Dos puntos no indican por sí solos el camino entre ellos: una recta y una curva pueden compartir extremos y producir estimaciones distintas en medio. Con medidas ruidosas, exigir un paso exacto puede ser aún menos apropiado.
Distinguiremos tres preguntas: construir una función por unos puntos, ajustar un modelo a observaciones y usarlo fuera del intervalo conocido. Llegaremos a la regresión cuadrática y=ax²+bx+c mediante mínimos cuadrados. Los datos son didácticos, no previsiones reales.
1. Interpolación, regresión y extrapolación no son sinónimos
La interpolación impone el paso exacto por los nodos elegidos; la familia de funciones determina la unicidad. Dos abscisas distintas determinan una recta, y tres un polinomio de grado como máximo dos. Sin elegir una familia hay infinitas curvas posibles.
La regresión estima parámetros a partir de todas las observaciones, admitiendo generalmente residuos. Interpolar o extrapolar una predicción describe dónde está la x solicitada: una recta de regresión puede predecir dentro o fuera del intervalo observado. Estar dentro no convierte automáticamente una función en interpolante.
| Idea | Qué impone | Qué no garantiza |
|---|---|---|
| Interpolación | Paso exacto por los nodos en la familia elegida. | Validez del fenómeno entre nodos. |
| Regresión | Ajuste global según un criterio de error. | Paso por cada punto o causalidad. |
| Extrapolación | Uso fuera del intervalo de nodos/datos. | Continuidad del comportamiento observado. |
2. Interpolación lineal en cuatro pasos
Tomemos (2,100),(6,200) y estimemos en x=3. Suponer incrementos absolutos constantes significa elegir una recta.
1. Diferencia vertical: 200−100=100. 2. Intervalo horizontal: 6−2=4. 3. Pendiente: m=100/4=25. 4. Desde el primer extremo avanzamos 3−2=1: y=100+25×1=125. La recta es y=25x+50. Las abscisas deben ser distintas.
y = y₁ + [(y₂−y₁)/(x₂−x₁)] × (x−x₁)
y = 100 + [(200−100)/(6−2)] × (3−2) = 1253. Interpolación exponencial: primero el logaritmo
Razones constantes para incrementos iguales de x sugieren y=A exp(kx), A>0. Al tomar logaritmos resulta ln(y)=ln(A)+kx, una recta en el plano (x,ln y). Aplicamos exp para volver a la cantidad original.
Con los mismos extremos, t=(3−2)/(6−2)=1/4 e y=100×2^(1/4)≈118,92, no 125. En x=4 la recta da 150 y la exponencial √(100×200)≈141,42: media aritmética frente a geométrica. El logaritmo exige y>0.
k mide la variación logarítmica por unidad de x; el factor multiplicativo es exp(k). Para k>0 el tiempo de duplicación es ln(2)/k; para k<0, el de semidesintegración es ln(2)/|k|. Estas propiedades solo son útiles si el modelo describe el fenómeno.
ln(y) = ln(A) + kx
k = [ln(y₂)−ln(y₁)]/(x₂−x₁)
t = (x−x₁)/(x₂−x₁)
y = y₁ × (y₂/y₁)^t
y(3) = 100 × 2^(1/4) ≈ 118,9207124. Leyes de potencia: transformar ambos ejes
Para y=A x^p, con A>0 y x>0, hay que transformar también la abscisa: ln(y)=ln(A)+p ln(x). La pendiente en (ln x,ln y) es p, no el k de una exponencial.
Los extremos (2,4),(8,64) dan p=ln(64/4)/ln(8/2)=2 y A=1. En x=4, la potencia da 16; la recta entre extremos daría 24. Duplicar x multiplica y por 2^p: cuatro para p=2 y √2 para p=1/2.
p también es la elasticidad: un pequeño aumento del 1% de x produce aproximadamente p% de variación de y. Para un cambio fraccionario h, el factor exacto es (1+h)^p, no generalmente 1+ph.
ln(y) = ln(A) + p ln(x)
p = ln(y₂/y₁)/ln(x₂/x₁)
A = y₁/x₁^p
y(x) = y₁ × (x/x₁)^p
y(4) = 4 × (4/2)² = 165. Escalas ordinarias, semilogarítmicas y log-log
En un eje ordinario, distancias iguales significan diferencias iguales; en uno logarítmico, razones iguales. Así 1,10,100,1000 están igualmente espaciados en base 10. El cero y los valores negativos no se representan en ese eje.
