La probabilidad teórica describe un modelo; la frecuencia observada cuenta lo que sucedió en una serie concreta de ensayos. En el laboratorio podemos ponerlas una al lado de la otra: elegir un experimento, realizar un ensayo o muchos y observar cómo cambian los histogramas.
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Cómo leer un histograma
Para cada resultado, el número de veces que aparece dividido por el número total de ensayos es su frecuencia relativa. Por ejemplo, si el 6 aparece 18 veces en 100 lanzamientos, su frecuencia observada es 18/100 = 18 %. La probabilidad teórica de obtener 6 con un dado equilibrado sigue siendo 1/6, aproximadamente 16,67 %: la diferencia no significa que el dado sea defectuoso.
En el laboratorio, las barras azules representan las frecuencias observadas y las naranjas las probabilidades teóricas. Junto a ellas aparecen los recuentos, los porcentajes y las diferencias en puntos porcentuales. Puedes comenzar con un ensayo, añadir más, detener la ejecución o reiniciar los resultados.
Un dado: seis resultados equiprobables
Cada cara del 1 al 6 tiene una probabilidad de 1/6. Con pocos ensayos, el histograma puede ser muy irregular. Al aumentar los lanzamientos, las seis frecuencias tienden a agruparse cerca del 16,67 %, aunque no tienen por qué volverse exactamente iguales.
Dos dados: por qué la suma 7 es más probable
Hay 36 parejas ordenadas posibles. La suma 2 solo se obtiene con (1,1), por lo que su probabilidad es 1/36. La suma 7 se obtiene con seis parejas: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Su probabilidad es 6/36 = 1/6. Para una suma s entre 2 y 12, el número de parejas favorables es 6 − |7 − s|.
Tres monedas: contar las caras
Tres monedas equilibradas producen 2 × 2 × 2 = 8 secuencias equiprobables. Si solo nos interesa el número de caras, las probabilidades de 0, 1, 2 y 3 caras son respectivamente 1/8, 3/8, 3/8 y 1/8. Los resultados centrales son más frecuentes que los extremos.
Una urna: dos extracciones sin reemplazo
La urna contiene tres bolas rojas y dos azules. Extraemos dos bolas sin devolver la primera. La probabilidad de obtener 0 bolas rojas es 1/10; la de obtener 1 es 6/10; la de obtener 2 es 3/10. Las extracciones no son independientes: después de la primera cambia la composición de la urna.
Monty Hall: ¿mantener o cambiar?
Hay tres puertas y un solo premio. Eliges una puerta; el presentador sabe dónde está el premio y abre siempre otra puerta que oculta una cabra. Mantener la elección inicial gana cuando era correcta, con probabilidad 1/3. Cambiar gana cuando la elección inicial era incorrecta, con probabilidad 2/3. Cada ensayo del laboratorio compara ambas estrategias en la misma situación.
Poisson: ¿cuántos eventos hay en un intervalo?
Imaginemos que contamos las llamadas recibidas en una hora. Si los eventos ocurren de manera independiente y con una tasa media constante, el modelo de Poisson describe el número X de llamadas en cada intervalo. El parámetro λ es el número medio esperado: puedes elegir, por ejemplo, λ = 2 o λ = 8.
La probabilidad de observar exactamente k eventos es P(X = k) = e^(−λ) λ^k/k!, con k = 0, 1, 2, … . Para λ = 2, la probabilidad de ningún evento es e^(−2), aproximadamente 13,53 %; la de un evento es 2e^(−2), aproximadamente 27,07 %.
En el laboratorio, cada ensayo genera un intervalo y cuenta sus eventos. La última barra agrupa todos los recuentos por encima del umbral indicado, de modo que no se pierde ninguna probabilidad. Al aumentar λ, el histograma se desplaza hacia recuentos más altos.
Paradoja del cumpleaños
En un grupo de n personas, ¿qué probabilidad hay de que al menos dos cumplan años el mismo día? Supongamos 365 días equiprobables, sin años bisiestos y con cumpleaños independientes. Calculamos el complemento: la primera persona puede nacer cualquier día, la segunda debe escoger uno de los otros 364 días, y así sucesivamente. Por tanto P(ninguna coincidencia) = 365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365 y P(al menos una) = 1 − P(ninguna). Con 23 personas, la probabilidad supera el 50 %. Elige el tamaño del grupo y compara los dos resultados.
Paseo aleatorio
Una ficha empieza en cero y realiza n pasos independientes, cada uno +1 o −1 con igual probabilidad. Si k pasos van a la derecha, la posición final es 2k−n. Hay C(n,k) trayectorias así entre 2^n posibles; luego P(posición = 2k−n) = C(n,k)/2^n. Elige n y observa por qué son más frecuentes las posiciones centrales.
¿Cuántos lanzamientos para ver todas las caras?
