La probabilité théorique décrit un modèle ; la fréquence observée raconte ce qui s’est produit dans une série concrète d’essais. Dans le laboratoire, nous pouvons les placer côte à côte : choisir une expérience, effectuer un essai ou beaucoup d’essais et regarder les histogrammes évoluer.
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Comment lire un histogramme
Pour chaque résultat, le nombre d’apparitions divisé par le nombre total d’essais est la fréquence relative. Par exemple, si le 6 apparaît 18 fois en 100 lancers, sa fréquence observée est 18/100 = 18 %. La probabilité théorique d’obtenir 6 avec un dé équilibré reste 1/6, soit environ 16,67 % : cette différence ne signifie pas que le dé est défectueux.
Dans le laboratoire, les barres bleues représentent les fréquences observées et les barres orange les probabilités théoriques. On trouve à côté les nombres d’occurrences, les pourcentages et les écarts en points de pourcentage. Vous pouvez commencer par un essai, en ajouter, arrêter la simulation ou remettre les résultats à zéro.
Un dé : six résultats équiprobables
Chaque face de 1 à 6 a une probabilité de 1/6. Avec peu d’essais, l’histogramme peut être très irrégulier. Quand le nombre de lancers augmente, les six fréquences tendent à se regrouper près de 16,67 %, sans devenir nécessairement identiques.
Deux dés : pourquoi la somme 7 est favorisée
Il existe 36 couples ordonnés possibles. La somme 2 ne provient que de (1,1) : sa probabilité est donc 1/36. La somme 7 provient de six couples : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Sa probabilité est 6/36 = 1/6. Pour une somme s de 2 à 12, le nombre de couples favorables est 6 − |7 − s|.
Trois pièces : compter les faces
Trois pièces équilibrées donnent 2 × 2 × 2 = 8 séquences équiprobables. Si seul le nombre de faces nous intéresse, les probabilités de 0, 1, 2 et 3 faces sont respectivement 1/8, 3/8, 3/8 et 1/8. Les résultats centraux sont plus fréquents que les extrêmes.
Une urne : deux tirages sans remise
L’urne contient trois boules rouges et deux bleues. Nous tirons deux boules sans remettre la première dans l’urne. La probabilité d’obtenir 0 boule rouge est 1/10 ; celle d’en obtenir 1 est 6/10 ; celle d’en obtenir 2 est 3/10. Les tirages ne sont pas indépendants : après le premier, la composition de l’urne a changé.
Monty Hall : rester ou changer ?
Il y a trois portes et un seul prix. Vous choisissez une porte ; l’animateur connaît la position du prix et ouvre toujours une autre porte cachant une chèvre. Rester gagne si votre choix initial était correct, avec une probabilité de 1/3. Changer gagne si votre choix initial était incorrect, avec une probabilité de 2/3. Chaque essai du laboratoire compare les deux stratégies dans la même situation.
Poisson : combien d’événements dans un intervalle ?
Imaginons que nous comptions les appels reçus en une heure. Si les événements surviennent indépendamment à un taux moyen constant, le modèle de Poisson décrit le nombre X d’appels dans chaque intervalle. Le paramètre λ est le nombre moyen attendu : vous pouvez choisir, par exemple, λ = 2 ou λ = 8.
La probabilité d’observer exactement k événements est P(X = k) = e^(−λ) λ^k/k!, avec k = 0, 1, 2, … . Pour λ = 2, la probabilité de zéro événement est e^(−2), environ 13,53 % ; celle d’un événement est 2e^(−2), environ 27,07 %.
Dans le laboratoire, chaque essai crée un intervalle et compte ses événements. La dernière barre regroupe tous les nombres au-dessus du seuil indiqué : aucune probabilité n’est perdue. Quand λ augmente, l’histogramme se déplace vers des nombres plus élevés.
Paradoxe des anniversaires
Dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité que deux au moins partagent leur anniversaire ? Supposons 365 jours équiprobables, sans années bissextiles, et des anniversaires indépendants. Calculons le complément : la première personne peut naître n’importe quel jour, la deuxième doit choisir parmi les 364 jours restants, et ainsi de suite. Donc P(aucune coïncidence) = 365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365 et P(au moins une) = 1 − P(aucune). Avec 23 personnes, la probabilité dépasse 50 %. Choisissez la taille du groupe et comparez les résultats.
Marche aléatoire
Un pion part de zéro et effectue n pas indépendants, chacun valant +1 ou −1 avec la même probabilité. Si k pas vont à droite, la position finale vaut 2k−n. Il existe C(n,k) trajets correspondants parmi 2^n trajets possibles ; donc P(position = 2k−n) = C(n,k)/2^n. Choisissez n et observez pourquoi les positions centrales sont plus fréquentes.
Combien de lancers pour voir toutes les faces ?
