Fractales : des règles simples à la complexité de la nature

Un triangle peut-il perdre presque toute son aire sans disparaître ? Une courbe peut-elle s’allonger indéfiniment dans une petite région ? Quelques instructions peuvent-elles produire un paysage complexe ? Les fractales permettent d’examiner ces questions avec des exemples surprenants et vérifiables.

Partons de constructions au crayon, introduisons progressivement puissances et logarithmes, puis abordons les images numériques. Les nombres complexes ne sont pas nécessaires aux premières constructions : la partie avancée est expliquée séparément.

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1. Qu’est-ce qu’une fractale ?

Un carré agrandi reste un carré, mais observer son bord ne révèle pas sans cesse un carré entier. Dans beaucoup de constructions fractales, des parties toujours plus petites reproduisent l’organisation de l’ensemble : c’est l’autosimilarité. Elle est exacte dans le triangle de Sierpiński, seulement approchée ou statistique dans un arbre réel.

Benoît Mandelbrot introduisit le mot fractale en 1975, à partir du latin fractus, brisé. L’irrégularité ne suffit pas à définir une fractale ; toutes les fractales ne sont pas des copies parfaites d’elles-mêmes et leur dimension n’est pas nécessairement non entière. Nous étudierons des modèles aux règles explicites. (B. Mandelbrot · Fractal Roughness (WPI)).

Distinguons l’objet mathématique limite de son image. Le premier est défini par un processus potentiellement infini ; la seconde s’arrête après un nombre fini d’étapes et de pixels. Ajouter du détail ne permet pas d’atteindre l’infini.

2. Sierpiński : moins d’aire, plus de triangles

Dessinez un triangle équilatéral plein. Reliez les milieux des côtés pour obtenir quatre triangles égaux. Retirez celui du centre et recommencez dans les trois autres. Le triangle initial est le niveau n = 0 ; chaque nouveau niveau triple le nombre de triangles et divise leur côté par deux.

Pourquoi l’aire est-elle multipliée par 3/4 ? Il reste trois triangles, chacun avec un côté moitié et donc une aire égale au quart de la précédente : 3 × 1/4 = 3/4. Après trois niveaux, les 27 triangles ont un côté égal à 1/8 du côté initial et une aire totale égale à 27/64 de l’aire initiale.

Pour passer au pourcentage, multiplions explicitement par 100% : (27/64) × 100% = 42,1875%. Au niveau 5, il reste 243 triangles, mais seulement (3/4)⁵ × 100% ≈ 23,7305% de l’aire initiale. Le nombre de morceaux augmente tandis que l’aire diminue ; à la limite elle tend vers zéro sans que l’ensemble devienne vide.

Nₙ = 3ⁿ
lₙ / l₀ = (1/2)ⁿ
Aₙ / A₀ = 3ⁿ × (1/2)²ⁿ = (3/4)ⁿ
A% = (3/4)ⁿ × 100%

3. Cantor : retirer sans tout vider

Partez d’un segment de longueur 1. Retirez le tiers central : deux segments de longueur 1/3 restent. Recommencez sur chacun : quatre segments de longueur 1/9. Après n étapes, il reste 2ⁿ intervalles de longueur 3⁻ⁿ chacun.

La longueur totale restante est 2ⁿ × 3⁻ⁿ = (2/3)ⁿ. Au niveau 4, elle vaut 16/81 ; en pourcentage, (16/81) × 100% ≈ 19,7531%. Les lignes du laboratoire représentent des étapes distinctes : ne cumulez pas les longueurs de lignes différentes.

À la limite la longueur totale est nulle, mais des points restent : les extrémités 0 et 1 ne sont jamais retirées. Une longueur nulle ne signifie donc pas l’absence de points. La dimension du modèle limite est environ 0,63093 : un ensemble plus mince qu’un segment, pas simplement un segment court.

