La conjecture de Fajtlowicz
En 1993, Siemion Fajtlowicz a conjecturé que tout nombre premier impair appartient à une progression arithmétique de trois nombres premiers (Written on the Wall, nº 783).
Mode A — génération vers l’avant : deux premiers déjà atteints, a < b, sont les deux premiers termes ; on essaie seulement c = 2b − a. À partir de 3 et 5, cette règle n’atteint pas 13.
Mode B — fermeture complète : la paire peut occuper deux positions quelconques ; on essaie aussi c = 2a − b et c = (a+b)/2, en n’acceptant que des résultats premiers. La question est ici plus forte que la conjecture historique : peut-on atteindre tous les premiers impairs depuis {3,5} ? Un calcul fini ne le démontre pas.
Partons de deux seuls nombres premiers, 3 et 5. Peut-on en construire d’autres en complétant des progressions arithmétiques de trois premiers ? Le premier pas est simple : 3, 5, 7. Mais jusqu’où mène cette méthode ? Le laboratoire interactif permet d’explorer la question génération après génération.
Préciser la règle avant de calculer
Trois nombres forment une progression arithmétique si la différence entre le deuxième et le premier égale celle entre le troisième et le deuxième : a, a+d, a+2d. Dans notre expérience, les trois doivent être premiers. Par exemple, 3, 5, 7 a pour raison 2 ; 3, 7, 11 a pour raison 4 ; et 5, 11, 17 a pour raison 6.
Notons S₀ = {3,5} l’ensemble initial. Ces deux premiers constituent la génération 0. Chaque nouvelle génération n’utilise que des nombres déjà disponibles ; les nombres découverts pendant une étape deviennent disponibles à la suivante. Cette convention donne une généalogie claire à chaque nombre.
Mode A : génération vers l’avant
Prenons deux premiers disponibles a < b comme deux premiers termes. Le candidat suivant est c = 2b − a. Nous ajoutons c s’il est premier. La paire (3,5) donne 7 ; (3,7) donne 11 ; plus tard, (5,11) donne 17. Chaque nouveau premier dépasse ses deux parents : ce mode suit l’idée intuitive de prolonger la progression.
Le premier nombre premier non atteint dans ce mode est 13. Ce n’est pas un défaut du programme : pour produire 13 vers l’avant, il faudrait deux premiers plus petits formant les deux premiers termes, et il n’en existe pas. Le laboratoire garde néanmoins la formulation prudente « non atteint dans les limites de l’expérience », surtout si un calcul plus vaste est encore en cours ou s’est arrêté.
Mode B : fermeture complète
Une paire de premiers peut aussi occuper d’autres positions. Outre 2b − a, nous essayons 2a − b comme premier terme et (a+b)/2 comme terme central, en n’acceptant que des premiers impairs. Le destin de 13 change : une fois 7 et 19 atteints, nous complétons 7, 13, 19, car 13 est leur moyenne. Dans ce mode, 13 apparaît à la génération 4. Les deux modes étudient donc deux formes différentes d’accessibilité.
La limite N et la marge M
Le laboratoire compare les premiers atteints à tous les premiers impairs jusqu’à N, calculés par le crible d’Ératosthène. Il présente le nombre atteint, le pourcentage de couverture, le maximum, les générations et le premier manque. La fermeture bornée n’accepte que des valeurs jusqu’à N. Une recherche avec marge peut générer jusqu’à M > N, tout en mesurant la couverture seulement jusqu’à N. Dans le mode complet, un détour par des premiers supérieurs à N peut aider à atteindre un premier plus petit.
Lire le chemin, pas seulement la réponse
« Génération suivante » montre les paires et les formules qui ont produit de nouveaux premiers. La recherche d’un nombre précis affiche une progression témoin et la chaîne de ses parents jusqu’à 3 et 5. Deux graphiques montrent le nombre de nouveaux premiers par génération et l’évolution de la couverture. Les résultats sont exportables en CSV ou JSON. Le calcul se fait dans le navigateur, sans interroger la base de données du site.
Que prouve l’expérience ?
Une vérification jusqu’à N établit seulement une affirmation finie concernant les nombres examinés et la règle choisie. Elle ne démontre rien pour tous les premiers. De plus, « appartenir à une progression de trois premiers » est moins fort que « être atteint depuis {3,5} par ces itérations ». Si le budget arrête une génération, les résultats sont explicitement partiels : un nombre encore absent n’est pas un contre-exemple.
Ouvrir le laboratoire sur les premiers en progression arithmétique
Peut-on partir d’une autre paire ?
Oui : le laboratoire accepte deux premiers impairs choisis pour lancer une nouvelle expérience. « Augmenter la limite et continuer » conserve au contraire tous les premiers déjà atteints, élargit la limite et poursuit la même expérience tant que la page reste ouverte. Si le budget d’une phase est épuisé, « Continuer le calcul » reprend au point exact de l’arrêt.