Quadrato magico 4×4 con somma scelta

Possiamo scegliere liberamente una somma intera S e costruire un quadrato magico 4×4? Sì, ma occorre distinguere la proprietà essenziale — ogni riga, colonna e diagonale somma S — dalle proprietà aggiuntive, come avere sedici numeri positivi e distinti. Il laboratorio interattivo permette di confrontare due costruzioni e verifica tutte le dieci linee prima di mostrare il risultato.

Primo metodo: S = 21a + b

Il metodo parametrico già presentato scrive S = 21a + b e dispone le sedici caselle così:

a+b    a      12a    7a
11a    8a     b      2a
5a     10a    3a     3a+b
4a     2a+b   6a     9a

Le somme delle quattro righe, delle quattro colonne e delle due diagonali sono tutte 21a+b. In genere si può scegliere a=floor(S/21) e b=S−21a. Per 1≤S≤21 il laboratorio adatta la scelta per evitare caselle nulle: a=1 per S da 1 a 17, a=2 per S da 18 a 21, e b può essere negativo. Con S=34, a=1 e b=13: compaiono esattamente i numeri da 1 a 16.

Secondo metodo: trasformare un quadrato normale

Partiamo da questo quadrato, che usa una volta sola i numeri da 1 a 16:

 8  11  14   1
13   2   7  12
 3  16   9   6
10   5   4  15

Ogni riga, colonna e diagonale somma 34. I numeri speciali 13, 14, 15 e 16 sono distribuiti in modo che ognuna di queste dieci linee ne contenga esattamente uno. Questa posizione, non un trucco aritmetico nascosto, spiega la trasformazione.

Distribuire la differenza

Calcoliamo D=S−34 e dividiamo euclideamente per 4: D=4q+r, con 0≤r<4 anche quando D è negativo. A ciascuna delle dodici caselle ordinarie aggiungiamo q; a ciascuna delle quattro caselle speciali aggiungiamo q+r. Ogni linea riceve così 3q+(q+r)=4q+r=D, e la nuova somma è 34+D=S.

Tre esempi positivi e uno sotto 34

Per S=67, D=33=4×8+1: gli incrementi sono 8 e 9. Il risultato è:

16  19  23   9
22  10  15  20
11  25  17  14
18  13  12  24

Per S=82, D=48=4×12+0: tutte le caselle ricevono 12 e si ottiene:

20  23  26  13
25  14  19  24
15  28  21  18
22  17  16  27

Per S=85, D=51=4×12+3: gli incrementi sono 12 e 15. Si ottiene:

20  23  29  13
28  14  19  24
15  31  21  18
22  17  16  30

Non occorre imporre S≥34. Se S=7, allora D=−27=4(−7)+1; gli incrementi sono −7 e −6:

 1   4   8  −6
 7  −5   0   5
−4  10   2  −1
 3  −2  −3   9

Le dieci linee sommano 7 e le sedici caselle sono ancora distinte. Non possono però essere tutte positive: la somma totale sarebbe 4×7=28, mentre la minima somma di sedici interi positivi distinti è 1+2+⋯+16=136.

Altre configurazioni che restano magiche

Nel quadrato iniziale sommano 34 anche il blocco 2×2 in alto a sinistra, il blocco 2×2 centrale, il blocco 2×2 in basso a destra e i quattro angoli. Ciascuna configurazione contiene esattamente uno dei quattro numeri speciali: dopo la trasformazione somma quindi S. Il laboratorio controlla queste proprietà e le mostra solo se risultano valide.

Un quadrato con una somma legata a una data di compleanno può diventare un regalo matematico, ma è soltanto un possibile utilizzo della costruzione. Prova i due metodi nel laboratorio →

Fonte di ispirazione per il secondo metodo: Arthur Benjamin e Michael Shermer, Secrets of Mental Math: The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks, sezione “Magic Squares”, pp. 206–209 dell’edizione indicata. Il testo e le verifiche qui presentati sono originali.