La radice cubica reale di 8 è 2. Ma nei complessi l’equazione z³=8 ha tre soluzioni. Impariamo a trovarle tutte, separando lunghezza e angolo, senza limitarci alla risposta scelta da una calcolatrice.
Indice del percorso · Laboratorio: tutte le radici complesse · Tappa 5: Eulero e De Moivre
1. Invertire una potenza
Conosciamo w e un intero n≥1: cerchiamo tutti i numeri z tali che zⁿ=w. Ciascuno è una radice n-esima di w. Non cerchiamo soltanto un valore principale: vogliamo l’intero insieme delle soluzioni.
Per esempio, z²=9 ha soluzioni 3 e −3; z²=−9 ha soluzioni 3i e −3i, poiché (±3i)²=9i²=−9. Scrivere solo 3i perderebbe metà della risposta. La formula generale si applica a w≠0; zero sarà trattato a parte.
Calcola e mostra tutte le radici
2. Preparare modulo e argomento
Per w=a+bi≠0 poniamo R=√(a²+b²)>0 e scegliamo un argomento φ: w=R(cos φ+i sin φ)=R e^(iφ). Il quadrante conta: tan φ=b/a, da sola, non distingue direzioni opposte. Nel laboratorio atan2(b,a) fornisce l’argomento principale in (−π,π].
Per w=3+4i, R=5 e φ≈0,927295218 rad≈53,13010235°. Per −16 scegliamo φ=π. Tutti gli angoli φ+2πm, con m intero, rappresentano lo stesso w. Nelle formule esponenziali usiamo radianti.
Calcola e mostra tutte le radici
3. Dimostrare la formula
Scriviamo z=ρ e^(iθ), ρ>0. De Moivre dà zⁿ=ρⁿ e^(inθ). Per ottenere w=R e^(iφ), devono coincidere moduli e direzioni: ρⁿ=R e nθ=φ+2kπ, per qualche intero k. Dal primo vincolo ricaviamo l’unico reale positivo ρ=R^(1/n); dal secondo θ=(φ+2kπ)/n.
z_k=R^(1/n)[cos((φ+2kπ)/n)+i sin((φ+2kπ)/n)]
=R^(1/n)e^(i(φ+2kπ)/n), k=0,1,…,n−1.
In gradi: θ_k=(φ_deg+360°k)/n. Dividere solo φ per n trova una radice, ma perde le altre: prima si aggiungono i giri, poi si divide tutto per n.
Calcola e mostra tutte le radici
4. Perché sono proprio n
Verifica: z_kⁿ=R e^(i(φ+2kπ))=R e^(iφ)=w. Ogni candidato è una soluzione. Due candidati z_j,z_k coincidono solo se 2π(j−k)/n è un multiplo intero di 2π, cioè j−k=nℓ. Per 0≤j,k≤n−1 questo impone j=k: sono distinti.
Qualsiasi soluzione deve soddisfare i vincoli di modulo e angolo già ricavati, quindi proviene da un indice intero k. Il resto r della divisione di k per n è fra 0 e n−1; sostituire k con r cambia l’angolo solo di giri interi. La lista è dunque completa e senza doppioni. Questo dimostra il risultato senza dover supporre già noto il teorema fondamentale dell’algebra.
Calcola e mostra tutte le radici
5. Due radici quadrate, anche fuori dagli assi
Problema: risolvere z²=−9. R=9, φ=π, ρ=3. Gli angoli π/2 e 3π/2 danno 3i e −3i: sono due punti opposti.
Secondo problema: risolvere z²=3+4i. R=5, ρ=√5; gli angoli sono φ/2 e φ/2+π. Le coordinate sono esattamente 2+i e −2−i. Infatti (2+i)²=4+4i+i²=3+4i e (−2−i)²=(2+i)². Entrambi hanno modulo √5. La forma polare spiega la simmetria, la verifica cartesiana conferma senza arrotondamenti.
Calcola e mostra tutte le radici
6. Le tre radici cubiche di 8
Problema: risolvere z³=8. R=8, φ=0, ρ=∛8=2; passo 2π/3=120°. Per k=0,1,2 gli angoli sono 0, 2π/3, 4π/3.
z₀=2; z₁=−1+i√3; z₂=−1−i√3.
