¿Qué parte de la figura es morada? Antes de buscar una fórmula, decide si conviene medir esa región directamente, dividirla en formas sencillas o calcular lo que queda al quitar las partes blancas.
Tres estrategias para empezar
- Completar y restar. Si cuesta medir la parte morada, calcula el área de la figura entera y resta las partes blancas.
- Dividir y sumar. Si puedes separar la región morada en rectángulos, triángulos o sectores que no se superponen, calcula y suma sus áreas.
- Comprobar las superposiciones. Para calcular el área cubierta por al menos una de dos figuras, resta la intersección una vez de la suma. Para el área cubierta por solo una de ellas, réstala dos veces.
Un sector de radio r y ángulo central α ocupa la fracción α/360° del círculo: su área es (α/360°) × πr². Conserva π en los cálculos y redondea solo al final. Usa las medidas del enunciado, no una regla sobre la pantalla.
Los problemas del 1 al 20 y sus figuras se han adaptado del cuaderno italiano «20 problemi sulle aree colorate» (págs. 1–10). Los problemas del 21 al 30 son nuevos.
Elige un grupo de problemas
Intenta resolver cada problema antes de abrir la solución para comprobar todos los pasos.
- 1–6. Cuadrados, rectángulos y triángulos
- 7–14. Círculos, coronas y sectores
- 15–20. Figuras compuestas y superpuestas
- 21–30. Diez problemas nuevos
1–6. Cuadrados, rectángulos y triángulos
1. El triángulo dentro del cuadrado
Una circunferencia de radio 5 m está inscrita en un cuadrado. Une su centro O con los dos vértices inferiores. Calcula el área del triángulo morado.
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El lado del cuadrado mide lo mismo que el diámetro: 2 × 5 = 10 m. La distancia perpendicular del centro al lado inferior es 5 m. Multiplica la base por la altura y divide entre dos.
10 × 5 ÷ 2 = 25 m²
2. El cuadrado de los puntos medios
Une en orden los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrado de lado 8 cm. Calcula el área del cuadrado morado interior.
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En las esquinas quedan cuatro triángulos rectángulos con catetos de 4 cm. Cada uno ocupa 4 × 4 ÷ 2 = 8 cm². Resta las cuatro áreas de los 64 cm² del cuadrado grande.
64 − 4 × 8 = 32 cm²
3. La franja inclinada
En un rectángulo de 12 × 8 cm, marca P en el lado superior a 4 cm de la izquierda y Q en el inferior a 4 cm de la derecha. Une P con el vértice inferior izquierdo y Q con el superior derecho. Calcula el área entre los dos cortes.
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Cada triángulo blanco tiene base de 4 cm y altura de 8 cm, así que ocupa 16 cm². Resta las dos áreas de los 96 cm² del rectángulo.
96 − 2 × 16 = 64 cm²
4. Tres esquinas que restar
En un rectángulo de 12 × 8 cm, une el vértice inferior izquierdo con los puntos medios de los lados superior y derecho. Une también estos puntos medios. Calcula el área del triángulo morado.
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Los catetos de los triángulos blancos miden 6 y 8, 6 y 4, y 12 y 4 cm, respectivamente. Sus áreas son 24, 12 y 24 cm². Réstalas de los 96 cm² del rectángulo.
96 − (24 + 12 + 24) = 36 cm²
5. El rombo dentro del rectángulo
En un rectángulo de 14 × 8 cm, une en orden los puntos medios de los lados. Calcula el área del rombo morado.
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Las diagonales del rombo unen puntos medios opuestos y miden 14 cm y 8 cm. Su área es la mitad del producto de las diagonales.
14 × 8 ÷ 2 = 56 cm²
6. El marco cuadrado
Dos cuadrados concéntricos de lados paralelos tienen lados de 12 cm y 8 cm. Calcula el área del marco morado.
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El cuadrado exterior ocupa 12 × 12 = 144 cm². El interior ocupa 8 × 8 = 64 cm². El marco es la diferencia.
