La raíz cúbica real de 8 es 2. Pero en los complejos, z³=8 tiene tres soluciones. Las encontraremos todas separando longitud y ángulo, sin limitarnos a la respuesta elegida por una calculadora.
Índice del recorrido · Laboratorio: todas las raíces complejas · Etapa 5: Euler y De Moivre
1. Invertir una potencia
Dados w y un entero n≥1, buscamos todos los z tales que zⁿ=w. Cada uno es una raíz n-ésima de w. Queremos el conjunto completo, no solo un valor principal.
Por ejemplo, z²=9 tiene soluciones 3 y −3; z²=−9 tiene soluciones 3i y −3i, porque (±3i)²=9i²=−9. Escribir solo 3i pierde la mitad de las respuestas. La fórmula general supone w≠0; cero se trata aparte.
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2. Preparar módulo y argumento
Para w=a+bi≠0 tomamos R=√(a²+b²)>0 y elegimos un argumento φ: w=R(cos φ+i sin φ)=R e^(iφ). El cuadrante importa: tan φ=b/a no distingue direcciones opuestas. El laboratorio usa atan2(b,a), con argumento principal en (−π,π].
Para w=3+4i, R=5 y φ≈0,927295218 rad≈53,13010235°. Para −16 elegimos φ=π. Los ángulos φ+2πm, con m entero, representan el mismo w. Las fórmulas exponenciales usan radianes.
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3. Demostrar la fórmula
Escribimos z=ρ e^(iθ), ρ>0. De Moivre da zⁿ=ρⁿ e^(inθ). Para obtener w=R e^(iφ), igualamos módulos y direcciones: ρⁿ=R y nθ=φ+2kπ para un entero k. La primera condición da el único real positivo ρ=R^(1/n); la segunda θ=(φ+2kπ)/n.
z_k=R^(1/n)[cos((φ+2kπ)/n)+i sin((φ+2kπ)/n)]
=R^(1/n)e^(i(φ+2kπ)/n), k=0,1,…,n−1.
En grados: θ_k=(φ_deg+360°k)/n. Dividir solo φ entre n encuentra una raíz pero pierde las otras: primero añadimos las vueltas y después dividimos todo.
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4. Por qué exactamente n
Comprobación: z_kⁿ=R e^(i(φ+2kπ))=R e^(iφ)=w. Cada candidato es solución. Dos candidatos z_j,z_k coinciden solo si 2π(j−k)/n es múltiplo entero de 2π, luego j−k=nℓ. Para 0≤j,k≤n−1 esto obliga a j=k: son distintos.
Cualquier solución satisface las condiciones de módulo y ángulo y procede de un entero k. El resto r al dividir k por n está entre 0 y n−1; sustituir k por r solo cambia el ángulo en vueltas completas. La lista es completa y sin duplicados. No hemos supuesto conocido el teorema fundamental del álgebra.
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5. Dos raíces cuadradas, también fuera de los ejes
Problema: resolver z²=−9. R=9, φ=π, ρ=3. Los ángulos π/2 y 3π/2 dan 3i y −3i: dos puntos opuestos.
Segundo problema: resolver z²=3+4i. R=5, ρ=√5; los ángulos son φ/2 y φ/2+π. Las coordenadas exactas son 2+i y −2−i. En efecto (2+i)²=4+4i+i²=3+4i y (−2−i)²=(2+i)². Ambos módulos valen √5. La forma polar explica la simetría; la comprobación cartesiana confirma sin redondeos.
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6. Las tres raíces cúbicas de 8
Problema: resolver z³=8. R=8, φ=0, ρ=∛8=2; paso 2π/3=120°. Para k=0,1,2 los ángulos son 0, 2π/3, 4π/3.
z₀=2; z₁=−1+i√3; z₂=−1−i√3.
Comprobamos: (−1+i√3)²=−2−2i√3. Multiplicar otra vez por −1+i√3 cancela las partes imaginarias y deja 2+6=8. La raíz conjugada también funciona. Los puntos forman un triángulo equilátero de radio 2 centrado en el origen. El real 2 es solo una de las tres soluciones complejas.
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7. Las raíces cuartas de −16
Problema: resolver z⁴=−16. R=16, φ=π, ρ=2. Los ángulos θ_k=π/4+kπ/2 son 45°, 135°, 225°, 315°.
√2+i√2; −√2+i√2; −√2−i√2; √2−i√2.
El módulo es 2, no √2: este último es el valor absoluto de las coordenadas. Para el primero, [√2(1+i)]²=4i y [√2(1+i)]⁴=(4i)²=−16. Multiplicar los otros ángulos por 4 da π más vueltas completas: también son soluciones. El cuadrado está girado 45°.
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8. Raíces de la unidad y geometría
Para zⁿ=1: ζ_k=e^(2kπi/n). Si ζ=e^(2πi/n), entonces ζ_k=ζ^k: cada multiplicación gira 2π/n. No todas tienen orden n: −1 es raíz sexta de la unidad pero su cuadrado ya es 1.
Para w≠0, multiplicar una raíz por todas las raíces n-ésimas de la unidad da todas sus raíces. Igual radio y paso 2π/n: polígono regular para n≥3, puntos opuestos para n=2 y un punto para n=1. Para n>1 la suma es 0: (1−ζ)(1+ζ+…+ζ^(n−1))=1−ζ^n=0 y ζ≠1.
