Trabajar juntos: tres problemas y sus fórmulas

Retomamos la fórmula obtenida en el artículo de IA y pensamiento Si pido ayuda, ¿por qué debería tardar más?.

Desarrollamos tres problemas con los mismos protagonistas, Aldo y Beniamino. Cambian los datos conocidos, no el modelo de trabajo. En el tercer caso transformamos la proporción entre los tiempos mediante la relación del segundo: A = B + T.

Siempre se trata del mismo trabajo completo. Ambos empiezan juntos, trabajan a ritmo constante, pueden repartirse la tarea y no se estorban. A, B y N son tiempos positivos; cada cálculo utiliza una misma unidad, horas o minutos.

Antes de empezar: los símbolos

Si T > 0, Aldo tarda más; si T < 0, tarda menos; si T = 0, ambos tiempos son iguales. En el problema 2, «T más» corresponde a T ≥ 0. Las fórmulas también son válidas para una diferencia negativa, como necesitaremos en el problema 3.

Problema 1: conocemos los tiempos individuales

Aldo completa solo un trabajo en A horas. Beniamino completa solo el mismo trabajo en B horas. ¿Cuánto tiempo N necesitan si trabajan juntos?

Elegimos una sola unidad, por ejemplo la hora, y consideramos A y B como los valores numéricos de los tiempos. Para evitar fracciones durante el razonamiento, imaginamos un intervalo de A × B horas.

1. Aldo completa un trabajo cada A horas. En A × B horas completa B trabajos.
2. Beniamino completa un trabajo cada B horas. En A × B horas completa A trabajos.
3. Juntos, en el mismo intervalo de A × B horas, completan A + B trabajos.
4. Para saber cuánto tarda un solo trabajo, dividimos el tiempo total A × B entre el número de trabajos A + B.

Fórmula del problema 1

N = (A × B) / (A + B)

Ejemplo ya tratado en el artículo de IA: A = 3 horas, B = 4 horas

Con A = 3 horas y B = 4 horas, elegimos un intervalo de 12 horas. Aldo completa 4 trabajos y Beniamino 3: juntos hacen 7 trabajos en 12 horas. Un trabajo necesita, por tanto, 12/7 de hora.

Ahora aplicamos la fórmula a los dos tiempos:

N = (3 × 4) / (3 + 4) = 12/7

El resultado es 12/7 de hora, aproximadamente 1 hora, 42 minutos y 51 segundos. No es la media de los dos tiempos individuales.

Con dos aportaciones positivas, el tiempo conjunto es menor que ambos tiempos individuales. Si A = B, la fórmula da N = A/2.

Problema 2: conocemos el tiempo conjunto y la diferencia

Aldo y Beniamino terminan juntos un trabajo en N horas. Solo, Aldo tardaría T horas más que Beniamino en terminar el mismo trabajo. ¿Cuánto tardaría Aldo solo? ¿Y Beniamino?

Los datos son N y T; las incógnitas son A y B. El sistema paramétrico es:

(A × B) / (A + B) = N
A = B + T

De la segunda relación obtenemos B = A − T y lo sustituimos en la primera. Al multiplicar y ordenar obtenemos una ecuación de segundo grado:

B = A − T
A(A − T) / (2A − T) = N
A² − AT = 2NA − NT
A² − (T + 2N)A + NT = 0

El discriminante se simplifica así:

Δ = (T + 2N)² − 4NT = T² + 4N²

Elegimos el signo + delante de la raíz: es la única rama que da dos tiempos positivos. El signo − no daría dos duraciones físicamente aceptables. Las soluciones paramétricas son:

Fórmulas del problema 2

A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2

Conservamos también la ecuación equivalente en B: la utilizaremos para reducir el problema 3 al mismo caso algebraico.

B² + (T − 2N)B − NT = 0

Estas fórmulas son válidas para N > 0 y cualquier diferencia real T. Si T = 0, dan A = B = 2N. Antes de sustituir los datos hay que unificar horas y minutos.

Dos ejemplos del problema 2

Ejemplo 2a: N = 4/3 de hora, T = 2 horas

Aldo y Beniamino terminan juntos un trabajo en una hora y un tercio, es decir, N = 4/3 de hora. Solo, Aldo tarda 2 horas más que Beniamino. ¿Cuánto tarda cada uno solo?

El enunciado utiliza horas; haremos los cálculos en minutos. Primero convertimos ambos datos:

N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
T = 2 h = 2 × 60 min = 120 min

√(120² + 4 × 80²) = √40000 = 200
A = (2 × 80 + 120 + 200) / 2 = 240
B = (2 × 80 − 120 + 200) / 2 = 120

Los resultados de las fórmulas están en minutos: Aldo tarda 240 minutos y Beniamino 120 minutos.

