Raccogliamo alcune misure. Disegniamo un istogramma e una curva sembra seguirlo bene. Abbiamo scoperto la legge che governa il fenomeno? Non ancora. Abbiamo costruito un modello possibile, da confrontare con altri e da leggere alla luce di come i dati sono stati raccolti. Il laboratorio delle distribuzioni permette di compiere questo percorso con i propri numeri.
Dal campione alla popolazione
La popolazione è l’insieme a cui vogliamo riferire una conclusione; il campione contiene le n osservazioni effettivamente disponibili. La media campionaria x̄ stima la media ignota μ della popolazione. La deviazione standard campionaria s misura la dispersione dei valori intorno a x̄. Un altro campione potrebbe dare una media diversa: per questo una stima puntuale non racconta tutta l’incertezza.
Prima dei calcoli chiediamoci se le osservazioni sono indipendenti, se il campione è rappresentativo e se ogni valore ha lo stesso significato. Un calcolo impeccabile non corregge un campione scelto male.
Che cosa racconta un istogramma?
L’istogramma raggruppa le misure in intervalli. Nel laboratorio le altezze rappresentano densità, così l’area totale delle barre è 1 e si possono sovrapporre curve continue. La forma dipende anche dalla scelta degli intervalli: una campana apparente non dimostra da sola che i dati siano Normali.
Per misure continue il laboratorio prova Normale, Uniforme ed Esponenziale; se tutti i valori sono strettamente positivi aggiunge Lognormale e Weibull. Per conteggi interi usa invece una scheda distinta: Poisson e, se conosciamo il numero di prove per osservazione, Binomiale. Una curva di densità continua e le probabilità dei singoli conteggi non sono la stessa cosa.
Le distribuzioni in breve
Una distribuzione è un modello delle probabilità dei possibili risultati. Il tipo di dato viene prima del nome della curva: una misura può assumere valori continui, un conteggio soltanto numeri interi.
- Normale: una campana simmetrica descritta da media μ e deviazione standard σ.
- Uniforme: in un intervallo [a, b], intervalli di uguale ampiezza hanno la stessa probabilità.
- Esponenziale: descrive tempi di attesa non negativi quando il tasso di eventi resta costante; il parametro è λ.
- Lognormale: riguarda valori positivi il cui logaritmo segue una Normale; spesso presenta una coda lunga verso destra.
- Weibull: modella durate positive; forma e scala permettono profili diversi.
- Poisson: conta gli eventi in un intervallo fissato a partire da un numero medio λ.
- Binomiale: conta i successi in m prove indipendenti, ciascuna con probabilità p.
Confrontare modelli senza proclamare un vincitore assoluto
Ogni modello ha parametri stimati dai dati. Il laboratorio confronta la distribuzione cumulata osservata con quella del modello tramite una distanza D: fra i candidati visualizzati, una D più piccola indica un accordo descrittivo migliore. Non prova che il modello sia la vera distribuzione e non è un p-value. In particolare, i parametri sono stati stimati sullo stesso campione, quindi non si devono applicare automaticamente i valori critici del test standard di Kolmogorov–Smirnov.
Il confronto va interpretato insieme all’istogramma, alla natura del fenomeno e alla numerosità. Se mancano modelli plausibili, il primo in classifica può comunque essere inadeguato.
Il test chi-quadro: osservato e atteso
Se dividiamo i risultati in categorie e fissiamo prima le probabilità dell’ipotesi H₀, possiamo confrontare le frequenze osservate O con quelle attese E = N × p. La statistica è χ² = Σ (O − E)² / E: scarti grandi rispetto alle attese producono un valore più alto. Il p-value indica quanto sarebbe insolito uno scarto almeno così grande se H₀ fosse corretta; non è la probabilità che H₀ sia vera.
Nel laboratorio del test chi-quadro puoi seguire il calcolo categoria per categoria e provare un dado, una Poisson con λ noto e una Binomiale con parametri noti. Le osservazioni devono essere indipendenti e ogni frequenza attesa almeno 5. Se i parametri vengono stimati dagli stessi dati, come nei modelli adattati sopra, occorre un trattamento diverso dei gradi di libertà: il semplice p-value del laboratorio non va riutilizzato per quei modelli. Riferimento NIST.
Un intervallo per la media, non per le singole osservazioni
La media x̄ è un numero; un intervallo di confidenza aggiunge un margine che esprime l’incertezza nella stima di μ. Se la deviazione standard σ della popolazione è nota, l’intervallo bilaterale usa un valore critico z e l’errore standard σ/√n. Più spesso σ è ignota: si usa s e il valore critico della distribuzione t di Student con n−1 gradi di libertà:
IC per μ = x̄ ± t1−α/2,n−1 · s/√n.
Il laboratorio permette livelli del 90%, 95% e 99%. A parità di dati, più confidenza significa un intervallo più largo; aumentando n, l’errore standard tende a diminuire. Per campioni piccoli il metodo t richiede particolare attenzione all’ipotesi di una popolazione approssimativamente Normale.
Un calcolo passo passo
Supponiamo di avere n = 16 pesi, con x̄ = 75 kg e s = 12 kg, senza conoscere σ. L’errore standard è 12/√16 = 3 kg. Al 95%, con 15 gradi di libertà, il valore critico è circa 2,1314. Il margine è 2,1314 × 3 ≈ 6,39 kg e l’intervallo è [68,61; 81,39] kg.
Se invece σ = 12 kg fosse davvero nota indipendentemente dal campione, useremmo z ≈ 1,9600: l’intervallo diventerebbe [69,12; 80,88] kg. E se avessimo n = 100, mantenendo x̄ = 75 kg e s = 12 kg, l’intervallo t al 95% sarebbe circa [72,62; 77,38] kg. Non è magia: più dati riducono l’errore standard, sotto le ipotesi del metodo.
Che cosa significa davvero «95%»?
La media μ della popolazione non cambia dopo che abbiamo visto il campione. Il 95% descrive la procedura: se ripetessimo molte volte il campionamento nelle stesse condizioni, circa 95 intervalli su 100 costruiti in questo modo conterrebbero μ. Non significa che il 95% delle persone abbia un valore dentro questo intervallo, né assegna il 95% di probabilità a μ già fissata.
Se i dati sono molto asimmetrici, contengono valori anomali o provengono da un campione distorto, l’intervallo classico può essere fuorviante. Il laboratorio segnala alcune cautele, ma non può verificare da solo come sia stato progettato il campionamento.
Metti alla prova le idee
Nel laboratorio interattivo puoi incollare da 5 a 2.000 misure, osservare istogramma e modelli, e calcolare l’intervallo della media; oppure usare direttamente n, x̄ e s o σ se disponi soltanto di dati riassuntivi. Una scheda separata analizza i conteggi, mentre la modalità «Mettimi alla prova» nasconde la distribuzione generatrice. Sette esempi svolti mostrano come cambiano gli intervalli. I dati inseriti restano nel browser.
Apri il laboratorio delle distribuzioni e degli intervalli di confidenza
Per approfondire: NIST, intervalli di confidenza per la media e NIST, limiti del confronto Kolmogorov–Smirnov.