Quanti modi esistono per scegliere, disporre o distribuire oggetti? Il calcolo combinatorio risponde senza scrivere uno per uno tutti i casi. Il percorso parte da scelte elementari e arriva a vincoli, ripetizioni, coefficienti binomiali e probabilità. Dopo ogni idea puoi provarla nel laboratorio; alla fine trovi un quiz con correzione ragionata.
1. Prima domanda: che cosa conta come risultato diverso?
Con le lettere A, B, C, le coppie AB e BA sono due codici diversi, ma il gruppo formato da A e B è lo stesso gruppo qualunque sia l’ordine in cui lo nominiamo. Questa distinzione viene prima della formula. Chiediti sempre: conta l’ordine? Posso riusare lo stesso oggetto? Uso tutti gli oggetti oppure solo alcuni?
2. Sommare alternative, moltiplicare fasi
Se posso scegliere o un succo tra 3 o una tisana tra 2, le alternative disgiunte sono 3+2=5. Se preparo un menu scegliendo un primo tra 3 e un dolce tra 2, per ciascun primo ho due dolci: 3×2=6 menu. Per le fasi successive il prodotto funziona anche quando il numero di scelte cambia: scegliendo due persone distinte fra 5 per i ruoli di presidente e vice, ho 5×4=20 risultati.
3. Contare con un albero e con il complementare
Due lanci di moneta generano TT, TC, CT, CC: ogni primo ramo ha due secondi rami, quindi 2×2=4. Per «almeno una testa» è spesso più rapido togliere il solo caso senza teste: 4−1=3. Con tre lanci si ottiene 2³−1=7. Il complementare è particolarmente utile quando «almeno uno» comprende molti casi separati.
4. Fattoriale e permutazioni di tutti gli oggetti
Disponiamo 4 libri diversi su uno scaffale. Per il primo posto abbiamo 4 scelte, poi 3, 2 e 1: 4×3×2×1=4!=24. In generale n!=n(n−1)…2×1. Per convenzione 0!=1: c’è un solo modo di disporre zero oggetti, la disposizione vuota. Se usiamo tutti gli n oggetti distinti e l’ordine conta, le permutazioni sono n!.
5. Disposizioni: solo k oggetti, ordine importante
Tra 5 persone assegniamo oro, argento e bronzo: 5×4×3=60. Non stiamo scegliendo un semplice gruppo di tre, perché scambiare oro e argento cambia il risultato. Per k≤n, senza ripetizione, D(n,k)=n!/(n−k)!. Quando k=n, la formula diventa n!.
6. Sequenze con ripetizione
Un codice di 3 cifre ammette anche zeri iniziali e cifre ripetute: ogni posto ha 10 scelte, dunque 10³=1000 codici. Se invece chiediamo un numero di tre cifre, la prima non può essere zero: 9×10×10=900. In generale, per k posti e n simboli riutilizzabili, le sequenze sono n^k; i vincoli vanno applicati posto per posto.
7. Combinazioni: scegliere senza ordinare
Da 5 persone scegliamo una commissione di 3. Il conteggio ordinato è 5×4×3=60, ma ogni commissione compare in 3!=6 ordini: 60/6=10. Quindi C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]. Non dividere per k! automaticamente: fallo solo se ogni gruppo viene davvero contato in tutti i suoi k! ordini. Due fatti utili sono C(n,0)=1 e C(n,k)=C(n,n−k): scegliere chi entra equivale a scegliere chi resta fuori.
8. La tabella decisionale
| Domanda | Ripetizione | Conteggio | Esempio |
|---|---|---|---|
| Ordine sì, k su n | No | n!/(n−k)! | Podio |
| Ordine sì, k su n | Sì | n^k | Codice |
| Ordine no, k su n | No | C(n,k) | Commissione |
| Ordine no, k su n | Sì | C(n+k−1,k) | Gusti con palline ripetute |
Prima identifica gli oggetti distinguibili, poi rispondi alle due domande. «Uso tutti?» è un caso particolare: con ordine e senza ripetizione si ottiene n!.
9. Combinazioni con ripetizione
Scelgo 3 palline di gelato fra 4 gusti, potendo ripetere un gusto; l’ordine delle palline non conta. Ogni scelta corrisponde a quattro quantità non negative la cui somma è 3. Rappresento le 3 palline con stelle e separo i 4 gusti con 3 barre: devo scegliere i posti delle 3 stelle fra 3+4−1=6 posizioni. Ottengo C(6,3)=20. In generale le multiscelte di k elementi fra n tipi sono C(n+k−1,k). Questo vale quando i tipi sono disponibili senza limite e gli oggetti dello stesso tipo sono indistinguibili.