144 − 64 = 80 cm²
7–14. Círculos, coronas y sectores
7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14
7. Las cuatro esquinas del cuadrado
Una circunferencia está inscrita en un cuadrado de lado 10 cm. Calcula el área total de las cuatro esquinas moradas que quedan fuera del círculo.
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El diámetro mide 10 cm, por lo que el radio mide 5 cm y el área del círculo es 25π cm². Réstala de los 100 cm² del cuadrado.
A = (100 − 25π) cm²
A ≈ 21,46 cm²
8. El cuadrado dentro del círculo
Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 5 cm. Calcula el área morada dentro del círculo y fuera del cuadrado.
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Las diagonales del cuadrado son diámetros de 10 cm. El área del cuadrado vale 10 × 10 ÷ 2 = 50 cm² y la del círculo vale 25π cm². Calcula la diferencia.
A = (25π − 50) cm²
A ≈ 28,54 cm²
9. Por encima del semicírculo
En un rectángulo de 12 × 6 cm, dibuja el semicírculo interior cuyo diámetro es el lado inferior de 12 cm. Calcula el área morada del rectángulo fuera del semicírculo.
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El semicírculo tiene radio de 6 cm y área de 36π ÷ 2 = 18π cm². El rectángulo tiene área de 72 cm².
A = (72 − 18π) cm²
A ≈ 15,45 cm²
10. Fuera del cuarto de círculo
De un cuadrado de lado 8 cm, retira un cuarto de círculo de radio 8 cm centrado en el vértice inferior izquierdo. Calcula el área morada restante.
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El cuadrado ocupa 64 cm². El sector es la cuarta parte de un círculo de área 64π cm², así que ocupa 16π cm².
A = (64 − 16π) cm²
A ≈ 13,73 cm²
11. La corona circular
Dos circunferencias concéntricas tienen radios de 7 y 3 cm. Calcula el área de la corona morada entre ellas.
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Los círculos de radios 7 y 3 cm tienen áreas de 49π y 9π cm². Resta el área del círculo interior.
A = (49π − 9π) cm² = 40π cm²
A ≈ 125,66 cm²
12. Los dos semicírculos
En un cuadrado de lado 12 cm, dibuja dos semicírculos interiores cuyos diámetros sean los lados superior e inferior. Calcula el área morada que queda fuera de ambos.
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Los semicírculos tienen radio 6 cm y solo se tocan en un punto. Juntos tienen el área de un círculo completo, 36π cm². El cuadrado ocupa 144 cm².
A = (144 − 36π) cm²
A ≈ 30,90 cm²
13. Un segmento de cuarto de círculo
Un cuarto de círculo tiene radio 6 cm. Une los extremos de los radios con una cuerda. Calcula el área morada entre la cuerda y el arco.
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El sector tiene área de 36π ÷ 4 = 9π cm². El triángulo rectángulo formado por los radios tiene área de 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm². Resta el triángulo del sector.
A = (9π − 18) cm²
A ≈ 10,27 cm²
14. Un tercio de círculo
Un sector circular morado tiene radio 9 cm y ángulo central de 120°. Calcula su área.
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Como 120° ÷ 360° = 1/3, el sector ocupa un tercio del círculo, que tiene área de 81π cm².
A = (81π ÷ 3) cm² = 27π cm²
A ≈ 84,82 cm²
15–20. Figuras compuestas y superpuestas
15. El triángulo cortado a media altura
Un triángulo tiene base 14 cm y altura 10 cm. Une los puntos medios de los dos lados oblicuos. Calcula el área del trapecio morado situado debajo del segmento.
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El triángulo grande tiene área de 14 × 10 ÷ 2 = 70 cm². El triángulo blanco tiene la mitad de la base y la mitad de la altura, por lo que ocupa un cuarto del área. El trapecio ocupa los tres cuartos restantes.
70 × 3 ÷ 4 = 52,5 cm²
16. El trapecio dentro del rectángulo
En un rectángulo de 14 × 8 cm, la base mayor de un trapecio morado es el lado inferior. La menor es un segmento de 6 cm del lado superior. Calcula el área del trapecio.
