Frattali: da una regola semplice alla complessità della natura

Un triangolo può perdere quasi tutta la sua area senza scomparire? Una curva può diventare sempre più lunga restando dentro una figura piccola? E poche istruzioni possono produrre un paesaggio complesso? I frattali permettono di affrontare queste domande con esempi sorprendenti ma verificabili.

Il percorso parte da carta e matita, introduce gradualmente potenze e logaritmi e arriva alle immagini generate dal computer. Non occorre conoscere già i numeri complessi per capire le prime costruzioni: la parte più avanzata viene spiegata separatamente.

Apri il laboratorio dei frattali

1. Che cos’è un frattale?

Un quadrato ingrandito appare ancora un quadrato, ma guardandone un lato non ritroviamo ogni volta un intero quadrato. In molte costruzioni frattali, invece, parti sempre più piccole riproducono l’organizzazione dell’insieme: è l’autosimilarità. Nel triangolo di Sierpiński è esatta; in un albero reale può essere soltanto approssimata o statistica.

Benoît Mandelbrot introdusse il termine frattale nel 1975, richiamando il latino fractus, spezzato. Non basta però essere irregolare per essere un frattale, e non tutti i frattali sono copie perfette di sé stessi o hanno dimensione non intera. Qui studieremo modelli precisi, con una regola dichiarata. (B. Mandelbrot · Fractal Roughness (WPI)).

Distinguiamo subito l’oggetto matematico limite dalla sua immagine. Il primo è definito da un processo potenzialmente infinito; la seconda si ferma a un numero finito di passaggi e di pixel. Aumentare il dettaglio non significa raggiungere l’infinito.

2. Sierpiński: meno area, più triangoli

Disegna un triangolo equilatero pieno. Unisci i punti medi dei lati: compaiono quattro triangoli uguali. Elimina quello centrale e ripeti l’operazione sui tre rimasti. Chiamiamo n = 0 il triangolo iniziale; ogni nuovo livello triplica il numero di triangoli e dimezza il loro lato.

Da dove viene il fattore 3/4 dell’area? Tre triangoli rimangono, ciascuno con lato dimezzato e dunque area pari a un quarto della precedente: 3 × 1/4 = 3/4. Dopo tre livelli contiamo 27 triangoli con lato 1/8 di quello iniziale. L’area totale è 27/64 dell’area di partenza.

Per trasformare il rapporto in percentuale moltiplichiamo esplicitamente per 100%: (27/64) × 100% = 42,1875%. Al livello 5 rimangono 243 triangoli, ma soltanto (3/4)⁵ × 100% ≈ 23,7305% dell’area iniziale. Il numero dei pezzi cresce mentre l’area totale diminuisce; nel limite tende a zero, senza che l’insieme diventi vuoto.

Nₙ = 3ⁿ
lₙ / l₀ = (1/2)ⁿ
Aₙ / A₀ = 3ⁿ × (1/2)²ⁿ = (3/4)ⁿ
A% = (3/4)ⁿ × 100%

3. Cantor: togliere senza svuotare tutto

Parti da un segmento lungo 1. Togli il terzo centrale: restano due segmenti di lunghezza 1/3. Ripeti su entrambi: quattro segmenti lunghi 1/9. Dopo n passaggi ci sono 2ⁿ intervalli, ognuno lungo 3⁻ⁿ.

La lunghezza totale residua è quindi 2ⁿ × 3⁻ⁿ = (2/3)ⁿ. Al livello 4 vale 16/81; in percentuale, (16/81) × 100% ≈ 19,7531%. Le righe del laboratorio rappresentano momenti diversi: non bisogna sommare la lunghezza di una riga a quella delle altre.

Nel limite la lunghezza totale è zero, ma restano molti punti: per esempio gli estremi 0 e 1 non vengono mai eliminati. Avere lunghezza nulla non equivale a non contenere alcun punto. La dimensione del modello limite è circa 0,63093: un insieme più sottile di un segmento, non semplicemente un segmento corto.

Nₙ = 2ⁿ
lₙ / l₀ = (1/3)ⁿ
Lₙ / L₀ = (2/3)ⁿ
L% = (2/3)ⁿ × 100%

4. Koch: lunghezza infinita, area finita

Dividi un segmento in tre parti uguali. Sostituisci il terzo centrale con gli altri due lati di un triangolo equilatero rivolto verso l’esterno: un segmento è diventato quattro segmenti, ciascuno lungo un terzo. Ripeti su tutti i nuovi segmenti.

