La racine cubique réelle de 8 est 2. Mais dans les complexes, z³=8 a trois solutions. Trouvons-les toutes en séparant longueur et angle, sans nous limiter à la réponse choisie par une calculatrice.
Index du parcours · Laboratoire : toutes les racines complexes · Étape 5 : Euler et De Moivre
1. Inverser une puissance
Connaissant w et un entier n≥1, cherchons tous les z tels que zⁿ=w. Chacun est une racine n-ième de w. Nous voulons l’ensemble des solutions, pas seulement une valeur principale.
Par exemple, z²=9 a pour solutions 3 et −3 ; z²=−9 a pour solutions 3i et −3i, car (±3i)²=9i²=−9. Écrire seulement 3i fait perdre la moitié des réponses. La formule générale suppose w≠0 ; zéro est traité à part.
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2. Préparer module et argument
Pour w=a+bi≠0, posons R=√(a²+b²)>0 et choisissons un argument φ : w=R(cos φ+i sin φ)=R e^(iφ). Le quadrant compte : tan φ=b/a ne distingue pas des directions opposées. Le laboratoire utilise atan2(b,a), avec argument principal dans (−π,π].
Pour w=3+4i, R=5 et φ≈0,927295218 rad≈53,13010235°. Pour −16, choisir φ=π. Les angles φ+2πm, m entier, représentent le même w. Les formules exponentielles utilisent les radians.
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3. Démontrer la formule
Écrivons z=ρ e^(iθ), ρ>0. De Moivre donne zⁿ=ρⁿ e^(inθ). Pour obtenir w=R e^(iφ), égalons modules et directions : ρⁿ=R et nθ=φ+2kπ pour un entier k. La première condition donne l’unique réel positif ρ=R^(1/n) ; la seconde θ=(φ+2kπ)/n.
z_k=R^(1/n)[cos((φ+2kπ)/n)+i sin((φ+2kπ)/n)]
=R^(1/n)e^(i(φ+2kπ)/n), k=0,1,…,n−1.
En degrés : θ_k=(φ_deg+360°k)/n. Diviser seulement φ par n donne une racine mais perd les autres : ajouter les tours avant de tout diviser par n.
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4. Pourquoi exactement n
Vérification : z_kⁿ=R e^(i(φ+2kπ))=R e^(iφ)=w. Chaque candidat est solution. Deux candidats z_j,z_k coïncident seulement si 2π(j−k)/n est un multiple entier de 2π, donc j−k=nℓ. Pour 0≤j,k≤n−1 cela impose j=k : ils sont distincts.
Toute solution satisfait les conditions de module et d’angle et provient donc d’un entier k. Le reste r de la division de k par n est entre 0 et n−1 ; remplacer k par r ne change l’angle que de tours entiers. La liste est complète et sans répétitions. Cette preuve ne suppose pas connu le théorème fondamental de l’algèbre.
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5. Deux racines carrées, même hors des axes
Problème : résoudre z²=−9. R=9, φ=π, ρ=3. Les angles π/2 et 3π/2 donnent 3i et −3i : deux points opposés.
Deuxième problème : résoudre z²=3+4i. R=5, ρ=√5 ; les angles sont φ/2 et φ/2+π. Les coordonnées exactes sont 2+i et −2−i. En effet (2+i)²=4+4i+i²=3+4i et (−2−i)²=(2+i)². Les deux modules valent √5. La forme polaire explique la symétrie et la vérification cartésienne confirme sans arrondis.
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6. Les trois racines cubiques de 8
Problème : résoudre z³=8. R=8, φ=0, ρ=∛8=2 ; pas 2π/3=120°. Pour k=0,1,2 les angles sont 0, 2π/3, 4π/3.
z₀=2; z₁=−1+i√3; z₂=−1−i√3.
Vérifions : (−1+i√3)²=−2−2i√3. Multiplier encore par −1+i√3 annule les termes imaginaires et laisse 2+6=8. La racine conjuguée convient aussi. Les points forment un triangle équilatéral de rayon 2 centré à l’origine. Le réel 2 n’est qu’une des trois solutions complexes.
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7. Les racines quatrièmes de −16
Problème : résoudre z⁴=−16. R=16, φ=π, ρ=2. Les angles θ_k=π/4+kπ/2 sont 45°, 135°, 225°, 315°.
√2+i√2; −√2+i√2; −√2−i√2; √2−i√2.
Le module vaut 2, pas √2 : ce dernier est la valeur absolue des coordonnées. Pour le premier point, [√2(1+i)]²=4i et [√2(1+i)]⁴=(4i)²=−16. Les autres angles, multipliés par 4, donnent π plus des tours entiers : ce sont aussi des solutions. Le carré est tourné de 45°.
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8. Racines de l’unité et géométrie
Pour zⁿ=1 : ζ_k=e^(2kπi/n). Posons ζ=e^(2πi/n) ; alors ζ_k=ζ^k, chaque multiplication tournant de 2π/n. Toutes ne sont pas d’ordre n : −1 est une racine sixième de l’unité mais son carré vaut déjà 1.
Pour w≠0, multiplier une racine par toutes les racines n-ièmes de l’unité donne toutes ses racines. Même rayon et pas 2π/n : polygone régulier pour n≥3, points opposés pour n=2, un point pour n=1. Pour n>1 leur somme est 0 : (1−ζ)(1+ζ+…+ζ^(n−1))=1−ζ^n=0 et ζ≠1.
