La congettura di Fajtlowicz
Nel 1993 Siemion Fajtlowicz formulò la congettura secondo cui ogni primo dispari appartiene a una progressione aritmetica di tre numeri primi (Written on the Wall, n. 783).
Modalità A — generazione in avanti: due primi già ottenuti a < b sono i primi due termini; si prova soltanto c = 2b − a. Partendo da 3 e 5, questa regola non raggiunge 13.
Modalità B — chiusura completa: la coppia può occupare qualunque due posizioni; si provano anche c = 2a − b e c = (a+b)/2, accettando solo risultati primi. Qui la domanda è più forte della congettura storica: da {3,5} si possono raggiungere tutti i primi dispari? Una verifica finita non lo dimostra.
Partiamo da due soli numeri primi, 3 e 5. Possiamo costruirne altri completando progressioni aritmetiche di tre primi? La prima mossa è semplice: 3, 5, 7. Ma fino a dove può portarci il procedimento? Il laboratorio interattivo permette di esplorare questa domanda una generazione alla volta.
Una regola precisa prima di calcolare
Tre numeri formano una progressione aritmetica quando la differenza fra il secondo e il primo è uguale a quella fra il terzo e il secondo: a, a+d, a+2d. Nel nostro esperimento tutti e tre devono essere primi. Per esempio 3, 5, 7 ha ragione 2; 3, 7, 11 ha ragione 4; 5, 11, 17 ha ragione 6.
Indichiamo con S₀ = {3,5} l’insieme iniziale. I primi di S₀ appartengono alla generazione 0. Ogni nuova generazione usa soltanto primi già disponibili: i risultati trovati nello stesso passaggio entrano in gioco al passaggio seguente. Questa scelta rende comprensibile la genealogia di ogni numero.
Modalità A: generazione in avanti
Prendiamo due primi disponibili a < b come primi due termini. Il candidato successivo è c = 2b − a. Se c è primo, lo aggiungiamo. Dalla coppia (3,5) otteniamo 7; dalla coppia (3,7) otteniamo 11. Successivamente (5,11) produce 17. Ogni nuovo primo è maggiore dei due genitori: questa modalità segue esattamente l’intuizione di avanzare lungo la progressione.
Il primo primo non raggiunto in questa modalità è 13. Non è una difficoltà del programma: per produrre 13 in avanti servirebbero due primi più piccoli che fossero i primi termini di una progressione, e non esistono. Il laboratorio usa comunque la formula prudente «non raggiunto entro i limiti dell’esperimento», soprattutto quando un calcolo più ampio è ancora in corso o è stato interrotto.
Modalità B: chiusura completa
Una coppia di primi può occupare anche altre posizioni. Oltre a 2b − a, proviamo 2a − b come primo termine e (a+b)/2 come termine centrale, accettando soltanto primi dispari. Qui 13 cambia destino: dopo aver raggiunto 7 e 19, completiamo 7, 13, 19, perché 13 è la loro media. In questa modalità 13 compare nella generazione 4. Le due modalità non vanno confuse: studiano due diverse nozioni di raggiungibilità.
Il limite N e il margine M
Il laboratorio confronta i primi ottenuti con tutti i primi dispari fino a N, calcolati con il crivello di Eratostene. Mostra quanti ne sono stati raggiunti, la percentuale di copertura, il massimo ottenuto, le generazioni e il primo «buco». Nella chiusura limitata accettiamo soltanto numeri fino a N. Nella ricerca con margine possiamo generare fino a M > N, ma continuiamo a misurare la copertura fino a N. Nella modalità completa, un passaggio attraverso primi maggiori di N potrebbe aiutare a raggiungere un primo più piccolo.
Leggere il percorso, non soltanto il risultato
Con «Prossima generazione» vediamo le coppie e le formule che hanno prodotto nuovi primi. La ricerca di un numero specifico mostra una progressione testimone e la catena dei suoi genitori fino a 3 e 5. I grafici descrivono quanti primi nascono in ciascuna generazione e come cambia la copertura. I risultati si possono esportare in CSV o JSON. Il calcolo avviene nel browser, senza interrogare il database del sito.
Che cosa prova l’esperimento?
Un controllo fino a N prova soltanto un’affermazione finita, relativa ai numeri esaminati e alla regola scelta. Non dimostra che la stessa proprietà valga per tutti i primi. Inoltre «un primo appartiene a qualche progressione di tre primi» è un’affermazione più debole di «un primo è raggiungibile a partire da {3,5} con queste iterazioni». Se il limite di calcolo interrompe una generazione, i dati sono esplicitamente parziali: un primo ancora mancante non è un controesempio.
Apri il laboratorio sui primi in progressione aritmetica
Si può partire da una coppia diversa?
Sì: il laboratorio accetta due primi dispari scelti dall’utente per avviare un nuovo esperimento. Il comando «Aumenta limite e continua» conserva invece tutti i primi già raggiunti, amplia il limite e prosegue lo stesso esperimento finché la pagina resta aperta. Se il budget di una fase si esaurisce, «Continua il calcolo» riprende dal punto esatto in cui si era fermato.