Quale parte della figura è viola? Prima di cercare una formula, chiediti se conviene misurare direttamente la regione, dividerla in pezzi semplici o calcolare ciò che resta dopo aver tolto le parti bianche.
Tre strategie per cominciare
- Completa e sottrai. Se la parte viola è difficile da misurare, trova l’area della figura intera e sottrai le parti bianche.
- Dividi e somma. Se puoi tagliare la regione viola in rettangoli, triangoli o settori senza sovrapposizioni, calcola le loro aree separatamente e sommale.
- Controlla le sovrapposizioni. Per contare l’area coperta da almeno una di due figure, sottrai una volta l’intersezione dalla somma. Se vuoi l’area coperta da una sola figura, sottraila due volte.
Un settore di raggio r e angolo al centro α occupa la frazione α/360° del disco: la sua area è (α/360°) × πr². Tieni π nei passaggi e arrotonda solo il risultato finale. Le figure aiutano a ragionare: usa le misure dell’enunciato, non il righello sullo schermo.
I problemi 1–20 sono adattati dal Quaderno di geometria «20 problemi sulle aree colorate» (pp. 1–10), da cui provengono le relative figure. I problemi 21–30 sono nuovi.
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Prova prima da solo, poi apri la soluzione del singolo esercizio per controllare tutti i passaggi.
- 1–6. Quadrati, rettangoli e triangoli
- 7–14. Cerchi, corone e settori
- 15–20. Figure composte e sovrapposizioni
- 21–30. Dieci problemi nuovi
1–6. Quadrati, rettangoli e triangoli
1. Il triangolo nel quadrato
Un cerchio di raggio 5 m è inscritto in un quadrato. Unisci il centro O ai due vertici inferiori del quadrato. Calcola l’area del triangolo viola.
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Il lato del quadrato è il diametro del cerchio: 2 × 5 = 10 m. La distanza perpendicolare del centro dal lato inferiore è 5 m. Usa base per altezza diviso due.
10 × 5 ÷ 2 = 25 m²
2. Il quadrato dei punti medi
Unisci in ordine i punti medi dei quattro lati di un quadrato di lato 8 cm. Calcola l’area del quadrato viola interno.
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Nei quattro angoli rimangono triangoli rettangoli con cateti 4 cm e 4 cm. Ciascuno ha area 4 × 4 ÷ 2 = 8 cm². Sottrai le quattro aree dai 64 cm² del quadrato.
64 − 4 × 8 = 32 cm²
3. La fascia obliqua
In un rettangolo di 12 × 8 cm segna P sul lato superiore, a 4 cm da sinistra, e Q sul lato inferiore, a 4 cm da destra. Unisci P al vertice inferiore sinistro e Q al vertice superiore destro. Calcola l’area tra i due tagli.
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I triangoli bianchi hanno ciascuno base 4 cm e altezza 8 cm: occupano 16 cm² l’uno. Il rettangolo occupa 96 cm²; sottrai le due parti bianche.
96 − 2 × 16 = 64 cm²
4. Tre angoli da togliere
In un rettangolo di 12 × 8 cm, unisci il vertice inferiore sinistro ai punti medi dei lati superiore e destro; unisci anche i due punti medi. Calcola l’area del triangolo viola.
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I triangoli bianchi hanno cateti rispettivamente 6 e 8, 6 e 4, 12 e 4 cm. Le loro aree sono 24, 12 e 24 cm². Sottraile dai 96 cm² del rettangolo.
96 − (24 + 12 + 24) = 36 cm²
5. Il rombo nel rettangolo
In un rettangolo di 14 × 8 cm unisci in ordine i punti medi dei lati. Calcola l’area del rombo viola.
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Le diagonali del rombo congiungono i punti medi opposti: misurano 14 cm e 8 cm. L’area del rombo è metà del prodotto delle diagonali.
14 × 8 ÷ 2 = 56 cm²
6. La cornice quadrata
Due quadrati concentrici con lati paralleli hanno lati di 12 cm e 8 cm. Calcola l’area della cornice viola tra i due quadrati.
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Il quadrato esterno ha area 12 × 12 = 144 cm². Quello interno ha area 8 × 8 = 64 cm². La cornice è la differenza.
