La probabilità teorica descrive un modello; la frequenza osservata racconta che cosa è accaduto in una serie concreta di prove. Nel laboratorio possiamo metterle fianco a fianco: scegliamo un esperimento, eseguiamo una prova o molte prove e guardiamo gli istogrammi cambiare.
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Come leggere un istogramma
Per ogni esito, il numero di occorrenze diviso per il numero totale di prove è la frequenza relativa. Per esempio, se il 6 appare 18 volte in 100 lanci, la sua frequenza osservata è 18/100 = 18%. La probabilità teorica di ottenere 6 con un dado equilibrato rimane 1/6, cioè circa 16,67%: la differenza non significa che il dado sia difettoso.
Nel laboratorio le barre blu rappresentano le frequenze osservate e quelle arancioni le probabilità teoriche. Accanto sono indicati conteggi, percentuali e scarto in punti percentuali. Puoi iniziare con una sola prova, aggiungerne altre, fermare l’esecuzione o azzerare i risultati.
Un dado: sei esiti equiprobabili
Ogni faccia da 1 a 6 ha probabilità 1/6. Su poche prove l’istogramma può essere molto irregolare. Aumentando i lanci, le sei frequenze tendono a raggrupparsi vicino a 16,67%, ma non diventano necessariamente identiche.
Due dadi: perché la somma 7 è favorita
Le coppie ordinate possibili sono 36. La somma 2 si ottiene soltanto con (1,1), dunque ha probabilità 1/36. La somma 7 si ottiene con sei coppie: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). La sua probabilità è 6/36 = 1/6. Per una somma s tra 2 e 12, il numero di coppie favorevoli è 6 − |7 − s|.
Tre monete: contare le teste
Tre monete equilibrate danno 2 × 2 × 2 = 8 sequenze equiprobabili. Se ci interessa soltanto quante teste compaiono, le probabilità per 0, 1, 2 e 3 teste sono rispettivamente 1/8, 3/8, 3/8 e 1/8. Gli esiti centrali sono più frequenti degli estremi.
Un’urna: due estrazioni senza reinserimento
L’urna contiene tre palline rosse e due blu. Estraiamo due palline senza rimettere la prima nell’urna. La probabilità di ottenere 0 rosse è 1/10; quella di ottenerne 1 è 6/10; quella di ottenerne 2 è 3/10. Le estrazioni non sono indipendenti: dopo la prima, la composizione dell’urna cambia.
Monty Hall: restare o cambiare?
Ci sono tre porte e un solo premio. Scegli una porta; il conduttore conosce il premio e apre sempre un’altra porta che nasconde una capra. Restare con la scelta iniziale vince quando quella scelta era giusta, con probabilità 1/3. Cambiare vince quando la scelta iniziale era sbagliata, con probabilità 2/3. Ogni prova del laboratorio confronta entrambe le strategie nella stessa situazione.
Poisson: quanti eventi in un intervallo?
Immaginiamo di contare le chiamate ricevute in un’ora. Se gli eventi avvengono indipendentemente e con un tasso medio costante, il modello di Poisson descrive il numero X di chiamate in ciascun intervallo. Il parametro λ è il numero medio atteso: puoi scegliere, per esempio, λ = 2 o λ = 8.
La probabilità di osservare esattamente k eventi è P(X = k) = e^(−λ) λ^k/k!, con k = 0, 1, 2, … . Per λ = 2, la probabilità di non osservare alcun evento è e^(−2), circa 13,53%; la probabilità di osservare un evento è 2e^(−2), circa 27,07%.
Nel laboratorio ogni prova genera un intervallo e ne conta gli eventi. L’ultima barra raccoglie tutti i conteggi oltre la soglia indicata, così nessuna probabilità va persa. Cambiando λ, l’istogramma si sposta verso conteggi più alti.
Paradosso dei compleanni
In un gruppo di n persone, qual è la probabilità che almeno due siano nate lo stesso giorno? Supponiamo 365 giorni equiprobabili, senza anni bisestili, e compleanni indipendenti. È più semplice calcolare il complemento: la prima persona può nascere in qualunque giorno, la seconda deve scegliere uno dei 364 giorni rimasti e così via. Perciò P(nessuna coincidenza) = 365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365 e P(almeno una coincidenza) = 1 − P(nessuna). Con 23 persone il risultato supera il 50%. Nel laboratorio scegli la dimensione del gruppo e confronta i due esiti.
Passeggiata casuale
Una pedina parte da zero e compie n passi indipendenti: ciascuno vale +1 o −1 con la stessa probabilità. Se k passi vanno a destra, la posizione finale è 2k−n. Ci sono C(n,k) sequenze con k passi a destra su 2^n sequenze possibili, quindi P(posizione = 2k−n) = C(n,k)/2^n. Scegli n e osserva perché le posizioni centrali sono più frequenti.
Quanto occorre per vedere tutte le facce?
