Recogemos unas mediciones. Dibujamos un histograma y una curva parece seguirlo bien. ¿Hemos descubierto la ley que gobierna el fenómeno? Todavía no. Hemos construido un modelo posible, que debemos comparar con otros e interpretar a la luz de cómo se recogieron los datos. El laboratorio de distribuciones permite recorrer este camino con nuestros propios números.
De la muestra a la población
La población es el conjunto sobre el que queremos sacar una conclusión; la muestra contiene las n observaciones realmente disponibles. La media muestral x̄ estima la media desconocida μ de la población. La desviación estándar muestral s describe la dispersión de los valores alrededor de x̄. Otra muestra podría producir otra media: por eso una estimación puntual no cuenta toda la incertidumbre.
Antes de calcular, preguntémonos si las observaciones son independientes, si la muestra es representativa y si cada valor tiene el mismo significado. Un cálculo impecable no corrige una muestra mal seleccionada.
¿Qué cuenta un histograma?
Un histograma agrupa las mediciones en intervalos. En el laboratorio las alturas de las barras representan densidades, de modo que el área total es 1 y se pueden superponer curvas continuas. La forma también depende de cómo se elijan los intervalos: una aparente campana no demuestra por sí sola que los datos sean Normales.
Para mediciones continuas, el laboratorio prueba Normal, Uniforme y Exponencial; si todos los valores son estrictamente positivos, añade Lognormal y Weibull. Los recuentos enteros tienen una pestaña separada: Poisson y, cuando se conoce el número de ensayos por observación, Binomial. Una curva de densidad continua y las probabilidades de recuentos individuales no son lo mismo.
Las distribuciones en pocas palabras
Una distribución modela las probabilidades de los posibles resultados. El tipo de dato importa antes que el nombre de la curva: una medición puede variar de forma continua, mientras que un recuento solo toma valores enteros.
- Normal: un modelo simétrico en forma de campana descrito por la media μ y la desviación estándar σ.
- Uniforme: dentro de un intervalo [a, b], los subintervalos de igual amplitud tienen la misma probabilidad.
- Exponencial: describe tiempos de espera no negativos cuando la tasa de sucesos permanece constante; su parámetro es λ.
- Lognormal: describe valores positivos cuyos logaritmos siguen una Normal; suele tener una cola larga a la derecha.
- Weibull: modela duraciones positivas; la forma y la escala permiten perfiles diferentes.
- Poisson: cuenta sucesos en un intervalo fijo a partir de un número medio λ.
- Binomial: cuenta éxitos en m ensayos independientes, cada uno con probabilidad p.
Comparar modelos sin proclamar un ganador absoluto
Cada modelo tiene parámetros estimados a partir de los datos. El laboratorio compara la distribución acumulada observada con la del modelo mediante una distancia D: entre los candidatos mostrados, una D menor indica una mejor concordancia descriptiva. No demuestra que el modelo sea la verdadera distribución ni es un valor p. En particular, los parámetros se estiman con la misma muestra, por lo que no deben aplicarse automáticamente los valores críticos de la prueba estándar de Kolmogórov–Smirnov.
Hay que interpretar la comparación junto con el histograma, la naturaleza del fenómeno y el tamaño de la muestra. Si faltan modelos plausibles, incluso el primero de la lista puede ser inadecuado.
La prueba de chi-cuadrado: observado y esperado
Si dividimos los resultados en categorías y fijamos las probabilidades de la hipótesis nula H₀ antes de observar los datos, podemos comparar las frecuencias observadas O con las esperadas E = N × p. El estadístico es χ² = Σ (O − E)² / E: las diferencias grandes respecto de las frecuencias esperadas producen un valor mayor. El valor p indica lo inusual que sería una diferencia al menos tan grande si H₀ fuera correcta; no es la probabilidad de que H₀ sea verdadera.
En el laboratorio de la prueba de chi-cuadrado puedes seguir el cálculo categoría por categoría y probar un dado, una Poisson con λ conocido y una Binomial con parámetros conocidos. Las observaciones deben ser independientes y cada frecuencia esperada al menos 5. Si los parámetros se estiman con los mismos datos, como en los modelos ajustados anteriores, los grados de libertad exigen un tratamiento distinto: no debes reutilizar el sencillo valor p de este laboratorio para esos modelos. Referencia NIST.
Un intervalo para la media, no para las observaciones individuales
La media x̄ es un número; un intervalo de confianza añade un margen que expresa la incertidumbre al estimar μ. Si se conoce la desviación estándar σ de la población, el intervalo bilateral utiliza un valor crítico z y el error estándar σ/√n. Con mayor frecuencia se desconoce σ: entonces se usa s y un valor crítico de la distribución t de Student con n−1 grados de libertad:
IC para μ = x̄ ± t1−α/2,n−1 · s/√n.
El laboratorio permite niveles de confianza del 90 %, 95 % y 99 %. Con los mismos datos, más confianza implica un intervalo más amplio; al crecer n, el error estándar tiende a disminuir. Con muestras pequeñas, el método t exige prestar especial atención al supuesto de una población aproximadamente Normal.
Un cálculo paso a paso
Supongamos n = 16 pesos con x̄ = 75 kg y s = 12 kg, sin conocer σ. El error estándar es 12/√16 = 3 kg. Al 95 %, con 15 grados de libertad, el valor crítico es aproximadamente 2,1314. El margen es 2,1314 × 3 ≈ 6,39 kg y el intervalo es [68,61; 81,39] kg.
Si σ = 12 kg se conociera realmente con independencia de esta muestra, utilizaríamos z ≈ 1,9600: el intervalo sería [69,12; 80,88] kg. Y si tuviéramos n = 100, conservando x̄ = 75 kg y s = 12 kg, el intervalo t al 95 % sería aproximadamente [72,62; 77,38] kg. No es magia: bajo los supuestos del método, más datos reducen el error estándar.
¿Qué significa realmente «95 %»?
La media μ de la población no cambia después de observar la muestra. El 95 % describe el procedimiento: si repitiéramos muchas veces el muestreo en las mismas condiciones, alrededor de 95 de cada 100 intervalos construidos así contendrían μ. No significa que el 95 % de las personas tenga un valor dentro del intervalo ni asigna un 95 % de probabilidad a una μ ya fijada.
Si los datos son muy asimétricos, contienen valores atípicos o provienen de una muestra sesgada, el intervalo clásico puede ser engañoso. El laboratorio señala algunas precauciones, pero no puede determinar por sí solo cómo se diseñó el muestreo.
Pon a prueba las ideas
En el laboratorio interactivo puedes pegar entre 5 y 2.000 mediciones, observar el histograma y los modelos y calcular un intervalo para la media; también puedes introducir directamente n, x̄ y s o σ cuando solo dispones de estadísticas resumidas. Una pestaña aparte analiza recuentos y el modo «Ponme a prueba» oculta la distribución generadora. Siete ejemplos resueltos muestran cómo cambian los intervalos. Los datos introducidos permanecen en tu navegador.
Abrir el laboratorio de distribuciones e intervalos de confianza
Para profundizar: NIST, intervalos de confianza para la media y NIST, límites de la comparación Kolmogórov–Smirnov.