Il fattore della lunghezza è 4 × 1/3 = 4/3. Partendo da 9 cm, dopo tre passaggi otteniamo 9 × (4/3)³ = 64/3 cm ≈ 21,3333 cm. I segmenti sono sempre più corti, ma sono così numerosi che la lunghezza complessiva cresce senza limite.

Se partiamo dai tre lati di un triangolo equilatero otteniamo il fiocco di Koch. Con lato iniziale di 10 cm, il perimetro iniziale è 30 cm; al livello 3 ci sono 192 segmenti e il perimetro è 30 × (4/3)³ ≈ 71,1111 cm. L’area racchiusa, invece, tende a 8/5 dell’area del triangolo iniziale. Perimetro infinito e area finita sono proprietà del limite, non del disegno finito.

La formula dell’area nasce sommando le piccole aree aggiunte: il primo incremento è A₀/3; ogni incremento successivo vale 4/9 del precedente. La serie geometrica conduce ad Aₙ/A₀ = 8/5 − (3/5)(4/9)ⁿ. La dimensione frattale riguarda il bordo del fiocco; la regione piena al suo interno ha dimensione 2.

Nₙ = 4ⁿ; Lₙ = L₀ × (4/3)ⁿ

Curva e fiocco di Koch
Pₙ = P₀ × (4/3)ⁿ
Aₙ / A₀ = 8/5 − (3/5)(4/9)ⁿ
A∞ / A₀ = 8/5 = 1,6

5. La dimensione: quanto spazio occupa una struttura?

Per un segmento bastano due copie ridotte alla metà per ricostruirlo: 2 × (1/2)ᴰ = 1 dà D = 1. Per un quadrato servono quattro copie di lato dimezzato: 4 × (1/2)ᴰ = 1 dà D = 2. Per un cubo le copie sono otto e D = 3.

Nei modelli autosimili con copie adeguatamente separate si usa N × rᴰ = 1, dove N è il numero di copie e r il rapporto delle lunghezze. Prendendo i logaritmi si ricava D = log(N)/log(1/r). La base del logaritmo non conta, purché sia la stessa sopra e sotto.

Per Sierpiński N = 3 e r = 1/2: D ≈ 1,58496. Per Koch N = 4 e r = 1/3: D ≈ 1,26186. Non è una formula da applicare automaticamente a una fotografia o a qualunque ramificazione: sovrapposizioni e ipotesi diverse richiedono altre verifiche. Il laboratorio mostra la dimensione del limite, non attribuisce quella dimensione ai piccoli triangoli pieni di un livello finito.

D = log(N) / log(1/r)

6. Altri esempi: tappeti e spugne

Il tappeto di Sierpiński parte da un quadrato diviso in nove quadratini: si elimina quello centrale e si ripete sugli otto rimasti. Dopo n passaggi restano 8ⁿ quadrati, con area totale (8/9)ⁿ dell’iniziale. La dimensione del limite è log(8)/log(3) ≈ 1,89279.

La spugna di Menger è un esempio tridimensionale. Un cubo viene diviso in 27 cubetti; si rimuovono il cubetto centrale e i sei centrali delle facce, conservandone 20. Dopo n passaggi il volume è (20/27)ⁿ di quello iniziale e la dimensione del limite è log(20)/log(3) ≈ 2,72683.

Confronta le regole: 3 copie a metà scala nel triangolo, 8 copie a un terzo nel tappeto, 20 copie a un terzo nella spugna. La complessità non viene da una descrizione lunghissima, ma dalla ripetizione di una regola breve. Questi ultimi due modelli sono esempi dell’articolo, non modalità aggiuntive del laboratorio.

7. Un albero costruito con la ricorsione

Disegna un tronco. Dalla sua estremità fai nascere due rami più corti, inclinati di un certo angolo. Ripeti sulle punte. Con rapporto r = 0,65 e tronco lungo 1, le lunghezze delle generazioni sono 1; 0,65; 0,4225; 0,274625; e così via.

Al livello 0 c’è un solo segmento. Al livello 4 il disegno contiene 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 segmenti, dei quali 16 terminali. Qui contiamo anche le generazioni precedenti, non soltanto i rami dell’ultimo livello. È diverso dal conteggio dei soli triangoli finali di Sierpiński.

