cada fila, columna y diagonal suma 34. Los números especiales 13, 14, 15 y 16 están colocados de modo que cada una de esas diez líneas contiene exactamente uno. Esta propiedad de posición explica la transformación.

Distribuir la diferencia

Calculamos D=S−34 y dividimos de forma euclídea por 4: D=4q+r, con 0≤r<4 aun cuando D sea negativo. Añadimos q a cada una de las doce casillas ordinarias y q+r a cada una de las cuatro especiales. Cada línea aumenta 3q+(q+r)=4q+r=D; su nueva suma es 34+D=S.

Tres ejemplos positivos y uno menor que 34

Para S=67, D=33=4×8+1: los incrementos son 8 y 9. El resultado es:

16  19  23   9
22  10  15  20
11  25  17  14
18  13  12  24

Para S=82, D=48=4×12+0: todas las casillas aumentan 12:

20  23  26  13
25  14  19  24
15  28  21  18
22  17  16  27

Para S=85, D=51=4×12+3: los incrementos son 12 y 15:

20  23  29  13
28  14  19  24
15  31  21  18
22  17  16  30

No hace falta imponer S≥34. Si S=7, entonces D=−27=4(−7)+1 y los incrementos son −7 y −6:

 1   4   8  −6
 7  −5   0   5
−4  10   2  −1
 3  −2  −3   9

Las diez líneas suman 7 y las dieciséis casillas siguen siendo distintas. No pueden ser todas positivas: su total sería 4×7=28, mientras que la menor suma de dieciséis enteros positivos distintos es 1+2+⋯+16=136.

Otras configuraciones que siguen siendo mágicas

En el cuadrado inicial también suman 34 el bloque 2×2 superior izquierdo, el bloque 2×2 central, el bloque 2×2 inferior derecho y las cuatro esquinas. Cada configuración contiene exactamente un número especial, así que después de la transformación suma S. El laboratorio verifica estas propiedades y solo las muestra si son válidas.

Un cuadrado cuya suma recuerde una fecha de cumpleaños puede ser un regalo matemático, pero es solo una posible aplicación. Prueba ambos métodos en el laboratorio →

Fuente de inspiración del segundo método: Arthur Benjamin y Michael Shermer, Secrets of Mental Math: The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks, sección « Magic Squares », pp. 206–209 de la edición indicada. Este texto y las verificaciones son originales.