Quanto si può scoprire senza fare lunghi conti? Questi sei enigmi invitano a cercare il caso peggiore, confrontare due scarti, organizzare dati e riconoscere una proprietà aritmetica. Leggi il problema, prova da solo, poi apri il suggerimento e infine la soluzione.
La raccolta rielabora i problemi 258, 259, 261, 263, 264 e 267 di Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, capitolo IX, «Matematica (quasi) senza calcoli». Gli enunciati sono riscritti e le soluzioni sono spiegate in forma didattica.
1. Scarpe e calzini — problema 258
Al buio trovi sei scarpe, appartenenti a tre paia differenti, e calzini di due colori, neri e marroni. Quante scarpe devi prendere per essere certo di avere un paio abbinato? E quanti calzini per averne due dello stesso colore?
Suggerimento
Immagina il caso più sfortunato: puoi prendere una scarpa per ciascuno dei tre paia senza completarne nessuno; puoi prendere un calzino per colore senza averne due uguali.
Soluzione passo passo
Le prime tre scarpe potrebbero provenire da tre paia diversi. La quarta scarpa deve completare uno di quei paia, perché non esiste un quarto tipo di scarpa. Con due colori, i primi due calzini possono essere diversi, ma il terzo calzino ripete necessariamente uno dei due colori. La garanzia richiede dunque 4 scarpe e 3 calzini. Non stiamo calcolando la probabilità di riuscire prima: cerchiamo una certezza anche nel caso peggiore.
2. Le mele — problema 259
Una cassetta contiene mele di tre tipi, in quantità sufficiente. Senza guardare, quante mele devi estrarre per essere certo di averne almeno due dello stesso tipo? E per averne almeno tre dello stesso tipo?
Suggerimento
Prima di essere obbligato ad avere due mele dello stesso tipo puoi prenderne una per tipo. Prima di essere obbligato ad averne tre puoi prenderne due per tipo.
Soluzione passo passo
Nel primo caso puoi estrarre tre mele, tutte diverse: la quarta ripete un tipo. Nel secondo puoi estrarre 2 + 2 + 2 = 6 mele senza averne tre uguali: la settima porta un tipo a tre. È il principio delle piccionaie: con tre categorie, il caso peggiore precede di una sola estrazione la certezza.
3. La festa degli alberi — problema 261
Due classi hanno ciascuna una zona da piantumare. La quarta classe mette per errore cinque alberi nella zona della sesta; poi si sposta e completa il lavoro nella propria zona. La sesta, per ricambiare, pianta cinque alberi nella zona della quarta e poi altri cinque. Rispetto alle rispettive quote di lavoro, il vantaggio della sesta è di cinque o di dieci alberi?
Suggerimento
Conta separatamente gli alberi che ogni classe avrebbe dovuto piantare e quelli che ha piantato davvero. La differenza fra uno scarto positivo e uno negativo non è cinque.
Soluzione passo passo
La quarta ha eseguito cinque piantumazioni nella zona sbagliata: rispetto alla propria quota, nel confronto dei contributi resta cinque sotto. La sesta ha completato la propria zona, salvo i cinque alberi già messi dalla quarta, e ne ha piantati dieci nella zona della quarta: rispetto alla propria quota è cinque sopra. Il confronto tra i due scarti è +5 − (−5) = 10. Il vantaggio relativo è quindi di dieci alberi, non cinque. Senza conoscere le quote iniziali non possiamo invece dedurre che la sesta abbia piantato dieci alberi più della quarta in assoluto.
4. Una gara di tiro — problema 263
Tre ragazzi sparano sei colpi ciascuno e ottengono 71 punti a testa. I diciotto colpi si distribuiscono così: un 50; due 25; tre 20; tre 10; due 5; due 3; due 2; tre 1. I primi due colpi di Andryusha valgono insieme 22 punti. Il primo colpo di Volodya vale 2 punti. Chi ha colpito il centro da 50?