Controlliamo: (−1+i√3)²=−2−2i√3. Moltiplicando ancora per −1+i√3, i termini immaginari si cancellano e resta 2+6=8. Lo stesso vale per la radice coniugata. I tre punti formano un triangolo equilatero di raggio 2, centrato nell’origine. Il numero reale 2 è soltanto una delle tre soluzioni complesse.
Calcola e mostra tutte le radici
7. Le quattro radici di −16
Problema: risolvere z⁴=−16. R=16, φ=π, ρ=2. Gli angoli θ_k=π/4+kπ/2 sono 45°, 135°, 225°, 315°.
√2+i√2; −√2+i√2; −√2−i√2; √2−i√2.
Il modulo è 2, non √2: quest’ultimo è il valore assoluto delle coordinate. Per il primo punto, [√2(1+i)]²=4i e [√2(1+i)]⁴=(4i)²=−16. Moltiplicando per 4 gli altri angoli otteniamo π più giri interi: anche gli altri punti sono soluzioni. Il quadrato è ruotato di 45° rispetto agli assi.
Calcola e mostra tutte le radici
8. Radici dell’unità e geometria
Per zⁿ=1: ζ_k=e^(2kπi/n). Ponendo ζ=e^(2πi/n), abbiamo ζ_k=ζ^k: moltiplicare ogni volta per ζ ruota di 2π/n. Non tutte hanno ordine n: −1 è una radice sesta dell’unità, ma il suo quadrato è già 1.
Per un w≠0, tutte le radici sono una qualunque radice moltiplicata per le radici n-esime dell’unità. Stesso raggio, passo 2π/n: per n≥3 un poligono regolare; per n=2 due punti opposti; per n=1 un punto solo. Per n>1 la loro somma è 0: (1−ζ)(1+ζ+…+ζ^(n−1))=1−ζ^n=0 e ζ≠1.
Calcola e mostra tutte le radici
9. Una radice principale, non tutte
Adottiamo Arg(w)∈(−π,π]. La radice principale complessa di w≠0 è R^(1/n)e^(i Arg(w)/n). Con φ=Arg(w) è z₀; con altri argomenti può avere un altro indice. Sostituire φ con φ+2πm sposta gli indici ma non cambia l’insieme dei punti: nel laboratorio puoi aggiungere giri per osservarlo.
Per z³=−8 la radice cubica reale è −2, ma la principale complessa secondo questa convenzione è 2e^(iπ/3)=1+i√3. Le tre soluzioni sono 1+i√3, −2, 1−i√3. Il simbolo w^(1/n) va quindi chiarito: valore principale oppure insieme di tutte le radici?
Calcola e mostra tutte le radici
10. Zero e casi di confine
Se w=0, |z|ⁿ=0 impone |z|=0, quindi z=0 è l’unica soluzione distinta. Non assegniamo un argomento a zero né disegniamo n punti sovrapposti come se fossero diversi. Come radice del polinomio zⁿ, zero ha molteplicità n: è un altro tipo di conteggio.
Se n=1, z=w: un punto solo, senza poligono. Esponenti nulli, negativi e non interi sono fuori dal problema studiato e vengono rifiutati dal laboratorio, senza attribuire valori a 0⁰. Il limite n≤24 serve solo alla leggibilità; la teoria vale per ogni intero n≥1.
Calcola e mostra tutte le radici
11. Formula cartesiana per le radici quadrate
Per z²=a+bi poniamo z=x+iy: x²−y²=a e 2xy=b. Inoltre x²+y²=|z|²=|w|=R. Sommando: 2x²=R+a; sottraendo: 2y²=R−a. Se b≠0 una radice è:
x=√((R+a)/2), y=sgn(b)√((R−a)/2).
L’altra è −x−iy.
Il segno di y deve soddisfare 2xy=b: non è indipendente da quello di x. Per a=3,b=4,R=5 otteniamo x=2,y=1. Se b=0 e a>0, le radici sono ±√a; se b=0 e a<0, sono ±i√(−a). Se anche a=0, l’unica radice è 0.