Cambiando angolo e rapporto nel laboratorio si ottengono alberi più stretti, più larghi o con rami sovrapposti. La somiglianza con un albero naturale è un modello geometrico, non una simulazione botanica. Non assegniamo una dimensione con la semplice formula log(2)/log(1/r), perché in queste figure le sovrapposizioni possono alterarne l’interpretazione.

Nₙ = 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
Nₜ = 2ⁿ
lₙ / l₀ = rⁿ

8. Iterare una formula: prima i numeri complessi

Iterare significa applicare più volte la stessa regola al risultato precedente. Per esempio z → z² + 1, partendo da 0, produce 0, 1, 2, 5, 26: ogni numero diventa il punto di partenza del passo successivo.

Per le immagini di Mandelbrot e Julia lavoriamo nel piano dei numeri complessi. Un numero z = x + iy corrisponde al punto (x,y), con i² = −1. Il parametro c = a + ib aggiunge un altro punto del piano. Non occorre una libreria speciale: separando parte reale e immaginaria, la formula si traduce in due operazioni su numeri reali.

La parola orbita indica la successione dei punti z₀, z₁, z₂, … . Non è il movimento di un pianeta, ma la storia di un calcolo. Alcune orbite rimangono limitate, altre si allontanano senza limite. È questa differenza a organizzare le immagini.

zₙ₊₁ = zₙ² + c
(x+iy)² + (a+ib) = (x²−y²+a) + i(2xy+b)
xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + a
yₙ₊₁ = 2xₙyₙ + b

9. Mandelbrot: una mappa dei parametri

Nell’insieme di Mandelbrot fissiamo z₀ = 0 e cambiamo il parametro c da un pixel all’altro. Appartengono all’insieme i parametri per cui l’orbita resta limitata. La domanda di ogni pixel è dunque: con questo c, che cosa succede a 0?

Esempi reali semplici: per c = 0 l’orbita resta 0; per c = −1 alterna 0 e −1; per c = −2 diventa 0, −2, 2, 2, … . Per c = 1 otteniamo invece 0, 1, 2, 5, … : al terzo passo il modulo supera 2 e la fuga è accertata. La disuguaglianza deve essere stretta: raggiungere esattamente 2 non basta.

Il computer prova soltanto un numero finito di iterazioni. Se un punto non fugge entro 160 passi, non possiamo concludere soltanto da questo test che non fuggirà mai. Nel laboratorio il nero significa nessuna fuga osservata entro il limite scelto; i colori distinguono i tempi di fuga. Aumenta le iterazioni, scegli un punto e usa lo zoom: vedrai dettaglio numerico, non una prova per tutti i punti. (R. Devaney · Mandelbrot Set Explorer (Boston University)).

10. Julia: cambia il punto di partenza

Per Julia scambiamo ciò che resta fisso e ciò che cambia: scegliamo un solo parametro c e proviamo molti punti iniziali z₀. L’insieme di Julia pieno raccoglie i punti iniziali con orbita limitata; l’insieme di Julia propriamente detto è il suo bordo.

Il caso c = 0 è particolarmente istruttivo: z viene ripetutamente elevato al quadrato. Se |z₀| < 1 il modulo tende a 0; se |z₀| > 1 cresce; se |z₀| = 1 resta 1. L’insieme pieno è quindi il disco unitario e il bordo è una circonferenza: non ogni parametro produce un bordo frastagliato.

Prova poi c = −1 oppure c = −0,8 + 0,156i: emergono forme molto diverse. Il criterio di fuga usato è |z| > max(2, |c|), sicuro anche quando |c| supera 2. Anche qui il test è finito e i punti scuri restano candidati non fuggiti, salvo dimostrazioni aggiuntive come quella del caso c = 0. (Boston University · Filled Julia sets).

11. La natura è davvero frattale?

Un broccolo romanesco ripete piccoli coni simili all’intera infiorescenza; una felce mostra foglioline organizzate come la fronda. Nei rami di un albero e nelle reti fluviali ritroviamo gerarchie di ramificazioni. Sono ottimi esempi per riconoscere strutture a più scale, senza pretendere copie geometriche esatte.

