La forma trigonometrica ha trasformato i prodotti in rotazioni e cambi di scala. Ora aggiungiamo una scrittura più compatta, r e^(iθ), ma prima spieghiamo che cosa significa un esponente immaginario. La formula di Eulero unirà esponenziale, seno e coseno; De Moivre ci permetterà di calcolare potenze senza lunghe catene di prodotti. Distingueremo identità esatte, somme finite e risultati numerici.
Indice del percorso · Laboratorio: Eulero, De Moivre e potenze · Ripassa la forma trigonometrica
1. Una domanda concreta: come calcolare (1+i)^20?
Potremmo moltiplicare venti volte, ma sarebbe facile perdere un segno. Conosciamo già il modulo √2 e un argomento π/4 di 1+i. Ripetere il prodotto significa ripetere venti volte la stessa scala e la stessa rotazione.
Il modulo finale sarà (√2)^20=2^10=1024 e un argomento sarà 20×π/4=5π. Cinque mezzi giri finiscono sull’asse reale negativo: il risultato è −1024. In questo capitolo daremo un significato preciso a questa scorciatoia, senza limitarci a imparare una formula a memoria.
2. Che cosa significa e elevato a un complesso
L’esponenziale reale e^x è già noto per x reale. Per ammettere anche z complesso lo estendiamo con una serie, cioè il limite di somme sempre più lunghe:
e^z = 1+z+z²/2!+z³/3!+… = ∑m=0∞ z^m/m!
Il fattoriale m! è il prodotto 1×2×…×m, con 0!=1: per esempio 3!=6 e 4!=24. Il termine iniziale è 1 per definizione anche in z=0: non stiamo valutando il problema separato 0^0. La serie converge assolutamente per ogni complesso e coincide con l’esponenziale usuale sui reali. Non stiamo dicendo che i sia reale o che e^(iθ) debba essere positivo: è una funzione estesa a un nuovo dominio.
3. La formula di Eulero, passaggio per passaggio
Sostituiamo z=iθ, con θ reale misurato in radianti. Le potenze di i seguono il ciclo 1,i,−1,−i. I termini pari della serie sono reali; quelli dispari sono multipli di i. L’assoluta convergenza permette di separarli:
e^(iθ) = [1−θ²/2!+θ⁴/4!−…] + i[θ−θ³/3!+θ⁵/5!−…]
Le due parentesi sono precisamente le serie di cosθ e sinθ. Otteniamo quindi un’identità per ogni θ reale:
e^(iθ) = cosθ+i sinθ
È essenziale usare radianti nelle serie. Un angolo di 30° va prima trasformato in π/6; sostituire θ=30 nella serie significa studiare 30 radianti. Una somma troncata dopo pochi termini non è già uguale al valore esatto.
4. Il cerchio unitario e l’identità e^(iπ)+1=0
Il punto e^(iθ) ha coordinate (cosθ,sinθ), quindi modulo √(cos²θ+sin²θ)=1. Non sta sempre sull’asse immaginario: per θ=0 è 1, per π/2 è i, per π è −1, per 3π/2 è −i e per 2π torna a 1.
e^(iπ) = −1; quindi e^(iπ)+1=0
e^(i(θ+2kπ)) = e^(iθ), k∈ℤ
La parte reale è cosθ e la parte immaginaria è sinθ, non i sinθ. Coniugare dà e^(−iθ). Un computer può restituire un residuo minuscolo al posto di zero usando seno e coseno approssimati: non è una smentita dell’identità matematica. Nel laboratorio gli angoli sugli assi sono riconosciuti anche esattamente.
5. La forma esponenziale di un complesso
Per z≠0 scegliamo r=|z|>0 e un argomento θ. La tappa precedente dava z=r(cosθ+i sinθ). Eulero permette di abbreviare:
z = r e^(iθ), r>0
Per −1+i abbiamo r=√2 e θ=3π/4, dunque −1+i=√2 e^(3πi/4). Per −2 usiamo r=2 e θ=π, non modulo −2. Gli argomenti θ+2kπ descrivono lo stesso numero.
Zero si scrive formalmente 0×e^(iθ) per qualunque θ, ma non ha argomento. Inoltre e^w non è mai zero: non possiamo rappresentare zero come un esponenziale da solo con esponente complesso finito.
6. Perché gli esponenti si sommano
Con Eulero e le formule di addizione di seno e coseno ricaviamo e^(iα)e^(iβ)=e^(i(α+β)). È la stessa regola geometrica dimostrata nella tappa 4, scritta in modo più breve.