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Las bases paralelas miden 14 y 6 cm y distan 8 cm. Su media es (14 + 6) ÷ 2 = 10 cm. Multiplícala por la altura.
10 × 8 = 80 cm²
17. La cruz en la cuadrícula
Un cuadrado de lado 15 cm se divide en nueve cuadrados iguales. Colorea la fila y la columna centrales. Calcula el área de la cruz morada.
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Cada cuadradito tiene lado 15 ÷ 3 = 5 cm y área 25 cm². La cruz contiene 3 + 3 − 1 = 5 cuadrados, pues el central pertenece a las dos franjas.
5 × 25 = 125 cm²
18. Las dos diagonales del rectángulo
Las diagonales dividen un rectángulo de 16 × 10 cm en cuatro triángulos. Calcula el área total de los triángulos morados de arriba y abajo.
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Las diagonales se cortan en el centro. Cada triángulo morado tiene base de 16 cm y altura de 5 cm, por lo que su área es 40 cm².
40 + 40 = 80 cm²
19. Dos franjas que se cruzan
En un cuadrado de lado 12 cm, una franja horizontal de 4 cm de ancho se cruza con una vertical de 6 cm de ancho. Calcula el área morada cubierta por al menos una franja.
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Las franjas ocupan 12 × 4 = 48 cm² y 12 × 6 = 72 cm². La intersección ocupa 4 × 6 = 24 cm². Réstala una vez: ya se contó dos veces al sumar.
48 + 72 − 24 = 96 cm²
20. La lente entre dos arcos
En un cuadrado de lado 10 cm, dibuja dos cuartos de círculo de radio 10 cm, centrados en vértices opuestos. Calcula el área morada común a los dos sectores.
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Cada sector contiene el triángulo delimitado por sus radios y su cuerda. Los dos triángulos llenan el cuadrado, así que la unión de los sectores ocupa 100 cm². Cada sector ocupa 25π cm²; su suma cuenta la lente dos veces.
A = (25π + 25π − 100) cm² = (50π − 100) cm²
A ≈ 57,08 cm²
21–30. Diez problemas nuevos
21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27 · 28 · 29 · 30
21. Un rectángulo en forma de L
Quita de la esquina superior derecha de un rectángulo de 13 × 9 cm un rectángulo de 5 cm de ancho y 4 cm de alto. Calcula el área morada que queda.
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El rectángulo completo ocupa 117 cm² y el recorte ocupa 20 cm². Resta solo la parte blanca.
117 − 20 = 97 cm²
22. Un vértice que se desliza
Un rectángulo mide 15 × 8 cm. Sitúa P en su lado superior a 4 cm del vértice izquierdo. Une P con los dos vértices inferiores y calcula el área del triángulo morado. ¿Cambiaría si P se desplazara por el mismo lado?
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La base mide 15 cm y la altura es la distancia entre los lados paralelos, 8 cm. Los 4 cm fijan la posición de P, pero no la altura. Mover P no cambia el área.
15 × 8 ÷ 2 = 60 cm²
23. El cuadrilátero en la cuadrícula
En una cuadrícula de cuadrados de lado 1 cm, une en orden A(3, 1), B(7, 2), C(6, 6), D(1, 5) y vuelve a A. Calcula el área del cuadrilátero morado.
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El menor rectángulo alineado con la cuadrícula que contiene el cuadrilátero mide 6 × 5 cm. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden 4 y 1, 1 y 4, 5 y 1, y 2 y 4 cm. Sus áreas son 2, 2, 2,5 y 4 cm². Réstalas de 30 cm².
30 − (2 + 2 + 2,5 + 4) = 19,5 cm²
24. Tres semicírculos en el mismo lado
C divide un segmento AB de 14 cm en AC = 6 cm y CB = 8 cm. Traza tres semicírculos en el mismo lado del segmento con diámetros AB, AC y CB. Calcula el área morada dentro del semicírculo grande y fuera de los dos pequeños.
