Riprendiamo la formula ricavata nell’articolo di IA e pensiero Se chiamo qualcuno ad aiutarmi, perché dovrei impiegare più tempo?.
Qui sviluppiamo tre problemi con gli stessi protagonisti, Aldo e Beniamino. Cambiano i dati conosciuti, non il modello del lavoro. Nel terzo caso trasformiamo il rapporto tra i tempi nella relazione del secondo: A = B + T.
Si tratta sempre dello stesso lavoro completo. I due iniziano insieme, lavorano a ritmo costante, possono dividersi il lavoro e non si ostacolano. I tempi A, B e N sono positivi; in ogni calcolo usiamo la stessa unità, ore oppure minuti.
Prima di iniziare: i simboli
| Simbolo | Significato |
|---|---|
| A | Tempo di Aldo per completare da solo il lavoro |
| B | Tempo di Beniamino per completare da solo il lavoro |
| N | Tempo necessario se lavorano insieme |
| T | Differenza con segno A − B, espressa nella stessa unità dei tempi |
| t1, t2 | Numeri positivi che esprimono il rapporto fra A e B; il rapporto è senza unità |
Se T > 0, Aldo impiega più tempo; se T < 0, Aldo impiega meno tempo; se T = 0, i due tempi sono uguali. Nel testo del problema 2, «T in più» corrisponde a T ≥ 0. Le formule valgono anche per una differenza negativa: questo servirà nel problema 3.
Problema 1: conosciamo i tempi individuali
Aldo, da solo, completa un lavoro in A ore. Beniamino, da solo, completa lo stesso lavoro in B ore. Quanto tempo N impiegano lavorando insieme?
Scegliamo un’unica unità, per esempio l’ora, e consideriamo A e B come valori numerici dei tempi. Per evitare le frazioni durante il ragionamento, immaginiamo un intervallo di A × B ore.
- Aldo completa un lavoro ogni A ore. In A × B ore completa B lavori.
- Beniamino completa un lavoro ogni B ore. In A × B ore completa A lavori.
- Insieme, nello stesso intervallo di A × B ore, completano A + B lavori.
- Per sapere quanto tempo occorre per un solo lavoro, dividiamo il tempo totale A × B per il numero di lavori A + B.
Formula del problema 1
N = (A × B) / (A + B)
Esempio già discusso nell’articolo di IA: A = 3 ore, B = 4 ore
Con A = 3 ore e B = 4 ore scegliamo un intervallo di 12 ore. Aldo completa 4 lavori, Beniamino 3: insieme fanno 7 lavori in 12 ore. Per un lavoro impiegano quindi 12/7 di ora.
Ora applichiamo la formula ai due tempi:
N = (3 × 4) / (3 + 4) = 12/7
Il risultato è 12/7 di ora, circa 1 ora, 42 minuti e 51 secondi. Non è la media dei due tempi individuali.
Con due contributi positivi il tempo insieme è minore di entrambi i tempi individuali. Se A = B, la formula restituisce N = A/2.
Problema 2: conosciamo il tempo insieme e la differenza
Aldo e Beniamino, lavorando insieme, completano un lavoro in N ore. Da solo, Aldo impiegherebbe T ore in più di Beniamino per completare lo stesso lavoro. Quanto tempo impiegherebbe Aldo da solo? Quanto Beniamino?
I dati sono N e T; le incognite sono A e B. Il sistema parametrico è:
(A × B) / (A + B) = N
A = B + T
Dalla seconda relazione ricaviamo B = A − T e sostituiamo nella prima. Moltiplicando e riordinando otteniamo un’equazione di secondo grado:
B = A − T
A(A − T) / (2A − T) = N
A² − AT = 2NA − NT
A² − (T + 2N)A + NT = 0
Il discriminante si semplifica così:
Δ = (T + 2N)² − 4NT = T² + 4N²
Scegliamo il segno + davanti alla radice: è l’unico ramo che dà due tempi positivi. Con il segno − non avremmo due durate fisicamente accettabili. Le soluzioni parametriche sono:
Formule del problema 2
A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2
Conserviamo anche l’equazione equivalente in B: la useremo per trasformare il problema 3 nello stesso caso algebrico.
B² + (T − 2N)B − NT = 0
Queste formule valgono per N > 0 e per ogni differenza reale T. Se T = 0, danno A = B = 2N. Prima di sostituire i dati, ore e minuti vanno resi coerenti.
Due esempi del problema 2
Esempio 2a: N = 4/3 d’ora, T = 2 ore
Aldo e Beniamino completano insieme un lavoro in un’ora e un terzo, cioè N = 4/3 d’ora. Da solo, Aldo impiega 2 ore in più di Beniamino. Quanto tempo impiega ciascuno da solo?
L’enunciato è in ore; svolgiamo i calcoli in minuti. Convertiamo prima entrambi i dati:
N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
T = 2 h = 2 × 60 min = 120 min
√(120² + 4 × 80²) = √40000 = 200
A = (2 × 80 + 120 + 200) / 2 = 240
B = (2 × 80 − 120 + 200) / 2 = 120
I risultati delle formule sono in minuti: Aldo impiega 240 minuti e Beniamino 120 minuti.
