Nella tappa 2 abbiamo imparato a moltiplicare a+bi; nella tappa 3 abbiamo misurato lunghezze e angoli. Ora uniamo le due letture. La forma trigonometrica mostra che un prodotto non è soltanto un calcolo: un moltiplicatore fisso applica a ogni punto la stessa rotazione e lo stesso fattore di scala, attorno all’origine. Vedremo perché, quando questa descrizione va precisata e come spostare il centro.
Indice del percorso · Laboratorio: forma trigonometrica e rotazioni · Ripassa modulo e argomento
1. Un prodotto che si vede: moltiplicare per i
Partiamo da z=3+2i. Moltiplicando per i otteniamo i(3+2i)=3i+2i²=−2+3i. Il punto passa da (3,2) a (−2,3): le coordinate si scambiano e cambia un segno.
Le distanze dall’origine sono entrambe √13. Il vettore finale è perpendicolare a quello iniziale e si trova un quarto di giro in senso antiorario. Non è una coincidenza del nostro esempio: i(a+bi)=−b+ai, per qualsiasi a,b reali. Vogliamo capire perché questa regola è una rotazione di 90° e che cosa succede con un moltiplicatore diverso da i.
2. La forma trigonometrica nasce dalle proiezioni
Per z≠0 scriviamo r=|z| e scegliamo un suo argomento θ. Dividendo le coordinate per r otteniamo un punto sulla circonferenza unitaria: cosθ=a/r e sinθ=b/r. Coseno e seno sono coordinate con segno, non lunghezze sempre positive.
a = r cosθ; b = r sinθ
z = a+bi = r(cosθ+i sinθ), r=|z|>0
Raccogliere r non cambia il numero: cambia soltanto la rappresentazione. Gli angoli θ+2kπ danno lo stesso punto. Per zero il modulo è 0 e possiamo scrivere formalmente 0(cosθ+i sinθ)=0 con qualunque θ, ma questo non assegna un argomento allo zero.
3. Dalle coordinate alla forma trigonometrica
Enunciato: scrivi −1+i in forma trigonometrica. Primo passo: r=√((−1)²+1²)=√2. Secondo: il punto è nel secondo quadrante e le componenti hanno uguale valore assoluto. L’angolo di riferimento è 45°, quindi θ=180°−45°=135°=3π/4.
−1+i = √2[cos(3π/4)+i sin(3π/4)]
Controlliamo: cos(3π/4)=−√2/2 e sin(3π/4)=√2/2; moltiplicando per √2 ricaviamo −1 e 1. Non basta arctan(b/a), che qui darebbe il quadrante sbagliato. Il laboratorio usa atan2(b,a) e la convenzione principale (−π,π].
4. Il viaggio inverso: da r e θ ad a+bi
Enunciato: trova le coordinate di 4[cos(π/6)+i sin(π/6)]. Poiché π/6=30°, cos(π/6)=√3/2 e sin(π/6)=1/2. Distribuiamo il 4: a=4×√3/2=2√3, b=4×1/2=2.
4[cos(π/6)+i sin(π/6)] = 2√3+2i
Il risultato è esatto. Se usiamo decimali per √3 otteniamo invece un’approssimazione. Non inserire 30 in una funzione che si aspetta radianti: 30°=π/6 rad, non 30 rad. Nel laboratorio scegli gradi oppure multipli di π: per π/6 scrivi 1/6 e seleziona la seconda unità.
5. Perché i moduli si moltiplicano e gli angoli si sommano
Siano z=r(cosθ+i sinθ) e w=ρ(cosφ+i sinφ), entrambi non nulli. Moltiplichiamo i quattro termini, senza saltare i²=−1:
zw = rρ[cosθ cosφ − sinθ sinφ + i(sinθ cosφ + cosθ sinφ)]
Le formule di addizione dicono cos(θ+φ)=cosθ cosφ−sinθ sinφ e sin(θ+φ)=sinθ cosφ+cosθ sinφ. Sostituendole riconosciamo di nuovo una forma trigonometrica:
zw = rρ[cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)]
|zw| = |z| |w|
Il prodotto dei moduli resta valido anche se un fattore è zero; la somma degli argomenti richiede invece che entrambi siano non nulli. La regola geometrica è dunque una conseguenza dell’algebra e delle identità trigonometriche, non una nuova convenzione.
