Quelle partie de la figure est violette ? Avant de chercher une formule, demande-toi s’il vaut mieux mesurer cette région directement, la découper en formes simples ou calculer ce qui reste après avoir enlevé les parties blanches.
Trois stratégies pour commencer
- Compléter et retrancher. Si la partie violette est difficile à mesurer, calcule l’aire de la figure entière et retranche les parties blanches.
- Découper et additionner. Si tu peux découper la région violette en rectangles, triangles ou secteurs qui ne se recouvrent pas, calcule leurs aires et additionne-les.
- Vérifier les recouvrements. Pour calculer l’aire couverte par au moins une de deux figures, retranche une fois l’intersection de la somme. Pour l’aire couverte par une seule figure, retranche-la deux fois.
Un secteur de rayon r et d’angle au centre α occupe la fraction α/360° du disque : son aire vaut (α/360°) × πr². Garde π pendant les calculs et n’arrondis qu’à la fin. Utilise les mesures de l’énoncé, sans mesurer le dessin à l’écran.
Les problèmes 1 à 20 et leurs figures sont adaptés du cahier italien «20 problemi sulle aree colorate» (p. 1 à 10). Les problèmes 21 à 30 sont nouveaux.
Choisis un groupe de problèmes
Cherche d’abord seul, puis ouvre la solution de l’exercice pour vérifier toutes les étapes.
- 1–6. Carrés, rectangles et triangles
- 7–14. Disques, couronnes et secteurs
- 15–20. Figures composées et recouvrements
- 21–30. Dix nouveaux problèmes
1–6. Carrés, rectangles et triangles
1. Le triangle dans le carré
Un cercle de rayon 5 m est inscrit dans un carré. Relie son centre O aux deux sommets du bas. Calcule l’aire du triangle violet.
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Le côté du carré est égal au diamètre du cercle : 2 × 5 = 10 m. La distance perpendiculaire du centre au côté du bas vaut 5 m. Multiplie la base par la hauteur et divise par deux.
10 × 5 ÷ 2 = 25 m²
2. Le carré des milieux
Relie dans l’ordre les milieux des quatre côtés d’un carré de côté 8 cm. Calcule l’aire du carré violet.
Afficher la solution · 2
Il reste quatre triangles rectangles dans les coins, chacun avec deux côtés perpendiculaires de 4 cm. Leur aire vaut 4 × 4 ÷ 2 = 8 cm² chacun. Retranche-les des 64 cm² du grand carré.
64 − 4 × 8 = 32 cm²
3. La bande oblique
Dans un rectangle de 12 × 8 cm, place P sur le côté du haut, à 4 cm de la gauche, et Q sur le côté du bas, à 4 cm de la droite. Relie P au coin inférieur gauche et Q au coin supérieur droit. Calcule l’aire entre ces deux traits.
Afficher la solution · 3
Chaque triangle blanc a une base de 4 cm et une hauteur de 8 cm, soit 16 cm². Retranche leurs aires des 96 cm² du rectangle.
96 − 2 × 16 = 64 cm²
4. Trois coins à retrancher
Dans un rectangle de 12 × 8 cm, relie le sommet inférieur gauche aux milieux des côtés supérieur et droit. Relie aussi ces deux milieux. Calcule l’aire du triangle violet.
Afficher la solution · 4
Les côtés perpendiculaires des trois triangles blancs mesurent 6 et 8 cm, 6 et 4 cm, puis 12 et 4 cm. Leurs aires valent 24, 12 et 24 cm². Retranche-les des 96 cm² du rectangle.
96 − (24 + 12 + 24) = 36 cm²
5. Le losange dans le rectangle
Dans un rectangle de 14 × 8 cm, relie dans l’ordre les milieux des côtés. Calcule l’aire du losange violet.
Afficher la solution · 5
Les diagonales du losange relient des milieux opposés et mesurent 14 et 8 cm. L’aire est égale à la moitié de leur produit.
14 × 8 ÷ 2 = 56 cm²
6. Le cadre carré
Deux carrés de même centre et de côtés parallèles ont des côtés de 12 cm et de 8 cm. Calcule l’aire du cadre violet.
Afficher la solution · 6
Le grand carré a une aire de 12 × 12 = 144 cm² ; le petit, de 8 × 8 = 64 cm². L’aire du cadre est la différence.
