Prima di aprire la soluzione, scrivi la tua risposta e il motivo. Nei problemi 1–6 ogni persona è o sempre sincera o sempre mentitrice: le frasi dei sinceri sono vere e quelle dei mentitori false. Una congiunzione falsa non richiede che siano false entrambe le sue parti. Nei problemi 9–14 ciascuno svolge esattamente un mestiere e ogni mestiere appartiene a una sola persona: usa soltanto gli indizi, senza stereotipi.
Sinceri, mentitori e deduzione
Entrambi mentitori?
A dice: «Siamo entrambi mentitori». B non parla. Chi è sincero?
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A non può essere sincero, perché affermerebbe di essere mentitore. Quindi A mente: non sono entrambi mentitori. B è sincero.
Dello stesso tipo
A: «B è mentitore». B: «Siamo dello stesso tipo». Determina entrambi.
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Se A fosse mentitore, B sarebbe sincero, ma direbbe falsamente che sono dello stesso tipo. Quindi A è sincero e B mentitore; la frase di B è effettivamente falsa.
Tre voci in cerchio
A: «B è sincero». B: «C è sincero». C: «A e B sono entrambi mentitori».
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Le prime due frasi impongono che A, B e C abbiano lo stesso tipo. Se fossero tutti sinceri, C direbbe il falso; se fossero tutti mentitori, C direbbe il vero. Non esiste alcuna assegnazione coerente: riconoscere l’impossibilità è la soluzione.
Uno solo è sincero
Esattamente uno fra A, B e C è sincero. A: «B è sincero». B: «C è mentitore». C: «A è mentitore».
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A sincero renderebbe sincero anche B. B sincero renderebbe C mentitore, ma C direbbe il vero su A. Resta C sincero: A e B mentono e tutte le condizioni sono rispettate.
La frase con «se»
A dice: «Se io sono sincero, allora B è sincero». Usa il significato dell’implicazione nella logica classica: è falsa solo quando la premessa è vera e la conclusione falsa.
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A non può mentire: per rendere falsa la sua frase dovrebbe essere sincero e B mentitore. Quindi A è sincero; la premessa è vera e anche B deve essere sincero. Il risultato dipende dal significato logico di «se» esplicitato nel testo.
Due porte, una domanda
Una porta conduce all’uscita, l’altra a un vicolo cieco. Due guardiani conoscono entrambe le destinazioni e il tipo dell’altro; uno è sincero, l’altro mentitore. Puoi chiedere a uno solo quale porta indicherebbe l’altro. Come esci?
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Chiedi: «Quale porta mi indicherebbe l’altro se gli chiedessi quella dell’uscita?» Entrambi indicano la porta sbagliata: il sincero riferisce la bugia dell’altro; il mentitore altera la risposta vera dell’altro. Scegli l’altra porta.
Tre etichette tutte sbagliate
Tre casse contengono solo mele, solo arance, oppure entrambe. Le etichette «mele», «arance», «misto» sono tutte sbagliate. Puoi estrarre senza guardare un solo frutto da una cassa. Quale scegli per identificare tutto?
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Scegli «misto»: essendo sbagliata, contiene un solo tipo. Se estrai una mela, è la cassa di mele; «arance» non può contenere arance né mele, quindi è mista; «mele» contiene arance. Se estrai un’arancia, scambia i nomi dei frutti.
Una sola scritta vera
Il premio è in una sola delle scatole A, B, C. A reca «È in B»; B «Non è in B»; C «Non è in A». Esattamente una scritta è vera. Dov’è il premio?
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Le scritte di A e B sono opposte, quindi una di esse è vera in ogni caso. Quella di C deve essere falsa: il premio è in A. Verifica: falso, vero, falso.
Quattro persone, quattro mestieri
Mestieri per esclusione
Anna, Bruno, Carla e Diego svolgono, uno ciascuno: medicina, cucina, insegnamento, ingegneria. Anna non lavora in medicina né ingegneria; Bruno non in medicina né insegnamento; Carla non in cucina né insegnamento; Diego lavora in ingegneria.
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Diego: ingegneria. Anna: insegnamento, perché cucina deve andare a Bruno, che non ha altre possibilità rimaste. Carla: medicina. Controllando ogni indizio, nessun altro abbinamento è possibile.
Due possibilità a testa
I quattro mestieri sono avvocatura, panificazione, veterinaria e pilotaggio. Anna fa avvocatura o pilotaggio, ma non pilotaggio. Bruno fa panificazione o pilotaggio. Carla fa avvocatura o veterinaria. Diego non fa pilotaggio né veterinaria.
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Anna: avvocatura. Carla: veterinaria. Diego: panificazione. Bruno: pilotaggio. Ogni assegnazione elimina una possibilità per la persona successiva.
L’età è un indizio
Anna ha 20 anni, Bruno 30, Carla 40 e Diego 50. I mestieri sono architettura, giornalismo, chimica ed elettricità. Chi fa giornalismo è più anziano di chi fa architettura e più giovane di chi fa chimica. Chi lavora come elettricista ha 30 anni.
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Bruno è elettricista. Fra i tre restanti serve l’ordine architettura, giornalismo, chimica per età crescente: Anna, Carla, Diego. Non serve presumere quale età sia più adatta a un mestiere.