Nₙ = 2ⁿ
lₙ / l₀ = (1/3)ⁿ
Lₙ / L₀ = (2/3)ⁿ
L% = (2/3)ⁿ × 100%

4. Koch : longueur infinie, aire finie

Divisez un segment en trois parties égales. Remplacez le tiers central par les deux autres côtés d’un triangle équilatéral tourné vers l’extérieur. Un segment devient quatre segments trois fois plus courts. Recommencez partout.

Le facteur de longueur est 4 × 1/3 = 4/3. En partant de 9 cm, après trois étapes on obtient 9 × (4/3)³ = 64/3 cm ≈ 21,3333 cm. Les segments raccourcissent, mais leur multiplication fait croître la longueur totale sans limite.

En partant des trois côtés d’un triangle équilatéral, on obtient le flocon de Koch. Avec un côté initial de 10 cm, le périmètre initial vaut 30 cm ; au niveau 3, les 192 segments donnent un périmètre de 30 × (4/3)³ ≈ 71,1111 cm. L’aire intérieure tend pourtant vers 8/5 de l’aire du triangle initial. Le périmètre infini concerne la limite, pas le dessin fini.

L’aire se calcule en additionnant les ajouts : le premier vaut A₀/3, chaque suivant vaut 4/9 du précédent. La série géométrique donne Aₙ/A₀ = 8/5 − (3/5)(4/9)ⁿ. La dimension fractale concerne le bord du flocon ; la région pleine intérieure a une dimension égale à 2.

Nₙ = 4ⁿ; Lₙ = L₀ × (4/3)ⁿ

Courbe et flocon de Koch
Pₙ = P₀ × (4/3)ⁿ
Aₙ / A₀ = 8/5 − (3/5)(4/9)ⁿ
A∞ / A₀ = 8/5 = 1,6

5. La dimension : comment occuper l’espace ?

Deux copies réduites de moitié reconstituent un segment : 2 × (1/2)ᴰ = 1 donne D = 1. Quatre carrés de côté moitié reconstituent un carré : 4 × (1/2)ᴰ = 1 donne D = 2. Un cube nécessite huit copies et D = 3.

Pour des modèles autosimilaires dont les copies sont convenablement séparées, N × rᴰ = 1, où N est leur nombre et r le rapport des longueurs. Les logarithmes donnent D = log(N)/log(1/r). La base importe peu si elle est identique au numérateur et au dénominateur.

Sierpiński : N = 3, r = 1/2, donc D ≈ 1,58496. Koch : N = 4, r = 1/3, donc D ≈ 1,26186. N’appliquez pas automatiquement cette formule à une photo ou à un arbre quelconque : les recouvrements et les hypothèses doivent être vérifiés. La dimension affichée concerne la limite, pas les triangles pleins d’un niveau fini.

D = log(N) / log(1/r)

6. D’autres exemples : tapis et éponges

Le tapis de Sierpiński commence par un carré partagé en neuf petits carrés. Retirez le carré central puis recommencez dans les huit autres. Après n étapes, il reste 8ⁿ carrés et une aire totale égale à (8/9)ⁿ de l’initiale. Dimension limite : log(8)/log(3) ≈ 1,89279.

L’éponge de Menger est tridimensionnelle. Partagez un cube en 27 petits cubes ; retirez le cube central et les six cubes centraux des faces. Il en reste 20. Après n étapes, le volume vaut (20/27)ⁿ du volume initial ; la dimension limite vaut log(20)/log(3) ≈ 2,72683.

Comparez les règles : 3 copies à demi-échelle pour le triangle, 8 copies au tiers pour le tapis, 20 copies au tiers pour l’éponge. La complexité naît de la répétition d’une règle courte. Ces deux derniers modèles sont des exemples de l’article, pas des modes supplémentaires du laboratoire.

7. Construire un arbre par récursion

Dessinez un tronc, puis deux branches plus courtes et inclinées à son extrémité. Répétez à chaque nouvelle pointe. Avec r = 0,65 et un tronc de longueur 1, les longueurs successives sont 1 ; 0,65 ; 0,4225 ; 0,274625 ; etc.