Mostrar la solución · 24
Los radios miden 7, 3 y 4 cm. Los semicírculos pequeños están dentro del grande y solo se tocan en C. Resta sus áreas de la del grande, calculando cada área como π por el cuadrado del radio dividido entre dos.
A = ((49 − 9 − 16) × π ÷ 2) cm² = 12π cm²
A ≈ 37,70 cm²
25. Dos círculos dentro de un rectángulo
Dos círculos de radio 4 cm se colocan uno junto al otro y se tocan en un rectángulo de 16 × 8 cm. Cada uno toca los lados horizontales y el lado vertical más cercano. Calcula el área morada que queda fuera de ambos.
Mostrar la solución · 25
El rectángulo ocupa 128 cm². Cada círculo ocupa 16π cm² y no se superponen en una región de área positiva. Resta 32π cm².
A = (128 − 32π) cm²
A ≈ 27,47 cm²
26. El segmento circular de 60°
En un círculo de radio 8 cm, dos radios forman un ángulo de 60°. Traza la cuerda que une sus extremos. Calcula el área morada entre la cuerda y el arco menor.
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El sector ocupa 1/6 del círculo y tiene área 64π ÷ 6 = 32π/3 cm². El triángulo isósceles formado por los radios tiene ángulo de 60° en el vértice, así que es equilátero, de lado 8 cm y altura 4√3 cm. Su área vale 16√3 cm².
A = (32π/3 − 16√3) cm²
A ≈ 5,80 cm²
27. La pista con forma de estadio
Añade a cada lado corto de un rectángulo de 18 × 8 cm un semicírculo exterior que tenga ese lado como diámetro. Calcula el área morada total.
Mostrar la solución · 27
El rectángulo ocupa 144 cm². Los dos semicírculos de radio 4 cm tienen juntos el área de un círculo completo, 16π cm². Suma las áreas de las tres piezas, que no se superponen.
A = (144 + 16π) cm²
A ≈ 194,27 cm²
28. Coloreado una sola vez
Dos cuadrados de lado 8 cm tienen lados paralelos. El segundo está desplazado 3 cm a la derecha y 2 cm hacia arriba. Calcula el área morada que pertenece a exactamente uno de los cuadrados.
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El rectángulo común ocupa (8 − 3) × (8 − 2) = 30 cm². En 64 + 64 se cuenta dos veces. Para excluirlo por completo, resta 30 dos veces.
64 + 64 − 2 × 30 = 68 cm²
29. La lente de dos círculos
Dos circunferencias de radio 6 cm tienen centros a 6 cm de distancia. Calcula el área morada común a los dos círculos.
Mostrar la solución · 29
Llama P y Q a las intersecciones. Con los dos centros forman dos triángulos equiláteros de lado 6 cm, uno a cada lado del segmento que une los centros. La cuerda PQ divide la lente en dos segmentos circulares. Desde cada centro, los radios hacia P y Q forman un ángulo de 60° + 60° = 120°. Por tanto, cada sector tiene un área de 12π cm². Para obtener cada segmento, resta de su sector el triángulo de base PQ y vértice en el centro. Los dos triángulos restados forman el mismo rombo que los dos equiláteros, de área 2 × 9√3 = 18√3 cm².
A = (12π + 12π − 18√3) cm² = (24π − 18√3) cm²
A ≈ 44,22 cm²
30. El círculo inscrito en un triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. Dibuja el círculo inscrito, tangente a sus tres lados. Calcula el área morada del triángulo fuera del círculo.
Mostrar la solución · 30
La hipotenusa mide √(9² + 12²) = 15 cm y el triángulo tiene área de 54 cm². Al unir el centro con los vértices se obtienen tres triángulos de igual altura r, el radio. Por tanto, 54 = (9 + 12 + 15) × r ÷ 2 y r = 3 cm. Resta el área del círculo, 9π cm².
A = (54 − 9π) cm²
A ≈ 25,73 cm²
Una última comprobación
El área no puede ser negativa. Una región dentro de otra figura no puede tener un área mayor que la figura entera. Para cambiar de unidad, eleva al cuadrado el factor de conversión de las longitudes: 1 m² = 10 000 cm².