Nous reprenons la formule obtenue dans l’article IA et pensée Si je demande de l’aide, pourquoi devrais-je mettre plus de temps ?.
Nous développons trois problèmes avec les mêmes personnages, Aldo et Beniamino. Les données connues changent, pas le modèle du travail. Dans le troisième cas, nous transformons le rapport entre les durées à l’aide de la relation du deuxième : A = B + T.
Il s’agit toujours du même travail complet. Les deux commencent ensemble, travaillent à rythme constant, peuvent se partager la tâche et ne se gênent pas. A, B et N sont des durées positives ; chaque calcul utilise une seule unité cohérente, heures ou minutes.
Avant de commencer : les symboles
| Symbole | Signification |
|---|---|
| A | Durée nécessaire à Aldo pour terminer seul le travail |
| B | Durée nécessaire à Beniamino pour terminer seul le travail |
| N | Durée nécessaire lorsqu’ils travaillent ensemble |
| T | Différence signée A − B, dans la même unité que les durées |
| t1, t2 | Nombres positifs exprimant le rapport entre A et B ; ce rapport n’a pas d’unité |
Si T > 0, Aldo met plus de temps ; si T < 0, il met moins de temps ; si T = 0, les deux durées sont égales. Dans le problème 2, « T de plus » correspond à T ≥ 0. Les formules restent valables pour une différence négative, ce qui sera utile dans le problème 3.
Problème 1 : les durées individuelles sont connues
Aldo termine seul un travail en A heures. Beniamino termine seul le même travail en B heures. Quelle durée N leur faut-il lorsqu’ils travaillent ensemble ?
Choisissons une seule unité, par exemple l’heure, et considérons A et B comme les valeurs numériques des durées. Pour éviter les fractions pendant le raisonnement, imaginons un intervalle de A × B heures.
- Aldo termine un travail toutes les A heures. En A × B heures, il termine B travaux.
- Beniamino termine un travail toutes les B heures. En A × B heures, il termine A travaux.
- Ensemble, pendant le même intervalle de A × B heures, ils terminent A + B travaux.
- Pour connaître la durée d’un seul travail, divisons la durée totale A × B par le nombre de travaux A + B.
Formule du problème 1
N = (A × B) / (A + B)
Exemple déjà étudié dans l’article sur l’IA : A = 3 heures, B = 4 heures
Avec A = 3 heures et B = 4 heures, choisissons un intervalle de 12 heures. Aldo termine 4 travaux et Beniamino 3 : ensemble, ils réalisent 7 travaux en 12 heures. Un travail demande donc 12/7 d’heure.
Appliquons maintenant la formule aux deux durées :
N = (3 × 4) / (3 + 4) = 12/7
Le résultat est 12/7 d’heure, soit environ 1 heure, 42 minutes et 51 secondes. Ce n’est pas la moyenne des deux durées individuelles.
Avec deux contributions positives, la durée commune est inférieure aux deux durées individuelles. Si A = B, la formule donne N = A/2.
Problème 2 : la durée commune et la différence sont connues
Aldo et Beniamino terminent ensemble un travail en N heures. Seul, Aldo mettrait T heures de plus que Beniamino pour terminer le même travail. Quelle durée faudrait-il à Aldo seul ? Et à Beniamino ?
Les données sont N et T ; les inconnues sont A et B. Le système paramétrique est :
(A × B) / (A + B) = N
A = B + T
La deuxième relation donne B = A − T, que nous remplaçons dans la première. En multipliant puis en regroupant, nous obtenons une équation du second degré :
B = A − T
A(A − T) / (2A − T) = N
A² − AT = 2NA − NT
A² − (T + 2N)A + NT = 0
Le discriminant se simplifie ainsi :
Δ = (T + 2N)² − 4NT = T² + 4N²
Nous choisissons le signe + devant la racine : seule cette branche donne deux durées positives. Le signe − ne donnerait pas deux durées physiquement acceptables. Les solutions paramétriques sont :
Formules du problème 2
A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2
Conservons aussi l’équation équivalente en B : nous l’utiliserons pour ramener le problème 3 au même cas algébrique.
B² + (T − 2N)B − NT = 0
Ces formules sont valables pour N > 0 et toute différence réelle T. Si T = 0, elles donnent A = B = 2N. Il faut rendre les heures et les minutes cohérentes avant de remplacer les données.
Deux exemples du problème 2
Exemple 2a : N = 4/3 d’heure, T = 2 heures
Aldo et Beniamino terminent ensemble un travail en une heure et un tiers, soit N = 4/3 d’heure. Seul, Aldo met 2 heures de plus que Beniamino. Combien de temps faut-il à chacun seul ?
L’énoncé est en heures ; nous effectuerons les calculs en minutes. Convertissons d’abord les deux données :
N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
T = 2 h = 2 × 60 min = 120 min
√(120² + 4 × 80²) = √40000 = 200
A = (2 × 80 + 120 + 200) / 2 = 240
B = (2 × 80 − 120 + 200) / 2 = 120
Les résultats des formules sont en minutes : Aldo met 240 minutes et Beniamino 120 minutes.