Una costa appare più articolata quando la misuriamo con un righello più corto: entrano nel conteggio rientranze prima ignorate. Il risultato dipende dalla scala e dal metodo di misura, non soltanto da un ipotetico numero unico chiamato lunghezza. I modelli statistici possono descrivere questa dipendenza entro un intervallo di scale. (B. Mandelbrot · Coastlines and fractal dimension (PNAS, 1975)).

Nuvole, profili montuosi e fulmini possono mostrare complessità a più scale; vasi sanguigni e bronchi hanno strutture ramificate. Ma una fotografia suggestiva non dimostra da sola una legge frattale: per misurarla occorrono dati, scale dichiarate e un modello controllato. Cellule, granuli, molecole e processi fisici interrompono la ripetizione.

12. Applicazioni: perché questa geometria è utile

Nella grafica procedurale si combinano dettagli a scale diverse per produrre terreni, nuvole e texture: pochi parametri controllano un’immagine invece di disegnarne ogni dettaglio. Il rumore frattale non è la stessa cosa del triangolo di Sierpiński, ma condivide l’idea di organizzare più scale. (K. Perlin · Procedural Textures (NYU)).

Nelle telecomunicazioni alcune antenne usano geometrie frattali per ottenere strutture compatte o comportamento multibanda. La forma, da sola, non garantisce prestazioni migliori: contano materiali, frequenze e progetto elettromagnetico. È un’applicazione ingegneristica specifica, non una proprietà magica di qualsiasi disegno frattale. (Fractal Antenna Systems · Technical overview).

Nell’analisi di immagini si possono confrontare complessità e ramificazioni; nell’arte e nel design si usano ripetizioni e variazioni di scala. Per una stima tramite conteggio di scatole si sovrappongono griglie di passo ε e si conta quante celle toccano la figura. La pendenza di log N(ε) rispetto a log(1/ε) può stimare una dimensione solo su scale adeguate: pochi pixel o poche griglie non forniscono un valore universale.

13. Esperimenti guidati nel laboratorio

1. Sierpiński: parti dal livello 0 e avanza un passo alla volta. Prima di premere Avanti prevedi quanti triangoli e quanta area rimarranno. Controlla il livello 5 e confronta il numero 243 con l’area di circa 23,73%.

2. Cantor: osserva il livello 4, conta i 16 intervalli e verifica 16/81 della lunghezza iniziale. 3. Koch: passa dalla curva aperta al fiocco e confronta la crescita del perimetro con il rapporto delle aree, che si avvicina a 1,6.

4. Albero: imposta livello 4, rapporto 0,65 e poi cambia l’angolo. Il numero 31 resta uguale, ma la forma cambia. 5. Mandelbrot: scegli c = 1, poi c = −1; confronta la tabella delle orbite. 6. Julia: scegli c = 0, osserva il disco e prova punti iniziali con modulo minore o maggiore di 1.

Il calcolo avviene nel browser e non invia i parametri al server. Le costruzioni hanno livelli massimi per mantenere la pagina utilizzabile anche su telefono; le immagini complesse si possono interrompere. L’animazione mostra un livello alla volta, mentre le tabelle consentono un confronto numerico. In programmazione la condizione di arresto è essenziale: senza di essa una ricorsione continuerebbe a richiamarsi.

Apri il laboratorio dei frattali

14. Mettiti alla prova

Prova prima a formulare una previsione o un calcolo. Le soluzioni sono nascoste: apri soltanto quella che vuoi controllare.

1. Quanta area rimane in Sierpiński al livello 4?

2. Un segmento di Koch parte da 27 cm. Quanto misura al livello 3?

3. Perché Cantor può avere lunghezza zero senza essere vuoto?

4. Un albero al livello 6 ha 64 o 127 segmenti?

5. Un pixel nero dopo 400 iterazioni è certamente nell’insieme di Mandelbrot?

6. Per Julia con c = 0, che cosa succede a z₀ = 1/2 e a z₀ = 2?

Approfondimenti e fonti

• B. Mandelbrot · Fractal Roughness (WPI)
• R. Devaney · Mandelbrot Set Explorer (Boston University)
• Boston University · Filled Julia sets
• B. Mandelbrot · Coastlines and fractal dimension (PNAS, 1975)
• K. Perlin · Procedural Textures (NYU)
• Fractal Antenna Systems · Technical overview