¿De cuántas formas podemos elegir, ordenar o repartir objetos? La combinatoria responde sin enumerar todos los casos. Este recorrido comienza con elecciones elementales y llega a restricciones, repeticiones, coeficientes binomiales y probabilidades. Prueba cada idea en el laboratorio; al final encontrarás un cuestionario con respuestas razonadas.
1. Primera pregunta: ¿qué cuenta como resultado diferente?
Con las letras A, B, C, AB y BA son códigos diferentes, pero el grupo formado por A y B es el mismo aunque cambiemos el orden de sus nombres. Esta distinción va antes de la fórmula. Pregúntate siempre: ¿importa el orden? ¿Puedo reutilizar un objeto? ¿Uso todos los objetos o solo algunos?
2. Sumar alternativas, multiplicar etapas
Si puedo elegir o bien uno de 3 zumos o bien una de 2 infusiones, las alternativas excluyentes dan 3+2=5 posibilidades. Si un menú requiere un plato entre 3 y un postre entre 2, cada plato combina con dos postres: 3×2=6 menús. El producto también funciona cuando las opciones cambian entre etapas: elegir presidente y vicepresidente entre 5 personas distintas da 5×4=20 resultados.
3. Un árbol y el complementario
Dos lanzamientos de moneda producen CC, CX, XC, XX, donde C significa cara y X cruz: cada primera rama tiene dos segundas ramas, así que 2×2=4. Para «al menos una cara» es más rápido excluir el único caso sin caras: 4−1=3. Tres lanzamientos dan 2³−1=7. El complementario resulta especialmente útil cuando «al menos uno» incluye muchos casos distintos.
4. Factorial y permutaciones de todos los objetos
Ordenemos 4 libros diferentes en una estantería. Hay 4 opciones para el primer lugar, luego 3, 2 y 1: 4×3×2×1=4!=24. En general, n!=n(n−1)…2×1. Por convenio, 0!=1: existe una única forma de ordenar cero objetos, la disposición vacía. Si usamos todos los n objetos distintos y el orden importa, hay n! permutaciones.
5. Variaciones: solo k objetos, orden importante
Entregamos oro, plata y bronce a 3 de 5 personas: 5×4×3=60. No elegimos simplemente un grupo de tres, porque intercambiar oro y plata cambia el resultado. Para k≤n, sin repetición, D(n,k)=n!/(n−k)!. Cuando k=n, se convierte en n!.
6. Secuencias con repetición
Un código de 3 cifras permite ceros iniciales y cifras repetidas: cada posición ofrece 10 opciones, luego hay 10³=1000 códigos. Si pedimos un número de tres cifras, la primera no puede ser cero: 9×10×10=900. En general, con k posiciones y n símbolos reutilizables hay n^k secuencias; las restricciones se aplican a las posiciones afectadas.
7. Combinaciones: elegir sin ordenar
Elegimos una comisión de 3 personas entre 5. La cuenta ordenada es 5×4×3=60, pero cada comisión aparece en 3!=6 órdenes: 60/6=10. Por tanto, C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]. No dividas por k! automáticamente: hazlo solo si cada grupo se contó realmente en sus k! órdenes. Dos hechos útiles son C(n,0)=1 y C(n,k)=C(n,n−k): elegir quién entra equivale a elegir quién queda fuera.
8. La tabla de decisión
| Pregunta | Repetición | Cuenta | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Orden sí, k de n | No | n!/(n−k)! | Podio |
| Orden sí, k de n | Sí | n^k | Código |
| Orden no, k de n | No | C(n,k) | Comisión |
| Orden no, k de n | Sí | C(n+k−1,k) | Sabores repetidos |
Primero identifica los objetos distinguibles; luego responde a las dos preguntas. «¿Uso todos?» es un caso particular: con orden y sin repetición se obtiene n!.
9. Combinaciones con repetición
Elijo 3 bolas de helado entre 4 sabores; puedo repetir sabor y el orden de las bolas no importa. Cada elección corresponde a cuatro cantidades no negativas cuya suma es 3. Represento las 3 bolas con estrellas y separo los 4 sabores con 3 barras: debo elegir las posiciones de las 3 estrellas entre 3+4−1=6 lugares. Obtengo C(6,3)=20. En general, escoger k unidades entre n tipos ilimitados da C(n+k−1,k). Las unidades del mismo tipo deben ser indistinguibles.