6. Un moltiplicatore fisso trasforma tutto il piano
Fissiamo w=ρ(cosφ+i sinφ), con ρ>0. Ogni z viene ruotato di φ e la sua distanza dall’origine viene moltiplicata per ρ. Il centro resta fermo. Non sono solo alcuni punti a comportarsi così: la formula vale per tutti.
z ↦ wz: rotazione φ + fattore di scala ρ
ρ=1: sola rotazione; 01: ingrandimento
Per w=i, φ=90° e ρ=1. Per w=−i, φ=−90°. Per w=−1, φ=180°, non una riflessione rispetto a un asse. Per w=2i, prima ruotiamo di 90° poi raddoppiamo la lunghezza: (3+2i)2i=−4+6i. Ruotare e scalare attorno allo stesso centro dà lo stesso risultato anche invertendo queste due azioni.
7. Esempio completo: (1+i)(1+i)
Ogni fattore 1+i ha modulo √2 e argomento π/4. Nel prodotto il modulo diventa √2×√2=2 e un argomento è π/4+π/4=π/2.
(1+i)(1+i) = 2[cos(π/2)+i sin(π/2)] = 2i
Controllo algebrico: 1+i+i+i²=1+2i−1=2i. Geometricamente il secondo fattore ruota il primo di 45° e ne moltiplica la lunghezza per √2. La somma, invece, sarebbe (1+i)+(1+i)=2+2i: non confondere le due operazioni.
8. La somma degli argomenti non è sempre principale
Il numero −1+i ha argomento principale 135°. Il suo quadrato ha un argomento 270°, perché 135°+135°=270°. Ma 270° non appartiene a (−180°,180°]: lo stesso punto ha argomento principale −90°.
(−1+i)² = −2i
Arg(zw) ≡ Arg(z)+Arg(w) (mod 2π), z,w≠0
Il simbolo ≡ qui significa «differiscono per un numero intero di giri», non «sono sempre lo stesso numero reale». Nel laboratorio mostriamo sia l’angolo prima della normalizzazione sia quello principale finale. Se un fattore è zero non si sommano argomenti indefiniti.
9. Dividere inverte la rotazione e la scala
Se w=ρ(cosφ+i sinφ)≠0, il suo inverso ha modulo 1/ρ e argomento −φ. Per z≠0 ne segue:
z/w = (r/ρ)[cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)]
Enunciato: dividi 3+2i per i. Il divisore ha modulo 1 e argomento π/2; ruotiamo quindi di −90° senza cambiare lunghezza. Algebricamente 1/i=−i e (3+2i)(−i)=2−3i. Moltiplicare per i fa tornare 3+2i.
Se z=0 e w≠0 il quoziente è 0, senza argomento. Se w=0 la divisione non è definita: non assegniamo né zero né infinito.
10. Come ruotare attorno a un altro centro
La moltiplicazione semplice wz lascia ferma l’origine. Per usare un centro c procediamo in tre passi: sottraiamo c per mettere il centro nell’origine, moltiplichiamo per w e infine aggiungiamo c per riportarlo al suo posto.
z′ = c+w(z−c)
Enunciato: ruota z=3+i di 90° attorno a c=1+i. Prima z−c=2; poi i×2=2i; infine z′=(1+i)+2i=1+3i. La distanza dal centro rimane 2. Se usassimo iz otterremmo −1+3i, una rotazione attorno al centro sbagliato. Nel laboratorio puoi modificare c e combinare questa rotazione con una scala λ≥0.
11. Rotazione, riflessione e casi degeneri
Sommare un complesso fisso produce una traslazione, non la regola «somma gli angoli» del prodotto. Coniugare riflette rispetto all’asse reale: 2+i diventa 2−i. Moltiplicare per i dà invece −1+2i. Le due trasformazioni conservano le lunghezze, ma non sono la stessa cosa.