144 − 64 = 80 cm²
7–14. Disques, couronnes et secteurs
7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14
7. Les quatre coins du carré
Un cercle est inscrit dans un carré de côté 10 cm. Calcule l’aire totale des quatre coins violets extérieurs au disque.
Afficher la solution · 7
Le diamètre vaut 10 cm, donc le rayon vaut 5 cm et l’aire du disque est 25π cm². Retranche-la des 100 cm² du carré.
A = (100 − 25π) cm²
A ≈ 21,46 cm²
8. Le carré dans le cercle
Un carré est inscrit dans un cercle de rayon 5 cm. Calcule l’aire violette comprise dans le disque et à l’extérieur du carré.
Afficher la solution · 8
Les diagonales du carré sont des diamètres de 10 cm. L’aire du carré vaut 10 × 10 ÷ 2 = 50 cm² et celle du disque vaut 25π cm². Calcule la différence.
A = (25π − 50) cm²
A ≈ 28,54 cm²
9. Au-dessus du demi-disque
Dans un rectangle de 12 × 6 cm, trace le demi-disque intérieur dont le diamètre est le côté inférieur de 12 cm. Calcule l’aire violette du rectangle à l’extérieur du demi-disque.
Afficher la solution · 9
Le rayon du demi-disque vaut 6 cm, donc son aire vaut 36π ÷ 2 = 18π cm². L’aire du rectangle vaut 72 cm².
A = (72 − 18π) cm²
A ≈ 15,45 cm²
10. Hors du quart de disque
Dans un carré de côté 8 cm, enlève le quart de disque de rayon 8 cm centré au sommet inférieur gauche. Calcule l’aire violette restante.
Afficher la solution · 10
Le carré a une aire de 64 cm². Le secteur représente le quart d’un disque d’aire 64π cm² : son aire vaut 16π cm².
A = (64 − 16π) cm²
A ≈ 13,73 cm²
11. La couronne circulaire
Deux cercles concentriques ont des rayons de 7 et 3 cm. Calcule l’aire de la couronne violette.
Afficher la solution · 11
Les aires des disques de rayons 7 et 3 cm sont 49π et 9π cm². Retranche l’aire du petit disque.
A = (49π − 9π) cm² = 40π cm²
A ≈ 125,66 cm²
12. Deux demi-disques
Dans un carré de côté 12 cm, trace les deux demi-disques intérieurs de diamètres les côtés supérieur et inférieur. Calcule l’aire violette extérieure aux deux demi-disques.
Afficher la solution · 12
Le rayon de chaque demi-disque vaut 6 cm. Ils ne se touchent qu’en un point et forment ensemble l’aire d’un disque entier, 36π cm². Le carré a une aire de 144 cm².
A = (144 − 36π) cm²
A ≈ 30,90 cm²
13. Un segment de quart de disque
Un quart de disque a un rayon de 6 cm. Relie les extrémités des rayons par une corde. Calcule l’aire violette comprise entre la corde et l’arc.
Afficher la solution · 13
Le secteur a une aire de 36π ÷ 4 = 9π cm². Le triangle rectangle formé par les rayons a une aire de 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm². Retranche celle-ci de l’aire du secteur.
A = (9π − 18) cm²
A ≈ 10,27 cm²
14. Un tiers de disque
Un secteur circulaire violet a un rayon de 9 cm et un angle au centre de 120°. Calcule son aire.
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Puisque 120° ÷ 360° = 1/3, le secteur occupe un tiers du disque, dont l’aire vaut 81π cm².
A = (81π ÷ 3) cm² = 27π cm²
A ≈ 84,82 cm²
15–20. Figures composées et recouvrements
15. Le triangle coupé à mi-hauteur
Un triangle a une base de 14 cm et une hauteur de 10 cm. Relie les milieux des deux côtés obliques. Calcule l’aire du trapèze violet sous ce segment.
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L’aire du grand triangle est 14 × 10 ÷ 2 = 70 cm². Le petit triangle a une base et une hauteur deux fois plus petites : son aire est donc le quart de celle du grand. Le trapèze occupe les trois quarts restants.
70 × 3 ÷ 4 = 52,5 cm²
16. Le trapèze dans le rectangle
Dans un rectangle de 14 × 8 cm, la grande base d’un trapèze violet est le côté inférieur. Sa petite base est un segment de 6 cm du côté supérieur. Calcule l’aire du trapèze.
