La etapa 2 enseñó a multiplicar a+bi y la 3 midió longitudes y ángulos. Ahora unimos ambas lecturas. La forma trigonométrica muestra que un multiplicador fijo aplica a cada punto la misma rotación y el mismo factor de escala alrededor del origen. Demostraremos por qué, precisaremos las excepciones y cambiaremos de centro.
Índice del recorrido · Laboratorio: forma trigonométrica y rotaciones · Repasar módulo y argumento
1. Un producto visible: multiplicar por i
Partimos de z=3+2i. Multiplicar por i da i(3+2i)=3i+2i²=−2+3i. El punto pasa de (3,2) a (−2,3): las coordenadas se intercambian y cambia un signo.
Ambas distancias al origen son √13. El vector final es perpendicular al inicial, un cuarto de vuelta antihorario. No es casualidad: i(a+bi)=−b+ai para cualesquiera reales a,b. Queremos comprender por qué es una rotación de 90° y qué ocurre con otros multiplicadores.
2. La forma trigonométrica nace de las proyecciones
Para z≠0 ponemos r=|z| y elegimos un argumento θ. Dividir las coordenadas por r da un punto de la circunferencia unidad: cosθ=a/r y sinθ=b/r. Seno y coseno son coordenadas con signo, no longitudes siempre positivas.
a = r cosθ; b = r sinθ
z = a+bi = r(cosθ+i sinθ), r=|z|>0
Sacar r como factor cambia la representación, no el número. θ+2kπ da el mismo punto. Cero tiene módulo 0 y formalmente 0(cosθ+i sinθ)=0 para cualquier θ, pero eso no define un argumento de cero.
3. De coordenadas a forma trigonométrica
Enunciado: escribe −1+i en forma trigonométrica. Primero r=√((−1)²+1²)=√2. Después el punto está en el segundo cuadrante y ambas componentes tienen igual valor absoluto. El ángulo de referencia es 45°, así que θ=180°−45°=135°=3π/4.
−1+i = √2[cos(3π/4)+i sin(3π/4)]
Comprobación: cos(3π/4)=−√2/2 y sin(3π/4)=√2/2; multiplicar por √2 recupera −1 y 1. arctan(b/a) solo daría un cuadrante incorrecto. El laboratorio usa atan2(b,a) y el intervalo principal (−π,π].
4. El camino inverso: de r y θ a a+bi
Enunciado: halla las coordenadas de 4[cos(π/6)+i sin(π/6)]. π/6=30°, cos(π/6)=√3/2 y sin(π/6)=1/2. Distribuimos 4: a=4×√3/2=2√3, b=4×1/2=2.
4[cos(π/6)+i sin(π/6)] = 2√3+2i
El resultado es exacto. Sustituir √3 por decimales produce coordenadas aproximadas. No introduzcas 30 en una función que espera radianes: 30°=π/6 rad, no 30 rad. En el laboratorio elige grados o múltiplos de π: para π/6 escribe 1/6 y selecciona la segunda unidad.
5. Por qué se multiplican los módulos y se suman los ángulos
Sean z=r(cosθ+i sinθ) y w=ρ(cosφ+i sinφ), no nulos. Desarrollamos los cuatro términos usando i²=−1:
zw = rρ[cosθ cosφ − sinθ sinφ + i(sinθ cosφ + cosθ sinφ)]
Las identidades de suma dan cos(θ+φ)=cosθ cosφ−sinθ sinφ y sin(θ+φ)=sinθ cosφ+cosθ sinφ. Sustituyendo reconocemos otra forma trigonométrica:
zw = rρ[cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)]
|zw| = |z| |w|
La regla del módulo vale también si un factor es cero; sumar argumentos exige factores no nulos. La regla geométrica se deduce del álgebra y las identidades trigonométricas, no de un nuevo convenio.
6. Un multiplicador fijo transforma todo el plano
Fijamos w=ρ(cosφ+i sinφ), con ρ>0. Cada z rota φ y su distancia al origen se multiplica por ρ. El centro queda fijo. La regla vale para todos los puntos, no solo algunos ejemplos.
z ↦ wz: rotación φ + factor de escala ρ
ρ=1: solo rotación; 01: ampliación
Para w=i, φ=90° y ρ=1; para w=−i, φ=−90°. Para w=−1, φ=180°, no una reflexión respecto de un eje. Para w=2i rotamos 90° y duplicamos: (3+2i)2i=−4+6i. Rotación y escala con el mismo centro pueden hacerse en orden inverso con igual resultado.
7. Ejemplo completo: (1+i)(1+i)
Cada 1+i tiene módulo √2 y argumento π/4. El producto tiene módulo √2×√2=2 y un argumento π/4+π/4=π/2.
(1+i)(1+i) = 2[cos(π/2)+i sin(π/2)] = 2i
Comprobación algebraica: 1+i+i+i²=1+2i−1=2i. El segundo factor rota el primero 45° y multiplica su longitud por √2. La suma daría (1+i)+(1+i)=2+2i: no confundas ambas operaciones.
8. La suma no siempre es el argumento principal
El argumento principal de −1+i es 135°. Su cuadrado tiene un argumento 270°, porque 135°+135°=270°. Pero 270° queda fuera de (−180°,180°]; el mismo punto tiene argumento principal −90°.
