Un buen acertijo pide algo más que un número: nos invita a elegir el punto de vista adecuado. En estos seis problemas podemos razonar hacia atrás, cambiar de sistema de referencia, comparar tiempos y construir una tabla. Intenta resolver cada pregunta antes de abrir la pista y la solución.
Esta selección reelabora seis problemas de Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, capítulo VIII, «Con y sin álgebra», números 217, 218, 219, 222, 225 y 227. Las respuestas se cotejaron con el libro; los enunciados y las explicaciones siguientes se reescribieron con fines didácticos.
1. El puente y las monedas — problema 218
Un hombre cruza un puente tres veces. En cada cruce se duplican las monedas que lleva en el bolsillo, pero inmediatamente después paga 24 monedas. Tras el tercer pago no le queda ninguna. ¿Cuántas monedas tenía antes de cruzar por primera vez?
Pista
Empieza en cero, después del último pago. Justo antes de pagar debía tener 24 monedas: ¿cuántas tenía antes de que el puente las duplicara?
Solución paso a paso
Antes del tercer cruce tenía 24 / 2 = 12 monedas. Antes del segundo pago tenía 12 + 24 = 36, de modo que antes del segundo cruce tenía 36 / 2 = 18. Antes del primer pago tenía 18 + 24 = 42, por lo que al principio tenía 42 / 2 = 21.
Comprobación hacia delante: 21 → 42 → 18 → 36 → 12 → 24 → 0. La respuesta es 21 monedas. La estrategia general consiste en invertir las operaciones en orden contrario: primero sumar 24 y luego dividir entre 2.
2. El promedio de páginas — problema 222
Vera termina la primera mitad de un manuscrito a un ritmo de 10 páginas al día y la segunda mitad a 30 páginas al día. Afirma que su promedio fue de 20 páginas al día porque (10 + 30) / 2 = 20. ¿Tiene razón?
Pista
Las dos mitades contienen el mismo número de páginas, pero no llevan el mismo tiempo. Imagina 60 páginas en cada mitad.
Solución paso a paso
Sesenta páginas a 10 al día requieren 6 días; otras 60 páginas a 30 al día requieren 2 días. Son 120 páginas en 8 días: 120 / 8 = 15 páginas al día. Para un manuscrito de P páginas, el tiempo es P/20 + P/60 = P/15 días, así que el promedio siempre es de 15 páginas al día.
La media aritmética 20 sería adecuada si Vera dedicara el mismo tiempo a cada ritmo. Aquí realiza la misma cantidad de trabajo. Para lograr un promedio global de 20 después de completar la mitad a 10, la segunda mitad tendría que tomar tiempo cero: algo imposible a cualquier ritmo finito.
3. El nadador y el sombrero — problema 225
Un sombrero cae de un puente y flota con la corriente. Al mismo tiempo un nadador sale del puente y nada contracorriente. Después de 10 minutos da la vuelta, nada hacia el sombrero y lo alcanza bajo un segundo puente situado 1.000 metros río abajo del primero. Su velocidad respecto al agua es constante. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
Pista
Observa la escena como si flotaras sobre el sombrero. Respecto a ti, la corriente arrastra de la misma manera al sombrero y al nadador.
Solución paso a paso
En el sistema de referencia del agua, el sombrero está quieto. El nadador se aleja durante 10 minutos a su velocidad en el agua y tarda otros 10 minutos en recorrer la misma distancia al regresar. Por tanto, el sombrero flota durante 20 minutos. La corriente lo desplaza 1.000 metros: 1.000 / 20 = 50 metros por minuto, es decir, 3 km/h. No hace falta conocer la velocidad del nadador.
4. Dos encuentros en el lago — problema 227
Dos lanchas salen al mismo tiempo de orillas opuestas de un lago y mantienen velocidades constantes. Se encuentran por primera vez a 500 metros de la orilla A. Al llegar a las orillas opuestas, regresan de inmediato y vuelven a encontrarse a 300 metros de la orilla B. ¿Cuánto mide el lago de orilla a orilla? ¿Cuál es la razón entre sus velocidades?