Le niveau 0 comporte un segment. Au niveau 4, le dessin contient 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 segments, dont 16 terminaux. Ici les générations précédentes sont conservées dans le total : ce n’est pas le comptage des seuls triangles finaux de Sierpiński.

Modifiez angle et rapport au laboratoire : l’arbre devient plus étroit, plus large ou présente des recouvrements. La ressemblance avec un arbre naturel constitue un modèle géométrique, pas une simulation botanique. Nous n’attribuons pas une dimension avec log(2)/log(1/r), car les recouvrements peuvent modifier cette interprétation.

Nₙ = 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
Nₜ = 2ⁿ
lₙ / l₀ = rⁿ

8. Itérer une formule : les nombres complexes

Itérer, c’est appliquer la même règle au résultat précédent. Par exemple z → z² + 1, à partir de 0, donne 0, 1, 2, 5, 26 : chaque résultat prépare l’étape suivante.

Mandelbrot et Julia utilisent le plan complexe. Le nombre z = x + iy correspond au point (x,y), avec i² = −1. Le paramètre c = a + ib représente un autre point. En séparant parties réelle et imaginaire, la formule devient deux opérations sur des nombres réels, sans bibliothèque particulière.

L’orbite est la suite z₀, z₁, z₂, … : l’histoire d’un calcul, pas la trajectoire d’une planète. Certaines orbites restent bornées, d’autres s’éloignent sans limite. Cette différence organise les images.

zₙ₊₁ = zₙ² + c
(x+iy)² + (a+ib) = (x²−y²+a) + i(2xy+b)
xₙ₊₁ = xₙ² − yₙ² + a
yₙ₊₁ = 2xₙyₙ + b

9. Mandelbrot : une carte des paramètres

Pour Mandelbrot, on fixe z₀ = 0 et on change c d’un pixel à l’autre. Les paramètres dont l’orbite reste bornée appartiennent à l’ensemble. Chaque pixel demande : que devient 0 pour ce c ?

Exemples réels : c = 0 maintient l’orbite en 0 ; c = −1 fait alterner 0 et −1 ; c = −2 donne 0, −2, 2, 2, … . Avec c = 1, on obtient 0, 1, 2, 5, … : à l’étape 3, le module dépasse 2 et la fuite est certaine. L’inégalité est stricte : atteindre exactement 2 ne suffit pas.

L’ordinateur ne teste qu’un nombre fini d’itérations. Aucune fuite en 160 étapes ne prouve pas qu’il n’y en aura jamais. Dans le laboratoire, le noir signifie aucune fuite observée dans la limite choisie ; les couleurs distinguent les temps de fuite. Augmenter les itérations et zoomer explore le détail numérique sans prouver l’appartenance de chaque point. (R. Devaney · Mandelbrot Set Explorer (Boston University)).

10. Julia : changer le point de départ

Pour Julia, on échange le fixe et le variable : un seul paramètre c, mais beaucoup de points initiaux z₀. L’ensemble de Julia rempli contient les points initiaux dont l’orbite reste bornée ; l’ensemble de Julia proprement dit est son bord.

Pour c = 0, on élève z au carré à chaque étape. Si |z₀| < 1, le module tend vers 0 ; si |z₀| > 1, il croît ; s’il vaut 1, il reste 1. L’ensemble rempli est donc le disque unité, son bord un cercle. Tous les paramètres ne produisent pas un bord déchiqueté.

Essayez c = −1 puis c = −0,8 + 0,156i : les formes changent. Le critère de fuite est |z| > max(2, |c|), valable même si |c| dépasse 2. Le test reste fini et les points sombres demeurent des candidats non échappés, sauf preuve supplémentaire comme pour c = 0. (Boston University · Filled Julia sets).

11. La nature est-elle vraiment fractale ?

Le chou romanesco répète de petits cônes rappelant l’inflorescence entière ; une fougère organise ses folioles comme sa fronde. Les arbres et les réseaux fluviaux présentent des hiérarchies de branches. Ces exemples montrent une organisation à plusieurs échelles, pas des copies géométriques exactes.

