Une bonne énigme demande plus qu’un nombre : elle nous invite à choisir le bon point de vue. Dans ces six problèmes, on peut remonter le temps, changer de référentiel, comparer des durées et construire un tableau. Essaie chaque question avant d’ouvrir son indice et sa solution.
Cette sélection réélabore six problèmes de Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, chapitre VIII, « Avec et sans algèbre », numéros 217, 218, 219, 222, 225 et 227. Les réponses ont été vérifiées dans le livre ; les énoncés et explications ci-dessous ont été réécrits à des fins pédagogiques.
1. Le pont et les pièces — problème 218
Un homme traverse un pont trois fois. À chaque passage, les pièces dans sa poche doublent, mais aussitôt après il paie 24 pièces. Après le troisième paiement, il ne lui reste rien. Combien de pièces avait-il avant la première traversée ?
Indice
Pars de zéro, après le dernier paiement. Juste avant de payer, il avait 24 pièces : combien en avait-il avant que le pont ne les double ?
Solution pas à pas
Avant le troisième passage, il avait 24 / 2 = 12 pièces. Avant le deuxième paiement, il en avait 12 + 24 = 36, donc avant le deuxième passage 36 / 2 = 18. Avant le premier paiement, il en avait 18 + 24 = 42, donc au début 42 / 2 = 21.
Vérification directe : 21 → 42 → 18 → 36 → 12 → 24 → 0. La réponse est 21 pièces. La stratégie générale consiste à inverser les opérations dans l’ordre contraire : ajouter 24, puis diviser par 2.
2. La moyenne des pages — problème 222
Vera termine la première moitié d’un manuscrit à raison de 10 pages par jour et la seconde à raison de 30 pages par jour. Elle affirme avoir atteint une moyenne de 20 pages par jour puisque (10 + 30) / 2 = 20. A-t-elle raison ?
Indice
Les deux moitiés contiennent le même nombre de pages, mais elles ne prennent pas le même temps. Imagine 60 pages dans chaque moitié.
Solution pas à pas
Soixante pages à 10 par jour demandent 6 jours ; 60 autres pages à 30 par jour demandent 2 jours. Cela fait 120 pages en 8 jours : 120 / 8 = 15 pages par jour. Pour un manuscrit de P pages, la durée est P/20 + P/60 = P/15 jours : la moyenne est donc toujours de 15 pages par jour.
La moyenne arithmétique 20 conviendrait si Vera passait le même temps à chaque cadence. Ici elle effectue la même quantité de travail. Pour atteindre 20 pages par jour après avoir réalisé la moitié du travail à 10, la seconde moitié devrait prendre un temps nul : impossible à une cadence finie.
3. Le nageur et le chapeau — problème 225
Un chapeau tombe d’un pont et flotte avec le courant. Au même instant, un nageur quitte le pont à contre-courant. Après 10 minutes, il fait demi-tour, nage vers le chapeau et le rattrape sous un second pont, situé 1 000 mètres en aval du premier. Sa vitesse par rapport à l’eau reste constante. Quelle est la vitesse du courant ?
Indice
Observe la scène comme si tu flottais sur le chapeau. Par rapport à toi, le courant entraîne le chapeau et le nageur de la même manière.
Solution pas à pas
Dans le référentiel de l’eau, le chapeau est immobile. Le nageur s’en éloigne pendant 10 minutes à sa vitesse dans l’eau et met encore 10 minutes à parcourir la même distance au retour. Le chapeau flotte donc pendant 20 minutes. Le courant le transporte sur 1 000 mètres : 1 000 / 20 = 50 mètres par minute, soit 3 km/h. Il n’est pas nécessaire de connaître la vitesse du nageur.
4. Deux rencontres sur le lac — problème 227
Deux bateaux à moteur quittent en même temps les rives opposées d’un lac et gardent des vitesses constantes. Ils se rencontrent une première fois à 500 mètres de la rive A. Arrivés aux rives opposées, ils font aussitôt demi-tour et se rencontrent de nouveau à 300 mètres de la rive B. Quelle est la largeur du lac ? Quel est le rapport de leurs vitesses ?