144 − 64 = 80 cm²
7–14. Cerchi, corone e settori
7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14
7. I quattro angoli del quadrato
Un cerchio è inscritto in un quadrato di lato 10 cm. Calcola l’area complessiva dei quattro angoli viola esterni al cerchio.
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Il cerchio ha diametro 10 cm, quindi raggio 5 cm e area 25π cm². Sottrai quest’area dai 100 cm² del quadrato.
A = (100 − 25π) cm²
A ≈ 21,46 cm²
8. Il quadrato dentro il cerchio
Un quadrato è inscritto in un cerchio di raggio 5 cm. Calcola l’area viola interna al cerchio ed esterna al quadrato.
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Le diagonali del quadrato sono diametri di 10 cm. L’area del quadrato è 10 × 10 ÷ 2 = 50 cm²; quella del disco è 25π cm². Calcola la differenza.
A = (25π − 50) cm²
A ≈ 28,54 cm²
9. Sopra il semicerchio
In un rettangolo di 12 × 6 cm traccia il semicerchio interno che ha per diametro il lato inferiore, lungo 12 cm. Calcola l’area viola nel rettangolo ma fuori dal semicerchio.
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Il semicerchio ha raggio 6 cm: la sua area è 36π ÷ 2 = 18π cm². L’area del rettangolo è 72 cm².
A = (72 − 18π) cm²
A ≈ 15,45 cm²
10. Oltre il quarto di cerchio
Da un quadrato di lato 8 cm togli un quarto di cerchio di raggio 8 cm, con centro nel vertice inferiore sinistro. Calcola l’area viola rimasta.
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Il quadrato occupa 64 cm². Il settore è un quarto di un disco di area 64π cm², quindi occupa 16π cm².
A = (64 − 16π) cm²
A ≈ 13,73 cm²
11. La corona circolare
Due circonferenze concentriche hanno raggi 7 cm e 3 cm. Calcola l’area viola compresa tra le due circonferenze.
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I dischi di raggio 7 cm e 3 cm hanno aree 49π e 9π cm². Sottrai l’area del disco interno.
A = (49π − 9π) cm² = 40π cm²
A ≈ 125,66 cm²
12. I due semicerchi
In un quadrato di lato 12 cm disegna due semicerchi interni, con diametri sui lati superiore e inferiore. Calcola l’area viola fuori da entrambi.
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I semicerchi hanno raggio 6 cm e si toccano soltanto in un punto. Insieme occupano l’area di un cerchio intero, 36π cm². Il quadrato occupa 144 cm².
A = (144 − 36π) cm²
A ≈ 30,90 cm²
13. Il segmento del quarto di cerchio
Un quarto di cerchio ha raggio 6 cm. Congiungi gli estremi dei due raggi con una corda. Calcola l’area viola fra corda e arco.
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Il settore ha area 36π ÷ 4 = 9π cm². Il triangolo rettangolo fra i due raggi ha area 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm². Sottrai il triangolo dal settore.
A = (9π − 18) cm²
A ≈ 10,27 cm²
14. Il settore da un terzo
Un settore circolare viola ha raggio 9 cm e angolo al centro di 120°. Calcola la sua area.
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Poiché 120° ÷ 360° = 1/3, il settore occupa un terzo del disco. Il disco ha area 81π cm².
A = (81π ÷ 3) cm² = 27π cm²
A ≈ 84,82 cm²
15–20. Figure composte e sovrapposizioni
15. Il triangolo tagliato a metà altezza
Un triangolo ha base 14 cm e altezza 10 cm. Unisci i punti medi dei due lati obliqui. Calcola l’area del trapezio viola sotto il segmento.
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Il triangolo grande ha area 14 × 10 ÷ 2 = 70 cm². Quello bianco ha base e altezza dimezzate, quindi un quarto dell’area. Il trapezio ne occupa i tre quarti.
70 × 3 ÷ 4 = 52,5 cm²
16. Il trapezio nel rettangolo
Nel rettangolo di 14 × 8 cm, la base maggiore del trapezio viola coincide con il lato inferiore. La base minore è un segmento di 6 cm sul lato superiore. Calcola l’area viola.
