Los complejos no solo resuelven ecuaciones sin raíces reales. Reúnen longitud y dirección, amplitud y fase o dos coordenadas de un cálculo repetido. Cerramos las ocho etapas con tres aplicaciones concretas.
Índice del recorrido · Laboratorio: para qué sirven los complejos · Etapa 7: ecuaciones y polinomios
1. No es magia: un lenguaje compacto
Un punto (x,y) pasa a z=x+iy; un producto cambia módulo y argumento; una exponencial compleja describe una rotación. No sustituimos los reales por algo misterioso: organizamos dos informaciones reales con reglas útiles.
No todo problema se vuelve fácil, pero ciertas operaciones se expresan y componen mejor. El laboratorio distingue modelo exacto, valores numéricos aproximados y dibujo finito. Una imagen atractiva no es por sí sola una demostración ni un modelo físico completo.
2. Una oscilación es la proyección de una rotación
Un punto que gira en un círculo se escribe Z(t)=A e^(i(ωt+φ)), con A≥0, ω=2πf y fase inicial φ. Euler da Z(t)=A cos(ωt+φ)+iA sin(ωt+φ). Su proyección horizontal es x(t)=Re Z(t)=A cos(ωt+φ).
x(t)=A cos(2πft+φ), T=1/f para f>0.
A es la amplitud, f la frecuencia en hercios, T el período en segundos y φ un ángulo en radianes. Para f=0 no hay giro y x(t) es constante: no asignamos período 1/0. Para A=0 la proyección es cero. Es una sinusoide ideal, no cualquier vibración real.
3. Sumar ondas de la misma frecuencia
Para dos sinusoides de igual ω, extraemos el tiempo: Z₁(t)+Z₂(t)=[A₁e^(iφ₁)+A₂e^(iφ₂)]e^(iωt). Sea C=A₁e^(iφ₁)+A₂e^(iφ₂). Si C≠0, la suma tiene amplitud |C| y fase Arg(C). C es el fasor resultante, usando amplitudes de pico aquí.
A_tot²=A₁²+A₂²+2A₁A₂ cos(φ₂−φ₁).
Desarrollar |C|²=C·conj(C) da la fórmula. Para A₁=2,A₂=1 y fases iguales, la amplitud es 3. Si C=0, la suma es nula y no tiene fase resultante definida. Frecuencias distintas no comparten un único e^(iωt): su suma no es, en general, una sinusoide de esta forma.
4. Dos ejemplos: cuadratura y cancelación
Problema: sumar 2cos(πt) y cos(πt+π/2). Frecuencia común f=1/2 Hz, así que T=2 s. Los fasores 2 e i dan C=2+i, |C|=√5 y Arg(C)=atan2(1,2)≈0,463648 rad. La suma es √5 cos(πt+Arg(C)), no de amplitud 3. En t=0 vale 2; en t=1/2, −1.
Segundo problema: 2cos(πt)+2cos(πt+π)=0 para todo t. Se necesitan amplitudes iguales y fases opuestas. π/3 y 4π/3 también se cancelan con igual amplitud: el laboratorio reconoce la relación sin inventar una fase a partir de un pequeño residuo numérico.
5. Transformar una figura con w=αz+β
La transformación w=αz+β actúa sobre cada punto. Para α=ρe^(iθ)≠0, el producto gira θ alrededor del origen y multiplica longitudes por ρ; después β traslada. Conserva ángulos y multiplica áreas por |α|². Para otro centro h se usa w=h+α(z−h), no la misma fórmula centrada en el origen.
Ejemplo: α=i, β=1−i, z=2+i. i(2+i)=−1+2i, así que w=i. Girar 90° y trasladar lleva (2,1) a (0,1). El laboratorio transforma un triángulo y un punto elegido; los fotogramas intermedios ilustran operaciones, no otras fórmulas finales.
6. Reflexión, orientación e inversa
Conjugar z↦conj(z) cambia (x,y) por (x,−y): reflexión en el eje real. w=αconj(z)+β con α≠0 combina espejo, giro, escala y traslación, invirtiendo la orientación del triángulo. Multiplicar por −1 gira 180° sin invertir orientación: no es esa reflexión.
w=αz+β ⇒ z=(w−β)/α.
w=αconj(z)+β ⇒ z=conj((w−β)/α).
Ambas inversas exigen α≠0. Para α=0, todo punto pasa a β: figura colapsada, área cero, sin poder recuperar el punto inicial. El determinante es |α|² sin espejo y −|α|² con él; cero indica la pérdida de inversa.
7. Repetir una regla: z_(k+1)=z_k²+c
Una órbita es una sucesión dada por una regla: fijamos c y z₀, calculamos z₁=z₀²+c, luego z₂=z₁²+c, etc. Cada punto procede del anterior, no de una elección independiente. Para z_k=x+iy y c=a+ib:
x_next=x²−y²+a; y_next=2xy+b.
Ejemplo: c=1 y z₀=0 dan 0,1,2,5,26,… . Para c=−1: 0,−1,0,−1,… . Las filas son tiempos distintos del cálculo; puntos coincidentes pueden tener índices distintos. El laboratorio marca z_k y explica el paso siguiente.
8. Mandelbrot: variar el parámetro c
Para Mandelbrot fijamos z₀=0 y variamos c. Un parámetro pertenece si su órbita queda acotada. La imagen es el plano de parámetros c, no el recorrido de una sola órbita. Aquí seguimos un c; el laboratorio de fractales repite el test en muchos píxeles.
Con c=0 la órbita es fija; con c=−1 periódica; con c=−2: 0,−2,2,2,… . Superar estrictamente módulo 2 indica escape en este test. La igualdad no basta, como muestra c=−2. La definición exige todos los pasos, no solo los cien primeros.
