La forma trigonométrica convirtió productos en rotaciones y escalas. Ahora introducimos r e^(iθ), explicando antes el exponente imaginario. Euler relaciona exponencial, seno y coseno; De Moivre calcula potencias sin largas cadenas de productos. Distinguimos identidades exactas, sumas finitas y resultados numéricos.
Índice del recorrido · Laboratorio: Euler, De Moivre y potencias · Repasar la forma trigonométrica
1. Una pregunta concreta: ¿cómo calcular (1+i)^20?
Podríamos multiplicar veinte veces, con riesgo de equivocarnos de signo. Ya sabemos que 1+i tiene módulo √2 y argumento π/4. Repetir el producto repite veinte veces la misma escala y rotación.
El módulo final es (√2)^20=2^10=1024 y un argumento es 20×π/4=5π. Cinco medias vueltas terminan en el eje real negativo: el resultado es −1024. Justificaremos este atajo, en lugar de limitarnos a memorizar una fórmula.
2. ¿Qué significa e elevado a un complejo?
La exponencial real e^x es conocida para x real. La extendemos a z complejo mediante una serie, límite de sumas cada vez más largas:
e^z = 1+z+z²/2!+z³/3!+… = ∑m=0∞ z^m/m!
El factorial m! es 1×2×…×m, con 0!=1; por ejemplo 3!=6 y 4!=24. El término inicial se define como 1 también en z=0, sin evaluar por separado 0^0. La serie converge absolutamente para cualquier complejo y coincide con la exponencial real habitual. No hacemos real a i ni exigimos e^(iθ)>0: ampliamos el dominio de la función.
3. La fórmula de Euler, paso a paso
Sustituimos z=iθ, con θ real en radianes. Las potencias de i siguen 1,i,−1,−i. Los términos pares son reales y los impares múltiplos de i. La convergencia absoluta permite separarlos:
e^(iθ) = [1−θ²/2!+θ⁴/4!−…] + i[θ−θ³/3!+θ⁵/5!−…]
Los paréntesis son las series del coseno y seno; por tanto, para cualquier θ real:
e^(iθ) = cosθ+i sinθ
Es imprescindible usar radianes. Convierte 30° a π/6 antes de sustituir; θ=30 significa 30 radianes. Una suma truncada tras pocos términos no es ya el valor exacto.
4. La circunferencia unidad y e^(iπ)+1=0
Las coordenadas de e^(iθ) son (cosθ,sinθ), así que su módulo es √(cos²θ+sin²θ)=1. No está siempre en el eje imaginario: en 0 vale 1, en π/2 i, en π −1, en 3π/2 −i y en 2π vuelve a 1.
e^(iπ) = −1; por tanto e^(iπ)+1=0
e^(i(θ+2kπ)) = e^(iθ), k∈ℤ
La parte real es cosθ y la imaginaria sinθ, no i sinθ. Conjugar da e^(−iθ). El ordenador puede producir un residuo pequeño en vez de cero por las aproximaciones; no refuta la identidad. El laboratorio reconoce exactamente los ángulos de los ejes.
5. La forma exponencial de un complejo
Para z≠0 elegimos r=|z|>0 y un argumento θ. La etapa anterior daba z=r(cosθ+i sinθ). Euler permite abreviar:
z = r e^(iθ), r>0
Para −1+i, r=√2 y θ=3π/4, así que −1+i=√2 e^(3πi/4). Para −2 usamos r=2 y θ=π, no módulo −2. Los ángulos θ+2kπ describen el mismo número.
Formalmente cero es 0×e^(iθ) para cualquier θ, pero no tiene argumento. Además e^w nunca es cero: cero no puede ser una exponencial sola con exponente complejo finito.
6. Por qué se suman los exponentes
Euler y las identidades de suma dan e^(iα)e^(iβ)=e^(i(α+β)), la regla geométrica de la etapa 4 escrita más brevemente.
