Un buon enigma non chiede soltanto un numero: invita a scegliere il punto di vista giusto. In questi sei problemi possiamo tornare indietro, cambiare sistema di riferimento, confrontare tempi e costruire una tabella. Prova ogni domanda prima di aprire il suggerimento e la soluzione.
La raccolta rielabora sei problemi di Boris A. Kordemsky (1907–1999), Gli enigmi di Mosca, capitolo VIII, «Con e senza algebra», numeri 217, 218, 219, 222, 225 e 227. I risultati sono stati confrontati con le soluzioni del volume; gli enunciati e le spiegazioni qui sotto sono stati riscritti per uso didattico.
1. Il ponte e le monete — problema 218
Un uomo attraversa un ponte tre volte. A ogni passaggio le monete che ha in tasca raddoppiano, ma subito dopo paga 24 monete. Dopo il terzo pagamento non gli resta nulla. Quante monete aveva prima del primo attraversamento?
Suggerimento
Parti da zero, dopo l’ultimo pagamento. Prima di pagare doveva avere 24 monete: quante ne aveva prima che il ponte le raddoppiasse?
Soluzione passo passo
Prima del terzo passaggio aveva 24 : 2 = 12 monete. Prima del secondo pagamento ne aveva 12 + 24 = 36, quindi prima del secondo passaggio 36 : 2 = 18. Prima del primo pagamento ne aveva 18 + 24 = 42, quindi all’inizio 42 : 2 = 21.
Controllo in avanti: 21 → 42 → 18 → 36 → 12 → 24 → 0. La risposta è 21 monete. La strategia generale è invertire le operazioni nell’ordine opposto: prima aggiungere 24, poi dividere per 2.
2. La media delle pagine — problema 222
Vera completa la prima metà di un manoscritto a 10 pagine al giorno e la seconda metà a 30 pagine al giorno. Sostiene di aver mantenuto una media di 20 pagine al giorno perché (10 + 30) : 2 = 20. È corretto?
Suggerimento
Le due metà contengono lo stesso numero di pagine, non richiedono lo stesso tempo. Immagina 60 pagine in ciascuna metà.
Soluzione passo passo
Per 60 pagine a 10 al giorno servono 6 giorni; per altre 60 pagine a 30 al giorno servono 2 giorni. In totale sono 120 pagine in 8 giorni: 120 : 8 = 15 pagine al giorno. Per un manoscritto di P pagine il tempo è P/20 + P/60 = P/15 giorni, dunque la media è sempre 15 pagine al giorno.
La media aritmetica 20 sarebbe appropriata se Vera lavorasse per lo stesso tempo a ciascuna velocità. Qui percorre la stessa quantità di lavoro. Per arrivare a 20 pagine al giorno dopo aver fatto metà lavoro a 10, la seconda metà dovrebbe richiedere tempo zero: impossibile a velocità finita.
3. Il nuotatore e il cappello — problema 225
Un cappello cade da un ponte e galleggia con la corrente. Nello stesso istante un nuotatore parte dal ponte controcorrente. Dopo 10 minuti si gira, nuota verso il cappello e lo raggiunge sotto un secondo ponte, 1.000 metri più a valle del primo. Il nuotatore mantiene costante la propria velocità rispetto all’acqua. Qual è la velocità della corrente?
Suggerimento
Osserva la scena come se tu stessi galleggiando sul cappello. Rispetto a te, la corrente trascina allo stesso modo il cappello e il nuotatore.
Soluzione passo passo
Nel sistema di riferimento dell’acqua il cappello è fermo. Il nuotatore si allontana per 10 minuti alla propria velocità nell’acqua e impiega altri 10 minuti a coprire la stessa distanza al ritorno. Il cappello galleggia quindi per 20 minuti. La corrente lo trasporta di 1.000 metri: 1.000 : 20 = 50 metri al minuto, cioè 3 km/h. Non occorre conoscere la velocità del nuotatore.
4. Due incontri sul lago — problema 227
Due motoscafi partono nello stesso istante da rive opposte di un lago e mantengono velocità costanti. Si incontrano una prima volta a 500 metri dalla riva A. Arrivati alle rive opposte, tornano subito indietro e si incontrano una seconda volta a 300 metri dalla riva B. Quanto è largo il lago? Qual è il rapporto fra le loro velocità?