Lanza un dado hasta que aparezcan sus seis caras. El tiempo de espera varía mucho. Tras ver j caras diferentes, la probabilidad de que el siguiente lanzamiento aporte una cara nueva es (6−j)/6; la espera media es 6/(6−j). La suma de las seis esperas es E(T) = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 14,7 lanzamientos. El histograma agrupa las esperas 6–9, 10–12, 13–15, 16–20, 21–30 y 31 o más. Las probabilidades se calculan exactamente.
Aguja de Buffon: estimar π
Dibuja líneas paralelas separadas por d y deja caer una aguja de longitud l que no supere d. Con orientación y posición uniformes, la razón r = l/d da P(cruce) = 2r/π. Si C agujas cruzan una línea en N ensayos, la frecuencia C/N da π ≈ 2rN/C. Sin cruces, la estimación no está definida. El laboratorio compara frecuencia y teoría y actualiza la estimación; con pocos ensayos puede ser imprecisa.
Medias de muchos lanzamientos
Cada ensayo lanza m dados equilibrados y registra su media. Un solo dado da valores uniformes de 1 a 6; al aumentar m, las medias se concentran cerca de 3,5. El laboratorio agrupa las medias en intervalos de anchura 0,5 y calcula exactamente sus probabilidades contando las sumas posibles, sin sustituirlas por una curva normal. Compara m = 1 con m = 20.
Lotto: ¿un número retrasado se vuelve más probable?
En una rueda del Lotto se extraen cinco números diferentes entre 1 y 90. Fijemos uno y preguntemos cuántos sorteos pasan antes de que aparezca. En cada sorteo la probabilidad de que salga es 5/90 = 1/18. Si los sorteos son independientes, la probabilidad de que falte en los primeros n−1 y aparezca en el n-ésimo es P(T=n) = (17/18)^(n−1) × 1/18.
En el laboratorio, un ensayo acaba cuando sale el número. El histograma agrupa los tiempos de espera y reserva la última clase para 41 sorteos o más. La espera media teórica es de 18 sorteos, pero no es un plazo límite: incluso tras 40 ausencias, la probabilidad del siguiente sorteo sigue siendo 1/18. Así se desmonta el mito del número atrasado.
10eLotto: ¿cuántos aciertos?
En el modelo básico del 10eLotto, fijamos m números entre 1 y 90, con m entre 1 y 10. Se extraen 20 números diferentes de los 90. Cada ensayo cuenta los aciertos, desde cero hasta m. Excluimos las opciones Oro y Extra, las apuestas y los premios.
Para obtener exactamente k aciertos, elegimos k de nuestros m números y los otros 20−k entre los 90−m que no elegimos. Dividiendo por todos los grupos posibles de 20 resulta P(X=k) = C(m,k) × C(90−m,20−k) / C(90,20). El histograma compara esta distribución exacta con los ensayos simulados. Al cambiar m se modifica toda la distribución, no solo la probabilidad del máximo.
Eurojackpot: dos sorteos en un mismo resultado
Los grupos son distintos: se comparan cinco números elegidos de 50 con cinco extraídos de 50 y, por separado, dos Euronúmeros elegidos de 12 con dos extraídos de 12. Un resultado 3+1 significa tres aciertos principales y uno entre los Euronúmeros. El laboratorio muestra las 18 parejas posibles, incluso las que no corresponden a categorías premiadas.
Para los números principales, P(X=i) = C(5,i)C(45,5−i)/C(50,5); para los Euronúmeros, P(Y=j) = C(2,j)C(10,2−j)/C(12,2). Los grupos se extraen por separado, por lo que P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j). Un resultado rarísimo puede no aparecer tras muchas pruebas: la tabla conserva su probabilidad teórica numérica aunque la barra esté vacía.
Solitario de 40 cartas: perder casi siempre no significa siempre
Barajamos 40 cartas napolitanas, cuatro de cada valor entre 1 y 10. Descubrimos una carta cada vez mientras decimos 1, 2, …, 10 cuatro veces. La primera coincidencia entre el número dicho y la carta hace perder; pasar todo el mazo sin coincidencias permite ganar. La simulación mezcla mazos completos y cuenta victorias y derrotas.
Las cartas se sacan sin reemplazo: las 40 posiciones no son pruebas independientes. El cálculo exacto por inclusión-exclusión da P(victoria) ≈ 1,5621568639 % y P(derrota) ≈ 98,4378431361 %. Ganar es posible, pero poco frecuente. La demostración paso a paso está en el artículo del solitario de 40 cartas.
¿Qué aprendemos de los ensayos?
Con muchos ensayos, las frecuencias tienden a acercarse a las probabilidades teóricas. Esto no garantiza una coincidencia perfecta ni permite predecir el próximo lanzamiento. La comparación entre fluctuaciones aleatorias y estructura matemática es lo que hace útil el experimento.