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9. Une racine principale, pas toutes
Nous adoptons Arg(w)∈(−π,π]. La racine principale complexe de w≠0 est R^(1/n)e^(i Arg(w)/n). C’est z₀ si φ=Arg(w) ; pour d’autres arguments, son indice peut changer. Remplacer φ par φ+2πm décale les indices, pas l’ensemble des points : ajoutez des tours dans le laboratoire.
Pour z³=−8, la racine cubique réelle est −2, mais la principale complexe selon cette convention est 2e^(iπ/3)=1+i√3. Les solutions sont 1+i√3, −2, 1−i√3. Le symbole w^(1/n) doit être précisé : valeur principale ou toutes les racines ?
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10. Zéro et cas particuliers
Si w=0, |z|ⁿ=0 impose |z|=0, donc z=0 est l’unique solution distincte. Zéro n’a pas d’argument ; on ne dessine pas n points superposés comme s’ils étaient différents. Comme racine du polynôme zⁿ, zéro a une multiplicité n : c’est un autre comptage.
Si n=1, z=w : un point, sans polygone. Les exposants nuls, négatifs ou non entiers sont hors du problème étudié et refusés par le laboratoire, sans donner de valeur à 0⁰. La limite n≤24 vise la lisibilité ; la théorie vaut pour tout entier n≥1.
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11. Formule cartésienne des racines carrées
Pour z²=a+bi, posons z=x+iy : x²−y²=a et 2xy=b. De plus x²+y²=|z|²=|w|=R. L’addition donne 2x²=R+a ; la différence donne 2y²=R−a. Si b≠0, une racine est :
x=√((R+a)/2), y=sgn(b)√((R−a)/2).
L’autre est −x−iy.
Le signe de y doit satisfaire 2xy=b et n’est pas indépendant de celui de x. Pour a=3,b=4,R=5 on obtient x=2,y=1. Si b=0 et a>0, les racines sont ±√a ; si b=0 et a<0, elles sont ±i√(−a). Si a=0 aussi, l’unique racine est 0.
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12. Méthode, vérifications et pièges
Méthode : vérifier n ; séparer w=0 ; calculer R et un argument φ ; trouver ρ=R^(1/n) ; lister θ_k=(φ+2kπ)/n pour k=0,…,n−1 ; passer aux coordonnées si utile ; vérifier z_kⁿ=w. Le laboratoire sépare formules polaires exactes, coordonnées approchées et vérifications cartésiennes exactes reconnues. Un petit résidu numérique ne remplace pas la preuve.
Les règles réelles ne passent pas automatiquement aux racines principales complexes : √(−1)√(−1)=i·i=−1, mais √((-1)(-1))=√1=1. Vérifier les hypothèses avant de simplifier. L’étape suivante traitera équations et polynômes ; zⁿ=w est déjà entièrement résolu ici.
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Douze exercices : chercher avant de révéler
1. Résoudre z²=−25.
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R=25, φ=π, ρ=5. Les angles π/2 et 3π/2 donnent 5i et −5i. Leurs carrés valent −25.
2. Trouver les trois racines de z³=27.
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ρ=3, angles 0, 2π/3, 4π/3 : 3, −3/2+(3√3/2)i, −3/2−(3√3/2)i. De Moivre redonne 27 pour chacune.
3. Résoudre z⁴=1.
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ρ=1 ; angles 0, π/2, π, 3π/2. Les racines sont 1,i,−1,−i. Chacune à la puissance quatre vaut 1 ; leur somme vaut 0.
4. Résoudre z²=−3+4i en coordonnées exactes.
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R=5 ; x=√((5−3)/2)=1 et y=√((5+3)/2)=2. Racines : 1+2i et −1−2i. (1+2i)²=1+4i−4=−3+4i.
5. Résoudre z³=i en forme polaire.
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R=1, φ=π/2. θ_k=π/6+2kπ/3. Angles : π/6, 5π/6, 3π/2 ; racines : √3/2+i/2, −√3/2+i/2, −i.
6. Pour z⁶=64, trouver rayon et pas.
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ρ=64^(1/6)=2, pas 2π/6=π/3=60°. z_k=2e^(ikπ/3), k=0,…,5. Le rayon n’est pas 64/6 : prendre une racine, pas un quotient.
7. Pourquoi k=n répète-t-il k=0 ?
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La différence angulaire vaut 2nπ/n=2π, un tour complet. Même module et direction donnent le même nombre. n indices consécutifs suffisent.
8. Remplacer φ=0 par φ=2π pour z³=8.
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Les angles deviennent 2π/3,4π/3,2π : mêmes points, autre ordre. La principale 2 a maintenant k=2, pas k=0.
9. Les racines cubiques réelle et principale de −8 coïncident-elles ?
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Non, avec Arg∈(−π,π]. La réelle vaut −2, la principale complexe 1+i√3. Les deux résolvent z³=−8 ; la troisième vaut 1−i√3.
10. Combien de solutions distinctes pour z⁷=0 ?
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Une : z=0, car |z|⁷=0 impose |z|=0. Sa multiplicité est 7, mais il s’agit d’un seul point sans argument.
11. Résoudre z⁵=32e^(iπ/3).
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ρ=2 ; θ_k=π/15+2kπ/5, k=0,…,4. En degrés : 12°,84°,156°,228°,300°. La puissance cinq donne module 32 et angles π/3 plus des tours entiers.
12. A-t-on toujours √u√v=√(uv) pour les principales complexes ?
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Non : u=v=−1 donne i·i=−1 à gauche, mais √1=1 à droite. Le choix principal ne conserve pas automatiquement les règles des racines réelles positives.
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