Que peut-on découvrir sans faire de longs calculs ? Ces six énigmes nous invitent à examiner le pire cas, comparer deux écarts, organiser des données et reconnaître une propriété arithmétique. Lis chaque problème et cherche avant d’ouvrir l’indice, puis la solution.
Ce recueil adapte les problèmes 258, 259, 261, 263, 264 et 267 de Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, chapitre IX, « Mathématiques (presque) sans calculs ». Les énoncés sont reformulés et les réponses expliquées dans un but pédagogique.
1. Chaussures et chaussettes — problème 258
Dans l’obscurité, tu trouves six chaussures appartenant à trois paires différentes et des chaussettes de deux couleurs, noires et marron. Combien de chaussures faut-il prendre pour être certain d’obtenir une paire assortie ? Et combien de chaussettes pour en avoir deux de la même couleur ?
Indice
Imagine le cas le moins favorable : tu peux prendre une chaussure de chacune des trois paires sans compléter aucune paire ; tu peux prendre une chaussette de chaque couleur sans en avoir deux identiques.
Solution pas à pas
Les trois premières chaussures peuvent appartenir à trois paires différentes. La quatrième chaussure complète nécessairement l’une de ces paires, puisqu’il n’en existe pas une quatrième. Avec deux couleurs, les deux premières chaussettes peuvent être différentes, mais la troisième répète forcément une couleur. La garantie demande donc 4 chaussures et 3 chaussettes. On ne calcule pas ici la probabilité de réussir plus tôt : on cherche une certitude même dans le pire cas.
2. Les pommes — problème 259
Une caisse contient des pommes de trois variétés, en quantité suffisante. Sans regarder, combien de pommes faut-il prendre pour être certain d’en avoir au moins deux de la même variété ? Et au moins trois de la même variété ?
Indice
Avant que deux pommes identiques soient inévitables, on peut en prendre une de chaque variété. Avant que trois le soient, on peut en prendre deux de chaque variété.
Solution pas à pas
On peut d’abord prendre trois pommes toutes différentes : la quatrième répète une variété. Dans le second cas, on peut prendre 2 + 2 + 2 = 6 pommes sans en avoir trois identiques : la septième porte une variété à trois. C’est le principe des tiroirs : avec trois catégories, la certitude arrive un tirage après le pire cas qui permet encore de l’éviter.
3. La fête des arbres — problème 261
Deux classes ont chacune une zone à planter. La classe des plus jeunes plante par erreur cinq arbres dans la zone des plus âgés ; elle se déplace ensuite et termine sa propre zone. En retour, la classe des plus âgés plante cinq arbres dans la zone des plus jeunes, puis encore cinq. Par rapport à leurs tâches respectives, l’avance des plus âgés est-elle de cinq ou de dix arbres ?
Indice
Compte séparément ce que chaque classe devait planter et ce qu’elle a effectivement planté. La différence entre un écart positif et un écart négatif n’est pas cinq.
Solution pas à pas
Les plus jeunes ont effectué cinq plantations dans la mauvaise zone : par rapport à leur propre quota, leur contribution est inférieure de cinq. Les plus âgés ont achevé leur zone, hormis les cinq arbres déjà plantés par les plus jeunes, et en ont planté dix dans l’autre zone : leur contribution est supérieure de cinq à leur quota. La comparaison des écarts donne +5 − (−5) = 10. L’avance relative est donc de dix arbres, pas de cinq. Sans connaître les quotas initiaux, on ne peut toutefois pas conclure que les plus âgés ont planté dix arbres de plus en valeur absolue.
4. Un concours de tir — problème 263
Trois garçons tirent chacun six fois et marquent 71 points chacun. Les dix-huit tirs valent : un 50 ; deux 25 ; trois 20 ; trois 10 ; deux 5 ; deux 3 ; deux 2 ; trois 1. Les deux premiers tirs d’Andryusha totalisent 22 points. Le premier tir de Volodya vaut 2 points. Qui a atteint le centre à 50 points ?
