Avant d’ouvrir une solution, écrivez votre réponse et votre raisonnement. Dans les problèmes 1–6 chaque personne est toujours sincère ou toujours menteuse : les sincères disent vrai, les menteurs disent faux. Une conjonction fausse n’impose pas que ses deux parties soient fausses. Dans les problèmes 9–14 chacun exerce exactement un métier et chaque métier appartient à une seule personne : utilisez seulement les indices, sans stéréotypes.
Sincères, menteurs et déduction
Deux menteurs ?
A dit : « Nous sommes tous les deux menteurs. » B ne parle pas. Qui est sincère ?
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A ne peut pas être sincère puisqu’il affirmerait être menteur. A ment donc : ils ne sont pas tous deux menteurs. B est sincère.
Du même type
A : « B est menteur. » B : « Nous sommes du même type. » Identifiez-les.
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Si A mentait, B serait sincère mais affirmerait faussement qu’ils sont du même type. A est donc sincère et B menteur ; la phrase de B est bien fausse.
Trois voix en cercle
A : « B est sincère. » B : « C est sincère. » C : « A et B sont tous deux menteurs. »
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Les deux premières phrases imposent le même type aux trois. Tous sincères rendrait la phrase de C fausse ; tous menteurs la rendrait vraie. Aucune attribution cohérente n’existe : constater l’impossibilité est la solution.
Un seul est sincère
Un seul parmi A, B et C est sincère. A : « B est sincère. » B : « C est menteur. » C : « A est menteur. »
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A sincère rendrait B sincère aussi. B sincère rendrait C menteur, alors que C dirait vrai sur A. C est donc sincère ; A et B mentent, et toutes les conditions sont respectées.
La phrase avec « si »
A dit : « Si je suis sincère, alors B est sincère. » Utilisez l’implication classique : elle est fausse seulement si la prémisse est vraie et la conclusion fausse.
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A ne peut pas mentir : sa phrase serait fausse seulement si A était sincère et B menteur. A est donc sincère ; la prémisse étant vraie, B doit aussi être sincère. Le sens logique de « si » est essentiel.
Deux portes, une question
Une porte mène à la sortie, l’autre à une impasse. Les deux gardiens connaissent les destinations et le type de l’autre ; l’un est sincère, l’autre menteur. Vous pouvez demander à un seul quelle porte l’autre indiquerait. Comment sortir ?
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Demandez : « Quelle porte l’autre indiquerait-il si je lui demandais la sortie ? » Tous deux indiquent la mauvaise : le sincère rapporte le mensonge, le menteur déforme la réponse vraie. Choisissez l’autre porte.
Trois mauvaises étiquettes
Trois caisses contiennent seulement des pommes, seulement des oranges, ou les deux. Les étiquettes « pommes », « oranges », « mélange » sont toutes fausses. Vous pouvez tirer sans regarder un seul fruit d’une caisse. Laquelle choisissez-vous ?
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Choisissez « mélange » : l’étiquette fausse impose un seul type. Si vous tirez une pomme, c’est la caisse de pommes ; « oranges » ne peut contenir ni oranges seules ni pommes seules, donc c’est le mélange ; « pommes » contient les oranges. Inversez les fruits si vous tirez une orange.
Une seule inscription vraie
Un prix est dans une seule des boîtes A, B, C. A indique « Il est dans B » ; B « Il n’est pas dans B » ; C « Il n’est pas dans A ». Une seule inscription est vraie. Où est le prix ?
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A et B sont opposées : l’une est toujours vraie. C doit donc être fausse : le prix est dans A. Vérification : faux, vrai, faux.
Quatre personnes, quatre métiers
Métiers par élimination
Anna, Bruno, Carla et Diego exercent chacun un métier différent : médecin, cuisinier, enseignant, ingénieur. Anna n’est ni médecin ni ingénieur ; Bruno ni médecin ni enseignant ; Carla ni cuisinier ni enseignant ; Diego est ingénieur.
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Diego : ingénieur. Bruno doit être cuisinier, donc Anna enseigne. Carla est médecin. Chaque indice est respecté et aucune autre attribution ne convient.
Deux possibilités chacun
Les métiers sont avocat, boulanger, vétérinaire et pilote. Anna est avocate ou pilote, mais pas pilote. Bruno est boulanger ou pilote. Carla est avocate ou vétérinaire. Diego n’est ni pilote ni vétérinaire.
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Anna : avocate. Carla : vétérinaire. Diego : boulanger. Bruno : pilote. Chaque attribution élimine une possibilité pour la personne suivante.
L’âge comme indice
Anna a 20 ans, Bruno 30, Carla 40 et Diego 50. Métiers : architecte, journaliste, chimiste, électricien. Le journaliste est plus âgé que l’architecte et plus jeune que le chimiste. L’électricien a 30 ans.
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Bruno est électricien. Les autres suivent l’ordre architecte, journaliste, chimiste par âge croissant : Anna, Carla, Diego. Inutile de supposer un âge adapté à chaque métier.