Solo ahora convertimos los resultados a horas, dividiendo entre 60:

A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h

Aldo tarda, por tanto, 4 horas y Beniamino 2 horas. Comprobamos en minutos el tiempo conjunto y la diferencia:

(240 × 120) / (240 + 120) = 80
240 − 120 = 120

Ejemplo 2b: N = 36 minutos, T = 30 minutos

Juntos terminan en 36 minutos; solo, Aldo tarda 30 minutos más. Aplicamos las mismas fórmulas:

√(30² + 4 × 36²) = √6084 = 78
A = (2 × 36 + 30 + 78) / 2 = 90
B = (2 × 36 − 30 + 78) / 2 = 60

Aldo tarda 90 minutos y Beniamino 60 minutos. Comprobamos:

(90 × 60) / (90 + 60) = 36
90 − 60 = 30

Problema 3: conocemos el tiempo conjunto y la proporción

Aldo y Beniamino terminan juntos un trabajo en N horas. Solo, Aldo tardaría t1/t2 veces el tiempo de Beniamino. ¿Cuánto tardaría Aldo solo? ¿Y Beniamino?

Ahora los datos son N y la proporción t1/t2. La relación entre los tiempos es A = (t1/t2)B, con t1 > 0 y t2 > 0. El sistema es:

(A × B) / (A + B) = N
A = (t1/t2)B

Transformar la relación, no el problema

Queremos reescribir A = (t1/t2)B como A = B + T. Restamos B y sacamos B como factor común:

T = A − B = (t1/t2)B − B
T = ((t1 − t2)/t2)B = B(t1 − t2)/t2
A = B + ((t1 − t2)/t2)B = B + T

T no es un nuevo número asignado: sigue expresado en función de la incógnita B. La transformación algebraica exige t2 ≠ 0. No podemos sustituir T solo por la proporción (t1 − t2)/t2: hay que multiplicarla por B.

Utilizamos ahora la ecuación en B del problema 2 y sustituimos esta expresión de T. Multiplicando por t2 y sacando B como factor común obtenemos:

B² + (T − 2N)B − NT = 0
B² + [((t1 − t2)/t2)B − 2N]B − N[(t1 − t2)/t2]B = 0
t2 B² + (t1 − t2)B² − 2Nt2 B − N(t1 − t2)B = 0
t1 B² − N(t1 + t2)B = 0
B[t1 B − N(t1 + t2)] = 0

Descartamos B = 0 porque un tiempo de trabajo debe ser positivo. Calculamos B y después A mediante la proporción inicial. Estas son las soluciones paramétricas del problema 3:

Fórmulas del problema 3

A = N(t1 + t2)/t2
B = N(t1 + t2)/t1

Hemos reducido la relación del caso 3 a la forma del caso 2, manteniendo T = B(t1 − t2)/t2. Si t1 < t2, T es negativo; si t1 > t2, es positivo.

Ejemplo del problema 3: B = A/2

Retomamos el mismo ejemplo: Aldo y Beniamino terminan juntos un trabajo en una hora y un tercio, es decir, N = 4/3 de hora. Solo, Beniamino tarda la mitad que Aldo: B = A/2. ¿Cuánto tarda cada uno solo?

Partimos de B = A/2. Multiplicamos por 2 y escribimos A = 2B: en la relación general A = (t1/t2)B tenemos, por tanto, t1 = 2 y t2 = 1. Transformamos la proporción a la forma del problema 2:

B = A/2
A = 2B = B + B = B + T
T = B(2 − 1)/1 = B

Convertimos el tiempo conjunto a minutos y sustituimos los valores en las fórmulas del problema 3:

N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
A = 80 × (2 + 1) / 1 = 240
B = 80 × (2 + 1) / 2 = 120

Las fórmulas dan A = 240 minutos y B = 120 minutos. Después convertimos ambos resultados a horas:

A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h

Obtenemos de nuevo A = 4 horas y B = 2 horas, como en el ejemplo 2a. Esta vez el dato inicial era la proporción B = A/2, no la diferencia. Tras hallar los tiempos, comprobamos también T = 120 minutos, es decir, 2 horas:

T = 240 − 120 = 120 min = 2 h
(240 × 120) / (240 + 120) = 80
120 = 240/2

Las fórmulas de un vistazo

En el primer caso calculamos el tiempo conjunto. En el segundo reconstruimos los tiempos individuales conociendo su diferencia. En el tercero transformamos la relación de proporción en la misma forma A = B + T, manteniendo su vínculo con B.

1) N = (A × B) / (A + B)
2) A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
2) B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2
3) A = N(t1 + t2)/t2
3) B = N(t1 + t2)/t1
3 → 2: T = B(t1 − t2)/t2

Del razonamiento a la fórmula

Una fórmula es útil cuando sabemos qué datos conocemos, qué cantidades buscamos y qué relaciones debemos seguir respetando. El paso de la proporción a la diferencia lo demuestra: podemos cambiar la forma de una relación sin cambiar el problema.

Releer la lección de IA y pensamiento de la que nace la fórmula del trabajo conjunto.