Pista
En el primer encuentro han recorrido juntos una anchura del lago. En el segundo, tres. ¿Qué distancia ha recorrido la lancha que salió de A?
Solución paso a paso
El segundo encuentro ocurre tras un tiempo triple del primero: entre las dos lanchas han recorrido 3D en lugar de D, donde D es la anchura del lago. La lancha que salió de A ha recorrido 3 × 500 = 1.500 metros. Cruzó todo el lago y volvió 300 metros: D + 300 = 1.500, de modo que D = 1.200 metros.
En el primer encuentro la lancha que salió de A había recorrido 500 metros y la otra 1.200 − 500 = 700 metros en el mismo tiempo. La razón entre sus velocidades es 500 : 700 = 5 : 7.
5. Tres depósitos de tractores — problema 217
Tres depósitos se ayudan sucesivamente. Primero A entrega a B y C tantos tractores como cada uno ya tiene; después B hace lo mismo con A y C; por último C hace lo mismo con A y B. Al final todos tienen 24 tractores. ¿Cuántos tenían al principio?
Pista
Retrocede desde la última entrega. Si A y B tienen 24 tractores después de recibir los de C, ¿cuántos tenían justo antes? ¿Cuántos tenía C?
Solución paso a paso
En el último paso C duplicó los tractores de A y B: antes de entregar nada, el estado era (12, 12, 48). Antes de la entrega de B, A y C tenían la mitad de sus cantidades posteriores: (6, 42, 24). Antes de la entrega de A, B y C volvían a tener la mitad: (39, 21, 12). El total se mantiene en 72 tractores.
Comprobación: (39, 21, 12) → (6, 42, 24) → (12, 12, 48) → (24, 24, 24). Al principio A tenía 39, B 21 y C 12 tractores.
6. Tres hermanos y 24 manzanas — problema 219
Tres hermanos reciben en total 24 manzanas: cada uno recibe al principio tantas manzanas como su edad menos 3. En orden, el menor, el mediano y el mayor conservan la mitad de las manzanas que tienen en ese momento y reparten la otra mitad a partes iguales entre los otros dos. Al final cada uno tiene 8 manzanas. ¿Qué edades tienen?
Pista
Deshaz el último movimiento. El mayor conservó 8 manzanas, así que tenía 16 antes de repartir. ¿Cuántas tenían los otros dos antes de recibir 4 manzanas cada uno?
Solución paso a paso
El estado final es (8, 8, 8), en orden de menor a mayor. Antes del movimiento del mayor era (4, 4, 16): entregó 4 a cada hermano. Antes del movimiento del mediano era (2, 8, 14): entregó 2 a cada uno. Antes del movimiento del menor era (4, 7, 13): entregó 1 a cada uno.
Esos eran los números iniciales de manzanas. Sumando 3 a cada uno obtenemos las edades: 7, 10 y 16 años. Comprobación: (4, 7, 13) → (2, 8, 14) → (4, 4, 16) → (8, 8, 8).
¿Qué tienen en común?
Los problemas 217, 218 y 219 se simplifican al invertir los movimientos. En el 225 conviene cambiar de sistema de referencia; en el 227, seguir el tiempo y la distancia total; en el 222, distinguir cantidades iguales de tiempos iguales. El álgebra ayuda a comprobar y generalizar, pero el primer logro consiste en reconocer la estructura del problema.
Fuente de las ideas: Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, capítulo VIII «Con y sin álgebra», problemas 217, 218, 219, 222, 225 y 227; en la edición consultada, enunciados en las pp. 124–130 y soluciones en las pp. 326–329. Los textos y las ilustraciones de esta página son adaptaciones originales, no reproducciones de las páginas del libro.