9. Julia: variar el punto inicial
Fijamos c y variamos z₀: los puntos iniciales de órbita acotada forman el conjunto de Julia relleno K_c; su borde es J_c. Un píxel de Mandelbrot representa c; uno de Julia representa z₀. Misma fórmula, distinta pregunta.
Para c=0, |z_k|=|z₀|^(2^k). Si |z₀|<1 tiende a cero; si |z₀|=1 queda en uno; si |z₀|>1 diverge. Así K₀ es el disco unidad y J₀ su circunferencia: no siempre un borde irregular. Compara z₀=i, z₀=1/2 y z₀=2 sin confundir un punto de la órbita con el conjunto entero.
10. Un test finito no prueba el infinito
Para c fijo e inicio cualquiera usamos R=max(2,|c|). Si r=|z|>R, entonces |z²+c|≥r²−|c|>r(r−1)>r. Los módulos siguientes crecen con un factor al menos mayor que uno: la órbita diverge. La desigualdad es estricta. Para el inicio especial z₀=0 de Mandelbrot basta 2; no lo extiendas sin comprobar a cualquier variante.
No observar escape en N pasos significa «sin escape observado en N», no pertenencia demostrada. Los colores codifican tiempos de escape u otros datos, no colores intrínsecos. La coma flotante redondea: cerca de fronteras hacen falta más precisión y comprobaciones.
11. El enlace al material de fractales
El artículo y laboratorio existentes de fractales exploran Sierpiński, Cantor, Koch, árboles, Mandelbrot y Julia. No los sustituimos: explicamos las operaciones complejas que hay detrás. Elige Mandelbrot o Julia en ese laboratorio para pasar de una órbita a muchos puntos del plano.
El enlace va más allá de z²+c. Sierpiński usa tres contracciones: f₁(z)=z/2, f₂(z)=z/2+1/2, f₃(z)=z/2+(1+i√3)/4. Cada una divide longitudes por dos y coloca una copia en un vértice. Son tres mapas sobre copias de un conjunto, no la única órbita cuadrática anterior.
Artículo: fractales, geometría y naturaleza · Abrir el laboratorio de fractales
12. Conclusiones: elegir la representación útil
Partimos de i²=−1 y relacionamos cálculo, geometría, potencias, raíces y ecuaciones. Elige forma cartesiana para sumas y comprobaciones, polar o exponencial para giros y potencias, factores para raíces y multiplicidades, iteración para dinámica. No hay una fórmula única para todo.
Un experimento cambia un dato, predice y compara dibujo y cálculo. Pregunta qué queda fijo, qué varía y qué puede certificar el ordenador. Están disponibles las ocho etapas: termina el recorrido introductorio, no todo el análisis complejo. Señales, oscilaciones y dinámicas más generales requieren otros modelos y teoremas.
Doce ejercicios para intentar
1. Para x(t)=3cos(4πt), halla período y x(1/8).
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ω=4π=2πf da f=2 Hz y T=1/2 s. En t=1/8 el ángulo es π/2, luego x=0. La amplitud sigue siendo 3 aunque la proyección instantánea sea cero.
2. Suma 2cos(ωt+φ) y 3cos(ωt+φ).
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Los fasores tienen igual dirección: C=(2+3)e^(iφ). La suma es 5cos(ωt+φ), sin cambiar frecuencia ni fase.
3. Fases opuestas, amplitudes 2 y 1: ¿se anulan?
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No. C=2e^(iφ)+e^(i(φ+π))=(2−1)e^(iφ). Queda amplitud 1. La cancelación total requiere amplitudes iguales.
4. Para fasores 2 e i, halla amplitud y fase.
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C=2+i, |C|=√5, Arg(C)=atan2(1,2)≈0,463648 rad. La suma de módulos 3 no es la amplitud resultante.
5. Aplica w=iz a z=1+i.
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w=i+i²=−1+i: giro de 90°, conservando longitudes. (1,1) pasa a (−1,1), no es traslación ni reflexión.
6. Para w=2z+1−i y z=3i, halla imagen y factor de áreas.
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w=6i+1−i=1+5i. Las longitudes se duplican y las áreas se multiplican por |2|²=4. La traslación no las cambia.
7. Compara conj(2−3i) y −(2−3i).
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Conjugar da 2+3i, espejo en el eje real. El opuesto −2+3i es un giro de 180° en el origen. Son transformaciones distintas.
8. ¿w=0·z+(1+2i) tiene inversa?
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No: todo punto pasa a 1+2i, sin poder recuperar un z único. Determinante y área del triángulo imagen son cero.
9. Calcula cinco términos de z²−1 desde z₀=0.
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z₀=0,z₁=−1,z₂=0,z₃=−1,z₄=0. Ciclo de período 2: cinco términos no son cinco puntos distintos.
10. Para Mandelbrot con c=1, ¿cuándo se supera 2?
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0→1→2→5: paso 3. El paso 2 alcanza 2 sin superarlo. Para c=−2 se alcanza 2 y se queda allí: usar ≥2 sería incorrecto.
11. ¿Qué representa un píxel en Mandelbrot y Julia?
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Mandelbrot varía c con z₀=0 fijo. Julia varía z₀ con c fijo. Misma regla z_next=z²+c, pero distinta pregunta y plano.
12. ¿Sin escape en 100 pasos se demuestra órbita acotada?
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No: solo indica lo observado en un test finito con su precisión. Para c=0 se demuestra aparte K₀=disco unidad y J₀=circunferencia usando |z_k|=|z₀|^(2^k).
Índice del recorrido · Laboratorio: para qué sirven los complejos