Une côte mesurée avec une règle plus courte paraît plus découpée : des anses auparavant ignorées entrent dans le calcul. La longueur dépend de l’échelle et de la méthode. Des modèles statistiques décrivent cette dépendance dans un intervalle d’échelles. (B. Mandelbrot · Coastlines and fractal dimension (PNAS, 1975)).

Nuages, profils montagneux et éclairs peuvent présenter une complexité multi-échelle ; vaisseaux et bronches ont des ramifications. Une belle photographie ne démontre pourtant aucune loi fractale : il faut des données, des échelles déclarées et un modèle vérifié. Cellules, grains, molécules et processus physiques limitent la répétition.

12. Applications : l’utilité de cette géométrie

La synthèse procédurale combine des détails à plusieurs échelles pour créer terrains, nuages et textures. Quelques paramètres contrôlent l’image au lieu de dessiner chaque détail. Le bruit fractal n’est pas le triangle de Sierpiński, mais partage cette organisation multi-échelle. (K. Perlin · Procedural Textures (NYU)).

Certaines antennes utilisent des géométries fractales pour obtenir des structures compactes ou multibandes. La forme seule ne garantit pas de meilleures performances : matériaux, fréquences et conception électromagnétique comptent aussi. Il s’agit d’une application précise, pas d’un pouvoir de tout dessin fractal. (Fractal Antenna Systems · Technical overview).

L’analyse d’images peut comparer complexité et ramifications ; l’art et le design exploitent répétition et variations d’échelle. Le comptage de boîtes consiste à superposer des grilles de pas ε et compter les cellules touchant la figure. La pente de log N(ε) en fonction de log(1/ε) estime une dimension uniquement sur des échelles adéquates. Quelques pixels ou grilles ne donnent pas une valeur universelle.

13. Expériences guidées au laboratoire

1. Sierpiński : partez du niveau 0. Avant chaque étape, prédisez le nombre de triangles et l’aire restante. Au niveau 5, comparez les 243 triangles aux quelque 23,73% d’aire restante.

2. Cantor : observez les 16 intervalles du niveau 4 et vérifiez leur longueur totale 16/81. 3. Koch : passez de la courbe au flocon et comparez le périmètre croissant au rapport des aires, qui approche 1,6.

4. Arbre : choisissez niveau 4 et rapport 0,65, puis modifiez l’angle. Le total reste 31 malgré le changement de forme. 5. Mandelbrot : choisissez c = 1 puis c = −1 et comparez les orbites. 6. Julia : choisissez c = 0, observez le disque et testez des modules initiaux inférieurs puis supérieurs à 1.

Les calculs s’exécutent dans le navigateur sans envoyer les paramètres au serveur. Les niveaux maximaux préservent l’utilisation sur téléphone ; le calcul des images complexes peut être interrompu. L’animation avance par niveaux et les tableaux permettent les comparaisons. Une condition d’arrêt est essentielle : sans elle, une récursion continuerait de s’appeler.

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14. À vous de jouer

Faites d’abord une prévision ou un calcul. Les solutions sont masquées : ouvrez seulement celle que vous souhaitez vérifier.

1. Quelle aire reste dans Sierpiński au niveau 4 ?

2. Un segment de Koch mesure initialement 27 cm. Quelle longueur au niveau 3 ?

3. Pourquoi Cantor peut-il avoir une longueur nulle sans être vide ?

4. L’arbre au niveau 6 a-t-il 64 ou 127 segments ?

5. Un pixel noir après 400 itérations appartient-il certainement à Mandelbrot ?

6. Pour Julia avec c = 0, que deviennent z₀ = 1/2 et z₀ = 2 ?

Pour approfondir et sources

• B. Mandelbrot · Fractal Roughness (WPI)
• R. Devaney · Mandelbrot Set Explorer (Boston University)
• Boston University · Filled Julia sets
• B. Mandelbrot · Coastlines and fractal dimension (PNAS, 1975)
• K. Perlin · Procedural Textures (NYU)
• Fractal Antenna Systems · Technical overview