Indice
À la première rencontre, ils ont parcouru ensemble une largeur du lac. À la deuxième, ils en ont parcouru trois. Quelle distance a parcourue le bateau parti de A ?
Solution pas à pas
La deuxième rencontre se produit après une durée triple de la première : ensemble, les bateaux ont parcouru 3D au lieu de D, où D est la largeur du lac. Le bateau parti de A a donc parcouru 3 × 500 = 1 500 mètres. Il a traversé le lac entier, puis est revenu sur 300 mètres : D + 300 = 1 500, donc D = 1 200 mètres.
À la première rencontre, le bateau parti de A avait parcouru 500 mètres et l’autre 1 200 − 500 = 700 mètres dans le même temps. Le rapport des vitesses est donc 500 : 700 = 5 : 7.
5. Trois dépôts de tracteurs — problème 217
Trois dépôts s’entraident successivement. D’abord A donne à B et à C autant de tracteurs que chacun possède déjà ; ensuite B fait de même avec A et C ; enfin C fait de même avec A et B. À la fin, chacun possède 24 tracteurs. Combien en possédaient-ils au début ?
Indice
Remonte depuis le dernier don. Si A et B possèdent 24 tracteurs après le don de C, combien en possédaient-ils juste avant ? Combien C en avait-il ?
Solution pas à pas
Au dernier tour, C a doublé les réserves de A et B : avant son don, la situation était (12, 12, 48). Avant le don de B, A et C détenaient la moitié de leurs quantités ultérieures : (6, 42, 24). Avant le don de A, B et C en détenaient encore la moitié : (39, 21, 12). Le total reste toujours de 72 tracteurs.
Vérification : (39, 21, 12) → (6, 42, 24) → (12, 12, 48) → (24, 24, 24). Au début, A avait 39, B 21 et C 12 tracteurs.
6. Trois frères et 24 pommes — problème 219
Trois frères reçoivent en tout 24 pommes : chacun reçoit initialement un nombre de pommes égal à son âge moins 3. Dans l’ordre, le plus jeune, celui du milieu et l’aîné gardent la moitié des pommes qu’ils possèdent à cet instant et partagent l’autre moitié à parts égales entre les deux autres. À la fin, chacun possède 8 pommes. Quels sont leurs âges ?
Indice
Annule le dernier geste. L’aîné a gardé 8 pommes : il en avait donc 16 juste avant le partage. Combien les deux autres possédaient-ils avant de recevoir 4 pommes chacun ?
Solution pas à pas
La situation finale est (8, 8, 8), dans l’ordre du plus jeune à l’aîné. Avant le geste de l’aîné, elle était (4, 4, 16) : il a donné 4 pommes à chacun. Avant le geste du frère du milieu, elle était (2, 8, 14) : il a donné 2 pommes à chacun. Avant le geste du plus jeune, elle était (4, 7, 13) : il a donné 1 pomme à chacun.
Ce sont les nombres initiaux de pommes. En ajoutant 3 à chacun, on obtient les âges : 7, 10 et 16 ans. Vérification : (4, 7, 13) → (2, 8, 14) → (4, 4, 16) → (8, 8, 8).
Quel est le lien entre ces énigmes ?
Les problèmes 217, 218 et 219 deviennent simples lorsqu’on inverse les gestes. Dans le 225, il faut changer de référentiel ; dans le 227, suivre le temps et la distance totale ; dans le 222, distinguer quantités égales et durées égales. L’algèbre sert à vérifier et à généraliser, mais la première conquête est de reconnaître la structure du problème.
Source des idées : Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, chapitre VIII « Avec et sans algèbre », problèmes 217, 218, 219, 222, 225 et 227 ; dans l’édition consultée, énoncés aux pp. 124–130 et solutions aux pp. 326–329. Les textes et illustrations de cette page sont des adaptations originales, non des reproductions des pages du livre.