(r e^(iθ))(ρ e^(iφ)) = rρ e^(i(θ+φ))
(r e^(iθ))/(ρ e^(iφ)) = (r/ρ)e^(i(θ−φ)), ρ>0
Per esempio e^(iπ/3)e^(iπ/6)=e^(iπ/2)=i. Le uguaglianze sono fra numeri complessi. Se si vuole l’argomento principale del risultato, l’angolo può dover essere riportato in (−π,π]: non confondiamo la periodicità dell’esponenziale con l’uguaglianza di tutti gli angoli reali.
7. De Moivre per le potenze intere
Per un intero positivo n, moltiplicare n copie di r e^(iθ) produce n fattori r e somma n volte θ. Si può dimostrare per induzione: il caso n=1 è immediato; dal caso n, moltiplicare un’altra volta per z porta r^n a r^(n+1) e nθ a (n+1)θ.
z^n = r^n e^(inθ) = r^n[cos(nθ)+i sin(nθ)]
Per r=1 ritroviamo [cosθ+i sinθ]^n=cos(nθ)+i sin(nθ). La formula vale per tutti gli interi quando z≠0, includendo zero e negativi con le precisazioni del prossimo paragrafo. Non abbiamo dimostrato una regola indiscriminata per esponenti frazionari.
8. Due esempi applicando soltanto la formula
(1+i)^20. Scriviamo 1+i=√2 e^(iπ/4). Dunque (1+i)^20=(√2)^20 e^(i5π)=1024(−1)=−1024. Il punto finale è reale negativo, non un numero con una piccola parte immaginaria.
(√3+i)^6. Modulo √(3+1)=2; primo quadrante e angolo π/6. Quindi (√3+i)^6=2^6 e^(iπ)=−64. Nel laboratorio scegli la base in forma polare, r=2 e θ=(1/6)π: non serve scrivere una radice nel campo delle coordinate.
In entrambi i casi il modulo viene elevato alla potenza; non si moltiplica semplicemente per n. Anche l’argomento finale si calcola prima come nθ e si normalizza soltanto dopo.
9. Esponente zero, esponenti negativi e base zero
Se z≠0, z^0=1. Per n=−m, con m positivo, z^(−m)=1/z^m=r^(−m)e^(−imθ). L’inverso cambia il segno dell’angolo e inverte il modulo.
Enunciato: calcola (1+i)^(−2). Poiché (1+i)²=2i, l’inverso è 1/(2i)=−i/2. Con De Moivre: r^(−2)=1/2 e −2θ=−π/2, quindi (1/2)e^(−iπ/2)=−i/2.
Per base zero e n positivo, 0^n=0 senza argomento. Gli esponenti negativi richiederebbero divisione per zero e non sono ammessi. In questo percorso e nel laboratorio non attribuiamo un valore a 0^0; per la base zero mostriamo solo i passi k≥1, senza inventare il passo iniziale 0^0=1.
10. Le potenze come successione di punti
Per z=r e^(iθ), il punto z^k ha modulo r^k e un argomento kθ. A ogni passo moltiplichiamo ancora per z. Se r=1, tutti i punti restano sul cerchio unitario; per i il ciclo è 1,i,−1,−i,1. Se r>1 i moduli delle potenze positive crescono; se 0
Gli esponenti negativi percorrono invece le potenze dell’inverso. Nel laboratorio una posizione corrisponde a un esponente intero, non a una potenza frazionaria nascosta. I segmenti collegano visivamente i punti, non dichiarano che i punti intermedi siano altre potenze intere.
Quando le lunghezze sono molto diverse, il disegno in scala comprime alcuni punti vicino all’origine. La modalità «sole direzioni» li riporta sul cerchio unitario: confronta gli angoli, non i moduli. Zero resta all’origine e non acquista una direzione.
11. Una somma finita non è l’identità di Eulero
Indichiamo con S_M la somma da m=0 a m=M: contiene M+1 termini. Per θ=π/2 e M=3 otteniamo S_3=(1−π²/8)+i(π/2−π³/48)≈−0,23370055+0,92483223i, mentre il valore esatto è i. Il punto della somma non deve già essere sul cerchio unitario.
S_M = ∑m=0M (iθ)^m/m!
|e^(iθ)−S_M| ≤ e^|θ| |θ|^(M+1)/(M+1)!
Il limite superiore deriva dal valore assoluto della coda della serie: dopo il primo fattoriale, i prodotti successivi al denominatore sono almeno i corrispondenti fattoriali. È una stima teorica dell’errore di troncamento; non comprende gli arrotondamenti del computer. Il laboratorio mostra separatamente questo limite e lo scarto numerico osservato. «Scarto 0 alla precisione del calcolo» non significa «errore matematico esattamente nullo».