(r e^(iθ))(ρ e^(iφ)) = rρ e^(i(θ+φ))
(r e^(iθ))/(ρ e^(iφ)) = (r/ρ)e^(i(θ−φ)), ρ>0
Por ejemplo e^(iπ/3)e^(iπ/6)=e^(iπ/2)=i. Son igualdades entre complejos. Para hallar el argumento principal puede hacer falta normalizar a (−π,π]. La periodicidad no convierte en iguales todos esos ángulos reales.
7. De Moivre para potencias enteras
Para n entero positivo, multiplicar n copias de r e^(iθ) produce n factores r y suma n veces θ. Por inducción: n=1 es inmediato; multiplicar el caso n por z transforma r^n en r^(n+1) y nθ en (n+1)θ.
z^n = r^n e^(inθ) = r^n[cos(nθ)+i sin(nθ)]
Para r=1: [cosθ+i sinθ]^n=cos(nθ)+i sin(nθ). Si z≠0 se extiende a todos los enteros, incluido cero y los negativos que explicamos después. No es una regla sin restricciones para exponentes fraccionarios.
8. Dos ejemplos aplicando la fórmula
(1+i)^20. Escribimos 1+i=√2 e^(iπ/4). Así (1+i)^20=(√2)^20 e^(i5π)=1024(−1)=−1024, exactamente en el eje real negativo, sin una pequeña componente imaginaria.
(√3+i)^6. Módulo √(3+1)=2, primer cuadrante, ángulo π/6. Entonces (√3+i)^6=2^6 e^(iπ)=−64. En el laboratorio elige base polar, r=2 y θ=(1/6)π, sin introducir radicales en las coordenadas.
En ambos casos se eleva el módulo a la potencia, no se multiplica por n. Calcula nθ antes de normalizar el argumento final.
9. Exponente cero, exponentes negativos y base cero
Si z≠0, z^0=1. Para n=−m con m positivo, z^(−m)=1/z^m=r^(−m)e^(−imθ). El inverso cambia el signo del ángulo e invierte el módulo.
Enunciado: calcula (1+i)^(−2). Como (1+i)²=2i, el inverso es 1/(2i)=−i/2. De Moivre da r^(−2)=1/2 y −2θ=−π/2, así que (1/2)e^(−iπ/2)=−i/2.
Con base cero y n positivo, 0^n=0 sin argumento. Los exponentes negativos exigirían dividir entre cero y se rechazan. Este recorrido y laboratorio no asignan valor a 0^0; para base cero solo muestran k≥1, sin inventar un paso inicial 0^0=1.
10. Las potencias como sucesión de puntos
Para z=r e^(iθ), z^k tiene módulo r^k y un argumento kθ. Cada paso vuelve a multiplicar por z. Si r=1 todo queda en la circunferencia unidad; para i el ciclo es 1,i,−1,−i,1. Si r>1 los módulos positivos crecen; si 0
Los exponentes negativos siguen potencias del inverso. Cada posición del laboratorio es un exponente entero, no una potencia fraccionaria oculta. Los segmentos son guías visuales, no otras potencias enteras.
Longitudes muy distintas comprimen algunos puntos cerca del origen. «Solo direcciones» lleva los puntos no nulos a la circunferencia unidad para comparar ángulos, no módulos. Cero queda en el origen y no adquiere dirección.
11. Una suma finita no es la identidad de Euler
S_M suma de m=0 a M: contiene M+1 términos. Para θ=π/2 y M=3, S_3=(1−π²/8)+i(π/2−π³/48)≈−0,23370055+0,92483223i, frente al valor exacto i. El punto de la suma no tiene por qué estar ya en la circunferencia unidad.
S_M = ∑m=0M (iθ)^m/m!
|e^(iθ)−S_M| ≤ e^|θ| |θ|^(M+1)/(M+1)!
La cota viene del valor absoluto de la cola: tras el primer factorial, los productos siguientes del denominador son al menos los factoriales correspondientes. Acota el truncamiento teórico, no el redondeo del ordenador. El laboratorio lo distingue del desajuste numérico observado. «Cero a la precisión del cálculo» no significa error matemático nulo.
