La conjetura de Fajtlowicz
En 1993 Siemion Fajtlowicz conjeturó que todo primo impar pertenece a una progresión aritmética de tres primos (Written on the Wall, n.º 783).
Modo A — generación hacia adelante: dos primos ya alcanzados, a < b, son los dos primeros términos; solo se prueba c = 2b − a. A partir de 3 y 5, esta regla no alcanza 13.
Modo B — cierre completo: la pareja puede ocupar dos posiciones cualesquiera; se prueban también c = 2a − b y c = (a+b)/2, aceptando solo resultados primos. Aquí la pregunta es más fuerte que la conjetura histórica: ¿podemos alcanzar todos los primos impares desde {3,5}? Un cálculo finito no lo demuestra.
Partimos de solo dos números primos, 3 y 5. ¿Podemos construir otros completando progresiones aritméticas de tres primos? El primer paso es sencillo: 3, 5, 7. Pero ¿hasta dónde llega el procedimiento? El laboratorio interactivo permite explorar la pregunta generación tras generación.
Precisar la regla antes de calcular
Tres números forman una progresión aritmética si la diferencia entre el segundo y el primero coincide con la diferencia entre el tercero y el segundo: a, a+d, a+2d. En nuestro experimento, los tres deben ser primos. Por ejemplo, 3, 5, 7 tiene diferencia 2; 3, 7, 11 tiene diferencia 4; y 5, 11, 17 tiene diferencia 6.
Denotamos por S₀ = {3,5} el conjunto inicial. Sus dos primos forman la generación 0. Cada nueva generación utiliza solo números ya disponibles; los encontrados en un paso entran en juego en el siguiente. Así podemos reconstruir la genealogía de cada primo.
Modo A: generación hacia adelante
Tomamos dos primos disponibles a < b como primer y segundo término. El siguiente candidato es c = 2b − a. Si c es primo, lo añadimos. La pareja (3,5) da 7; (3,7) da 11; más tarde, (5,11) da 17. Cada primo nuevo es mayor que sus dos padres: este modo sigue la intuición de prolongar la progresión.
El primer primo no alcanzado en este modo es 13. No es un fallo del programa: para producir 13 hacia adelante se necesitarían dos primos menores como primeros términos de una progresión, y no existen. Aun así, el laboratorio usa la expresión prudente «no alcanzado dentro de los límites del experimento», especialmente mientras un cálculo más amplio sigue en curso o se ha detenido.
Modo B: cierre completo
Una pareja de primos también puede ocupar otras posiciones. Además de 2b − a, probamos 2a − b como primer término y (a+b)/2 como término central, aceptando solo primos impares. Entonces cambia el destino de 13: una vez alcanzados 7 y 19, completamos 7, 13, 19, porque 13 es su media. En este modo, 13 aparece en la generación 4. Los dos modos estudian nociones distintas de alcanzabilidad.
El límite N y el margen M
El laboratorio compara los primos alcanzados con todos los primos impares hasta N, calculados mediante la criba de Eratóstenes. Muestra cuántos se han alcanzado, el porcentaje de cobertura, el máximo, las generaciones y el primer hueco. El cierre acotado solo acepta valores hasta N. Con un margen podemos generar hasta M > N y seguir midiendo la cobertura solo hasta N. En el modo completo, un paso temporal por primos mayores que N puede ayudar a alcanzar uno más pequeño.
Leer el camino, no solo el resultado
«Siguiente generación» muestra las parejas y fórmulas que produjeron nuevos primos. La búsqueda de un número concreto muestra una progresión testigo y la cadena de sus padres hasta 3 y 5. Dos gráficos muestran los nuevos primos por generación y la evolución de la cobertura. Los resultados se pueden exportar en CSV o JSON. El cálculo se realiza en el navegador, sin consultar la base de datos del sitio.
¿Qué demuestra el experimento?
Una comprobación hasta N demuestra solo una afirmación finita relativa a los números examinados y a la regla elegida. No demuestra la propiedad para todos los primos. Además, «pertenecer a alguna progresión de tres primos» es más débil que «ser alcanzable desde {3,5} mediante estas iteraciones». Si el presupuesto detiene una generación, los datos son explícitamente parciales: un primo aún ausente no es un contraejemplo.
Abrir el laboratorio de primos en progresión aritmética
¿Se puede empezar con otra pareja?
Sí: el laboratorio acepta dos primos impares elegidos por el usuario para iniciar un experimento nuevo. «Aumentar el límite y continuar» conserva, en cambio, todos los primos ya alcanzados, amplía el límite y prosigue el mismo experimento mientras la página siga abierta. Si se agota el presupuesto de una fase, «Continuar el cálculo» reanuda desde el punto exacto donde se detuvo.