Afficher la solution · 16
Les bases parallèles mesurent 14 et 6 cm et sont distantes de 8 cm. Leur moyenne est (14 + 6) ÷ 2 = 10 cm. Multiplie-la par la hauteur.
10 × 8 = 80 cm²
17. La croix dans le quadrillage
Un carré de côté 15 cm est divisé en neuf carrés égaux. Colorie la ligne centrale et la colonne centrale. Calcule l’aire de la croix violette.
Afficher la solution · 17
Chaque petit carré a un côté de 15 ÷ 3 = 5 cm et une aire de 25 cm². La croix contient 3 + 3 − 1 = 5 carrés, car le carré central est commun aux deux bandes.
5 × 25 = 125 cm²
18. Les deux diagonales du rectangle
Les diagonales d’un rectangle de 16 × 10 cm le divisent en quatre triangles. Calcule l’aire totale des triangles violets en haut et en bas.
Afficher la solution · 18
Les diagonales se coupent au centre. Chaque triangle colorié a une base de 16 cm et une hauteur de 5 cm, soit une aire de 40 cm².
40 + 40 = 80 cm²
19. Deux bandes qui se croisent
Dans un carré de côté 12 cm, une bande horizontale de 4 cm de large croise une bande verticale de 6 cm de large. Calcule l’aire violette couverte par au moins une bande.
Afficher la solution · 19
Les aires des bandes sont 12 × 4 = 48 cm² et 12 × 6 = 72 cm². Leur intersection vaut 4 × 6 = 24 cm². Retranche-la une fois : elle a été comptée deux fois dans la somme.
48 + 72 − 24 = 96 cm²
20. La lentille entre deux arcs
Dans un carré de côté 10 cm, dessine deux quarts de disque de rayon 10 cm, centrés en deux sommets opposés. Calcule l’aire violette commune aux deux secteurs.
Afficher la solution · 20
Chaque secteur contient le triangle délimité par ses rayons et sa corde. Les deux triangles remplissent le carré : la réunion des secteurs a donc une aire de 100 cm². Chaque secteur vaut 25π cm² ; leur somme compte la lentille deux fois.
A = (25π + 25π − 100) cm² = (50π − 100) cm²
A ≈ 57,08 cm²
21–30. Dix nouveaux problèmes
21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27 · 28 · 29 · 30
21. Un rectangle en forme de L
Découpe un rectangle de 5 cm de large et 4 cm de haut au coin supérieur droit d’un rectangle de 13 × 9 cm. Calcule l’aire violette restante.
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L’aire du rectangle entier vaut 117 cm² et celle de la découpe vaut 20 cm². Retranche seulement la partie blanche.
117 − 20 = 97 cm²
22. Un sommet qui glisse
Un rectangle mesure 15 × 8 cm. Place P sur le côté du haut, à 4 cm du sommet de gauche. Relie P aux deux sommets du bas. Calcule l’aire du triangle violet. Changerait-elle si P glissait sur le même côté ?
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La base mesure 15 cm et la hauteur est la distance entre les côtés parallèles, soit 8 cm. La mesure de 4 cm fixe la position de P, mais ne change pas la hauteur. Faire glisser P ne change donc pas l’aire.
15 × 8 ÷ 2 = 60 cm²
23. Le quadrilatère sur le quadrillage
Sur un quadrillage de pas 1 cm, relie dans l’ordre A(3, 1), B(7, 2), C(6, 6), D(1, 5), puis reviens à A. Calcule l’aire du quadrilatère violet.
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Le plus petit rectangle aligné sur le quadrillage qui contient le quadrilatère mesure 6 × 5 cm. Les triangles dans ses coins ont des côtés perpendiculaires de 4 et 1 cm, 1 et 4 cm, 5 et 1 cm, puis 2 et 4 cm. Leurs aires sont 2, 2, 2,5 et 4 cm². Retranche-les de 30 cm².
30 − (2 + 2 + 2,5 + 4) = 19,5 cm²
24. Trois demi-disques du même côté
Le point C divise un segment AB de 14 cm en AC = 6 cm et CB = 8 cm. Trace du même côté trois demi-disques de diamètres AB, AC et CB. Calcule l’aire violette intérieure au grand demi-disque et extérieure aux deux petits.
