¿Cuánto podemos descubrir sin hacer cálculos largos? Estos seis acertijos nos invitan a examinar el peor caso, comparar dos desviaciones, ordenar datos y reconocer una propiedad aritmética. Lee cada problema e inténtalo antes de abrir la pista y, después, la solución.
Esta colección reelabora los problemas 258, 259, 261, 263, 264 y 267 de Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, capítulo IX, «Matemáticas (casi) sin cálculos». Los enunciados están redactados de nuevo y las respuestas se explican con fines didácticos.
1. Zapatos y calcetines — problema 258
A oscuras encuentras seis zapatos de tres pares diferentes y calcetines de dos colores, negros y marrones. ¿Cuántos zapatos debes coger para tener la certeza de formar un par? ¿Y cuántos calcetines para tener dos del mismo color?
Pista
Imagina el caso menos favorable: puedes coger un zapato de cada uno de los tres pares sin completar ninguno; puedes coger un calcetín de cada color sin tener dos iguales.
Solución paso a paso
Los tres primeros zapatos podrían pertenecer a tres pares distintos. El cuarto zapato debe completar uno de ellos, porque no hay un cuarto par. Con dos colores, los dos primeros calcetines pueden ser diferentes, pero el tercero repite necesariamente un color. Por tanto, la garantía requiere 4 zapatos y 3 calcetines. No calculamos la probabilidad de conseguirlo antes: buscamos una certeza incluso en el peor caso.
2. Las manzanas — problema 259
Una caja contiene manzanas de tres variedades, en cantidad suficiente. Sin mirar, ¿cuántas debes sacar para tener la certeza de que al menos dos son de la misma variedad? ¿Y para tener al menos tres de la misma variedad?
Pista
Antes de que dos iguales sean inevitables, puedes sacar una de cada variedad. Antes de que lo sean tres, puedes sacar dos de cada variedad.
Solución paso a paso
Primero puedes sacar tres manzanas todas distintas: la cuarta repite una variedad. En el segundo caso puedes sacar 2 + 2 + 2 = 6 manzanas sin tener tres iguales: la séptima hace que una variedad alcance tres. Es el principio del palomar: con tres categorías, la certeza llega una extracción después del peor caso que aún permite evitarla.
3. La fiesta de los árboles — problema 261
Dos clases tienen cada una una zona asignada para plantar. La clase de los pequeños planta por error cinco árboles en la zona de los mayores; después se traslada y termina su propia zona. Para devolver el favor, la clase de los mayores planta cinco árboles en la zona de los pequeños y luego otros cinco. Respecto a sus respectivas tareas, ¿la ventaja de los mayores es de cinco o de diez árboles?
Pista
Cuenta por separado lo que cada clase debía plantar y lo que plantó realmente. La diferencia entre una desviación positiva y una negativa no es cinco.
Solución paso a paso
Los pequeños hicieron cinco plantaciones en la zona equivocada: respecto a su propia cuota, su aportación queda cinco por debajo. Los mayores completaron su zona, salvo los cinco árboles que ya habían plantado los pequeños, y plantaron diez en la otra zona: su aportación queda cinco por encima de su cuota. Comparar las desviaciones da +5 − (−5) = 10. La ventaja relativa es, por tanto, de diez árboles, no de cinco. Sin conocer las cuotas iniciales, sin embargo, no podemos afirmar que los mayores plantaron diez árboles más en términos absolutos.
4. Un concurso de tiro — problema 263
Tres chicos disparan seis veces cada uno y obtienen 71 puntos cada uno. Los dieciocho disparos valen: un 50; dos 25; tres 20; tres 10; dos 5; dos 3; dos 2; tres 1. Los dos primeros disparos de Andryusha suman 22 puntos. El primer disparo de Volodya vale 2 puntos. ¿Quién acertó en el centro de 50?
Pista
Reparte las dieciocho puntuaciones en tres grupos de seis que sumen 71. Después busca el grupo que puede empezar con 20 + 2 = 22.
Solución paso a paso
La distribución compatible con los datos es:
| Grupo | Seis puntuaciones | Total |
|---|---|---|
| A | 25, 20, 20, 3, 2, 1 | 71 |
| B | 25, 20, 10, 10, 5, 1 | 71 |
| C | 50, 10, 5, 3, 2, 1 | 71 |
Solo A contiene dos disparos que suman 22: 20 + 2. Así que A es de Andryusha. Como el primer disparo de Volodya vale 2 y B no contiene ningún 2, Volodya tiene C. Por tanto, Volodya acertó en el centro de 50; B corresponde a Borya. La tabla organiza los datos, pero las pistas sobre el orden de los disparos identifican a los chicos.
5. Una compra imposible — problema 264
Una compra consta de dos lápices a 2 kopeks cada uno, cinco lápices a 4 kopeks cada uno, ocho cuadernos del mismo precio unitario y ocho hojas de colores del mismo precio unitario. Alguien afirma que el total es 1,70 rublos, es decir, 170 kopeks. ¿Puedes refutarlo sin conocer el precio de los cuadernos y las hojas?
Pista
Comprueba si cada parte del gasto es divisible por 4, suponiendo precios enteros en kopeks.
Solución paso a paso
Los lápices cuestan 2 × 2 = 4 y 5 × 4 = 20 kopeks. Ocho cuadernos cuestan 8q y ocho hojas 8f, siendo q y f precios enteros en kopeks. El total 4 + 20 + 8q + 8f = 4(6 + 2q + 2f) debe ser divisible por 4. Pero 170 = 4 × 42 + 2 no lo es. La cuenta es imposible en esas condiciones. No necesitamos los precios desconocidos: basta una invariante de divisibilidad.
6. Los voluntarios y los troncos — problema 267
Tres parejas cortan troncos en piezas de medio metro. Volodya y Misha trabajan con troncos de 2 metros; Petya y Kostya con troncos de 1,5 metros; Vasya y Fedya con troncos de 1 metro. Los jefes de las tres parejas son Volodya, Petya y Vasya. En un informe, los equipos están dirigidos respectivamente por Lavrov, Galkin y Medvedev: Lavrov y Kotov produjeron 26 piezas; Galkin y Pastukhov, 27; Medvedev y Yevdokimov, 28. ¿Cuál es el nombre de Pastukhov?
Pista
Un tronco de 2 metros produce 4 piezas; uno de 1,5 metros produce 3; uno de 1 metro produce 2. ¿Qué pareja pudo producir 27 piezas?
Solución paso a paso
Cualquier total procedente de troncos de 2 metros es múltiplo de 4; el de troncos de 1,5 metros es múltiplo de 3; el de troncos de 1 metro es múltiplo de 2. El total 27 es impar y no es múltiplo de 4: corresponde al equipo de los troncos de 1,5 metros, Petya y Kostya. Su jefe es Petya. El informe señala a Galkin como jefe del equipo de 27 piezas; por ello Petya es Galkin y Pastukhov es Kostya.
La enseñanza común
Con los zapatos y las manzanas buscamos una garantía en el peor caso. Con los árboles comparamos desviaciones respecto de cuotas diferentes. En el tiro y los troncos ordenamos los datos antes de asignar un nombre. En la compra reconocemos lo que no puede cambiar: la divisibilidad por 4. La pregunta decisiva no es «¿qué operación hago?», sino «¿qué estructura esconden los datos?».
Fuente de los acertijos: Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, capítulo IX «Matemáticas (casi) sin cálculos», problemas 258, 259, 261, 263, 264 y 267; en la edición consultada, enunciados en las pp. 142–146 y soluciones en las pp. 344–346. Esta página es una adaptación didáctica original, no una reproducción fotográfica del libro.