Una exponencial aparece recta con x ordinaria e y logarítmica. Con log₁₀(y), la pendiente es k/ln(10); con ln(y), es k. Una potencia aparece recta en log-log, con pendiente p si ambos ejes usan la misma base.
Cambiar la escala del gráfico no recalcula coeficientes. Elegir minimizar errores en los logaritmos es otra operación: cambia el criterio de ajuste, no solo el dibujo.
| Modelo | Ecuación | Transformación en recta |
|---|---|---|
| Recta | y=mx+q | Ninguna |
| Exponencial | y=A exp(kx) | Y=ln(y), X=x |
| Potencia | y=A x^p | Y=ln(y), X=ln(x) |
| Cuadrática | y=ax²+bx+c | Lineal en parámetros, no recta en x |
6. Indicios para elegir un modelo, no pruebas
Con pasos iguales de x, diferencias de y casi constantes sugieren una recta; razones casi constantes, una exponencial. Una alineación log-log sugiere una potencia. Son indicios que investigar, no demostraciones.
El interés compuesto, ciertos decaimientos y fases de crecimiento pueden motivar exponenciales; la geometría y las leyes de escala pueden motivar potencias. Una parábola puede describir curvatura local sin justificar una prolongación ilimitada. El contexto y nuevos datos deben poner a prueba el modelo.
7. Regresión y método de mínimos cuadrados
Para cada observación, ŷᵢ=f(xᵢ) es la predicción y rᵢ=yᵢ−ŷᵢ su residuo vertical. Mínimos cuadrados elige parámetros que minimizan S=Σrᵢ². Los cuadrados evitan cancelaciones entre signos y dan más influencia a los grandes residuos.
Para y=mx+q, los coeficientes se obtienen con medias y sumas de desviaciones. No se exige pasar por cada observación. Se minimizan desviaciones verticales en y, no distancias perpendiculares a la recta.
Para exponencial y potencia, el laboratorio ajusta una recta a los logaritmos y minimiza Σ[ln(yᵢ)−ln(ŷᵢ)]². En general no equivale a minimizar Σ(yᵢ−ŷᵢ)². No realiza mínimos cuadrados no lineales sobre y ni corrección del sesgo de retransformación.
S = Σᵢ[yᵢ−f(xᵢ)]² → min
m = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²
q = ȳ − mx̄8. Regresión cuadrática: hallar a, b y c
La regresión cuadrática busca y=ax²+bx+c minimizando S(a,b,c)=Σ[yᵢ−(axᵢ²+bxᵢ+c)]². La curva no es recta en x, pero el problema es lineal en a,b,c: aparecen a la primera potencia y no se multiplican entre sí.
Al anular las tres derivadas parciales se obtienen las ecuaciones normales. Sus sumas emplean todas las observaciones. Una solución única requiere al menos tres abscisas distintas; tres medidas en una misma x no bastan.
Ejemplo: x=−2,−1,0,1,2 e y=5,2,1,2,6. Las sumas son n=5, Σx=0, Σx²=10, Σx³=0, Σx⁴=34, Σy=16, Σxy=2, Σx²y=48. Por tanto 34a+10c=48; 10b=2; 10a+5c=16. Resulta a=8/7, b=1/5, c=32/35.
La suma de cuadrados de residuos es 4/35≈0,114286; la recta de regresión sobre los mismos datos es y=0,2x+3,2 y da S=18,4. La parábola ajusta mejor esta muestra, pero esa comparación por sí sola no demuestra mejor predicción en datos nuevos.
Las ecuaciones normales explican el razonamiento. Numéricamente, el laboratorio centra y escala x y usa factorización QR, evitando resolver directamente el sistema de sumas, más sensible al condicionamiento.