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Les rayons mesurent 7, 3 et 4 cm. Les petits demi-disques sont à l’intérieur du grand et se touchent seulement en C. Retranche leurs aires de celle du grand, en calculant chaque aire par π fois le carré du rayon divisé par deux.
A = ((49 − 9 − 16) × π ÷ 2) cm² = 12π cm²
A ≈ 37,70 cm²
25. Deux disques dans un rectangle
Deux disques de rayon 4 cm sont côte à côte et tangents dans un rectangle de 16 × 8 cm. Chacun touche les deux côtés horizontaux et le côté vertical le plus proche. Calcule l’aire violette à l’extérieur des deux disques.
Afficher la solution · 25
Le rectangle a une aire de 128 cm². Chaque disque a une aire de 16π cm² et ils ne se recouvrent pas. Retranche 32π cm².
A = (128 − 32π) cm²
A ≈ 27,47 cm²
26. Le segment circulaire à 60°
Dans un cercle de rayon 8 cm, deux rayons forment un angle de 60°. Trace la corde qui joint leurs extrémités. Calcule l’aire violette entre la corde et l’arc le plus court.
Afficher la solution · 26
Le secteur occupe 1/6 du disque et son aire est 64π ÷ 6 = 32π/3 cm². Le triangle isocèle formé par les rayons a un angle au sommet de 60° : il est équilatéral, de côté 8 cm et de hauteur 4√3 cm. Son aire vaut 16√3 cm².
A = (32π/3 − 16√3) cm²
A ≈ 5,80 cm²
27. La piste en forme de stade
Sur chacun des deux petits côtés d’un rectangle de 18 × 8 cm, ajoute un demi-disque extérieur ayant ce côté pour diamètre. Calcule l’aire violette totale.
Afficher la solution · 27
Le rectangle a une aire de 144 cm². Les deux demi-disques de rayon 4 cm ont ensemble l’aire d’un disque entier, 16π cm². Additionne les aires des trois parties, qui ne se recouvrent pas.
A = (144 + 16π) cm²
A ≈ 194,27 cm²
28. Colorié une seule fois
Deux carrés de côté 8 cm ont des côtés parallèles. Le second est décalé de 3 cm vers la droite et de 2 cm vers le haut. Calcule l’aire violette appartenant à un seul des deux carrés.
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Le rectangle commun a une aire de (8 − 3) × (8 − 2) = 30 cm². Il est compté deux fois dans 64 + 64. Pour l’exclure complètement, retranche 30 deux fois.
64 + 64 − 2 × 30 = 68 cm²
29. La lentille de deux disques
Deux cercles de rayon 6 cm ont leurs centres distants de 6 cm. Calcule l’aire violette commune aux deux disques.
Afficher la solution · 29
Appelle P et Q les intersections. Avec les deux centres, ils forment deux triangles équilatéraux de côté 6 cm, un de chaque côté du segment des centres. La corde PQ divise la lentille en deux segments circulaires. Depuis chaque centre, les rayons vers P et Q forment un angle de 60° + 60° = 120°. Chaque secteur a donc une aire de 12π cm². Pour obtenir chaque segment, retranche de son secteur le triangle de base PQ et de sommet le centre. Les deux triangles retranchés forment le même losange que les deux triangles équilatéraux, d’aire 2 × 9√3 = 18√3 cm².
A = (12π + 12π − 18√3) cm² = (24π − 18√3) cm²
A ≈ 44,22 cm²
30. Le cercle inscrit dans un triangle rectangle
Un triangle rectangle a des côtés perpendiculaires de 9 et 12 cm. Trace son cercle inscrit, tangent aux trois côtés. Calcule l’aire violette dans le triangle et hors du disque.
Afficher la solution · 30
L’hypoténuse mesure √(9² + 12²) = 15 cm et l’aire du triangle est 54 cm². Relier le centre aux sommets donne trois triangles de même hauteur r, le rayon. Ainsi 54 = (9 + 12 + 15) × r ÷ 2 et r = 3 cm. Retranche l’aire du disque, 9π cm².
A = (54 − 9π) cm²
A ≈ 25,73 cm²
Une dernière vérification
Une aire ne peut pas être négative. Une région contenue dans une figure ne peut pas avoir une aire supérieure à celle de la figure entière. Pour changer d’unité, élève au carré le facteur de conversion des longueurs : 1 m² = 10 000 cm².