Indice
Répartis les dix-huit scores en trois groupes de six totalisant 71. Cherche ensuite le groupe qui peut commencer par 20 + 2 = 22.
Solution pas à pas
La répartition compatible avec les données est :
| Groupe | Six scores | Total |
|---|---|---|
| A | 25, 20, 20, 3, 2, 1 | 71 |
| B | 25, 20, 10, 10, 5, 1 | 71 |
| C | 50, 10, 5, 3, 2, 1 | 71 |
Seul A contient deux tirs dont la somme vaut 22 : 20 + 2. A appartient donc à Andryusha. Puisque le premier tir de Volodya vaut 2 et que B ne contient aucun 2, Volodya a le groupe C. C’est donc Volodya qui a atteint le centre à 50 points ; B appartient à Borya. Le tableau organise les données, mais les indices sur l’ordre des tirs identifient les garçons.
5. Un achat impossible — problème 264
Un achat comprend deux crayons à 2 kopecks chacun, cinq crayons à 4 kopecks chacun, huit cahiers au même prix unitaire et huit feuilles de couleur au même prix unitaire. Quelqu’un affirme que le total est de 1,70 rouble, soit 170 kopecks. Peux-tu le réfuter sans connaître les prix des cahiers et des feuilles ?
Indice
Vérifie si chaque partie de la dépense est divisible par 4, en supposant des prix entiers en kopecks.
Solution pas à pas
Les crayons coûtent 2 × 2 = 4 et 5 × 4 = 20 kopecks. Huit cahiers coûtent 8q et huit feuilles 8f, où q et f sont des prix entiers en kopecks. Le total 4 + 20 + 8q + 8f = 4(6 + 2q + 2f) est nécessairement divisible par 4. Or 170 = 4 × 42 + 2 ne l’est pas. Le total annoncé est donc impossible dans ces conditions. Les prix inconnus sont inutiles : la divisibilité est un invariant.
6. Les volontaires et les rondins — problème 267
Trois équipes de deux scient des rondins en morceaux d’un demi-mètre. Volodya et Misha travaillent sur des rondins de 2 mètres ; Petya et Kostya sur des rondins de 1,5 mètre ; Vasya et Fedya sur des rondins de 1 mètre. Les chefs des trois équipes sont Volodya, Petya et Vasya. Dans un compte rendu, les équipes sont dirigées respectivement par Lavrov, Galkin et Medvedev : Lavrov et Kotov ont produit 26 morceaux ; Galkin et Pastukhov 27 ; Medvedev et Yevdokimov 28. Quel est le prénom de Pastukhov ?
Indice
Un rondin de 2 mètres donne 4 morceaux ; un rondin de 1,5 mètre en donne 3 ; un rondin de 1 mètre en donne 2. Quelle équipe a pu produire 27 morceaux ?
Solution pas à pas
Tout total issu des rondins de 2 mètres est multiple de 4 ; celui des rondins de 1,5 mètre est multiple de 3 ; celui des rondins de 1 mètre est multiple de 2. Le total 27 est impair et n’est pas multiple de 4 : il correspond donc à l’équipe des rondins de 1,5 mètre, Petya et Kostya. Son chef est Petya. Le compte rendu désigne Galkin comme chef de l’équipe des 27 morceaux ; Petya est donc Galkin et Pastukhov est Kostya.
La leçon commune
Avec les chaussures et les pommes, nous cherchons une garantie dans le pire cas. Avec les arbres, nous comparons des écarts à des quotas différents. Pour le tir et les rondins, nous organisons les données avant d’attribuer un nom. Dans l’achat, nous reconnaissons ce qui ne peut pas changer : la divisibilité par 4. La question décisive n’est pas « quelle opération effectuer ? », mais « quelle structure les données cachent-elles ? ».
Source des énigmes : Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, chapitre IX « Mathématiques (presque) sans calculs », problèmes 258, 259, 261, 263, 264 et 267 ; dans l’édition consultée, énoncés aux pp. 142–146 et solutions aux pp. 344–346. Cette page est une adaptation pédagogique originale, non une reproduction photographique du livre.