Mostra la soluzione · 16
Le basi parallele misurano 14 e 6 cm e sono distanti 8 cm. La media delle basi è (14 + 6) ÷ 2 = 10 cm. Moltiplicala per l’altezza.
10 × 8 = 80 cm²
17. La croce nella griglia
Un quadrato di lato 15 cm è diviso in nove quadratini uguali. Colora la riga e la colonna centrali. Calcola l’area della croce viola.
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Ogni quadratino ha lato 15 ÷ 3 = 5 cm e area 25 cm². La croce ne contiene cinque: 3 + 3 − 1, perché quello centrale è condiviso.
5 × 25 = 125 cm²
18. Le due diagonali del rettangolo
Le diagonali dividono un rettangolo di 16 × 10 cm in quattro triangoli. Calcola l’area complessiva di quelli viola, in alto e in basso.
Mostra la soluzione · 18
Le diagonali si incontrano al centro. Ciascun triangolo colorato ha base 16 cm e altezza 5 cm, quindi area 40 cm².
40 + 40 = 80 cm²
19. L’incrocio delle strisce
In un quadrato di lato 12 cm una striscia orizzontale larga 4 cm incrocia una striscia verticale larga 6 cm. Calcola l’area viola coperta da almeno una striscia.
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Le strisce hanno aree 12 × 4 = 48 cm² e 12 × 6 = 72 cm². L’intersezione misura 4 × 6 = 24 cm². Sottraila una volta, perché nella somma è contata due volte.
48 + 72 − 24 = 96 cm²
20. La lente fra due archi
In un quadrato di lato 10 cm disegna due quarti di cerchio di raggio 10 cm, centrati in due vertici opposti. Calcola l’area viola comune ai due settori.
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Ciascun settore contiene il triangolo delimitato dai suoi due raggi e dalla corda. I due triangoli riempiono il quadrato, quindi anche l’unione dei settori ha area 100 cm². Ogni settore misura 25π cm²; la somma conta due volte la lente.
A = (25π + 25π − 100) cm² = (50π − 100) cm²
A ≈ 57,08 cm²
21–30. Dieci problemi nuovi
21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27 · 28 · 29 · 30
21. Un rettangolo a forma di L
Da un rettangolo di 13 × 9 cm togli, nell’angolo superiore destro, un rettangolino largo 5 cm e alto 4 cm. Calcola l’area viola rimasta.
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Il rettangolo intero ha area 117 cm² e il ritaglio ha area 20 cm². Togli soltanto la parte bianca.
117 − 20 = 97 cm²
22. Un vertice che può scorrere
Un rettangolo misura 15 × 8 cm. Un punto P sul lato superiore dista 4 cm dal vertice superiore sinistro. Unisci P ai due vertici inferiori e calcola l’area del triangolo viola. Cambierebbe se P scorresse sullo stesso lato?
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La base misura 15 cm e l’altezza perpendicolare è la distanza tra i lati paralleli, 8 cm. I 4 cm fissano la posizione di P, ma non l’altezza: spostare P non cambia l’area.
15 × 8 ÷ 2 = 60 cm²
23. Il quadrilatero sulla griglia
Su una griglia con quadretti di lato 1 cm, unisci nell’ordine A(3, 1), B(7, 2), C(6, 6), D(1, 5) e torna ad A. Calcola l’area del quadrilatero viola.
Mostra la soluzione · 23
Il rettangolo più piccolo con lati paralleli alla griglia che contiene il quadrilatero misura 6 × 5 cm. I quattro triangoli negli angoli hanno cateti 4 e 1, 1 e 4, 5 e 1, 2 e 4 cm; le aree sono 2, 2, 2,5 e 4 cm². Sottraile da 30 cm².
30 − (2 + 2 + 2,5 + 4) = 19,5 cm²
24. Tre semicerchi sullo stesso lato
Su un segmento AB di 14 cm, il punto C lo divide in AC = 6 cm e CB = 8 cm. Disegna tre semicerchi dalla stessa parte, con diametri AB, AC e CB. Calcola l’area viola dentro il semicerchio grande e fuori dai due piccoli.
Mostra la soluzione · 24
I tre raggi misurano 7, 3 e 4 cm. I due semicerchi piccoli sono interni al grande e si toccano solo in C. Dall’area grande sottrai le due piccole, usando π per il quadrato del raggio diviso due.