12. Hasta dónde vale la regla y cómo usarla
n entero hace inocua la elección del argumento: sustituir θ por θ+2kπ añade un número entero de vueltas a nθ. Para exponentes fraccionarios ya no es así. Para −1, los argumentos π y −π divididos por dos dan i y −i, las dos soluciones de x²=−1; la raíz principal exige otra elección. Las raíces serán la siguiente etapa.
En general e^(u+iv)=e^u(cosv+i sinv): la parte real del exponente fija el módulo e^u y la imaginaria el ángulo v. Para u=0 recuperamos la circunferencia unidad.
- Comprueba base cero y exponente.
- Halla módulo positivo y argumento de la base no nula.
- Eleva el módulo a n y multiplica el ángulo por n.
- Normaliza al final.
- Comprueba con productos cartesianos cuando sea posible.
- En series finitas usa ≈ y distingue truncamiento y redondeo.
Doce ejercicios: inténtalo antes de abrir la solución
1. Halla e^(iπ/2) y e^(−iπ/2).
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Euler da cos(π/2)+i sin(π/2)=i. Para el ángulo negativo, coseno 0 y seno −1 dan −i.
2. ¿Por qué e^(iπ)+1=0 es exacto?
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cosπ=−1 y sinπ=0 exactamente, así que e^(iπ)=−1. El residuo informático pertenece al cálculo aproximado, no a la identidad.
3. Escribe 1−i en forma exponencial.
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Módulo √2 y argumento principal −π/4: 1−i=√2 e^(−iπ/4). Sumar 2kπ conserva el número.
4. Calcula (1+i)^8.
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r=√2 y θ=π/4. r^8=16 y 8θ=2π, así que (1+i)^8=16 e^(2πi)=16.
5. Calcula (1−i)^6.
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r^6=(√2)^6=8 y 6θ=−3π/2, equivalente a π/2. El resultado es 8i.
6. Calcula [2e^(iπ/3)]^3.
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Eleva 2 al cubo y multiplica el ángulo por 3: 8e^(iπ)=−8. El módulo es 8, no 2×3=6.
7. Calcula (1+i)^(−2).
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(1+i)^2=2i. Invierte: 1/(2i)=−i/2. En forma polar: (√2)^(−2)e^(−iπ/2)=(1/2)(−i).
8. Compara (2i)^0, 0^4, 0^(−1) y 0^0.
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(2i)^0=1 porque la base no es nula; 0^4=0. 0^(−1) exigiría dividir entre cero. Dejamos 0^0 sin valor: no se aplica automáticamente la regla de base no nula.
9. Halla la sexta potencia de (1/2)e^(iπ/3).
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Módulo (1/2)^6=1/64, ángulo 6×π/3=2π. Resultado 1/64: vuelve a la dirección real positiva, mucho más cerca del origen.
10. ¿Por qué θ y θ+2π dan la misma potencia entera?
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Tras multiplicar por n difieren en 2nπ, un número entero de vueltas. Para n=1/2 la diferencia sería π y podría cambiar el punto: las raíces requieren otro estudio.
11. Escribe S_2 para θ=π/2: ¿cuántos términos?
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S_2=1+iπ/2+(iπ/2)^2/2!=1−π²/8+iπ/2. Tres términos: m=0,1,2. No es ya i, valor de la serie infinita.
12. ¿Un desajuste numérico 0 prueba S_M=e^(iθ) exactamente?
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No: valores distintos pueden redondearse al mismo número. Distingue identidad, truncamiento y precisión. En el caso especial θ=0 la serie sí vale 1 desde el término inicial porque todos los siguientes son nulos.
Índice del recorrido · Laboratorio: Euler, De Moivre y potencias
Fuentes y ampliación
OpenStax · Polar Form of Complex Numbers
NIST DLMF · Exponential function · NIST DLMF · Sine and cosine series