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Calcul de π

Partez de l’intégrale de 4√(1 − x²) sur [0, 1] pour approcher π, ou saisissez toute fonction autorisée et choisissez l’intervalle.

Calcul sécurisé avec PHP 8.4

\int_{0}^{1} 4 \sqrt{1 - x^{2}} d x = π

4*sqrt(1-x^2)

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Définir l’intégrale

Fonction f(x)

Utilisez x comme variable et écrivez toujours la multiplication, par exemple 4*x.

Intervalle d’intégration

Borne initiale a

Borne finale b

a et b doivent être finis. Si a est supérieur à b, le résultat change de signe ; si a est égal à b, l’intégrale vaut 0. Vous pouvez utiliser pi et e.

Méthode numérique

La méthode détermine comment les valeurs de la fonction sont choisies et combinées.

Point milieu Évalue la fonction au centre de chaque sous-intervalle. Trapèzes Relie les valeurs successives par des segments et additionne les trapèzes. Simpson Utilise des approximations paraboliques et exige un nombre pair de subdivisions. Monte-Carlo Tire des échantillons aléatoires et estime l’intégrale à partir de leur moyenne.

Nombre de subdivisions

Davantage de subdivisions améliore généralement la précision, mais demande plus de calculs.

Valeur attendue (facultative)

Elle sert à calculer les erreurs absolue et relative. Les nombres et expressions constantes comme pi ou pi/4 sont acceptés.

Rétablir l’exemple de π

Guide des méthodes

Comment fonctionnent les méthodes

Chaque méthode approche la même intégrale, mais choisit et combine différemment les valeurs de la fonction.

I = \int_{a}^{b} f (x) d x, h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + i h

Dans l’exemple initial, f(x) = 4√(1 − x²) sur [0, 1] : l’intégrale représente l’aire du disque unité et vaut π.

Point milieu

Elle partage [a, b] en n sous-intervalles égaux. Dans chacun, elle évalue f au point milieu et multiplie cette valeur par la largeur h ; la somme des contributions approche l’intégrale.

M_{n} = h \sum_{i = 0}^{n - 1} f (a + (i + \frac{1}{2}) h)

Elle utilise n évaluations de la fonction. Pour une fonction f suffisamment régulière, l’erreur est d’ordre h au carré ; doubler n peut la réduire d’un facteur proche de quatre.

Trapèzes

Elle évalue f aux nœuds de subdivision et remplace la courbe par des segments de droite. Chaque paire de valeurs successives forme la contribution d’un trapèze.

T_{n} = h [\frac{f (x_{0}) + f (x_{n})}{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i})]

En réutilisant les nœuds communs, elle utilise n + 1 évaluations de la fonction. Pour une fonction f suffisamment régulière, l’erreur est d’ordre h au carré ; doubler n peut la réduire d’un facteur proche de quatre.

Simpson

Sur chaque paire de sous-intervalles, elle remplace la courbe par une parabole. Les nœuds intérieurs reçoivent alternativement les coefficients 4 et 2.

S_{n} = \frac{h}{3} [f (x_{0}) + 4 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2}} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} f (x_{2 k}) + f (x_{n})]

Elle exige un n pair et utilise n + 1 évaluations de la fonction. Si f possède une dérivée quatrième suffisamment régulière, l’erreur est d’ordre h à la puissance quatre ; doubler n peut la réduire d’un facteur proche de seize.

Votre algorithme JavaScript

Votre ancien code JavaScript utilise la même règle de Simpson composée : coefficiente = -coefficiente + 6 alterne correctement les coefficients 4 et 2. Sur un intervalle quelconque, toutefois, le premier nœud intérieur est x = a + h, et non x = h ; lorsque a = 0, les deux expressions coïncident.

Monte-Carlo

Ce laboratoire utilise la méthode de la moyenne empirique, et non le comptage de points dans un cercle. Il tire N valeurs uniformes entre 0 et 1, les transforme en N points situés entre les bornes, puis multiplie la moyenne des valeurs correspondantes de la fonction par b moins a.

{\hat{I}}_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{j = 1}^{N} f (X_{j}), U_{j} \sim U (0, 1), X_{j} = a + (b - a) U_{j}

SE \approx \frac{| b - a | s}{\sqrt{N}}, [{\hat{I}}_{N} - 1.96 \cdot SE, {\hat{I}}_{N} + 1.96 \cdot SE] (95 %)

La méthode utilise N évaluations de la fonction. Lorsque les valeurs échantillonnées ont une variance finie, l’incertitude statistique typique varie comme un divisé par la racine carrée de N : pour la diviser par deux, il faut environ quatre fois plus d’échantillons. Le résultat reste aléatoire ; une même graine reproduit la même suite.

Les indications de précision pour les méthodes du point milieu, des trapèzes et de Simpson supposent que f possède les dérivées continues requises sur tout l’intervalle. Les discontinuités, points anguleux, extrémités singulières ou oscillations rapides peuvent modifier le comportement. En particulier, 4√(1 − x²) possède des dérivées non bornées près de x = 1 : les ordres théoriques peuvent donc ne pas être pleinement observés dans l’exemple de π.

Syntaxe sûre

L’expression n’est pas exécutée comme du code. Un analyseur n’accepte que les éléments indiqués et n’utilise pas eval().

Opérateurs, constantes et fonctions disponibles

Variable : x
Opérateurs : +, -, *, / et ^
Fonctions : sqrt, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, exp, log, ln et log10
Constantes : pi et e
Utilisez le point comme séparateur décimal, par exemple 0.5.
La multiplication doit être explicite : écrivez 2*x, et non 2x.

La fonction doit produire des valeurs finies sur tout l’intervalle. Les racines, logarithmes, divisions et tangentes peuvent avoir des points non valides.

Exemples prêts à l’emploi

Chargez un exemple, puis essayez de modifier la méthode ou le nombre de subdivisions.

π à partir du cercle

4*sqrt(1-x^2) sur [0, 1], avec la valeur attendue pi.

Charger

Sinus sur une demi-période

sin(x) sur [0, pi], avec la valeur attendue 2.

Charger

π/4 à partir de l’arctangente

1/(1+x^2) sur [0, 1], avec la valeur attendue pi/4.

Charger