Lancez un dé jusqu’à voir ses six faces. Le temps d’attente varie beaucoup. Après j faces distinctes, la probabilité que le prochain lancer apporte une nouvelle face vaut (6−j)/6 ; son attente moyenne est 6/(6−j). La somme des six attentes donne E(T) = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) = 14,7 lancers. L’histogramme regroupe les attentes 6–9, 10–12, 13–15, 16–20, 21–30 et 31 ou plus. Les probabilités sont calculées exactement.
Aiguille de Buffon : estimer π
Tracez des lignes parallèles séparées de d et laissez tomber une aiguille de longueur l, avec l ≤ d. Pour une orientation et une position uniformes, le rapport r = l/d donne P(intersection) = 2r/π. Si C aiguilles croisent une ligne en N essais, la fréquence C/N donne π ≈ 2rN/C. Sans intersection, l’estimation est indéfinie. Le laboratoire compare les fréquences à la théorie et met à jour l’estimation ; peu d’essais donnent souvent une valeur imprécise.
Moyennes de plusieurs lancers
Chaque essai lance m dés équilibrés et note leur moyenne. Un seul dé donne des résultats uniformes de 1 à 6 ; quand m augmente, les moyennes se concentrent autour de 3,5. Le laboratoire les regroupe par intervalles de largeur 0,5 et calcule exactement les probabilités à partir de toutes les sommes possibles, sans courbe normale approximative. Comparez m = 1 et m = 20.
Lotto : un numéro en retard devient-il plus probable ?
Sur une roue du Lotto, cinq numéros distincts sont tirés parmi 90. Fixons un numéro et demandons-nous combien de tirages précèdent sa première apparition. À chaque tirage, sa probabilité de sortir vaut 5/90 = 1/18. Pour des tirages indépendants, la probabilité de son absence pendant les n−1 premiers suivie de sa présence au n-ième est P(T=n) = (17/18)^(n−1) × 1/18.
Au laboratoire, un essai se termine quand le numéro apparaît. L’histogramme regroupe les temps d’attente, avec une dernière classe de 41 tirages ou plus. L’attente moyenne théorique est de 18 tirages, mais ce n’est pas une échéance : même après 40 absences, la probabilité au prochain tirage reste 1/18. Le mythe du numéro « dû » disparaît.
10eLotto : combien de coïncidences ?
Dans le modèle de base du 10eLotto, choisissons m numéros fixes entre 1 et 90, avec m compris entre 1 et 10. Tirons 20 numéros distincts parmi 90. Chaque essai compte les coïncidences, de zéro à m. Les options Oro et Extra, les mises et les gains sont exclus.
Pour obtenir exactement k coïncidences, choisissons k numéros parmi nos m numéros et les 20−k autres parmi les 90−m non choisis. En divisant par le nombre de groupes de 20 possibles, nous obtenons P(X=k) = C(m,k) × C(90−m,20−k) / C(90,20). L’histogramme confronte cette distribution exacte aux essais simulés. Modifier m change toute la distribution, pas seulement la probabilité du maximum.
Eurojackpot : deux tirages pour un résultat
Les deux groupes sont distincts : comparez cinq numéros choisis parmi 50 avec cinq tirés parmi 50, puis deux Euronuméros choisis parmi 12 avec deux tirés parmi 12. Un résultat 3+1 signifie trois coïncidences principales et une parmi les Euronuméros. Le laboratoire présente les 18 couples possibles, même ceux qui ne donnent pas de gain.
Pour les numéros principaux, P(X=i) = C(5,i)C(45,5−i)/C(50,5) ; pour les Euronuméros, P(Y=j) = C(2,j)C(10,2−j)/C(12,2). Les groupes sont tirés séparément, donc P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j). Un résultat très rare peut ne jamais apparaître dans de nombreux essais : le tableau conserve donc sa probabilité théorique numérique même si la barre reste vide.
Solitaire des 40 cartes : perdre presque toujours ne signifie pas toujours
Mélangeons 40 cartes napolitaines, quatre de chaque valeur de 1 à 10. Retournons-les en disant 1, 2, …, 10 quatre fois de suite. La première coïncidence entre le nombre annoncé et la carte fait perdre ; traverser le jeu entier sans coïncidence fait gagner. La simulation mélange le jeu complet et compte les victoires et les défaites.
Les cartes sont tirées sans remise : les 40 positions ne sont donc pas indépendantes. Le calcul exact par inclusion-exclusion donne P(victoire) ≈ 1,5621568639 % et P(défaite) ≈ 98,4378431361 %. Gagner reste possible, mais rare. La démonstration complète se trouve dans le solitaire des 40 cartes.
Que nous apprennent les essais ?
Avec de nombreux essais, les fréquences tendent à se rapprocher des probabilités théoriques. Cela ne garantit pas une égalité parfaite et ne permet pas de prévoir le résultat du prochain lancer. C’est la comparaison entre fluctuations aléatoires et structure mathématique qui rend l’expérience utile.