A = ((49 − 9 − 16) × π ÷ 2) cm² = 12π cm²
A ≈ 37,70 cm²
25. Due dischi nel rettangolo
In un rettangolo di 16 × 8 cm sono disegnati due dischi di raggio 4 cm, affiancati e tangenti fra loro. Ciascuno tocca i lati orizzontali e il lato verticale più vicino. Calcola l’area viola esterna ai due dischi.
Mostra la soluzione · 25
Il rettangolo ha area 128 cm². Ogni disco ha area 16π cm² e non c’è sovrapposizione con area positiva. Sottrai 32π cm².
A = (128 − 32π) cm²
A ≈ 27,47 cm²
26. Il segmento circolare da 60°
In un cerchio di raggio 8 cm, due raggi formano un angolo di 60°. Traccia la corda che unisce i loro estremi. Calcola l’area viola tra la corda e l’arco minore.
Mostra la soluzione · 26
Il settore è 1/6 del disco e misura 64π ÷ 6 = 32π/3 cm². Il triangolo formato dai due raggi è isoscele con angolo al vertice di 60°, perciò è equilatero: lato 8 cm e altezza 4√3 cm. La sua area è 16√3 cm².
A = (32π/3 − 16√3) cm²
A ≈ 5,80 cm²
27. La pista a forma di stadio
A un rettangolo di 18 × 8 cm aggiungi verso l’esterno un semicerchio su ciascun lato corto, usando quel lato come diametro. Calcola l’area viola totale.
Mostra la soluzione · 27
Il rettangolo occupa 144 cm². I due semicerchi di raggio 4 cm, uniti, hanno l’area di un disco intero: 16π cm². Somma le tre parti senza sovrapposizione.
A = (144 + 16π) cm²
A ≈ 194,27 cm²
28. Colorato una sola volta
Due quadrati di lato 8 cm hanno lati paralleli. Il secondo è traslato di 3 cm a destra e 2 cm in alto rispetto al primo. Calcola l’area viola dei punti che appartengono a uno solo dei due quadrati.
Mostra la soluzione · 28
La parte comune è un rettangolo di (8 − 3) × (8 − 2) = 30 cm². Nella somma 64 + 64 il rettangolo comune compare due volte. Qui non deve comparire affatto: sottrai due volte 30.
64 + 64 − 2 × 30 = 68 cm²
29. La lente di due cerchi
Due cerchi di raggio 6 cm hanno centri distanti 6 cm. Calcola l’area viola comune ai due dischi.
Mostra la soluzione · 29
Chiama P e Q le intersezioni. La corda PQ divide la lente in due segmenti circolari. P e Q formano con i due centri due triangoli equilateri di lato 6 cm, uno sopra e uno sotto il segmento dei centri. Perciò, da ciascun centro, l’angolo fra i raggi verso P e Q misura 60° + 60° = 120°. Ciascun settore ha area 12π cm². Per ottenere ciascun segmento, sottrai dal suo settore il triangolo con base PQ e vertice nel centro. I due triangoli da sottrarre formano lo stesso rombo dei due equilateri, con area 2 × 9√3 = 18√3 cm².
A = (12π + 12π − 18√3) cm² = (24π − 18√3) cm²
A ≈ 44,22 cm²
30. Il disco inscritto nel triangolo rettangolo
Un triangolo rettangolo ha cateti di 9 cm e 12 cm. Disegna il cerchio inscritto, tangente ai tre lati. Calcola l’area viola del triangolo esterna al disco.
Mostra la soluzione · 30
L’ipotenusa misura √(9² + 12²) = 15 cm e l’area del triangolo è 54 cm². Unendo il centro ai vertici si ottengono tre triangoli con la stessa altezza r, il raggio. Quindi 54 = (9 + 12 + 15) × r ÷ 2 e r = 3 cm. Togli l’area del disco, 9π cm².
A = (54 − 9π) cm²
A ≈ 25,73 cm²
Un controllo finale
L’area deve essere non negativa. Se cerchi una regione interna a una figura, il risultato non può superare l’area della figura che la contiene. Se cambi unità, ricorda che 1 m² = 10 000 cm²: il fattore di conversione delle lunghezze va elevato al quadrato.