Suggerimento
Al primo incontro, insieme, hanno percorso una larghezza del lago. Al secondo, insieme, ne hanno percorse tre. Quanta strada ha fatto allora il motoscafo partito da A?
Soluzione passo passo
Il secondo incontro avviene dopo un tempo triplo rispetto al primo, perché i due motoscafi hanno percorso insieme 3D invece di D, con D larghezza del lago. Il motoscafo partito da A ha quindi percorso 3 × 500 = 1.500 metri. Ha attraversato tutto il lago ed è tornato indietro per 300 metri: D + 300 = 1.500, perciò D = 1.200 metri.
Al primo incontro il motoscafo partito da A aveva percorso 500 metri e l’altro 1.200 − 500 = 700 metri nello stesso tempo. Il rapporto delle velocità è dunque 500 : 700 = 5 : 7.
5. Tre depositi di trattori — problema 217
Tre depositi si aiutano in successione. Prima il deposito A dà a B e a C tanti trattori quanti ciascuno già ne possiede; poi B fa lo stesso con A e C; infine C fa lo stesso con A e B. Alla fine tutti hanno 24 trattori. Quanti ne avevano inizialmente?
Suggerimento
Torna indietro dall’ultima operazione. Se A e B hanno 24 dopo il dono di C, quanti ne avevano subito prima? Quanti ne aveva C?
Soluzione passo passo
All’ultimo passo C ha raddoppiato A e B: prima del suo dono lo stato era (12, 12, 48). Prima del dono di B, A e C avevano metà dei valori successivi: (6, 42, 24). Prima del dono di A, B e C avevano ancora metà: (39, 21, 12). La somma resta sempre 72 trattori.
Verifica: (39, 21, 12) → (6, 42, 24) → (12, 12, 48) → (24, 24, 24). All’inizio A aveva 39, B 21 e C 12 trattori.
6. Tre fratelli e 24 mele — problema 219
Tre fratelli ricevono in tutto 24 mele: il numero iniziale di mele di ciascuno è la propria età diminuita di 3. Nell’ordine, il più giovane, quello di mezzo e il maggiore tengono metà delle mele che possiedono in quel momento e dividono l’altra metà in parti uguali fra gli altri due. Alla fine ognuno ha 8 mele. Quali sono le loro età?
Suggerimento
Inverti l’ultimo gesto. Il maggiore ha trattenuto 8 mele, quindi prima di distribuire ne aveva 16. Quanto avevano gli altri due prima di ricevere 4 mele ciascuno?
Soluzione passo passo
Alla fine lo stato è (8, 8, 8), in ordine giovane, medio, maggiore. Prima del gesto del maggiore era (4, 4, 16): lui ha dato 4 mele a ciascuno. Prima del gesto del fratello di mezzo era (2, 8, 14): ha dato 2 mele a ciascuno. Prima del gesto del minore era (4, 7, 13): ha dato 1 mela a ciascuno.
Questi erano i numeri di mele iniziali. Aggiungendo 3 a ciascuno otteniamo le età: 7, 10 e 16 anni. Verifica: (4, 7, 13) → (2, 8, 14) → (4, 4, 16) → (8, 8, 8).
Che cosa hanno in comune?
I problemi 217, 218 e 219 diventano semplici invertendo le mosse. Nel 225 conviene cambiare sistema di riferimento; nel 227 seguire il tempo e la distanza totale; nel 222 distinguere quantità uguali da tempi uguali. L’algebra è utile per controllare e generalizzare, ma la prima conquista è riconoscere la struttura del problema.
Fonte degli spunti: Boris A. Kordemsky, Gli enigmi di Mosca, capitolo VIII «Con e senza algebra», problemi 217, 218, 219, 222, 225 e 227; nell’edizione consultata, enunciati alle pp. 124–130 e soluzioni alle pp. 326–329. Testi e illustrazioni di questa pagina sono rielaborazioni originali, non riproduzioni delle pagine del libro.