Ce n’est que maintenant que nous convertissons les résultats en heures, en divisant par 60 :
A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h
Aldo met donc 4 heures et Beniamino 2 heures. Vérifions en minutes la durée commune et la différence :
(240 × 120) / (240 + 120) = 80
240 − 120 = 120
Exemple 2b : N = 36 minutes, T = 30 minutes
Ensemble, ils terminent en 36 minutes ; seul, Aldo met 30 minutes de plus. Appliquons les mêmes formules :
√(30² + 4 × 36²) = √6084 = 78
A = (2 × 36 + 30 + 78) / 2 = 90
B = (2 × 36 − 30 + 78) / 2 = 60
Aldo met 90 minutes et Beniamino 60 minutes. Vérifions :
(90 × 60) / (90 + 60) = 36
90 − 60 = 30
Problème 3 : la durée commune et le rapport sont connus
Aldo et Beniamino terminent ensemble un travail en N heures. Seul, Aldo mettrait t1/t2 fois la durée nécessaire à Beniamino. Quelle durée faudrait-il à Aldo seul ? Et à Beniamino ?
Les données sont maintenant N et le rapport t1/t2. La relation entre les durées est A = (t1/t2)B, avec t1 > 0 et t2 > 0. Le système est :
(A × B) / (A + B) = N
A = (t1/t2)B
Transformer la relation, pas le problème
Nous voulons réécrire A = (t1/t2)B sous la forme A = B + T. Soustrayons B et mettons B en facteur :
T = A − B = (t1/t2)B − B
T = ((t1 − t2)/t2)B = B(t1 − t2)/t2
A = B + ((t1 − t2)/t2)B = B + T
T n’est pas un nouveau nombre attribué : il reste exprimé en fonction de l’inconnue B. La transformation algébrique exige t2 ≠ 0. Nous ne pouvons pas remplacer T par le seul rapport (t1 − t2)/t2 : il faut multiplier ce rapport par B.
Utilisons maintenant l’équation en B du problème 2 et remplaçons T par cette expression. En multipliant par t2 puis en mettant B en facteur, nous obtenons :
B² + (T − 2N)B − NT = 0
B² + [((t1 − t2)/t2)B − 2N]B − N[(t1 − t2)/t2]B = 0
t2 B² + (t1 − t2)B² − 2Nt2 B − N(t1 − t2)B = 0
t1 B² − N(t1 + t2)B = 0
B[t1 B − N(t1 + t2)] = 0
Nous écartons B = 0, car une durée de travail doit être positive. Nous calculons B, puis A à partir du rapport initial. Voici les solutions paramétriques du problème 3 :
Formules du problème 3
A = N(t1 + t2)/t2
B = N(t1 + t2)/t1
Nous avons ramené la relation du cas 3 à la forme du cas 2, en conservant T = B(t1 − t2)/t2. Si t1 < t2, T est négatif ; si t1 > t2, il est positif.
Exemple du problème 3 : B = A/2
Reprenons le même exemple : Aldo et Beniamino terminent ensemble un travail en une heure et un tiers, soit N = 4/3 d’heure. Seul, Beniamino met la moitié du temps d’Aldo : B = A/2. Combien de temps faut-il à chacun seul ?
Partons de B = A/2. Multiplions par 2 pour écrire A = 2B : dans la relation générale A = (t1/t2)B, nous avons donc t1 = 2 et t2 = 1. Transformons le rapport sous la forme du problème 2 :
B = A/2
A = 2B = B + B = B + T
T = B(2 − 1)/1 = B
Convertissons la durée commune en minutes et remplaçons les valeurs dans les formules du problème 3 :
N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
A = 80 × (2 + 1) / 1 = 240
B = 80 × (2 + 1) / 2 = 120
Les formules donnent A = 240 minutes et B = 120 minutes. Convertissons ensuite les deux résultats en heures :
A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h
Nous retrouvons A = 4 heures et B = 2 heures, comme dans l’exemple 2a. Cette fois, la donnée initiale était le rapport B = A/2, et non la différence. Après avoir trouvé les durées, vérifions aussi T = 120 minutes, soit 2 heures :
T = 240 − 120 = 120 min = 2 h
(240 × 120) / (240 + 120) = 80
120 = 240/2
Les formules en un coup d’œil
| Cas | Données connues | Durées à calculer |
|---|---|---|
| 1 | A et B | N |
| 2 | N et T = A − B | A et B |
| 3 | N et rapport t1/t2 | A et B ; T reste lié à B |
Dans le premier cas, nous calculons la durée commune. Dans le deuxième, nous retrouvons les durées individuelles à partir de leur différence. Dans le troisième, nous transformons la relation de rapport sous la même forme A = B + T, en conservant son lien avec B.
1) N = (A × B) / (A + B)
2) A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
2) B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2
3) A = N(t1 + t2)/t2
3) B = N(t1 + t2)/t1
3 → 2: T = B(t1 − t2)/t2
Du raisonnement à la formule
Une formule est utile lorsque nous savons quelles données sont connues, quelles quantités nous cherchons et quelles relations doivent rester respectées. Le passage du rapport à la différence l’illustre : nous pouvons changer la forme d’une relation sans changer le problème.
Relire la leçon IA et pensée à l’origine de la formule du travail en commun.