Lancia un dado finché tutte le sei facce non sono apparse. Il tempo di attesa cambia molto da una prova all’altra. Dopo avere visto j facce, la probabilità che il prossimo lancio mostri una faccia nuova è (6−j)/6; il tempo medio per ottenerla è 6/(6−j). Sommando le sei attese: E(T) = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 14,7 lanci. L’istogramma raggruppa i tempi 6–9, 10–12, 13–15, 16–20, 21–30 e 31 o più. Le probabilità delle barre derivano dal conteggio esatto delle sequenze.
Ago di Buffon: una stima di π
Traccia righe parallele a distanza d e lascia cadere un ago di lunghezza l non maggiore di d. Con orientamento e posizione uniformi, il rapporto r = l/d determina P(incrocio) = 2r/π. Se C aghi incrociano una riga in N prove, la frequenza C/N fornisce π ≈ 2rN/C. Senza incroci la stima non è definita. Il laboratorio mostra incroci e mancati incroci, confronta frequenza e teoria e aggiorna la stima di π: con poche prove può essere imprecisa.
Medie di molti lanci
Una prova consiste nel lanciare m dadi equilibrati e registrare la loro media. Un solo dado produce valori uniformi da 1 a 6; aumentando m, le medie si concentrano intorno a 3,5. Il laboratorio raggruppa le medie in intervalli larghi 0,5 e calcola le probabilità teoriche contando esattamente le somme possibili, senza sostituirle con una curva normale. Confronta m = 1 e m = 20 per vedere il cambiamento.
Lotto: un numero ritardatario diventa più probabile?
Su una sola ruota del Lotto sono estratti cinque numeri diversi tra 1 e 90. Fissiamo un numero e chiediamoci quante estrazioni occorrono per vederlo almeno una volta. In una singola estrazione la sua probabilità di comparire è 5/90 = 1/18. Se consideriamo estrazioni indipendenti, la probabilità che non esca nelle prime n−1 e compaia nella n-esima è P(T=n) = (17/18)^(n−1) × 1/18.
Nel laboratorio una prova termina quando il numero compare; l’istogramma raggruppa i tempi di attesa, con una categoria finale di 41 o più estrazioni. Il tempo medio teorico è 18 estrazioni, ma non è una scadenza: anche dopo 40 assenze, la probabilità della prossima estrazione resta 1/18. È il modo più chiaro per smontare il mito del numero ritardatario.
10eLotto: quante coincidenze?
Nel modello base del 10eLotto scegliamo m numeri fissi fra 1 e 90, con m tra 1 e 10. Vengono estratti 20 numeri diversi, sempre fra 1 e 90. Ogni prova conta quante delle nostre scelte sono presenti: da zero a m. Non consideriamo Numero Oro, Extra, importi o premi.
Se X è il numero di coincidenze, per ottenerne esattamente k scegliamo k numeri tra i nostri m e gli altri 20−k tra i 90−m che non abbiamo scelto. Dividendo per le possibili ventine otteniamo P(X=k) = C(m,k) × C(90−m,20−k) / C(90,20). L’istogramma mette a confronto questa distribuzione esatta con le prove simulate. Cambiando m, cambiano anche tutte le probabilità, non solo la probabilità del risultato massimo.
Eurojackpot: due estrazioni nello stesso risultato
Qui i due gruppi sono distinti: si confrontano cinque numeri scelti su 50 con cinque estratti su 50 e due Euronumeri scelti su 12 con due estratti su 12. Un esito scritto 3+1 significa tre coincidenze principali e una fra gli Euronumeri. Il laboratorio mostra tutte le 18 coppie possibili, anche quelle che non sono categorie premiate.
Per i numeri principali, P(X=i) = C(5,i)C(45,5−i)/C(50,5); per gli Euronumeri, P(Y=j) = C(2,j)C(10,2−j)/C(12,2). I due gruppi sono estratti separatamente, quindi P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j). Le categorie rarissime possono avere zero occorrenze anche dopo molte prove: per questo la tabella conserva la probabilità teorica numerica, senza interpretare una barra vuota come probabilità zero.
Il solitario «suicidio»: perdere quasi sempre non significa sempre
Mescoliamo 40 carte napoletane, quattro per ciascun valore da 1 a 10. Scopriamo una carta alla volta dicendo 1, 2, …, 10 e ricominciando, per quattro giri. Alla prima uguaglianza tra valore detto e carta scoperta perdiamo; se completiamo il mazzo senza coincidenze vinciamo. La simulazione ripete mescolate complete e separa le vittorie dalle sconfitte.
Le carte si estraggono senza reinserimento: non è corretto trattare le 40 posizioni come prove indipendenti. Il conteggio esatto per inclusione-esclusione dà P(vittoria) ≈ 1,5621568639% e P(sconfitta) ≈ 98,4378431361%. Una vittoria è possibile ma rara. La dimostrazione passo passo è nell’articolo Il solitario «suicidio»: perché si perde quasi sempre.
Che cosa impariamo dalle prove?
Con molte prove le frequenze tendono ad avvicinarsi alle probabilità teoriche. Non è però una promessa di uguaglianza perfetta e non rende prevedibile il risultato del prossimo lancio. È proprio il confronto tra oscillazione casuale e struttura matematica a rendere utile l’esperimento.