Suggerimento
Suddividi i diciotto punteggi in tre gruppi di sei che sommano 71. Cerca poi il gruppo che può iniziare con 20 + 2 = 22.
Soluzione passo passo
La ripartizione compatibile con i dati è:
| Gruppo | Sei punteggi | Totale |
|---|---|---|
| A | 25, 20, 20, 3, 2, 1 | 71 |
| B | 25, 20, 10, 10, 5, 1 | 71 |
| C | 50, 10, 5, 3, 2, 1 | 71 |
Solo A contiene due colpi che sommano 22: 20 + 2. Quindi A è Andryusha. Poiché il primo colpo di Volodya vale 2, e B non contiene un 2, Volodya è C. È stato dunque Volodya a centrare il 50; B appartiene a Borya. La tabella organizza i dati, ma sono gli indizi sull’ordine dei colpi a dare i nomi.
5. Un acquisto impossibile — problema 264
Un acquisto comprende due matite da 2 copechi ciascuna, cinque matite da 4 copechi ciascuna, otto quaderni dello stesso prezzo e otto fogli colorati dello stesso prezzo. Qualcuno sostiene che il totale sia 1,70 rubli, cioè 170 copechi. Puoi smentirlo senza conoscere il prezzo di quaderni e fogli?
Suggerimento
Controlla se ogni parte della spesa è divisibile per 4, assumendo prezzi interi in copechi.
Soluzione passo passo
Le matite costano 2 × 2 = 4 e 5 × 4 = 20 copechi. Otto quaderni costano 8q e otto fogli 8f, con q e f prezzi interi in copechi. Il totale 4 + 20 + 8q + 8f = 4(6 + 2q + 2f) è necessariamente divisibile per 4. Ma 170 = 4 × 42 + 2: non è divisibile per 4. Il conto è quindi impossibile alle condizioni indicate. Non servono i prezzi mancanti: basta un’invariante di divisibilità.
6. I volontari e i tronchi — problema 267
Tre coppie segano tronchi in pezzi da mezzo metro. Volodya e Misha lavorano su tronchi da 2 metri; Petya e Kostya su tronchi da 1,5 metri; Vasya e Fedya su tronchi da 1 metro. I capi delle tre coppie sono Volodya, Petya e Vasya. Nel resoconto le squadre sono guidate rispettivamente da Lavrov, Galkin e Medvedev: Lavrov e Kotov hanno prodotto 26 pezzi; Galkin e Pastukhov 27; Medvedev e Yevdokimov 28. Qual è il nome di Pastukhov?
Suggerimento
Un tronco da 2 metri produce 4 pezzi; da 1,5 metri ne produce 3; da 1 metro ne produce 2. Quale delle tre coppie può aver prodotto 27 pezzi?
Soluzione passo passo
Ogni totale dei tronchi da 2 metri è multiplo di 4; ogni totale dei tronchi da 1,5 metri è multiplo di 3; ogni totale dei tronchi da 1 metro è multiplo di 2. Il totale 27 è dispari e non è multiplo di 4: corrisponde quindi alla coppia dei tronchi da 1,5 metri, Petya e Kostya. Il capo di questa coppia è Petya. Il resoconto dice che il capo della squadra da 27 pezzi è Galkin; perciò Petya è Galkin e Pastukhov è Kostya.
La lezione comune
Nel caso delle scarpe e delle mele cerchiamo una garanzia nel caso peggiore. Con gli alberi confrontiamo scarti riferiti a quote diverse. Nel tiro a segno e nei tronchi ordiniamo i dati prima di assegnare un nome. Nell’acquisto riconosciamo ciò che non può cambiare: la divisibilità per 4. La domanda decisiva non è «quale operazione faccio?», ma «quale struttura nascondono i dati?».
Fonte degli spunti: Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, capitolo IX «Matematica (quasi) senza calcoli», problemi 258, 259, 261, 263, 264 e 267; nell’edizione consultata, enunciati alle pp. 142–146 e soluzioni alle pp. 344–346. Questa pagina è una rielaborazione didattica originale, non una riproduzione fotografica del volume.