Se w≠0, moltiplicare per w conserva l’orientamento e moltiplica le aree per |w|²: non è una riflessione. Se w=0 tutti i punti finiscono nell’origine; con centro c, la formula c+0(z−c) porta tutti in c. Non esiste una rotazione determinata dall’argomento di zero. Un fattore reale negativo, come −2, ha invece modulo positivo 2 e una rotazione di 180°: non gli assegniamo modulo −2.
12. Come usare formule e laboratorio senza perdere il significato
- Distingui conversione, prodotto, divisione e trasformazione attorno a c.
- Calcola il modulo e controlla se è zero prima di cercare argomenti.
- Dichiara gradi o radianti; usa il quadrante giusto.
- Nel prodotto moltiplica i moduli e somma gli angoli; nel quoziente dividi e sottrai.
- Riduci l’angolo all’intervallo principale solo alla fine.
- Controlla il risultato con le coordinate e con la distanza dal centro corretto.
L’animazione separa una rotazione e una variazione lineare della scala: è un percorso didattico fra il punto iniziale e quello finale, non una legge temporale imposta dalla moltiplicazione. Con fattore zero mostriamo soltanto il collasso. I prodotti cartesiani con frazioni sono esatti; coordinate trigonometriche generiche e disegno sono approssimati. La tappa 5 affronterà Eulero e De Moivre: non serve anticiparli per dimostrare questa regola.
Dodici esercizi: prova prima di aprire la soluzione
1. Scrivi 2−2i in forma trigonometrica.
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r=√8=2√2. Il punto è nel quarto quadrante: θ=−π/4. Quindi 2−2i=2√2[cos(−π/4)+i sin(−π/4)].
2. Converti 6[cos(π/3)+i sin(π/3)].
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cos(π/3)=1/2 e sin(π/3)=√3/2. Moltiplicando entrambi per 6 otteniamo 3+3√3i.
3. Calcola i(2−i) e interpreta il risultato.
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2i−i²=1+2i. (2,−1) diventa (1,2): rotazione antioraria di 90°, modulo invariato √5.
4. Calcola (−i)(2−i).
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−2i+i²=−1−2i. Rotazione oraria di 90°: (2,−1) diventa (−1,−2).
5. Che cosa fa 2i al punto 2−i?
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(2i)(2−i)=2+4i. Ruota di 90° e raddoppia: il modulo passa da √5 a 2√5, non da √5 a √5+2.
6. Perché Arg((−1+i)²) non è 270°?
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Il quadrato è −2i. 135°+135°=270° è un argomento valido, ma il principale in (−180°,180°] è 270°−360°=−90°.
7. Moltiplica 3[cos(π/6)+i sin(π/6)] per 2[cos(−π/3)+i sin(−π/3)].
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Modulo 3×2=6, angolo π/6−π/3=−π/6. Risultato 6[cos(−π/6)+i sin(−π/6)]=3√3−3i.
8. Dividi il complesso di modulo 4 e angolo π/3 per quello di modulo 2 e angolo π/6.
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Modulo 4/2=2, angolo π/3−π/6=π/6. Il quoziente è 2[cos(π/6)+i sin(π/6)]=√3+i.
9. Moltiplicare per 1+i è una sola rotazione?
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No. L’angolo è 45°, ma il modulo del moltiplicatore è √2, non 1: c’è anche una dilatazione di fattore √2.
10. Ruota 3+i di 90° attorno a 1+i.
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Sottrai il centro: 2. Moltiplica per i: 2i. Aggiungi il centro: (1+i)+2i=1+3i. Le distanze dal centro prima e dopo valgono 2.
11. Confronta il coniugato di 2+i con i(2+i).
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Il coniugato è 2−i, riflessione sull’asse reale. i(2+i)=−1+2i, rotazione di 90°. Stessa lunghezza √5, ma punti e trasformazioni diversi.
12. Quale rotazione descrive la moltiplicazione per zero?
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Nessuna rotazione determinata: zero non ha argomento. La mappa manda tutti i punti in 0 e non è invertibile. L’animazione di un collasso è solo un modo di mostrare questo risultato.
Indice del percorso · Laboratorio: forma trigonometrica e rotazioni