Quattro persone in fila
Da sinistra a destra siedono Anna, Bruno, Carla, Diego. I mestieri sono insegnamento, ingegneria, medicina e cucina. Chi insegna è a sinistra di chi fa ingegneria; quest’ultimo è a sinistra di chi fa medicina; chi fa medicina è immediatamente a sinistra di chi cucina.
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Le relazioni impongono l’ordine insegnamento, ingegneria, medicina, cucina: rispettivamente Anna, Bruno, Carla, Diego. «A sinistra» non significa sempre «immediatamente a sinistra», ma quattro ruoli in quest’ordine occupano qui tutti i posti.
Mestieri intorno al tavolo
Ai quattro posti di un tavolo quadrato siedono, in senso orario, Anna, Bruno, Carla e Diego. I mestieri sono programmazione, cucina, infermieristica e fotografia. Carla fa fotografia. Chi programma è di fronte a chi fa infermieristica; il posto successivo in senso orario a chi programma è occupato da chi cucina.
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Diego programma, Anna cucina, Bruno fa infermieristica, Carla fotografia. Provando il posto di chi programma: Anna farebbe infermieristica a Carla; Bruno farebbe cucinare Carla; Carla non può programmare. Resta Diego.
Una scheda corretta su quattro
Mestieri: artista, panettiere, chimico, dentista. Carla è dentista. Anna è artista o dentista; Bruno è panettiere o chimico. Su quattro schede leggiamo: «Anna artista», «Bruno panettiere», «Carla chimico», «Diego dentista». Esattamente una scheda è corretta.
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Carla è dentista e Anna artista: la prima scheda è quella vera. «Bruno panettiere» deve essere falsa, quindi Bruno è chimico. Diego è panettiere. Le ultime due schede sono false, come richiesto.
Paradossi: contraddizioni, infinito e significato
«Questa frase è falsa»
Considera soltanto la frase: «Questa frase è falsa». Puoi assegnarle coerentemente vero o falso, assumendo che dica correttamente qualcosa sulla propria verità?
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Se fosse vera, ciò che afferma la renderebbe falsa; se fosse falsa, la sua affermazione di falsità sarebbe corretta e la renderebbe vera. È il paradosso del mentitore: queste assunzioni non consentono un’assegnazione classica coerente. Non basta chiamare bugiardo chi la pronuncia; esistono diverse teorie per trattare il problema.
Il barbiere impossibile
Un barbiere, che è un uomo del villaggio, rade tutti e soltanto gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?
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Se si rade, appartiene a chi non deve radere. Se non si rade, appartiene a chi deve radere. La conclusione non è cercare un secondo barbiere: non può esistere un uomo che soddisfi quella regola, applicata anche a sé stesso.
Quando nasce un mucchio?
Un granello non è un mucchio. Sembra che aggiungere un solo granello non possa trasformare ciò che non è un mucchio in un mucchio. Ripetendo, nemmeno un milione sarebbe un mucchio. Quale passaggio va discusso?
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La seconda premessa, applicata senza eccezioni a ogni quantità, produce la conclusione paradossale. «Mucchio» è un termine vago: il linguaggio ordinario non fornisce una soglia numerica precisa. Fissare una soglia convenzionale rende la regola esatta, ma non scopre una soglia universale nascosta. È il sorite, non un errore nell’addizione.
L’albergo pieno che accoglie ancora
Un albergo matematico ha camere 1, 2, 3, …, tutte occupate. Può ospitare un nuovo cliente? E un pullman con clienti numerati 1, 2, 3, …, senza mandar via nessuno?
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Per un cliente sposta chi è nella camera n in n+1: si libera la 1. Per infiniti clienti numerabili sposta ogni ospite in 2n: si liberano tutte le camere dispari; il nuovo cliente k va nella 2k−1. È una corrispondenza fra insiemi infiniti, non una procedura fisica realizzabile in un albergo finito.
Achille raggiunge la tartaruga?
La tartaruga parte 100 m avanti e cammina a 1 m/s; Achille corre a 10 m/s. Ogni volta che raggiunge il punto prima occupato dalla tartaruga, questa è avanzata. Deve compiere infinite tappe: non la raggiungerà mai?
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La raggiunge dopo 100/(10−1) = 100/9 secondi. I tempi delle tappe sono 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 100/9. Infiniti addendi positivi possono avere somma finita: il numero infinito di tappe non implica un tempo infinito.
La nave di Teseo
Le tavole di una nave vengono sostituite una alla volta, fino a cambiarle tutte. Le vecchie tavole vengono poi ricomposte in una seconda nave. Quale delle due è la nave originale?
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Non esiste una risposta unica senza stabilire cosa intendiamo per «stessa nave». La continuità della storia e dell’uso favorisce la prima; l’identità del materiale favorisce la seconda. Il problema mette in conflitto criteri di identità: non è un abbinamento con una soluzione nascosta obbligatoria.
Non tutti i problemi chiedono un nome o un numero: talvolta la conclusione corretta è che le ipotesi sono incompatibili o che manca una definizione. I sei abbinamenti hanno invece ciascuno una soluzione unica, verificata fra tutte le 24 permutazioni.