Calcola e mostra tutte le radici
12. Metodo, verifiche e trappole
Procedura: controlla n; separa w=0; calcola R e un argomento φ; trova ρ=R^(1/n); elenca θ_k=(φ+2kπ)/n per k=0,…,n−1; converti in coordinate se utile; verifica z_kⁿ=w. Il laboratorio separa formule polari esatte, coordinate approssimate e controlli cartesiani esatti quando riconosciuti. Un residuo numerico piccolo non sostituisce la dimostrazione.
Le regole reali non passano automaticamente alle radici principali complesse: √(−1)√(−1)=i·i=−1, ma √((-1)(-1))=√1=1. Prima di semplificare, verifica le ipotesi. Nella prossima tappa useremo le radici per equazioni e polinomi; qui il problema zⁿ=w è già risolto completamente.
Calcola e mostra tutte le radici
Dodici esercizi: prova prima di aprire
1. Risolvi z²=−25.
Mostra la soluzione spiegata
R=25, φ=π, ρ=5. Gli angoli π/2 e 3π/2 danno 5i e −5i. Entrambi al quadrato danno −25.
2. Trova le tre radici di z³=27.
Mostra la soluzione spiegata
ρ=3, angoli 0, 2π/3, 4π/3: 3, −3/2+(3√3/2)i, −3/2−(3√3/2)i. De Moivre restituisce 27 per ciascuna.
3. Risolvi z⁴=1.
Mostra la soluzione spiegata
ρ=1; angoli 0, π/2, π, 3π/2. Le radici sono 1,i,−1,−i. Elevando ciascuna alla quarta si ottiene 1 e la somma è 0.
4. Risolvi z²=−3+4i con coordinate esatte.
Mostra la soluzione spiegata
R=5; x=√((5−3)/2)=1 e y=√((5+3)/2)=2. Le radici sono 1+2i e −1−2i. (1+2i)²=1+4i−4=−3+4i.
5. Risolvi z³=i in forma polare.
Mostra la soluzione spiegata
R=1, φ=π/2. θ_k=π/6+2kπ/3. Gli angoli sono π/6, 5π/6, 3π/2: √3/2+i/2, −√3/2+i/2, −i.
6. Per z⁶=64 trova raggio e passo.
Mostra la soluzione spiegata
ρ=64^(1/6)=2, passo 2π/6=π/3=60°. z_k=2e^(ikπ/3), k=0,…,5. Il raggio non è 64/6: occorre una radice, non una divisione.
7. Perché k=n ripete k=0?
Mostra la soluzione spiegata
La differenza degli angoli è 2nπ/n=2π, un giro completo. Stesso modulo e stessa direzione danno lo stesso numero. Bastano n indici consecutivi.
8. Cambia φ=0 in φ=2π per z³=8.
Mostra la soluzione spiegata
Gli angoli diventano 2π/3,4π/3,2π: stessi punti, ordine diverso. La radice principale 2 è ora k=2, non k=0.
9. Radice reale e principale di −8: coincidono?
Mostra la soluzione spiegata
No, con Arg∈(−π,π]. La reale è −2, la principale complessa è 1+i√3. Entrambe risolvono z³=−8; la terza è 1−i√3.
10. Quante soluzioni distinte ha z⁷=0?
Mostra la soluzione spiegata
Una: z=0, perché |z|⁷=0 impone |z|=0. La molteplicità è 7 ma il punto è unico; il suo argomento non esiste.
11. Risolvi z⁵=32e^(iπ/3).
Mostra la soluzione spiegata
ρ=2; θ_k=π/15+2kπ/5, k=0,…,4. In gradi: 12°,84°,156°,228°,300°. Elevando alla quinta il modulo dà 32 e gli angoli danno π/3 più giri interi.
12. È sempre vero √u√v=√(uv) per le principali complesse?
Mostra la soluzione spiegata
No: u=v=−1 dà i·i=−1 a sinistra, ma √1=1 a destra. Una sola scelta principale non conserva automaticamente tutte le regole delle radici reali positive.
Indice del percorso · Laboratorio: tutte le radici complesse