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9. Una raíz principal, no todas
Adoptamos Arg(w)∈(−π,π]. La raíz principal compleja de w≠0 es R^(1/n)e^(i Arg(w)/n). Es z₀ si φ=Arg(w); con otros argumentos puede cambiar de índice. Cambiar φ por φ+2πm desplaza los índices, no los puntos: añade vueltas en el laboratorio para observarlo.
Para z³=−8 la raíz cúbica real es −2, pero la principal compleja según este convenio es 2e^(iπ/3)=1+i√3. Las soluciones son 1+i√3, −2, 1−i√3. Hay que aclarar w^(1/n): ¿valor principal o conjunto de todas las raíces?
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10. Cero y casos especiales
Si w=0, |z|ⁿ=0 obliga a |z|=0, así que z=0 es la única solución distinta. Cero no tiene argumento; no dibujamos n puntos superpuestos como si fueran diferentes. Como raíz del polinomio zⁿ tiene multiplicidad n: es otro tipo de recuento.
Si n=1, z=w: un punto, sin polígono. Los exponentes nulos, negativos o no enteros quedan fuera del problema y el laboratorio los rechaza, sin asignar un valor a 0⁰. El límite n≤24 solo mantiene legible el dibujo; la teoría vale para cualquier entero n≥1.
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11. Fórmula cartesiana de raíces cuadradas
Para z²=a+bi ponemos z=x+iy: x²−y²=a y 2xy=b. Además x²+y²=|z|²=|w|=R. Sumando: 2x²=R+a; restando: 2y²=R−a. Si b≠0 una raíz es:
x=√((R+a)/2), y=sgn(b)√((R−a)/2).
La otra es −x−iy.
El signo de y debe satisfacer 2xy=b: no es independiente del signo de x. Para a=3,b=4,R=5 obtenemos x=2,y=1. Si b=0 y a>0 las raíces son ±√a; si b=0 y a<0 son ±i√(−a). Si también a=0, la única raíz es 0.
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12. Método, comprobaciones y errores
Procedimiento: comprobar n; separar w=0; calcular R y un argumento φ; hallar ρ=R^(1/n); listar θ_k=(φ+2kπ)/n para k=0,…,n−1; convertir a coordenadas si conviene; comprobar z_kⁿ=w. El laboratorio distingue fórmulas polares exactas, coordenadas aproximadas y comprobaciones cartesianas exactas reconocidas. Un residuo pequeño no sustituye la prueba.
Las reglas reales no se trasladan automáticamente a las raíces principales complejas: √(−1)√(−1)=i·i=−1, pero √((-1)(-1))=√1=1. Comprueba las hipótesis antes de simplificar. La siguiente etapa tratará ecuaciones y polinomios; zⁿ=w ya está completamente resuelto aquí.
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Doce ejercicios: intenta antes de revelar
1. Resuelve z²=−25.
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R=25, φ=π, ρ=5. Los ángulos π/2 y 3π/2 dan 5i y −5i. Sus cuadrados valen −25.
2. Halla las tres raíces de z³=27.
Mostrar la solución explicada
ρ=3, ángulos 0, 2π/3, 4π/3: 3, −3/2+(3√3/2)i, −3/2−(3√3/2)i. De Moivre da 27 para cada una.
3. Resuelve z⁴=1.
Mostrar la solución explicada
ρ=1; ángulos 0, π/2, π, 3π/2. Las raíces son 1,i,−1,−i. Cada una a la cuarta vale 1; su suma es 0.
4. Resuelve z²=−3+4i con coordenadas exactas.
Mostrar la solución explicada
R=5; x=√((5−3)/2)=1 e y=√((5+3)/2)=2. Raíces: 1+2i y −1−2i. (1+2i)²=1+4i−4=−3+4i.
5. Resuelve z³=i en forma polar.
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R=1, φ=π/2. θ_k=π/6+2kπ/3. Ángulos: π/6, 5π/6, 3π/2; raíces: √3/2+i/2, −√3/2+i/2, −i.
6. Para z⁶=64 halla radio y paso.
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ρ=64^(1/6)=2, paso 2π/6=π/3=60°. z_k=2e^(ikπ/3), k=0,…,5. El radio no es 64/6: hay que extraer una raíz, no dividir.
7. ¿Por qué k=n repite k=0?
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La diferencia angular es 2nπ/n=2π, una vuelta completa. Igual módulo y dirección dan el mismo número. Bastan n índices consecutivos.
8. Cambia φ=0 por φ=2π en z³=8.
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Los ángulos pasan a 2π/3,4π/3,2π: mismos puntos, otro orden. La principal 2 tiene ahora k=2, no k=0.
9. ¿Coinciden las raíces cúbicas real y principal de −8?
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No, con Arg∈(−π,π]. La real es −2; la principal compleja es 1+i√3. Ambas resuelven z³=−8; la tercera es 1−i√3.
10. ¿Cuántas soluciones distintas tiene z⁷=0?
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Una: z=0, porque |z|⁷=0 obliga a |z|=0. Su multiplicidad es 7, pero es un solo punto sin argumento.
11. Resuelve z⁵=32e^(iπ/3).
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ρ=2; θ_k=π/15+2kπ/5, k=0,…,4. En grados: 12°,84°,156°,228°,300°. La quinta potencia da módulo 32 y ángulos π/3 más vueltas completas.
12. ¿Siempre vale √u√v=√(uv) para las principales complejas?
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No: u=v=−1 da i·i=−1 a la izquierda, pero √1=1 a la derecha. La elección principal no conserva automáticamente las reglas de las raíces reales positivas.
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