(−1+i)² = −2i
Arg(zw) ≡ Arg(z)+Arg(w) (mod 2π), z,w≠0
≡ significa aquí «difieren en un número entero de vueltas», no igualdad como números reales. El laboratorio muestra el ángulo sin normalizar y el principal final. Si un factor es cero, no sumamos argumentos indefinidos.
9. Dividir invierte la rotación y la escala
Si w=ρ(cosφ+i sinφ)≠0, su inverso tiene módulo 1/ρ y argumento −φ. Para z≠0:
z/w = (r/ρ)[cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)]
Enunciado: divide 3+2i entre i. El divisor tiene módulo 1 y argumento π/2: rotamos −90° sin cambiar la longitud. Algebraicamente 1/i=−i y (3+2i)(−i)=2−3i. Multiplicar por i recupera 3+2i.
Para z=0 y w≠0 el cociente es 0, sin argumento. Dividir entre w=0 no está definido: ni cero ni infinito.
10. Rotar alrededor de otro centro
La multiplicación simple wz fija el origen. Para otro centro c: resta c para llevar el centro al origen, multiplica por w y suma c para volver.
z′ = c+w(z−c)
Enunciado: rota z=3+i 90° alrededor de c=1+i. Primero z−c=2; después i×2=2i; finalmente z′=(1+i)+2i=1+3i. La distancia al centro sigue siendo 2. Usar iz daría −1+3i, una rotación de centro incorrecto. El laboratorio permite modificar c y combinar la rotación con una escala λ≥0.
11. Rotación, reflexión y casos degenerados
Sumar un complejo fijo traslada; no usa la regla del producto de sumar ángulos. Conjugar refleja respecto del eje real: 2+i pasa a 2−i. Multiplicar por i da −1+2i. Ambas conservan longitudes, pero son distintas.
Para w≠0 el producto conserva la orientación y multiplica áreas por |w|²: no es una reflexión. Para w=0 todo colapsa al origen; alrededor de c, c+0(z−c) envía todo a c. Cero no tiene argumento que determine una rotación. Un real negativo como −2 tiene módulo positivo 2 y giro de 180°, no módulo −2.
12. Usar fórmulas y laboratorio sin perder el significado
- Distingue conversión, producto, división y transformación alrededor de c.
- Calcula módulo y comprueba cero antes de los argumentos.
- Indica grados o radianes y usa el cuadrante correcto.
- Producto: multiplica módulos y suma ángulos; cociente: divide y resta.
- Normaliza el ángulo principal al final.
- Comprueba coordenadas y distancia al centro correcto.
La animación separa rotación y cambio lineal de escala: es un camino didáctico entre extremos, no una ley temporal del producto. Un factor cero muestra solo el colapso. Los productos cartesianos con fracciones son exactos; coordenadas trigonométricas genéricas y dibujos son aproximados. La etapa 5 tratará Euler y De Moivre; no hacen falta para demostrar esta regla.
Doce ejercicios: inténtalo antes de abrir la solución
1. Escribe 2−2i en forma trigonométrica.
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r=√8=2√2. Cuarto cuadrante: θ=−π/4. Así 2−2i=2√2[cos(−π/4)+i sin(−π/4)].
2. Convierte 6[cos(π/3)+i sin(π/3)].
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cos(π/3)=1/2 y sin(π/3)=√3/2. Multiplicar por 6 da 3+3√3i.
3. Calcula i(2−i) e interpreta.
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2i−i²=1+2i. (2,−1) pasa a (1,2): giro antihorario de 90°, módulo √5 invariable.
4. Calcula (−i)(2−i).
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−2i+i²=−1−2i. Un giro horario de 90° lleva (2,−1) a (−1,−2).
5. ¿Qué hace 2i al punto 2−i?
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(2i)(2−i)=2+4i. Rota 90° y duplica: el módulo pasa de √5 a 2√5, no a √5+2.
6. ¿Por qué Arg((−1+i)²) no es 270°?
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El cuadrado es −2i. 270° es un argumento válido, pero el principal en (−180°,180°] es 270°−360°=−90°.
7. Multiplica 3[cos(π/6)+i sin(π/6)] por 2[cos(−π/3)+i sin(−π/3)].
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Módulo 3×2=6, ángulo π/6−π/3=−π/6. Resultado 6[cos(−π/6)+i sin(−π/6)]=3√3−3i.
8. Divide el complejo de módulo 4 y ángulo π/3 entre el de módulo 2 y ángulo π/6.
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Módulo 4/2=2, ángulo π/3−π/6=π/6. Cociente 2[cos(π/6)+i sin(π/6)]=√3+i.
9. ¿Multiplicar por 1+i es solo una rotación?
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No. El ángulo es 45°, pero el módulo es √2, no 1: también hay una dilatación de factor √2.
10. Rota 3+i 90° alrededor de 1+i.
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Resta el centro: 2. Multiplica por i: 2i. Suma el centro: (1+i)+2i=1+3i. Ambas distancias al centro valen 2.
11. Compara el conjugado de 2+i con i(2+i).
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El conjugado es 2−i, reflexión en el eje real. i(2+i)=−1+2i es una rotación de 90°. Misma longitud √5, distintos puntos y transformaciones.
12. ¿Qué rotación describe multiplicar por cero?
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Ninguna rotación determinada: cero no tiene argumento. Todo punto va a 0 y la transformación no es invertible. La animación de colapso solo ilustra ese resultado.
Índice del recorrido · Laboratorio: forma trigonométrica y rotaciones