Solo adesso trasformiamo i risultati in ore, dividendo per 60:
A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h
Quindi Aldo impiega 4 ore e Beniamino 2 ore. Verifichiamo in minuti sia il tempo insieme sia la differenza:
(240 × 120) / (240 + 120) = 80
240 − 120 = 120
Esempio 2b: N = 36 minuti, T = 30 minuti
Insieme terminano in 36 minuti; Aldo da solo impiega 30 minuti in più. Applichiamo le stesse formule:
√(30² + 4 × 36²) = √6084 = 78
A = (2 × 36 + 30 + 78) / 2 = 90
B = (2 × 36 − 30 + 78) / 2 = 60
Aldo impiega 90 minuti e Beniamino 60 minuti. Controlliamo:
(90 × 60) / (90 + 60) = 36
90 − 60 = 30
Problema 3: conosciamo il tempo insieme e il rapporto
Aldo e Beniamino, lavorando insieme, completano un lavoro in N ore. Da solo, Aldo impiegherebbe un tempo pari a t1/t2 volte quello di Beniamino. Quanto tempo impiegherebbe Aldo da solo? Quanto Beniamino?
Adesso i dati sono N e il rapporto t1/t2. La relazione tra i tempi è A = (t1/t2)B, con t1 > 0 e t2 > 0. Il sistema è:
(A × B) / (A + B) = N
A = (t1/t2)B
Trasformiamo la relazione, non il problema
Vogliamo riscrivere A = (t1/t2)B nella forma A = B + T. Sottraiamo B e raccogliamo il fattore B:
T = A − B = (t1/t2)B − B
T = ((t1 − t2)/t2)B = B(t1 − t2)/t2
A = B + ((t1 − t2)/t2)B = B + T
T non è un nuovo numero assegnato: rimane una quantità espressa in funzione dell’incognita B. La trasformazione algebrica richiede t2 ≠ 0. Non possiamo sostituire T con il solo rapporto (t1 − t2)/t2: quel rapporto va moltiplicato per B.
Usiamo ora l’equazione in B del problema 2 e vi sostituiamo questa espressione di T. Moltiplicando per t2 e raccogliendo B otteniamo:
B² + (T − 2N)B − NT = 0
B² + [((t1 − t2)/t2)B − 2N]B − N[(t1 − t2)/t2]B = 0
t2 B² + (t1 − t2)B² − 2Nt2 B − N(t1 − t2)B = 0
t1 B² − N(t1 + t2)B = 0
B[t1 B − N(t1 + t2)] = 0
Scartiamo B = 0, perché il tempo di lavoro deve essere positivo. Ricaviamo B e poi A mediante il rapporto iniziale. Abbiamo così le soluzioni parametriche del problema 3:
Formule del problema 3
A = N(t1 + t2)/t2
B = N(t1 + t2)/t1
Abbiamo ricondotto la relazione del caso 3 alla forma del caso 2, mantenendo T = B(t1 − t2)/t2. Se t1 < t2, T è negativo; se t1 > t2, è positivo.
Esempio del problema 3: B = A/2
Riprendiamo lo stesso esempio: Aldo e Beniamino completano insieme un lavoro in un’ora e un terzo, cioè N = 4/3 d’ora. Da solo, Beniamino impiega la metà del tempo di Aldo: B = A/2. Quanto tempo impiega ciascuno da solo?
Partiamo da B = A/2. Moltiplichiamo per 2 e scriviamo A = 2B: nella relazione generale A = (t1/t2)B abbiamo dunque t1 = 2 e t2 = 1. Trasformiamo il rapporto nella forma del problema 2:
B = A/2
A = 2B = B + B = B + T
T = B(2 − 1)/1 = B
Convertiamo il tempo insieme in minuti e sostituiamo i valori nelle formule del problema 3:
N = (4/3) h = (4/3) × 60 min = 80 min
A = 80 × (2 + 1) / 1 = 240
B = 80 × (2 + 1) / 2 = 120
Le formule danno A = 240 minuti e B = 120 minuti. Convertiamo poi i due risultati in ore:
A = 240 min = (240/60) h = 4 h
B = 120 min = (120/60) h = 2 h
Ritroviamo A = 4 ore e B = 2 ore, come nell’esempio 2a. Questa volta il dato iniziale era il rapporto B = A/2, non la differenza. Dopo aver trovato i tempi verifichiamo anche T = 120 minuti, cioè 2 ore:
T = 240 − 120 = 120 min = 2 h
(240 × 120) / (240 + 120) = 80
120 = 240/2
Le formule a colpo d’occhio
| Caso | Dati conosciuti | Tempi da ricavare |
|---|---|---|
| 1 | A e B | N |
| 2 | N e T = A − B | A e B |
| 3 | N e rapporto t1/t2 | A e B; T resta legato a B |
Nel primo caso calcoliamo il tempo insieme. Nel secondo ricostruiamo i tempi individuali conoscendone la differenza. Nel terzo trasformiamo la relazione di rapporto nella stessa forma A = B + T e ne conserviamo il legame con B.
1) N = (A × B) / (A + B)
2) A = (2N + T + √(T² + 4N²)) / 2
2) B = (2N − T + √(T² + 4N²)) / 2
3) A = N(t1 + t2)/t2
3) B = N(t1 + t2)/t1
3 → 2: T = B(t1 − t2)/t2
Dal ragionamento alla formula
Una formula è utile quando sappiamo quali dati conosciamo, quali quantità cerchiamo e quali relazioni restano da rispettare. Il passaggio dal rapporto alla differenza mostra proprio questo: possiamo cambiare la forma di una relazione senza cambiare il problema.
Rileggi la lezione in IA e pensiero da cui nasce la formula del lavoro insieme.