y = ax² + bx + c
S(a,b,c) = Σᵢ[yᵢ−(axᵢ²+bxᵢ+c)]² → min
∂S/∂a = −2Σxᵢ²[yᵢ−(axᵢ²+bxᵢ+c)] = 0
∂S/∂b = −2Σxᵢ[yᵢ−(axᵢ²+bxᵢ+c)] = 0
∂S/∂c = −2Σ[yᵢ−(axᵢ²+bxᵢ+c)] = 0aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y
aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy
aΣx² + bΣx + nc = Σy34a + 10c = 48
10b = 2
10a + 5c = 16
a = 8/7; b = 1/5; c = 32/35
y = (8/7)x² + (1/5)x + 32/35| x | y | ŷ | r=y−ŷ | r² |
|---|---|---|---|---|
| -2 | 5 | 5,085714 | -0,085714 | 0,007347 |
| -1 | 2 | 1,857143 | 0,142857 | 0,020408 |
| 0 | 1 | 0,914286 | 0,085714 | 0,007347 |
| 1 | 2 | 2,257143 | -0,257143 | 0,066122 |
| 2 | 6 | 5,885714 | 0,114286 | 0,013061 |
9. ¿Tres puntos exactos o muchas observaciones?
Con tres abscisas distintas, el polinomio interpolante de grado como máximo dos pasa por los tres puntos. La regresión cuadrática sobre esos mismos puntos coincide con él salvo redondeo. Puede ser una recta si a=0.
Cinco observaciones no tienen por qué pertenecer a una misma parábola: mínimos cuadrados encuentra el mejor ajuste según el criterio. En el laboratorio la interpolación cuadrática impone solo tres nodos elegidos; los demás son comparaciones. Recta, exponencial y potencia interpolantes usan dos nodos.
La interpolación lineal a trozos une todos los nodos ordenados; una spline conecta tramos polinómicos. Son métodos distintos de la única recta o parábola aquí comparada. Polinomios de grado alto pueden oscilar: más complejidad no garantiza fiabilidad.
10. Residuos, calidad del ajuste y límites
Se muestran los residuos, SSE=Σrᵢ², RMSE=√(SSE/n) y R²=1−SSE/Σ(yᵢ−ȳ)², en escala original y sobre todos los puntos. Esta RMSE no es una estimación de desviación típica residual corregida por grados de libertad.
Si todos los valores y coinciden, el denominador de R² es cero y se indica no definido. En ajustes sobre logaritmos, R² en escala original puede ser negativo. Un R² alto no demuestra causalidad ni validez fuera de los datos.
Un dato atípico puede desplazar mucho los coeficientes de mínimos cuadrados. Curvatura u otras estructuras en los residuos sugieren un modelo inadecuado. Valida con datos no usados y examina la incertidumbre: el laboratorio no calcula intervalos de confianza ni predicción.
11. Un laboratorio, seis experimentos significativos
Carga los dos extremos y cambia de recta a exponencial: compara 125 y 118,92 en x=3. Después prueba la potencia en x=4 y las tres escalas gráficas.
Carga la parábola ruidosa, compara regresión lineal y cuadrática y examina a,b,c y las ecuaciones normales numéricas. Cambia a interpolación de tres nodos: serán restricciones exactas, pero no necesariamente las otras dos observaciones.
La serie de crecimiento ruidoso muestra la recta semilogarítmica y la diferencia entre SSE original y objetivo logarítmico. Prueba finalmente extrapolación y dato atípico; modifica un valor y observa coeficientes y residuos. Los seis experimentos son editables.
Abrir laboratorio: puntos, curvas, residuos y pasos
12. Inténtalo: cinco problemas con solución oculta
Intenta resolver antes de revelar respuestas. Primero pregunta qué puntos son restricciones, qué familia se elige y dónde está la x solicitada.
1. Entre (1,10),(5,30), ¿qué da la recta en x=2?
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m=(30−10)/(5−1)=5. y=10+5×(2−1)=15.
2. Entre (0,50),(4,800), ¿qué da la exponencial en x=2?
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t=1/2. y=50×(800/50)^(1/2)=200: media geométrica, no media aritmética 425.
3. Entre (1,3),(4,48), ¿qué potencia y qué valor en x=2?
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p=ln(48/3)/ln(4/1)=2; A=3. Así y=3x² y el valor es 12.
4. ¿Tres abscisas distintas determinan un interpolante cuadrático único?
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Determinan un polinomio de grado como máximo dos, posiblemente una recta. La regresión cuadrática sobre esos mismos puntos da ese polinomio, salvo redondeo.
5. ¿Cambiar ejes ordinarios por logarítmicos recalcula una regresión?
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No: solo cambia la representación. Ajustar sobre logaritmos cambia el objetivo. No hay que confundir ambas operaciones.