Laboratoire mathématique interactif
Nombres premiers en progression arithmétique
Peut-on atteindre tous les nombres premiers à partir de 3 et 5 ?
Trois nombres a, a+d, a+2d forment une progression arithmétique. Ici, tous doivent être premiers : par exemple 3, 5, 7 ; 3, 7, 11 ; 5, 11, 17.
Nous partons de S₀ = {3, 5}. Cette vérification informatique ne démontre pas une conjecture générale.
En 1993, Siemion Fajtlowicz a conjecturé que tout nombre premier impair appartient à une progression arithmétique de trois nombres premiers. Le mode B explore une question plus forte : peut-on tous les atteindre par itérations à partir de {3,5} ? En mode A, la réponse est déjà non : 13 manque. Source historique : Written on the Wall, nº 783.
Configurer l’expérience
La paire par défaut est 3 et 5. Vous pouvez choisir deux premiers impairs distincts pour une nouvelle expérience. Après une fermeture complète, « Augmenter la limite et continuer » conserve tous les premiers trouvés tant que la page reste ouverte ; si la limite reste inchangée, elle augmente automatiquement.
Choisissez les paramètres et lancez l’expérience.
N maximal : 5 000 000 ; M maximal : 25 000 000. Le calcul se fait dans le navigateur. Chaque phase dispose de 50 millions de paires ; si ce budget est épuisé, le résultat est partiel.
Deux règles, deux questions différentes
A — Génération vers l’avant
Avec deux premiers disponibles a < b, le mode A essaie c = 2b − a comme troisième terme. (3,5) donne 7, puis (3,7) donne 11.
B — Fermeture complète
Le mode B essaie aussi c = 2a − b comme premier terme et c = (a+b)/2 comme terme central. Seuls les premiers impairs supérieurs à 2 sont acceptés.
Avec M > N, on peut utiliser temporairement des premiers au-delà de N, tout en mesurant la couverture jusqu’à N.
Résultats
Lancez une expérience pour voir les résultats.
Que s’est-il passé à la dernière génération ?
(3,5) donnera 7, car 2·5 − 3 = 7 est premier.
Nouveaux premiers par génération
Couverture jusqu’à la valeur examinée
Générations
Génération 0 : 3, 5.