10. Objetos iguales y permutaciones circulares
En ANNA hay 4 letras, pero las dos A y las dos N son iguales: intercambiarlas no produce un anagrama nuevo. La cuenta es 4!/(2!2!)=6. En general, si las multiplicidades n₁,…,nᵣ suman n, los órdenes distintos son n!/(n₁!…nᵣ!). Para 5 personas distintas alrededor de una mesa redonda, si girar toda la mesa no cambia la distribución, fijo a una persona y ordeno a las demás: (5−1)!=24. Los reflejos siguen siendo distintos, salvo que el problema diga explícitamente lo contrario.
11. Restricciones: construir, restar o separar casos
¿Cuántos códigos de 4 cifras, con cero inicial permitido, contienen al menos un 7? Hay 10⁴ códigos en total y 9⁴ sin ningún 7. Resultado: 10⁴−9⁴=3439. ¿De cuántas formas pueden colocarse 5 personas en fila si Ana y Bruno deben quedar juntos? Tratamos a la pareja como un bloque: 4! órdenes para los 4 objetos y 2! dentro del bloque. Resultado: 4!×2!=48.
12. Evitar la doble cuenta: inclusión-exclusión
En una clase, 12 estudiantes juegan al fútbol, 9 al baloncesto y 4 a ambos. Sumar 12+9 cuenta dos veces a esos 4. Practican al menos uno de los dos deportes 12+9−4=17 alumnos. Para dos conjuntos, |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Con tres conjuntos se restan las tres intersecciones por parejas y se vuelve a sumar la intersección triple, que de otro modo quedaría demasiado restada.
13. Pascal, binomio y multinomio
Las combinaciones cumplen C(n,k)=C(n−1,k)+C(n−1,k−1): respecto a una persona fija, o la excluimos o la incluimos. Así surge el triángulo de Pascal: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1. La fila 1,4,6,4,1 contiene también los coeficientes de (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴. Si repartimos 7 objetos distintos en tres grupos etiquetados de tamaños 2, 3 y 2, el coeficiente multinomial es 7!/(2!3!2!)=210. Los grupos sin etiqueta pueden exigir otra división cuando se intercambian grupos de igual tamaño.
14. De la cuenta a la probabilidad
Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules; extraemos 3 a la vez, sin reposición. Hay C(10,3)=120 grupos posibles. Para obtener exactamente 2 rojas elegimos 2 de las 6 rojas y 1 de las 4 azules: C(6,2)×C(4,1)=15×4=60. Todos los grupos son equiprobables, así que P=60/120=1/2. Si el orden de extracción importara en la pregunta, podríamos contar secuencias ordenadas tanto en el numerador como en el denominador, pero no mezclar modelos.
15. Tres errores que debes reconocer
- Confundir código y número: 007 es un código de tres cifras, no un número de tres cifras.
- Dividir cuando el orden importa: presidente y vicepresidente no forman una simple comisión.
- Aplicar una fórmula sin comprobar las restricciones:
C(n+k−1,k)no vale si cada sabor puede elegirse una sola vez.
16. Ponte a prueba
Antes de abrir una solución, anota los objetos, las posiciones, si importa el orden, si se permite repetir y las restricciones.
1. Cinco libros diferentes: ¿cuántos órdenes en la estantería?
Usamos todos los objetos distintos y el orden importa: 5!=120.
2. Entre 8 personas elegimos presidente y vicepresidente.
Los cargos son diferentes y nadie ocupa ambos: 8×7=56, no C(8,2)=28.
3. Entre 8 personas elegimos una comisión de 2.
Intercambiar los nombres no crea un grupo nuevo: C(8,2)=8×7/2=28.
4. ¿Cuántos anagramas distintos tiene MAMMA?
Hay 5 letras: M se repite 3 veces y A 2: 5!/(3!2!)=10.
5. Tres bolas entre 4 sabores, con repetición: ¿cuántas elecciones?
El orden no importa y cada sabor puede repetirse: C(4+3−1,3)=C(6,3)=20.
El recorrido termina cuando sabes justificar una fórmula, no solo recordarla. En el laboratorio, compara los resultados con listas de casos pequeños; después realiza el cuestionario con respuestas razonadas.