Quatre personnes en ligne
De gauche à droite : Anna, Bruno, Carla, Diego. Métiers : enseignant, ingénieur, médecin, cuisinier. L’enseignant est à gauche de l’ingénieur ; celui-ci à gauche du médecin ; le médecin immédiatement à gauche du cuisinier.
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L’ordre est enseignant, ingénieur, médecin, cuisinier : Anna, Bruno, Carla, Diego. « À gauche » ne signifie pas toujours « immédiatement à gauche », mais ces quatre rôles ordonnés occupent ici toutes les places.
Métiers autour de la table
Autour d’une table carrée, dans le sens horaire : Anna, Bruno, Carla, Diego. Métiers : programmation, cuisine, soins infirmiers, photographie. Carla fait de la photographie. La programmation est en face des soins infirmiers ; la cuisine occupe le siège suivant la programmation dans le sens horaire.
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Diego programme, Anna cuisine, Bruno fait les soins infirmiers, Carla la photographie. Anna en programmation imposerait les soins à Carla ; Bruno imposerait la cuisine à Carla ; Carla ne peut programmer. Reste Diego.
Une fiche correcte sur quatre
Métiers : artiste, boulanger, chimiste, dentiste. Carla est dentiste. Anna est artiste ou dentiste ; Bruno boulanger ou chimiste. Quatre fiches indiquent « Anna artiste », « Bruno boulanger », « Carla chimiste », « Diego dentiste ». Une seule est correcte.
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Carla est dentiste et Anna artiste : la première fiche est vraie. « Bruno boulanger » doit être faux, donc Bruno est chimiste. Diego est boulanger. Les deux dernières fiches sont fausses.
Paradoxes : contradiction, infini et sens
« Cette phrase est fausse »
Considérez seulement « Cette phrase est fausse ». Peut-on lui attribuer vrai ou faux de façon cohérente en lui permettant de décrire sa propre vérité au sens habituel ?
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Si elle est vraie, son contenu la rend fausse ; si elle est fausse, son affirmation de fausseté est correcte et la rend vraie. C’est le paradoxe du menteur : ces hypothèses n’admettent pas d’attribution classique cohérente. Qualifier le locuteur de menteur ne suffit pas ; plusieurs théories traitent ce problème.
Le barbier impossible
Un barbier, lui-même homme du village, rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement eux. Qui rase le barbier ?
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S’il se rase, il appartient à ceux qu’il ne doit pas raser. Sinon, il appartient à ceux qu’il doit raser. Il ne faut pas chercher un second barbier : aucun homme ne peut satisfaire cette règle appliquée aussi à lui-même.
Quand commence un tas ?
Un grain n’est pas un tas. Ajouter un grain semble incapable de transformer un non-tas en tas. En répétant, même un million de grains ne formerait pas un tas. Quel passage faut-il discuter ?
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La deuxième prémisse, appliquée sans exception à toute quantité, produit le paradoxe. « Tas » est vague : le langage ordinaire ne donne pas de seuil numérique précis. Un seuil conventionnel précise la règle sans découvrir une frontière universelle cachée. C’est le sorite, pas une erreur d’addition.
L’hôtel complet qui accueille encore
Un hôtel mathématique possède les chambres 1, 2, 3, …, toutes occupées. Peut-il accueillir un client supplémentaire ? Et un car de clients numérotés 1, 2, 3, …, sans expulser personne ?
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Pour un client, déplacez l’occupant de n vers n+1 : la chambre 1 se libère. Pour une infinité dénombrable, déplacez chacun vers 2n : les chambres impaires sont libres ; le nouveau client k prend 2k−1. C’est une correspondance entre ensembles infinis, pas une opération physique dans un hôtel fini.
Achille rattrape-t-il la tortue ?
La tortue part 100 m devant et avance à 1 m/s ; Achille court à 10 m/s. Chaque fois qu’il atteint son ancienne position, elle a avancé. Une infinité d’étapes l’empêche-t-elle de la rattraper ?
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Il la rattrape après 100/(10−1) = 100/9 secondes. Les durées sont 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 100/9. Une infinité de termes positifs peut avoir une somme finie : une infinité d’étapes n’impose pas un temps infini.
Le bateau de Thésée
Les planches d’un bateau sont remplacées une à une jusqu’à l’être toutes. Les anciennes planches sont ensuite réassemblées en un second bateau. Lequel est l’original ?
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Il n’y a pas de réponse unique sans définir « le même bateau ». La continuité de l’histoire et de l’usage favorise le premier ; l’identité du matériau favorise le second. Le problème oppose des critères d’identité : ce n’est pas une énigme à solution unique obligatoire.
Tous les problèmes ne demandent pas un nom ou un nombre : parfois, il faut conclure que les hypothèses sont incompatibles ou qu’une définition manque. Chacune des six associations de métiers possède en revanche une solution unique, vérifiée parmi les 24 permutations.