12. Fin dove vale la regola e come usarla
Un intero n rende innocua la scelta dell’argomento: sostituire θ con θ+2kπ aggiunge a nθ un numero intero di giri. Per un esponente frazionario non è più così. Per esempio il numero −1 ha argomenti π e −π; dimezzarli porta a i e −i. Sono le due soluzioni di x²=−1, mentre la radice principale è una scelta ulteriore. Le radici saranno la prossima tappa.
Un esponente generale u+iv dà e^(u+iv)=e^u(cosv+i sinv): la parte reale dell’esponente determina il modulo e^u e quella immaginaria l’angolo v. Per u=0 ritroviamo il cerchio unitario.
- Controlla base zero ed esponente.
- Trova modulo positivo e argomento della base non nulla.
- Eleva il modulo a n e moltiplica l’angolo per n.
- Normalizza l’angolo solo alla fine.
- Controlla con un prodotto cartesiano quando possibile.
- Per una serie finita usa ≈ e distingui troncamento e arrotondamento.
Dodici esercizi: prova prima di aprire la soluzione
1. Trova e^(iπ/2) ed e^(−iπ/2).
Mostra la soluzione
Eulero dà cos(π/2)+i sin(π/2)=i. Con l’angolo negativo il coseno resta 0 e il seno vale −1: otteniamo −i.
2. Perché e^(iπ)+1=0 è un’uguaglianza esatta?
Mostra la soluzione
cosπ=−1 e sinπ=0 esattamente, quindi e^(iπ)=−1. Un residuo numerico del computer appartiene al calcolo approssimato, non alla formula.
3. Scrivi 1−i in forma esponenziale.
Mostra la soluzione
Modulo √2 e argomento principale −π/4: 1−i=√2 e^(−iπ/4). Aggiungere 2kπ all’angolo dà lo stesso numero.
4. Calcola (1+i)^8.
Mostra la soluzione
r=√2 e θ=π/4. r^8=16 e 8θ=2π, quindi (1+i)^8=16 e^(2πi)=16.
5. Calcola (1−i)^6.
Mostra la soluzione
r^6=(√2)^6=8 e 6θ=−3π/2. L’angolo −3π/2 è equivalente a π/2, quindi il risultato è 8i.
6. Calcola [2e^(iπ/3)]^3.
Mostra la soluzione
Eleviamo 2 al cubo e moltiplichiamo l’angolo per 3: 8e^(iπ)=−8. Il modulo è 8, non 2×3=6.
7. Calcola (1+i)^(−2).
Mostra la soluzione
(1+i)^2=2i. Invertendo: 1/(2i)=−i/2. In forma polare: (√2)^(−2)e^(−iπ/2)=(1/2)(−i).
8. Confronta (2i)^0, 0^4, 0^(−1) e 0^0.
Mostra la soluzione
(2i)^0=1 perché la base è non nulla; 0^4=0. 0^(−1) richiederebbe divisione per zero. Nel percorso non assegniamo un valore a 0^0: non si applica automaticamente la regola della base non nulla.
9. Trova la sesta potenza di (1/2)e^(iπ/3).
Mostra la soluzione
Il modulo diventa (1/2)^6=1/64, l’angolo 6×π/3=2π. Risultato 1/64: il punto torna sulla direzione reale positiva ma molto più vicino all’origine.
10. Perché scegliere θ oppure θ+2π non cambia una potenza intera?
Mostra la soluzione
Dopo la moltiplicazione per n gli angoli differiscono di 2nπ: sono n giri interi. Per n=1/2 la differenza sarebbe π e potrebbe cambiare il punto: occorre studiare le radici separatamente.
11. Scrivi S_2 per θ=π/2: quanti termini contiene?
Mostra la soluzione
S_2=1+iπ/2+(iπ/2)^2/2!=1−π²/8+iπ/2. I termini sono tre: m=0,1,2. Non è già uguale a i, il valore della serie infinita.
12. Uno scarto numerico 0 dimostra che S_M=e^(iθ) esattamente?
Mostra la soluzione
No: due valori distinti possono essere arrotondati allo stesso numero. Bisogna distinguere identità matematica, troncamento e precisione del calcolo. Nel caso speciale θ=0 la serie è davvero 1 fin dal termine iniziale, perché i termini successivi sono nulli.
Indice del percorso · Laboratorio: Eulero, De Moivre e potenze
Fonti e approfondimenti
OpenStax · Polar Form of Complex Numbers
NIST DLMF · Exponential function · NIST DLMF · Sine and cosine series