Un complejo puede leerse como expresión algebraica o como punto del plano. El recorrido une ambas lecturas: comprender por qué hacen falta nuevos números, aprender sus reglas y descubrir el significado geométrico de productos, potencias y raíces. Empezamos desde cero, sin presuponer trigonometría.
Etapa 1: Por qué surgen los números complejos · Laboratorio
Etapa 2: Calcular con complejos · Laboratorio
Etapa 3: Módulo, distancia y argumento · Laboratorio
Etapa 4: Forma trigonométrica y rotaciones · Laboratorio
Para qué sirve este recorrido
No queremos solo memorizar i²=−1. Queremos explicar a y b en a+bi, verificar cálculos, cambiar de representación y distinguir las soluciones de una ecuación de una raíz principal elegida por convenio. El dibujo ayuda a razonar; las fórmulas precisan el razonamiento.
Antes de empezar
Bastan números con signo, fracciones, potencias, ecuaciones sencillas y coordenadas cartesianas. La primera etapa repasa lo esencial. Ángulos, seno, coseno y exponencial se introducirán cuando hagan falta, sin suponerlos conocidos. Cada etapa parte de un problema concreto.
Las ocho etapas
1. Por qué surgen los números complejos
De x²+1=0 a i²=−1, a+bi, partes real e imaginaria y plano complejo.
Laboratorio: Punto arrastrable y comparación de soluciones reales e imaginarias.
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2. Calcular con complejos
Suma, diferencia, producto, conjugado, división y potencias de i.
Laboratorio: Dos números editables, cálculos y comprobación de cada paso.
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3. Módulo, distancia y argumento
Distancia al origen, ángulos y ambigüedad; el argumento de cero no está definido.
Laboratorio: Relacionar coordenadas, longitud y ángulo al mover un punto.
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4. Forma trigonométrica y rotaciones
Pasar de a+bi a r(cosθ+i sinθ); interpretar productos y cocientes como transformaciones.
Laboratorio: Rotar y ampliar un vector comparando dibujo y cálculo.
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5. Euler, forma exponencial y De Moivre
Comprender e^(iθ), su relación con seno y coseno y las potencias complejas.
Laboratorio: Observar el círculo unidad y las potencias sucesivas.
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6. Todas las raíces complejas
Resolver zⁿ=w distinguiendo todas las soluciones de la raíz principal.
Laboratorio: Construir raíces de la unidad y polígonos regulares.
Previsto, aún no disponible
7. Ecuaciones y polinomios
Soluciones, multiplicidad, raíces conjugadas con coeficientes reales y teorema fundamental del álgebra.
Laboratorio: Resolver casos guiados y verificar factorizaciones y soluciones.
Previsto, aún no disponible
8. Transformaciones y aplicaciones
Relacionar el plano complejo con oscilaciones, transformaciones geométricas y fractales.
Laboratorio: Explorar transformaciones sencillas y conexiones con laboratorios existentes.
Previsto, aún no disponible
Cómo estudiar: problema, fórmula y dibujo
En cada etapa, lee la pregunta inicial, intenta un ejemplo, compara cálculo y dibujo en el laboratorio y resuelve los ejercicios antes de abrir las soluciones. Las respuestas explican por qué cada paso es válido. Si un dibujo te sorprende, cambia un solo dato y observa el efecto.
Por dónde empezar y qué está disponible
Están disponibles las etapas 1, 2, 3 y 4, cada una con artículo y laboratorio. Las etapas 5–8 describen el programa: aún no están publicadas y no tienen enlaces. Este mismo índice se actualizará cuando estén listas. El recorrido trata fundamentos y primeras aplicaciones, no un curso completo de análisis complejo.
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