Un carré magique 4×4 avec la somme choisie

Peut-on choisir librement une somme entière S et construire un carré magique 4×4 ? Oui, mais il faut distinguer la propriété essentielle — chaque ligne, colonne et grande diagonale somme S — des propriétés supplémentaires, comme obtenir seize valeurs positives et distinctes. Le laboratoire interactif compare deux constructions et vérifie les dix lignes avant d’afficher le résultat.

Première méthode : S = 21a + b

La méthode paramétrique déjà présentée écrit S = 21a + b et remplit les seize cases ainsi :

a+b    a      12a    7a
11a    8a     b      2a
5a     10a    3a     3a+b
4a     2a+b   6a     9a

Les quatre lignes, quatre colonnes et deux diagonales somment toutes 21a+b. En général, on peut prendre a=floor(S/21) et b=S−21a. Pour 1≤S≤21, le laboratoire adapte ce choix afin d’éviter les cases nulles : a=1 si S va de 1 à 17, a=2 si S va de 18 à 21 ; b peut alors être négatif. Pour S=34, a=1 et b=13, et les entiers de 1 à 16 apparaissent exactement une fois.

Seconde méthode : transformer un carré normal

Partons de ce carré contenant une fois chaque entier de 1 à 16 :

 8  11  14   1
13   2   7  12
 3  16   9   6
10   5   4  15

Chaque ligne, colonne et diagonale somme 34. Les nombres spéciaux 13, 14, 15 et 16 sont placés de sorte que chacune de ces dix lignes en contienne exactement un. Cette propriété de position explique la transformation.

Répartir la différence

Calculons D=S−34 et effectuons la division euclidienne par 4 : D=4q+r, avec 0≤r<4 même si D est négatif. Ajoutons q à chacune des douze cases ordinaires et q+r aux quatre cases spéciales. Chaque ligne gagne alors 3q+(q+r)=4q+r=D et sa nouvelle somme vaut 34+D=S.

Trois exemples positifs et un inférieur à 34

Pour S=67, D=33=4×8+1 : les augmentations sont 8 et 9. On obtient :

16  19  23   9
22  10  15  20
11  25  17  14
18  13  12  24

Pour S=82, D=48=4×12+0 : toutes les cases augmentent de 12 :

20  23  26  13
25  14  19  24
15  28  21  18
22  17  16  27

Pour S=85, D=51=4×12+3 : les augmentations sont 12 et 15 :

20  23  29  13
28  14  19  24
15  31  21  18
22  17  16  30

Il n’est pas nécessaire d’imposer S≥34. Pour S=7, D=−27=4(−7)+1 et les augmentations sont −7 et −6 :

 1   4   8  −6
 7  −5   0   5
−4  10   2  −1
 3  −2  −3   9

Les dix lignes somment 7 et les seize cases restent distinctes. Elles ne peuvent pas être toutes positives : leur total vaudrait 4×7=28, alors que la plus petite somme de seize entiers positifs distincts est 1+2+⋯+16=136.

Autres configurations préservées

Dans le carré initial, le bloc 2×2 supérieur gauche, le bloc 2×2 central, le bloc 2×2 inférieur droit et les quatre coins somment aussi 34. Chacun contient exactement un nombre spécial ; après la transformation, chacun somme donc S. Le laboratoire vérifie ces propriétés et ne les affiche que si elles sont valides.

Un carré dont la somme évoque une date d’anniversaire peut être offert comme cadeau mathématique, mais ce n’est qu’une utilisation possible. Essayez les deux méthodes dans le laboratoire →

Source d’inspiration pour la seconde méthode : Arthur Benjamin et Michael Shermer, Secrets of Mental Math: The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks, section « Magic Squares », p. 206–209 de l’édition indiquée. Le présent texte et les vérifications sont originaux.