10. Oggetti uguali e permutazioni circolari
In ANNA ci sono 4 lettere, ma due A e due N sono uguali: scambiarle non produce un nuovo anagramma. Il numero è 4!/(2!2!)=6. Più in generale, se le molteplicità sono n₁,…,nᵣ e la loro somma è n, gli ordinamenti distinti sono n!/(n₁!…nᵣ!). Per 5 persone diverse attorno a un tavolo rotondo, se rotazioni dell’intero tavolo sono considerate uguali, fisso una persona e dispongo le altre: (5−1)!=24. Le immagini speculari restano diverse, salvo che il problema dica esplicitamente il contrario.
11. Vincoli: costruire, sottrarre o dividere in casi
Quanti codici di 4 cifre, zeri iniziali ammessi, contengono almeno un 7? Tutti i codici sono 10⁴; quelli senza 7 sono 9⁴. Risultato: 10⁴−9⁴=3439. Quanti modi ci sono di disporre 5 persone in fila se Anna e Bruno devono stare vicini? Trattiamo la coppia come un blocco: 4 oggetti si ordinano in 4! modi, e dentro il blocco le due persone si scambiano in 2! modi. Risultato 4!×2!=48.
12. Evitare il doppio conteggio: inclusione-esclusione
In una classe, 12 studenti praticano calcio, 9 basket e 4 entrambi. Sommando 12+9, i 4 che praticano entrambi sono contati due volte. Quelli che praticano almeno uno dei due sport sono 12+9−4=17. Per due insiemi |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Con tre insiemi si sottraggono le tre intersezioni a due e si aggiunge l’intersezione a tre, perché sarebbe stata sottratta troppo.
13. Pascal, binomio e multinomiale
Le combinazioni soddisfano C(n,k)=C(n−1,k)+C(n−1,k−1): rispetto a una persona fissata, o non la scegliamo o la scegliamo. Da qui nasce il triangolo di Pascal: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1. La riga 1,4,6,4,1 è anche quella dei coefficienti di (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴. Se invece 7 oggetti diversi vanno distribuiti in tre gruppi etichettati di dimensioni 2, 3 e 2, il coefficiente multinomiale è 7!/(2!3!2!)=210. Se i gruppi non sono etichettati, può servire un’ulteriore divisione per scambi di gruppi uguali.
14. Dal conteggio alla probabilità
In un’urna ci sono 6 palline rosse e 4 blu; ne estraiamo 3 insieme, senza reinserimento. Le terne possibili sono C(10,3)=120. Per ottenere esattamente 2 rosse scegliamo 2 delle 6 rosse e 1 delle 4 blu: C(6,2)×C(4,1)=15×4=60. Tutte le terne sono equiprobabili, quindi P=60/120=1/2. Se l’ordine delle estrazioni contasse per la domanda, potremmo contare sequenze ordinate sia al numeratore sia al denominatore, ma non mescolare i due modelli.
15. Tre errori da riconoscere
- Confondere codice e numero: 007 è un codice di tre cifre, non un numero di tre cifre.
- Dividere quando l’ordine conta: presidente e vice non sono una commissione.
- Applicare una formula senza controllare i vincoli:
C(n+k−1,k)non vale se un gusto può essere scelto al massimo una volta.
16. Mettiti alla prova
Prima di aprire le soluzioni, per ogni esercizio scrivi: oggetti, numero di posti, ordine, ripetizione e vincoli.
1. Cinque libri diversi: quanti ordini sullo scaffale?
Usiamo tutti gli oggetti distinti e l’ordine conta: 5!=120.
2. Da 8 persone scegli presidente e vice: quanti esiti?
I ruoli sono diversi e nessuno li ricopre entrambi: 8×7=56, non C(8,2)=28.
3. Da 8 persone scegli una commissione di 2: quanti gruppi?
Scambiare i nomi non crea un nuovo gruppo: C(8,2)=8×7/2=28.
4. Quanti anagrammi distinti ha MAMMA?
Le lettere sono 5, con M ripetuta 3 volte e A 2 volte: 5!/(3!2!)=10.
5. Tre palline tra 4 gusti, con ripetizioni: quante scelte?
L’ordine non conta e ogni gusto può essere ripetuto: C(4+3−1,3)=C(6,3)=20.
Il percorso è completo quando sai motivare la formula, non solo ricordarla. Nel laboratorio confronta i conteggi con gli elenchi dei casi piccoli; poi affronta l’interrogazione con risposte spiegate.